2024初中數(shù)學(xué)競賽七年級競賽輔導(dǎo)講義專題16 不等式含答案

2024初中數(shù)學(xué)競賽七年級競賽輔導(dǎo)講義專題16不等式（組）閱讀與思考客觀世界與實際生活既存在許多相等關(guān)系，又包含大量的不等關(guān)系，方程（組）是研究相等關(guān)系的重要手段，不等式（組）是探求不等關(guān)系的基本工具，方程與不等式既有相似點，又有不同之處，主要體現(xiàn)在：1.解一元一次不等式與解一元一次方程類似，但解題時要注意兩者之間的重要區(qū)別；等式兩邊都乘（或除）以同一個數(shù)時，只要考慮這個數(shù)是否為零，而不等式兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)時，不但要考慮這個數(shù)是否為零，而且還要考慮這個數(shù)的正負性.2.解不等式組與解方程組的主要區(qū)別是：解方程組時，我們可以對幾個方程進行“代入”或“加減”式的加工，但在解不等組時，我們只能對某個不等式進行變形，分別求出每個不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地說，解方程組時，可以“統(tǒng)一思想”，而解不等式組時只能“分而治之”.例題與求解【例1】已知關(guān)于的不等式組恰好有5個整數(shù)解，則t的取值范圍是（）A、B、C、D、(2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽廣東省試題）解題思路：把的解集用含t的式子表示，根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)軸分析t的取值范圍.【例2】如果關(guān)于的不等式那么關(guān)于的不等式的解集為.（黑龍江省哈爾濱市競賽試題）解題思路：從已知條件出發(fā)，解關(guān)于的不等式，求出m，n的值或m，n的關(guān)系.【例3】已知方程組若方程組有非負整數(shù)解，求正整數(shù)m的值.（天津市競賽試題）解題思路：解關(guān)于，y的方程組，建立關(guān)于m的不等式組，求出m的取值范圍.【例4】已知三個非負數(shù)a，b，c滿足3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，求m的最大值和最小值.（江蘇省競賽試題）解題思路：本例綜合了方程組、不等式（組）的知識，解題的關(guān)鍵是用含一個字母的代數(shù)式表示m，通過解不等式組，確定這個字母的取值范圍，在約束條件下，求m的最大值與最小值.【例6】設(shè)是自然數(shù)，，，，求的最大值.（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，尋找解題突破口.【例6】已知實數(shù)a，b滿足且a－2b有最大值，求8a＋2003b的值.解題思路：解法一：已知a－b的范圍，需知－b的范圍，即可知a－2b的最大值得情形.解法二：設(shè)a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b)＝（m＋n)a＋（m－n)b能力訓(xùn)練A級已知關(guān)于x的不等式那么m的值是（“希望杯”邀請賽試題）2、不等式組的解集是，那么a＋b的值為（湖北省武漢市競賽試題）若a＋b＜0，ab＜0，a＜b，則的大小關(guān)系用不等式表示為（湖北省武漢市競賽試題）4、若方程組的解x，y都是正數(shù)，則m的取值范圍是（河南省中考試題）關(guān)于x的不等式的解集為，則a應(yīng)滿足（）A、a＞1B、a＜1C、D、(2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題）適合不等式的x的取值的范圍是（）已知不等式的解集那么m等于（）A、B、C、3D、－3已知，下面給出4個結(jié)論：①；②；③④，其中，一定成立的結(jié)論有（）A、1個B、2個C、3個D、4個（江蘇省競賽試題）9、當(dāng)k為何整數(shù)值時，方程組有正整數(shù)解？（天津市競賽試題）10、如果是關(guān)于x，y的方程的解，求不等式組的解集11、已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解有且僅有4個：－1，0，1，2那么，適合這個不等式組的所有可能的整數(shù)對（a，b）共有多少個？