2024初中數(shù)學(xué)競賽八年級競賽輔導(dǎo)講義專題01 整式的乘除含答案

2024初中數(shù)學(xué)競賽八年級競賽輔導(dǎo)講義專題01整式的乘除閱讀與思考指數(shù)運算律是整式乘除的基礎(chǔ)，有以下5個公式：，，，，，．學(xué)習(xí)指數(shù)運算律應(yīng)注意：1．運算律成立的條件；2．運算律中字母的意義：既可以表示一個數(shù)，也可以表示一個單項式或者多項式；3．運算律的正向運用、逆向運用、綜合運用．多項式除以多項式是整式除法的延拓與發(fā)展，方法與多位數(shù)除以多位數(shù)的演算方法相似，基本步驟是：1．將被除式和除式按照某字母的降冪排列，如有缺項，要留空位；2．確定商式，豎式演算式，同類項上下對齊；3．演算到余式為零或余式的次數(shù)小于除式的次數(shù)為止．例題與求解【例1】（1）若為不等式的解，則的最小正整數(shù)的值為．（“華羅庚杯”香港中學(xué)競賽試題）（2）已知，那么．（“華杯賽”試題）（3）把展開后得，則．（“祖沖之杯”邀請賽試題）（4）若則．（創(chuàng)新杯訓(xùn)練試題）解題思路：對于（1），從冪的乘方逆用入手；對于（2），目前無法求值，可考慮高次多項式用低次多項式表示；對于（3），它是一個恒等式，即在允許取值范圍內(nèi)取任何一個值代入計算，故可考慮賦值法；對于（4），可考慮比較系數(shù)法．【例2】已知，，則等于（）A．2 B．1 C． D．（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：為指數(shù)，我們無法求出的值，而，所以只需求出的值或它們的關(guān)系，于是自然想到指數(shù)運算律．【例3】設(shè)都是正整數(shù)，并且，求的值．（江蘇省競賽試題）解題思路：設(shè)，這樣可用的式子表示，可用的式子表示，通過減少字母個數(shù)降低問題的難度．【例4】已知多項式，求的值．解題思路：等號左右兩邊的式子是恒等的，它們的對應(yīng)系數(shù)對應(yīng)相等，從而可考慮用比較系數(shù)法．【例5】是否存在常數(shù)使得能被整除？如果存在，求出的值，否則請說明理由．解題思路：由條件可推知商式是一個二次三項式（含待定系數(shù)），根據(jù)“被除式=除式×商式”，運用待定系數(shù)法求出的值，所謂是否存在，其實就是關(guān)于待定系數(shù)的方程組是否有解．【例6】已知多項式能被整除，求的值．（北京市競賽試題）解題思路：本題主要考查了待定系數(shù)法在因式分解中的應(yīng)用．本題關(guān)鍵是能夠通過分析得出當和時，原多項式的值均為0，從而求出的值．當然本題也有其他解法．能力訓(xùn)練A級1．（1）．（福州市中考試題）（2）若，則．（廣東省競賽試題）2．若，則．3．滿足的的最小正整數(shù)為．（武漢市選拔賽試題）4．都是正數(shù)，且，則中，最大的一個是．（“英才杯”競賽試題）5．探索規(guī)律：，個位數(shù)是3；，個位數(shù)是9；，個位數(shù)是7；，個位數(shù)是1；，個位數(shù)是3；，個位數(shù)是9；…那么的個位數(shù)字是，的個位數(shù)字是．（長沙市中考試題）6．已知，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．7．已知，那么從小到大的順序是（）A． B． C． D．（北京市“迎春杯”競賽試題）8．若，其中為整數(shù)，則與的數(shù)量關(guān)系為（）A． B． C． D．（江蘇省競賽試題）9．已知則的關(guān)系是（）A． B． C． D．（河北省競賽試題）10．化簡得（）A． B． C． D．11．已知，試求的值．12．已知．試確定的值．已知除以，其余數(shù)較被除所得的余數(shù)少2，求的值．（香港中學(xué)競賽試題）B級1．已知則=．2．（1）計算：=．（第16屆“希望杯”邀請競賽試題）（2）如果，那么．（青少年數(shù)學(xué)周“宗滬杯”競賽試題）3．（1）與的大小關(guān)系是（填“＞”“＜”“＝”）．（2）與的大小關(guān)系是：（填“＞”“＜”“＝”）．4．如果則=．