山東省泰安市泰山國際學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考模擬數(shù)學(xué)試題

山東省泰安市泰山國際學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考模擬數(shù)學(xué)試題

一、選擇題1．已知平面向量,,則等于()A. B. C. D.2．如圖，在中，D是線段BC上的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)D的直線分別交直線AB，AC于點(diǎn)M，N，若，，則的最小值是()A. B. C. D.3．我國古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.如圖，大正方形是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，，E為的中點(diǎn)，則()A. B. C. D.4．設(shè)（a，b，）.已知關(guān)于x的方程有純虛數(shù)根，則關(guān)于x的方程的解的情況，下列描述正確的是()A.方程只有虛根解，其中兩個(gè)是純虛根B.可能方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根的解C.可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，兩個(gè)純虛數(shù)根D.可能方程沒有純虛數(shù)根的解5．已知復(fù)數(shù)，則()A.2022 B.2023 C.-2022 D.-20236．已知在直三棱柱中,E,F分別為,的中點(diǎn),,,,,如圖所示,若過A,E,F三點(diǎn)的平面作該直三棱柱的截面,則所得截面的面積為()A. B. C. D.7．如圖所示，在長方體中，底面ABCD是邊長為3的正方形，側(cè)棱，P為矩形上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，，三棱錐的體積的最大值記為，則下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是()A.為奇函數(shù) B.在上單調(diào)遞增C. D.8．已知平面向量,不共線,且,,記與的夾角是,則最大時(shí),()A.1 B. C. D.2二、多項(xiàng)選擇題9．已知邊長為1的正n邊形.若集合,則下列結(jié)論正確的有()A.當(dāng)時(shí), B.當(dāng)時(shí),C.當(dāng)時(shí), D.當(dāng)時(shí),10．對(duì)任意復(fù)數(shù)，，定義，其中是的共軛復(fù)數(shù)，對(duì)任意復(fù)數(shù)，，，下列命題為真命題的是()A. B.C. D.11．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，如圖是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的棱上，且此正方體的棱長為1，則下列關(guān)于該多面體的說法中正確的是()A.多面體有12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面B.多面體的表面積為3C.多面體的體積為D.多面體有外接球（即經(jīng)過多面體所有頂點(diǎn)的球）三、填空題12．已知O在內(nèi)，且，，則_________.13．已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則復(fù)數(shù)z的模的最小值為__________.14．在直四棱柱中，點(diǎn)E,F分別在上，且，點(diǎn)A,C到BD的距離之比為3：2，則三棱錐和的體積比=_____________.四、解答題15．已知在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足.(1)求角A；(2)若D點(diǎn)在線段上，且平分，若，且，求的面積.16．在中，且.（1）求A的大小；（2）求的最大值.17．在矩形所在平面內(nèi)，E為矩形外一點(diǎn)，且，，.（1）若，求的長度；（2）若（θ為鈍角），當(dāng)多邊形的面積最大時(shí)，求的值.18．已知復(fù)數(shù)，，并且，求的取值范圍.19．如圖，四邊形ABCD中，，，，，E，F(xiàn)分別在BC，AD上，，現(xiàn)將四邊形ABCD沿EF折起，使.（1）若，在折疊后的線段AD上是否存在一點(diǎn)P，使得平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.（2）求三棱錐的體積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)F到平面ACD的距離.