（江蘇省競賽試題）B級如果關(guān)于x的不等式的正整數(shù)解為1，2，3那么的取值范圍是（北京市”迎春杯“競賽試題）若不等式組有解，則的取值范圍是___________.（海南省競賽試題）3、已知不等式只有三個正整數(shù)解，那么這時正數(shù)a的取值范圍為.（”希望杯“邀請賽試題）已知則的取值范圍為.(“新知杯”上海市競賽試題）5、若正數(shù)a，b，c滿足不等式組，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A、a＜b＜cB、b＜c＜aC、c＜a＜bD、不確定（“祖沖之杯”邀請賽試題）一共（）個整數(shù)x適合不等式A、10000B、20000C、9999D、80000（五羊杯“競賽試題）已知m，n是整數(shù)，3m＋2＝5n＋3，且3m＋2＞30，5n＋3＜40，則mn的值是（）A、70B、72C、77D、84不等式的解集為（）B、C、D、（山東省競賽試題）的最大值和最小值.（北京市”迎春杯”競賽試題）已知x，y，z是三個非負有理數(shù)，且滿足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2，若s＝2x＋y－z，求s的取值范圍.（天津市競賽試題）求滿足下列條件的最小正整數(shù)n，對于n存在正整數(shù)k使成立.已知正整數(shù)a，b，c滿足a＜b＜c，且，試求a，b，c的值.專題16不等式（組）例1C提示：解不等式組得，則5個整數(shù)解為x＝19，18，17，16，15.結(jié)合數(shù)軸分析，應(yīng)滿足14≤3－2t＜15，故－6＜t≤.例2提示：，，，，.例3或提示：解方程組得，由得－1≤m≤0例4提示：由已知條件得,解得,m=3c－2.由得,解得,故m的最大值為,最小值為例5先用x1和x2表示x3,x4，…，x7,得,因此x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=2010.于是得.因為x2是自然數(shù),所以是整數(shù)，所以x1是10的奇數(shù)倍.又因為x1＜x2，故有三組解:x1=10,x2=94,或x1=30,x2=81,或x1=50,x2=68.因此x1+x2的最大值為50+68=118,所以x1+x2+x3的最大值為2(x1+x2)=2×118=236.例6解法一：∵0≤a－b≤1①，1≤a+b≤4②，由②知－4≤－a－b≤－1③，①+③得－4≤－2b≤0，即－2≤－b≤0④，①+④得－2≤a－2b≤1要使a—2b最大，只有a－b=1且－b=0.∴a=1且b=0，此時8a+2003b=8.解法二：設(shè)a－2b=m(a+b)+n(a－b)=(m+n)a+(m－n)b,知,解得.而,,∴a－2b=+∴－2≤a－2b≤1當(dāng)a—2b最大時，a+b=1，a－b=1∴b=0，a=1，此時8a+2003b=8.A級1.2.11. 1提示:原不等式組變形為由解集是0＜x＜2知,解得故a+b=2+(－1)=13.a＜－b＜b＜－a4.＜m＜75.B提示：由ax+3a＞3+x,得(a－1)(x+3)＞0,.由不等式的解集為x＜－3知x+3＜0,所以a－1＜0,得a＜1.6.C7.B8.C9.k=2或3.10. 提示：由非負數(shù)性質(zhì)求得a=2,b=5,原不等式組的解集為x＜－3.11.原不等式組等價于,因為該不等式組的整數(shù)解一1，0，1，2不是對稱地出現(xiàn)，所以其解不可能是必有，由整數(shù)解的情況可知,得a=－5,－4,－3;b=5,6.故整數(shù)對(a,b)共有2×3=6對.B級1.提示:由題意可知:.由正整數(shù)解為1,2,3知,解得2.a≥－1提示:原不等式組變形為由不等式組有解知－a≤1,故a≥－13.9≤a＜124.5.B提示:原不等式組變形為,,.6.C示：若x≥2000，則(x－2000)+x≤9999，即2000≤x≤5999,共有4000個整數(shù);若0≤x＜2000,則(x－2000)+x≤9999.2000≤9999，恒成立，又有2000個整數(shù)適合若x＜0，則2000－x+(－x)≤9999即－3999.5≤x＜0，共有3999個整數(shù)適合，故一共有4000+2000+3999=9999個整數(shù)適合.7.D8.C提示:由原不等式得x2＞(x+5)29.