專題2-2 平移齊次化解決圓錐曲線中斜率和積問題與定點問題（原卷版）

專題2-2圓錐曲線中斜率和積為定值問題與定點問題（平移齊次化）【例題】已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)過點且與相交于，兩點．若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點． 【手電筒模型·1定+2動】直線與橢圓交于A，B兩點，為橢圓上異于AB的任意一點，若定值或定值(不為0)，則直線AB會過定點．(因為三條直線形似手電筒，固名曰手電筒模型)． 補充：若過定點，則定值，定值.【坐標平移+齊次化處理】（左加右減，上減下加為曲線平移）Step1：平移點P到原點，寫出平移后的橢圓方程，設(shè)出直線方程，并齊次化處理Step2：根據(jù)斜率之積或斜率之和與韋達定理的關(guān)系得到等式，求得m，n之間的關(guān)系，Step3：得出定點，此時別忘了，還要平移回去!【補充】橢圓是橢圓上一點，A，B為隨圓E上兩個動點，與PB的斜率分別為k1，k2.(1)，證明AB斜率為定值≠0)；(2)，證明AB過定點：；(3)，證明AB的斜率為定值；(4)，證明AB過定點：.以上稱為手電筒模型，注意點P不在橢圓上時，上式并不適用，常數(shù)也需要齊次化乘“12”2020·新高考1卷·22已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．

重點題型·歸類精講重點題型·歸類精講題型一已知定點求定值已知拋物線，過點的直線與拋物線交于P，Q兩點，為坐標原點．證明：．如圖，橢圓，經(jīng)過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點P，Q(均異于點，證明:直線AP與AQ的斜率之和為2．已知點，為坐標原點，E，F(xiàn)是橢圓上的兩個動點，滿足直線AE與直線AF關(guān)于直線x＝1對稱．證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值； 如圖，點為橢圓的右焦點，過且垂直于軸的直線與橢圓相交于?兩點(在的上方)，設(shè)點?是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，且滿足，試問直線的斜率是否為定值，請說明理由.橢圓，，經(jīng)過點，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ斜率之和為2．已知橢圓：，過作斜率為的動直線，交橢圓于，兩點，若為橢圓的左頂點，直線，的斜率分別為，，求證：為定值，并求出定值.題型二已知定值求定點（2017·全國卷理）已知橢圓，設(shè)直線l不經(jīng)過點且與C相交于A，B兩點．若直線與直線的斜率的和為-1，證明：l過定點．已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)過點且與相交于A，B兩點．若直線與直線的斜率的和為，證明：直線過定點．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點P（1，y0）（y0＞0）到其焦點的距離為2．（1）求點P的坐標及拋物線C的方程；（2）若點M、N在拋物線C上，且kPM?kPN＝，證明：直線MN過定點. 已知橢圓，，若直線l交橢圓C于A，B（A，B異于點P）兩點，且直線PA與PB的斜率之積為，求點P到直線l距離的最大值．已知橢圓：的離心率為，橢圓的短軸長等于4．（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)，，過且斜率為的動直線與橢圓交于