參考答案1．答案：A解析：.故選：A.2．答案：A解析：因?yàn)镸，D，N二點(diǎn)共線，所以可設(shè)，則.又，所以.又，，所以，所以，所以消去t得，所以.因?yàn)?，，得，得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選A.3．答案：A解析：如圖所示，過點(diǎn)E分別作，，分別交AB，AD于點(diǎn)M，N，則，，所以，，，，由已知得，則在中，，所以，，即，，所以，，即，，所以，故選A.4．答案：A解析：a，b，，，關(guān)于x的方程有純虛數(shù)根，設(shè)純虛數(shù)根為（，），則有，即，即有，，，，方程化為，方程有兩個(gè)純虛數(shù)根為，方程化為，整理得，于是得或，因此方程有兩個(gè)純虛數(shù)根，而方程中，，因此方程無實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)虛數(shù)根，不是純虛數(shù)根，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B，C，D均不正確.故選A.5．答案：B解析：，又因?yàn)殛P(guān)于x的方程的根為1，z，，…，而，故，令，可得，且2022為偶數(shù)，所以.故選B.6．答案：B解析:延長AF,且AF與相交于G,連接EG,并與相交于D,連接FD,則四邊形AEDF為所求的截面.在中,由,,得.在中,由,,得.因?yàn)镕為的中點(diǎn),所以由平面幾何知識(shí)可知,.所以,,即G為AG的中點(diǎn),所以.又由,可得,又,,所以.在中,由,,得,所以.所以在中,有,,,即,所以.又注意到,,則四邊形AEDF的面積為.故選:B.7．答案：D解析：由題意知，，.因?yàn)椋?又M為BC的中點(diǎn)，所以，即，即.在平面中，以DC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DC所在直線為x軸，DC的垂直平分線為y軸，以的方向?yàn)閤軸的正方向，的方向?yàn)閥軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)，則，整理得，易知當(dāng)時(shí)，取得最大值.若，則；若，則.又到平面PCD的距離為3，所以所以為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選D.8．答案：C解析：設(shè),則,,所以.易得,,當(dāng)時(shí),取得最小值,取得最大值,此時(shí).故選C.9．答案：BCD解析：對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng)時(shí),如下圖所示：則,,,同理可得,,,故時(shí),,A錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng),當(dāng)時(shí),如圖所示：,,,此時(shí),,B正確;對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng)時(shí),取的中點(diǎn)E,連接,則,如圖所示：易知正五邊形的每個(gè)內(nèi)角都為108°,則,故,則,由平面向量數(shù)量積的定義可得,故當(dāng)時(shí),,又,C對(duì);對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng)時(shí),設(shè)正六邊形的中心為O,如圖所示：易知正六邊形的每個(gè)內(nèi)角都為120°,則,故,所以,,,則,由正六邊形的幾何性質(zhì)可得,則,則,結(jié)合圖形可知,故,因此,當(dāng)時(shí),,D對(duì).故選：BCD.10．答案：AB解析：對(duì)于A，，則A為真命題；對(duì)于B，，則B為真命題；對(duì)于C，，而，則C為假命題；對(duì)于D，，而，則D為假命題.故選AB.11．答案：ACD解析：一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體有12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面，如圖，可將半正多面體補(bǔ)成棱長為1的正方體，故其頂點(diǎn)是正方體各棱的中點(diǎn).半正多面體的棱長為，表面積為，體積可看作正方體的體積減去八個(gè)三棱錐的體積，則.又因?yàn)檎襟w的中心到多面體各頂點(diǎn)的距離相等，所以有外接球，故選ACD.12．答案：解析：如圖，設(shè)BO的延長線與AC相交于D，則由，可得.設(shè)CO的延長線與AB相交于E，則由，可得.，O，D三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)m，使得.，O，E三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)n，使得，由平面向量基本定理得解得.，，，，故答案為.13．答案：解析：由可得，顯然不是方程的實(shí)數(shù)根，所以，即.若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則，，即復(fù)數(shù)z的實(shí)部為，虛部為，所以復(fù)數(shù)z的模，利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，所以復(fù)數(shù)z的模的最小值為.故答案為.14．答案：解析：15．答案：(1)(2)解析：(1)解：，由正弦定理得：，即，則，又在中，，，故，故.(2)由題可知，設(shè)，則，，，由正弦定理得：，，即，，解得，由余弦定理得，解得；又，故.由余弦定理得，即，解得，則，.的面積為.16．答案：(1).(2)取得最大值1.解析：(1)設(shè),則，，方程兩邊問乘以2R，，整理得，由余弦定理得，故.(2)由(1)得：.故當(dāng)時(shí)，取得最大值1.17．答案：(1).(2).解析：(1)在三角形中，根據(jù)正弦定理得，.，，，則，.(2)因?yàn)棣仁氢g角，所以點(diǎn)E在以為直徑的圓內(nèi)且在矩形外，所以多邊形是凸五邊形，又，在中，由余弦定理，，則矩形的面積，所以五邊形的面積，其中當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，S取得最大值，此時(shí)，，所以.18．答案：解析：由得，由復(fù)數(shù)相等的定義知，必有得..，，.故.19．答案：（1）存在（2）解析：（1）AD上存在一點(diǎn)P，使得平面ABEF，此時(shí)，理由如下：當(dāng)時(shí)，，如圖，