提示：解不等式，得,原式=,從而知最大值為4，最小值為10.提示：s=x+2，2≤s≤311.提示:由,得，即.又n與k是都是正整數(shù)，顯然n＞8，當(dāng)n取9,10,11,12,13,14時，k都取不到整數(shù).當(dāng)n=15時,,即此時是k=13故滿足條件的最小正整數(shù)n=15,k=13.12.由得，故，即，又因為，故a=2，從而有，又，則，即b＜4，又b＞a=2，得b=3，從而得c=6，故a=2，b=3,c=6即為所求.專題17不等式(組)的應(yīng)用閱讀與思考許多數(shù)學(xué)問題和實際問題所求的未知量往往受到一些條件的限制，可以通過數(shù)量關(guān)系和分析，列出不等式(組)，運用不等式的有關(guān)知識予以求解，不等式(組)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在：1．作差或作商比較有理數(shù)的大?。?．求代數(shù)式的取值范圍．3．求代數(shù)式的最大值或最小值．4．列不等式(組)解應(yīng)用題．列不等式(組)解應(yīng)用題與列方程(組)解應(yīng)用題的步驟相仿，關(guān)鍵是在理解題意的基礎(chǔ)上，將一些詞語轉(zhuǎn)化為不等式．如“不大于”“不小于”“正數(shù)”“負數(shù)”“非正數(shù)”“非負數(shù)”等對應(yīng)不等號：“≤”“≥”“＞0”“＜0”“≤0”“≥0”．例題與求解【例1】如果關(guān)于的方程只有負根，那么的取值范圍是_________．(遼寧省大連市“育英杯”競賽試題)解題思路：由＜0建立關(guān)于的不等式．【例2】已知A＝，B＝，C＝，則有()．A．A＞B＞CB．C＞B＞AC．B＞A＞CD．B＞C＞A(浙江省紹興市競賽試題)解題思路：當(dāng)作差比較困難時，不妨考慮作商比較【例3】已知，，，，，，是彼此不相等的正整數(shù)，它們的和等于159，求其中最小數(shù)的最大值．(北京市競賽試題)解題思路：設(shè)＜＜＜···＜，則+++···+＝159，解題的關(guān)鍵是怎樣把多元等式轉(zhuǎn)化為只含的不等式．【例4】一玩具廠用于生產(chǎn)的全部勞力為450個工時，原料為400個單位，生產(chǎn)一個小熊玩具要使用15個工時、20個單位的原料，售價為80元；生產(chǎn)一個小貓玩具要使用10個工時、5個單位的原料，售價為45元．在勞力和原料的限制下合理安排生產(chǎn)小熊玩具、小貓玩具的個數(shù)，可以使小熊玩具和小貓玩具的總售價盡可能高．請用你所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識分析，總售價是否可能達到2200元．(“希望杯”邀請賽試題)解題思路：列不等式的關(guān)鍵是勞力限制在450個工時，原料限制為400個單位．引入字母，把方程和不等式結(jié)合起來分析．【例5】某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分，2分，5分的硬幣，他要求硬幣總數(shù)為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣多于2分的硬幣，請你據(jù)此設(shè)計兌換方案．(河北省競賽試題)解題思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合組，把解方程組、解不等式組結(jié)合起來．【例6】已知，皆為自然數(shù)，且1＜＜．若，．求的值．(香港中學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)解題思路：此題可理解為在個連續(xù)自然數(shù)中去除其中一個數(shù)(且1＜＜，是非兩頭的兩個數(shù))，使剩余的數(shù)的平均數(shù)等于10，求和之和。能力訓(xùn)練A級1.若方程的解小于零，則的取值范圍是___________．2.若方程組的解為，，且2＜＜4，則－的取值范圍是___________．（山東省聊城市中考試題）3.