（“希望杯”邀請賽試題）5．已知，則．（“五羊杯”競賽試題）6．已知均為不等于1的正數(shù)，且則的值為（）A．3 B．2 C．1 D．（“CASIO杯”武漢市競賽試題）7．若，則的值是（）A．1 B．0 C．—1 D．28．如果有兩個因式和，則（）A．7 B．8 C．15 D．21 （奧賽培訓(xùn)試題）9．已知均為正數(shù)，又，，則與的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．關(guān)系不確定10．滿足的整數(shù)有（）個A．1 B．2 C．3 D．411．設(shè)滿足求的值．12．若為整數(shù)，且，，求的值．（美國猶他州競賽試題）13．已知為有理數(shù)，且多項式能夠被整除．（1）求的值；（2）求的值；（3）若為整數(shù)，且．試比較的大小．（四川省競賽試題）專題01整式的乘除例1(1)(n2)100＞(63)100，n2＞216，n的最小值為15．(2)原式＝x2(x2＋x)＋x(x2＋x)－2(x2＋x)＋2005＝x2＋x－2＋2005＝2004(3)令x＝1時，a12＋a11＋a10＋…＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1時，a12–a11＋al0－…＋n2－al＋a0＝729②由①＋②得：2(a12＋al0＋a8＋…＋a2＋a0)＝730．∴a12＋a10＋a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝365．(4)所有式子的值為x3項的系數(shù)，故其值為7．例2B提示：25xy＝2000y，①80xy＝2000x，②①×②，得：(25×80)xy＝2000x＋y，得：x＋y＝xy．例3設(shè)a＝m4，b＝m5，c＝n2，d＝n3，由c－a＝19得，n2－m4＝19，即(n＋m2)(n－m2)＝19，因19是質(zhì)數(shù)，n＋m2，n－m2是自然數(shù)，且n＋m2＞n－m2，得EQ\B\lc\{(\a\al(n＋m\S(2)＝19,n－m\S(2)＝1))，解得n＝10，m＝3，所以d－b＝103－35＝757例4－EQ\F(7,8)提示：由題意知：2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6＝2x2＋3xy－2y2＋(2m＋n)x＋(2n－m)y＋mn．∴EQ\B\lc\{(\a\al(2m＋n＝－1,2n－m＝8,mn＝－6))，解得EQ\B\lc\{(\a\al(m＝－2,n＝3))，∴EQ\F(m\S(3)＋1,n\S(2)－1)＝－EQ\F(7,8)倒5提示：假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的p，q值，設(shè)(x4＋px2＋q)＝(x2＋2x＋5)(x2＋mx＋n)，即x4＋px2＋q＝x4＋(m＋2)x3＋(5＋n＋2m)x2＋(2n＋5m)x＋5n，得EQ\B\lc\{(\a\al(m＋2＝0,5＋n＋2m＝p,2n＋5m＝0,5n＝q))，解得EQ\B\lc\{(\a\al(m＝－2,n＝5,p＝6,q＝25))，故存在常數(shù)p，q且p＝6，q＝25，使得x4＋px2＋q能被x2＋2x＋5整除．例6解法1∵x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，∴2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被(x＋2)(x－1)整除，設(shè)商是A．則2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝A(x＋2)(x－l)，則x＝－2和x＝1時，右邊都等于0，所以左邊也等于0．當x＝－2時，2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝32＋24＋4a－14＋b＝4a＋b＋42＝0，①當x＝1時，2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝2－3＋a＋7＋b＝a＋b＋6＝0．