導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：含參函數(shù)的單調(diào)性討論教師版

PAGEPAGE5導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：含參函數(shù)的單調(diào)性討論教師版一、思想方法：討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可化歸為求解導(dǎo)函數(shù)正或負(fù)的相應(yīng)不等式問(wèn)題的討論。二、典例講解例1討論的單調(diào)性，求其單調(diào)區(qū)間解：的定義域?yàn)?它與同號(hào))I）當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在和都是單調(diào)增函數(shù)，即的增區(qū)間是和;II)當(dāng)時(shí)此時(shí)在和都是單調(diào)增函數(shù)，在和都是單調(diào)減函數(shù)，即的增區(qū)間為和;的減區(qū)間為和.步驟小結(jié)：1、先求函數(shù)的定義域，2、求導(dǎo)函數(shù)（化為乘除分解式，便于討論正負(fù)），3、先討論只有一種單調(diào)區(qū)間的（導(dǎo)函數(shù)同號(hào)的）情況，4、再討論有增有減的情況（導(dǎo)函數(shù)有正有負(fù)，以其零點(diǎn)分界），5、注意函數(shù)的斷點(diǎn)，不連續(xù)的同類(lèi)單調(diào)區(qū)間不要合并。

變式練習(xí)1:討論的單調(diào)性，求其單調(diào)區(qū)間解：的定義域?yàn)?它與同號(hào))I）當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在為單調(diào)增函數(shù)，即的增區(qū)間為，不存在減區(qū)間;II)當(dāng)時(shí);此時(shí)在為單調(diào)增函數(shù)，在是單調(diào)減函數(shù)，即的增區(qū)間為;的減區(qū)間為.例2．討論的單調(diào)性解：的定義域?yàn)?它與同號(hào))當(dāng)時(shí)，恒成立（此時(shí)沒(méi)有意義）此時(shí)在為單調(diào)增函數(shù)，即的增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，恒成立，（此時(shí)不在定義域內(nèi)，沒(méi)有意義）此時(shí)在為單調(diào)增函數(shù)，即的增區(qū)間為當(dāng)時(shí),令于是，當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：(結(jié)合g(x)圖象定號(hào))x0增↗減↘所以，此時(shí)在為單調(diào)增函數(shù)，在是單調(diào)減函數(shù)，即的增區(qū)間為;的減區(qū)間為.小結(jié)：導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的相應(yīng)區(qū)間也可以由導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)來(lái)分界，但要注意其定義域和連續(xù)性。即先求出的零點(diǎn)，再其分區(qū)間然后定在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)。一般先討論無(wú)解情況，再討論解過(guò)程產(chǎn)生增根的情況（即解方程變形中諸如平方、去分母、去對(duì)數(shù)符號(hào)等把自變量x范圍擴(kuò)大而出現(xiàn)有根，但根實(shí)際上不在定義域內(nèi)的），即根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)從少到多，相應(yīng)原函數(shù)單調(diào)區(qū)間個(gè)數(shù)從少到多討論，最后區(qū)間（最好結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象）確定相應(yīng)單調(diào)性。1.已知函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間.解：2.已知函數(shù)f(x)=x－ax+(a－1)，討論函數(shù)的單調(diào)性,求出其單調(diào)區(qū)間。解：的定義域?yàn)?(1)(2)①若即時(shí)，>0,故在單調(diào)遞增.②若0<,即時(shí)，由得，；由得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.③若,即時(shí)，由得，；由得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)，單調(diào)增區(qū)為,減區(qū)間是;當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，在定義域上遞增，單調(diào)增區(qū)為（不存在減區(qū)間）;當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是，在增區(qū)間是.15．已知函數(shù)f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2·[f′(x)＋eq\f(m,2)]在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(a1－x,x)，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(0,1)，減區(qū)間為(1，＋∞)；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(1，＋∞)，減區(qū)間為(0,1)；當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)不是單調(diào)函數(shù)．(2)由(1)及題意得f′(2)＝－eq\f(a,2)＝1，即a＝－2，∴f(x)＝－2lnx＋2x－3，f′(x)＝eq\f(2x－2,x).∴g(x)＝x3＋(eq\f(m,2)＋2)x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，即g′(x)＝0在區(qū)間(t,3)上有變號(hào)零點(diǎn)．由于g′(0)＝－2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g′t<0，,g′3>0.))當(dāng)g′(t)<0，即3t2＋(m＋4)t－2<0對(duì)任意t∈[1,2]恒成立，由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0，即