，，，是正整數(shù)，且＋＝20，＋＝24，＋＝22，設(shè)＋＋＋的最大值為M，最小值為N，則M－N＝_________．（重慶市競賽試題）4．一輛公共汽車上有名乘客，到某一車站時有名乘客下車，則車上原有______________名乘客．（吉林省長春市中考試題）5．一個盒子里裝有紅、黃、白三種顏色的球，若白球至多是黃球的，且至少是紅球的，黃球與白球合起來不多于55個，則盒子中至多有紅球__________個．(河北省競賽試題)6．若，且≥2，則()A．有最小值B．有最大值1C．有最大值2D．有最小值(浙江省杭州市中考題)7．設(shè)，，則P，Q的大小關(guān)系是（）．A．P＞QB．P＜QC．P＝QD．不能確定8．小芳和爸爸、媽媽三人玩蹺蹺板，三人的體重一共為150千克，爸爸坐在蹺蹺板的一端，體重只有媽媽一半的小芳和媽媽一同坐在蹺蹺板的另一端，這時，爸爸的那一端仍然著地，請你猜一猜小芳的體重應(yīng)小于()A．49千克B．50千克C．24千克D．25千克(山東省煙臺市中考試題)9．中國第三屆京劇藝術(shù)節(jié)在南京舉行，某場京劇演出的票價有2元到100元多種，某團體需購買票價6元和10元的票共140張，其中票價為10元的票數(shù)不少于票價為6元的票數(shù)的2倍．問這兩種票各購買多少張所需的錢最少?最少需要多少錢?(江蘇省競賽試題)10．某港受潮汐的影響，近日每天24小時港內(nèi)的水深變化大體如圖所示：一艘貨輪于上午7時在該港碼頭開始卸貨，計劃當(dāng)天卸完貨后離港．已知這艘貨輪卸完貨后吃水深度為2.5m(吃水深度即船底與水面的距離)．該港口規(guī)定：為保證航行安全，只有當(dāng)船底與港內(nèi)水底間的距離不少于3.5m時，才能進出該港．根據(jù)題目中所給的條件，回答下列問題：(1)要使該船能在當(dāng)天卸完貨并安全出港，則出港時水深不能少于_______m，卸貨最多只能用______小時；(2)已知該船裝有1200噸貨，先由甲裝卸隊單獨卸，每小時卸180噸，工作了一段時間后，交由乙隊接著單獨卸，每小時卸120噸．如果要保證該船能在當(dāng)天卸完貨并安全出港，則甲隊至少應(yīng)該工作幾小時，才能交給乙隊接著卸？（江蘇省蘇州市中考試題）B級1．設(shè)，，，都是整數(shù)，且＜3，＜5，＜7，＜30，那么的最大可能值為_______．（“新世紀(jì)杯”數(shù)學(xué)競賽試題）2．某賓館底樓客房比二樓少5間，某旅游團有48人，若全安排住底樓，每間住4人，房間不夠；每間住5人，有房間沒有住滿5人．又若全安排在二樓，每間住3人，房間不夠；每間住4人，有房間沒有住滿4人，該賓館底樓有客房___________間．3．已知＜0，滿足不等式，那么的取值范圍是___________．4．若，滿足，S＝，則S的取值范圍是__________．(廣西競賽試題)5．已知，，，…，是彼此互不相等的負數(shù)，且M＝(＋＋…＋)(＋＋…＋)，N＝(＋＋…＋)(＋＋…＋)，那么M與N的大小關(guān)系是()A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．無法確定(江蘇省競賽試題)6．某出版社計劃出版一套百科全書，固定成本為8萬元，每印刷一套增加成本20元．如果每套書定價100元，賣出后有3成收入給經(jīng)銷商，出版社要盈利10％，那么該書至少要發(fā)行()套．A．2000B．3000C．4000D．5000(“希望杯”邀請賽試題)7．今有濃度為5％，8％，9％的甲、乙、丙三種鹽水分別為60克，60克，47克，現(xiàn)要配制濃度為7％的鹽水100克，問甲種鹽水最多可用多少克?最少可用多少克?(北京市競賽試題)8．為了迎接世界杯足球賽的到來，某足球協(xié)會舉辦了一次足球聯(lián)賽，其記分規(guī)則與獎勵方案如下表：勝一場平一場負一場積分310獎金（元/人）15007000當(dāng)比賽進行到第12輪結(jié)束(每隊均需比賽12場)時，A隊共積19分．(1)請通過計算，判斷A隊勝、平、負各幾場．(2)若每賽一場，每名參賽隊員均得出場費500元．設(shè)A隊其中一名參賽隊員所得的獎金與出場費的和為W(元)，試求W的最大值。(黑龍江省中考試題)9．為實現(xiàn)區(qū)域教育均衡發(fā)展，我市計劃對某縣A，B兩類薄弱學(xué)校全部進行改造．