②①－②，得3a＋36＝0，∴a＝－12，∴b＝－6－a＝6．∴EQ\F(a,b)＝EQ\F(－12,6)＝－2解法2列豎式演算，根據(jù)整除的意義解∵2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被x2＋x－2整除，∴EQ\B\lc\{(\a\al(－12－a＝0,b＋2(a＋9)＝0))，即EQ\B\lc\{(\a\al(a＝－12,b＝6))，∴EQ\F(a,b)＝－2A級1．(1)－5(2)532．83．74．65．796．A7．D提示：a＝(25)11，b－(34)11，c＝(53)11，d＝(62)118．A9．B10．C11．480012．a(chǎn)＝4．b＝4，c＝113．提示：令x3＋kx2＋3＝(x＋3)(x2＋ax＋6)＋r1，x3＋kx2＋3＝(x＋1)(x2＋cx＋d)＋r2，令x＝－3，得r1＝9k－24．令x＝－1，得r2＝k＋2，由9k－24＋2＝k＋2，得k＝3．B級1．EQ\F(189,125)2．(1)EQ\F(9,49)提示：原式＝EQ(\F(7,3))\S\UP6(1998)×EQ\F(3\S\UP6(2000)(1＋5\S\UP6(2000)),7\S\UP6(2000)(1＋5\S\UP6(2000)))＝EQ(\F(7,3))\S\UP6(1998)×EQ(\F(3,7))\S\UP6(2000)＝EQ\F(9,49)(2)123．(1)＜1516＜1615＝264，3313＞3213＝265＞264．(2)＞提示：設(shè)32000＝x．4．45．512提示：令x＝±2．6．C提示：由條件得a＝c－3，b＝c2，abc＝c－3·c2·c＝17．C8．D9．C提示：設(shè)a2＋a3＋…a1996＝x，則M＝（a1＋x）(x＋a1997)＝a1x＋x2＋a1a1997＋a1997x．N＝(a1＋x＋a1997)x＝alx＋x2＋a1997x．M＝N＝a1a1997＞0．10．D11．由ax2＋by2＝7，得(ax2＋by2)(x＋y)＝7(x＋y)，即ax3－ax2y＋bxy2＋by3＝7(x＋y)，(ax3＋by3)－xy(ax＋by)－7(x＋y)．∴16＋3xy＝7(x＋y)．①由ax3＋by3＝16，得(ax3＋by3)(x＋y)＝16(x＋y)，即ax4＋ax3y＋bxy3＋by4＝16(x＋y)，（ax4＋by4)＋xy(a＋b)＝16(x＋y）．∴42＋7xy＝16(x＋y）．②由①②可得，x＋y＝－14，xy＝－38．由a＋b＝42，得（a＋b）（x＋y）＝42×（－14），（a＋b）＋xy（a＋b）＝－588，＋16×（－38）＝－588．故＝20．12．兩邊同乘以8得＋＋＋＝165．∵x＞y＞z＞w且為整數(shù)，∴x＋3＞y＋3＞z＋3＞w＋3，且為整數(shù)．∵165是奇數(shù)，∴w＋3＝0，∴w＝－3．∴＋＋＝164．∴＋＋＝41，∴z＋1＝0，∴z＝－1．∴＋＝40．兩邊都除以8得：＋＝5．∴y－2＝0，∴y＝2．∴＝4．∴x－2＝2，∴x＝4．∴＝＝1．13．（1）∵（x－1）（x＋4)＝＋3x－4，令x－1＝0，得x＝1；令x＋4＝0，得x＝－4．當x＝1時，得1＋a＋b＋c＝0；①當x＝－4時，得－64＋16a－4b＋c＝0．②②－①，得15a－5b＝65，即3a－b＝13．③①＋③，得4a＋c＝12．（2）③－①，得2a－2b－c＝14．（3）∵c≥a＞1，4a＋c＝12，a，b，c為整數(shù)，∴1＜a≤，則a＝2，c＝4．又a＋b＋c＝－1，∴b＝－7，．∴c＞a＞b．專題02乘法公式閱讀與思考乘法公式是多項式相乘得出的既有特殊性、又有實用性的具體結(jié)論，在整式的乘除、數(shù)值計算、代數(shù)式的化簡求值、代數(shù)式的證明等方面有廣泛的應(yīng)用，學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意：1．熟悉每個公式的結(jié)構(gòu)特征；2．正用即根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，模仿公式進行直接的簡單的套用；3．逆用即將公式反過來逆向使用；4．變用即能將公式變換形式使用；5．