根據(jù)預(yù)算，共需資金1575萬元，改造一所A類學(xué)校和兩所．B類學(xué)校共需資金230萬元；改造兩所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校共需資金205萬元．(1)改造一所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校所需的資金分別是多少萬元?(2)若該縣的A類學(xué)校不超過5所，則B類學(xué)校至少有多少所?(3)我市計劃今年對該縣A，B兩類學(xué)校共6所進行改造，改造資金由國家財政和地方財政共同承擔(dān)，若今年國家財政撥付的改造資金不超過400萬元；地方財政投入的改造資金不少于70萬元，其中地方財政投入到A，B兩類學(xué)校的改造資金分別為每所10萬元和15萬元，請你通過計算求出有幾種改造方案．(湖北省襄樊市中考試題)10．設(shè)，，…，是整數(shù)，且滿足下列條件：(1)－l≤≤2(＝1，2，…，2008)；(2)；(3)．求的最大值和最小值．(“宗滬杯”競賽試題)專題17不等式（組）的應(yīng)用-1＜m＜1例2A例3設(shè)，因a1，a2，…a7為正整數(shù)，故，，，，，，上面不等式相加，得，，故的最大值為19.設(shè)小熊玩具和小貓玩具的個數(shù)分別為x、y，總售價為z，則當(dāng)總售價z=2200元時，則為，即解得，故x=14.當(dāng)x=14時，y=24，z=80×14+45×24=2200元，故安排生產(chǎn)小熊玩具14個，小貓玩具24個可達到總售價2200元.提示：設(shè)兌換成的1分，2分，5分硬幣分別為x枚，y枚，z枚，則解得，故z=41，42，43，44，45.由此得出x，y的對應(yīng)值，于是得到5種方案：（x，y，z）=（73，36，41）；（x，y，z）=（76，32，42）；（x，y，z）=（79，28，43）；（x，y，z）=（82，24，44）；（x，y，z）=（85，20，45）.例6∵1＜k＜n∴即，∴，即∴n=19。于是，解得k=10，故a=n+k=19+10=29.A級1.a＞19922.0＜x-y＜13.36提示：b=20-a,c=24-a.d=22-a，，由a，b，c，d為正整數(shù)，得，原式=66-2a，∴M=66-2×1=64， N=66-2×19=28，則M-N=64-28=36.4.6或11或16提示：5a-4≥0，9-2a≥0以及5a-4≥9-2a.5.54提示：設(shè)有白球x個，黃球y個，紅球z個，則依題意有，由①得，∴，即，又∵x為整數(shù)，∴，則②式得，即.6.C提示：由條件得a＞0，b＜0或a＜0，b＜0，從而或，.7.A8.D9.購買46張6元票、94張10元票花錢最少，最少需要1216元.10.（1）68（2）甲愉至少應(yīng)工作4小時.B級1.3026提示：a≤3b-1，b≤5c-1，c≤7d-1，d≤30-1=29.2.10提示：設(shè)底樓有x間客房，則3.4.提示：由題中條件知，解得，又因為，故，解得.5.A提示：設(shè)，，則，故M＞N.6.A設(shè)出版社發(fā)行x套書，則100×（1-0.3）x≥（8000+20x）（1+10%）.提示：設(shè)甲、乙、丙三種鹽水應(yīng)分別取x克，y克，z克，解得，從而，解得8.（1）設(shè)A隊勝x場、平y(tǒng)場、負z場，則，，∵，∴，解得.∴x=4，5或6，即A隊獲勝、平、負的場數(shù)有三種情況：當(dāng)x=4時，y=7，z=1；當(dāng)x=5時，y=4，z=3；當(dāng)x=6時，y=1，z=5.⑵W=（1500+500）x+（700+500）y+500z=19300-600x.當(dāng)x=4時，W最大，W最大值=19300-600×4=16900元.9.提示：⑴設(shè)改造一所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校所需的改造資金分別為a萬元和b萬元，依題意得，解得.即改造一所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校所需的改造資金分別為60萬元和85萬元.⑵設(shè)該縣A，B兩類學(xué)校分別為m所和n所.則60m+85n=1575，m=.∵m≤5，∴≤5，解得n≥15，即B類學(xué)校至少15所.⑶設(shè)今年改造A類學(xué)校x所，則改造B類學(xué)校為（6-x）所，依題意得，解得1≤x≤4.∵x取整數(shù)，∴x=1，2，3，4，即共有4種改造方案.10.設(shè)x1，x2，…x2008中有q個0，r個-1，s個1，t個2，則，解得s+3t=1104，故0≤t≤368.由x13+x23+…x20083=-r+s+8t=6t+200得200≤x13+x23+…x20083≤6×368+200=2048.∴當(dāng)t=0，s=1104，r=904時，原式取最小值200；當(dāng)t=368，s=0，r=536時，原式取最小大值2408.專題18簡單的不定方程、方程組閱讀與思考如果方程(組)中，未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)，那么解往往有無窮多個，不能唯一確定，這樣的方程(組)稱為不定方程(組)．對于不定方程(組)，我們常常限定只求整數(shù)解，甚至只求正整數(shù)解．加上這類限制后，解可能唯一確定，或只有有限個，或無解．這類問題有以下兩種基本類型：1．判定不定方程(組)有無整數(shù)解或解的個數(shù)；2．如果不定方程(組)有整數(shù)解，求出其全部整數(shù)解．二元一次不定方程是最簡單的不定方程，一些不定方程(組)常常轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程求其整數(shù)解．解不定方程(組)，沒有固定的方法可循，需具體問題具體分析，經(jīng)常用到整數(shù)的整除、奇數(shù)偶數(shù)、因數(shù)分解、不等式分析、窮舉、分離整數(shù)、配方等知識與方法．根據(jù)方程(組)的特點進行適當(dāng)變形，并靈活運用相關(guān)知識與方法是解不定方程(組)的基本思路．例題與求解【例1】滿足(0＜＜＜1998)的整數(shù)對(，)共有_______對．(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)解題思路：由方程特點，聯(lián)想到平方差公式，利用因數(shù)分解來解答．【例2】電影票有10元，15元，20元三種票價，班長用500元買了30張電影票，其中票價為20元的比票價為10元的多()．A．20張B．15張C．10張D．5張(“希望杯”邀請賽試題)解題思路：設(shè)購買10元，15元，20元的電影票分別為，，張．根據(jù)題意列方程組，整體求出的－值．【例3】某人家中的電話號碼是八位數(shù)，將前四位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得14405，將前三位數(shù)組成的數(shù)與后五位數(shù)組成的數(shù)相加得16970，求此人家中的電話號碼．(湖北省武漢市競賽試題)解題思路：探索可否將條件用一個式子表示，從問題轉(zhuǎn)換入手．【例4】一個盒子里裝有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4?；?粒地取出，最終盒內(nèi)都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?(重慶市競賽試題)解題思路：無論怎樣取，盒子里的棋子數(shù)不變。恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解．【例5】甲組同學(xué)每人有28個核桃，乙組同學(xué)每人有30個核桃，丙組同學(xué)每人有31個核桃，三組的核桃總數(shù)是365個．問：三個小組共有多少名同學(xué)?(海峽兩岸友誼賽試題)解題思路：根據(jù)題意，列出三元一次不定方程，從運用放縮法求取值范圍入手．【例6】某中學(xué)全體師生租乘同類型客車若干輛外出春游，如果每輛車坐22人，就會余下1人；如果開走一輛空車，那么所有師生剛好平均分乘余下的汽車．問：原先租多少輛客車和學(xué)校師生共多少人?(已知每輛車的容量不多于32人)解題思路：設(shè)原先租客車輛，開走一輛空車后，每輛車乘坐人，根據(jù)題意列出方程求解，注意排除不符合題設(shè)條件的解．能力訓(xùn)練A級1．