活用即根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探索規(guī)律，創(chuàng)造條件連續(xù)綜合運用公式．例題與求解【例1】1，2，3，…，98共98個自然數(shù)中，能夠表示成兩個整數(shù)的平方差的個數(shù)是．（全國初中數(shù)字聯(lián)賽試題）解題思路：因，而的奇偶性相同，故能表示成兩個整數(shù)的平方差的數(shù)，要么為奇數(shù)，要么能被4整除．【例2】（1）已知滿足等式，則的大小關(guān)系是() B． C． D． （山西省太原市競賽試題）（2）已知滿足，則的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5 （河北省競賽試題）解題思路：對于（1），作差比較的大小，解題的關(guān)鍵是逆用完全平方公式，揭示式子的非負性；對于（2），由條件等式聯(lián)想到完全平方式，解題的切入點是整體考慮．【例3】計算下列各題：（1）； （天津市競賽試題）（2）； （“希望杯”邀請賽試題）（3）．解題思路：若按部就班運算，顯然較繁，能否用乘法公式簡化計算過程，關(guān)鍵是對待求式恰當變形，使之符合乘法公式的結(jié)構(gòu)特征．【例4】設(shè)，求的值．（西安市競賽試題）解題思路：由常用公式不能直接求出的結(jié)構(gòu)，必須把表示相關(guān)多項式的運算形式，而這些多項式的值由常用公式易求出其結(jié)果．【例5】觀察：（1）請寫出一個具有普遍性的結(jié)論，并給出證明；（2）根據(jù)（1），計算的結(jié)果（用一個最簡式子表示）．（黃岡市競賽試題）解題思路：從特殊情況入手，觀察找規(guī)律．【例6】設(shè)滿足求：（1）的值；（2）的值．（江蘇省競賽試題）解題思路：本題可運用公式解答，要牢記乘法公式，并靈活運用．能力訓(xùn)練A級1．已知是一個多項式的平方，則．（廣東省中考試題）2．數(shù)能被30以內(nèi)的兩位偶數(shù)整除的是．3．已知那么．（天津市競賽試題）4．若則．5．已知滿足則的值為．（河北省競賽試題）6．若滿足則等于．7．等于（）A． B． C． D．8．若，則的值是（）A．正數(shù) B．負數(shù) C．非負數(shù) D．可正可負9．若則的值是（）A．4 B．19922 C．21992 D．41992 （“希望杯”邀請賽試題）10．某校舉行春季運動會時，由若干名同學(xué)組成一個8列的長方形隊列．如果原隊列中增加120人，就能組成一個正方形隊列；如果原隊列中減少120人，也能組成一個正方形隊列．問原長方形隊列有多少名同學(xué)？ （“CASIO”杯全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）11．設(shè)，證明：是37的倍數(shù)．（“希望杯”邀請賽試題）12．觀察下面各式的規(guī)律：寫出第2003行和第行的式子，并證明你的結(jié)論．B級1．展開式中的系數(shù)，當1，2，3…時可以寫成“楊輝三角”的形式（如下圖），借助“楊輝三角”求出的值為．（《學(xué)習(xí)報》公開賽試題）11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1… … … … … … …3913第2題圖如圖，立方體的每一個面上都有一個自然數(shù)，已知相對的兩個面上的兩數(shù)之和都相等，如果13，9，3的對面的數(shù)分別為，則的值為．（天津市競賽試題）3．已知滿足等式則．4．一個正整數(shù)，若分別加上100與168，則可得兩到完全平方數(shù)，這個正整數(shù)為．（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）5．已知，則多項式的值為（）A．0 B．1 C．2 D．36．把2009表示成兩個整數(shù)的平方差的形式，則不同的表示法有（）A．16種 B．14種 C．12種 D．10種 （北京市競賽試題）7．若正整數(shù)滿足，則這樣的正整數(shù)對的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4 （山東省競賽試題）8．已知，則的值是（）A．3 B．9 C．27 D．81（“希望杯”邀請賽試題）9．滿足等式的整數(shù)對是否存在？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．數(shù)碼不同的兩位數(shù)，將其數(shù)碼順序交換后，得到一個新的兩位數(shù)，這兩個兩位數(shù)的平方差是完全平方數(shù)，求所有這樣的兩位數(shù)．（天津市競賽試題）11．若，且，求證：．如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”，如因此4，12，20這三個數(shù)都是神秘數(shù)．（1）28和2012這兩個數(shù)是神秘數(shù)嗎？為什么？（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為和（其中取非負整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？（3）兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（取正值）是神秘數(shù)嗎？為什么？（浙江省中考試題）專題02乘法公式例173提示：滿足條件的整數(shù)是奇數(shù)或是4的倍數(shù)．例2（1）Bx－y＝（＋4a＋a）＋（－8b＋16）＝＋≥0，x≥y．（2）B3個等式相加得：＋＋＝0，a＝3，b＝－1，c＝1．a(chǎn)＋b＋c＝3－1＋1＝3．例3（1）（2）4（3）－5050例4提示：由a＋b＝1，＋＝2得ab＝－，利用＋＝（＋）（a＋b)－ab(＋)可分別求得＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝．例5（1）設(shè)n為自然數(shù)，則n（n＋1)(n＋2)(n＋3）＋1＝（2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝．例6（1）設(shè)－②，得ab＋bc＋ac＝，∵－3abc＝（a＋b＋c）（－ab－bc－ac），∴abc＝（）－（a＋b＋c）（－ab－bc－ac）＝×3－×1×（2＋）＝．（2）將②式兩邊平方，得∴＝4－2＝4－2＝．A級1．0或62．26，283．24．405．346．07．D8．A9．C原有136或904名學(xué)生．設(shè)m，n均為正整數(shù)，且m＞n，①－②得（m＋n）（m－n）＝240＝．，都是8的倍數(shù)，則m，n能被4整除，m＋n，m－n均能被4整除．得或，∴或8x＝－120＝904或8x＝－120＝136．因為a＝＋－2＝（－1）＋（－1）＝999999999＋37×（＋38＋1），而999999999＝9×111111111＝9×3×37037037＝27×37×1001001＝37×（27×1001001）．所以37|999999999，且37|37×（＋38＋1），因此a是37的倍數(shù)．第2003行式子為：＝．第n行式子為：＝．證明略B級1．1．0942．76提示：由13＋a＝9＋b＝3＋c得a－b＝－4，b－c＝－6，c－a＝103．134．1565．DC提示：（x＋y）（x－y）＝2009＝7×7×41有6個正因數(shù)，分別是1，7，41，49，287和2009，因此對應(yīng)的方程組為：故（x，y）共有12組不同的表示．7．B8．C9．提示：不存在符合條件的整數(shù)對（m，n），因為1954不能被4整除．10．設(shè)所求兩位數(shù)為，由已知得＝（k 為整數(shù)），得而得或 解得或，即所求兩位數(shù)為65，5611.設(shè),則由得=3\*GB3③ =2\*GB3②=3\*GB3③,得,即或 分別與聯(lián)立解得或 12.(1),故28和2012都是神秘數(shù) （2）為4的倍數(shù) （3）神秘數(shù)是4的倍數(shù)，但一定不是8的倍數(shù).,故兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不 是神秘數(shù)專題3和差化積----因式分解的方法（1）閱讀與思考提公因式、公式法、十字相乘法、分組分解法是因式分解的基本方法，通常根據(jù)多項式的項數(shù)來選擇分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必須進行到每一個因式都不能再分解為止．一些復(fù)雜的因式分解問題經(jīng)常用到以下重要方法：1．換元法：對一些數(shù)、式結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的多項式，可把多項式中的某些部分看成一個整體，用一個新字母代替，從而可達到化繁為簡的目的．從換元的形式看，換元時有常值代換、式的代換；從引元的個數(shù)看，換元時有一元代換、二元代換等．2．拆、添項法：拆項即把代數(shù)式中的某項拆成兩項的和或差，添項即把代數(shù)式添上兩個符號相反的項，因式分解中進行拆項與添項的目的是相同的，即經(jīng)過拆項或添項后，多項式能恰當分組，從而可以運用分組分解法分解．例題與求解【例l】分解因式___________．（浙江省中考題）解題思路：把看成一個整體，用一個新字母代換，從而簡化式子的結(jié)構(gòu)．【例2】觀察下列因式分解的過程：（1）；原式＝；（2）．原式＝．第（1）題分組后能直接提公因式，第（2）題分組后能直接運用公式．仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：（1）；（西寧市中考試題）（2）．（臨沂市中考試題）解題思路：通過分組，使每一組分組因式后，整體能再分解，恰當分組是關(guān)鍵，經(jīng)歷“實驗－－失敗－－再試驗－－再失?。敝脸晒Α钡倪^程．【例3】分解因式（1）；（重慶市競賽題）（2）；（“縉云杯”邀請賽試題）（3）．（“五羊杯”競賽試題）解題思路：（1）式中系數(shù)較大，直接分解有困難，不妨把數(shù)字用字母來表示；（2）式中、反復(fù)出現(xiàn)，可用兩個新字母代替，突出式子的特點；（3）式中前兩項與后一項有密切聯(lián)系．【例4】把多項式因式分解后，正確的結(jié)果是（ ）．A．B．C．D．（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：直接分組分解困難，可考慮先將常數(shù)項拆成幾個數(shù)的代數(shù)和，比如－3＝－4＋1．【例5】分解因式：（1）；（揚州市競賽題）（2）；（請給出多種解法）（“祖沖之杯”邀請賽試題）（3）．解題思路：按次數(shù)添上相應(yīng)的項或按系數(shù)拆項法分解因式的基本策略．【例6】分解因式：．（河南省競賽試題）解題思路：拆哪一項？怎樣拆？可有不同的解法．能力訓(xùn)練A級1．分解因式：（1）＝___________________________．（泰安市中考試題）（2）＝__________________________．（威海市中考試題）2．分解因式：（1）＝_________________________；（2）＝_____________________________．3．分解因式：＝____________________________．4．多項式與多項式的公因式是____________________．5．在1~100之間若存在整數(shù)，使能分解為兩個整系數(shù)一次式的乘積，這樣的有_______個．6．將多項式分解因式的積，結(jié)果是（ ）．A．B．C．D．7．下列各式分解因式后，可表示為一次因式乘積的是（ ）．A．B．C．D．（“希望杯”邀請賽試題）8．把分解因式，其中一個因式是（）．A．B．C．D．9．多項式有因式（ ）．A．B．C．D．（“五羊杯”競賽試題）10．已知二次三項式可分解成兩個整系數(shù)的一次因式的積，那么（ ）．A．一定是奇數(shù)B．一定是偶數(shù)C．可為奇數(shù)也可為偶數(shù)D．一定是負數(shù)11．分解因式：（1）；（2）；（3）；（“祖沖之杯”邀請賽試題）（4）；（重慶市競賽試題）（5）；（6）．12．先化簡，在求值：，其中，．B級1．分解因式：＝_______________．（重慶市競賽試題）2．分解因式：＝_____________．（“五羊杯”競賽試題）3．分解因式：＝_________________________．