若，則＝__________．2．已知，(≠0)，則的值等于________．3．1998年某人的年齡恰等于他出生的公元年數(shù)的數(shù)字和，那么他的年齡是_________歲．(“希望杯”邀請賽試題)4．已知，，為整數(shù)，且，．若＜，則的最大值為_____．(全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)5．，都是質(zhì)數(shù)，則方程共有()．A．1組解B．2組解C．3組解D．4組解(北京市競賽試題)6．如圖，在高速公路上從3千米處開始，每隔4千米設(shè)一個速度限制標(biāo)志，而且從10千米處開始．每隔9千米設(shè)一個測速照相標(biāo)志，則剛好在19千米處同時設(shè)置這兩種標(biāo)志，問下一個同時設(shè)置這兩種標(biāo)志的地點的千米數(shù)是()．A．32千米B．37千米C．55千米D．90千米7．給出下列判斷：①不定方程的整數(shù)解可表示為(為整數(shù))．②不定方程無整數(shù)解．③不定方程無整數(shù)解．其中正確的判斷是()．A．①②B．②③C．①③D．①②③8．小英在郵局買了10元的郵票，其中面值0.10元的郵票不少于2枚，面值O.20元的郵票不少于5枚，面值0.50元的郵票不少于3枚，面值2元的郵票不少于1枚，則小英最少買了()枚郵票．A．17B．18C．19D．20(“五羊杯”邀請賽試題)9．小孩將玻璃彈子裝進兩種盒子，每個大盒子裝12顆，每個小盒子裝5顆，若彈子共有99顆，所用大小盒子多于10個，問這兩種盒子各有多少個?10．中國百雞問題：雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞．問雞翁、雞母、雞雛各幾何?(出自中國數(shù)學(xué)家張丘建的著作《算經(jīng)》)11．已知長方形的長、寬都是整數(shù)，且周長與面積的數(shù)值相等，求長方形的面積．(“希望杯”邀請賽試題)12．已知是滿足的整數(shù)，并且使二元一次方程組有整數(shù)解．問：這樣的整數(shù)有多少個？（“華羅庚金杯”競賽試題）B級1．如果，，滿足，那么＝__________．(“祖沖之杯”邀請試題)2．已知，為正偶數(shù)，且，則＝_________．3．一個四位數(shù)與它的四個數(shù)字之和等于1991．這個四位數(shù)是__________．(重慶市競賽試題)4．城市數(shù)學(xué)邀請賽共設(shè)金、銀、銅三種獎牌，組委會把這些獎牌分別裝在五個盒中，每個盒中只裝一種獎牌．每個盒中裝獎牌枚數(shù)依次是3，6，9，14，18．現(xiàn)在知道其中銀牌只有一盒，而且銅牌枚數(shù)是金牌枚數(shù)的2倍．則有金牌_____枚，銀牌______枚，銅牌_____枚．5．若正整數(shù)，滿足，則這樣的正整數(shù)對(，)的個數(shù)是()．A．1個B．2個C．3個D．4個6．有甲、乙、丙3種商品，單價均為整數(shù)，某人若購甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若購甲4件、乙10件、丙l件共需33元，則此人購甲、乙、丙各1件共需()元．A．6元B．8元C．9元D．10元7．在方程組中，，，是不相等的整數(shù)，那么此方程組的解的組數(shù)為()．A．6B．3C．多于6D．少于3(“希望杯”邀請賽試題)8．一個兩位數(shù)中間插入一個一位數(shù)(包括0)，就變成一個三位數(shù)，有些兩位數(shù)中間插入某個一位數(shù)后變成的三位數(shù)是原來兩位數(shù)的9倍，這樣的兩位數(shù)有()個．A．1B．4C．10D．超過109．李林在銀行兌換了一張面額為l00元以內(nèi)的人民幣支票，兌換員不小心將支票上的元與角、分數(shù)字看倒置了(例如，把12．34元看成了34．12元)，并按著錯的數(shù)字支付，李林將其款花去3．50元之后，發(fā)現(xiàn)其余款恰為支票面額的兩倍，于是急忙到銀行將多領(lǐng)的款額退回，問：李林應(yīng)退回的款額是多少元?(“五羊杯”邀請賽試題)10．某人乘坐的車在公路上勻速行駛，從他看到的某個里程碑上的數(shù)是一個兩位數(shù)時起，一小時后他看到的里程碑上的數(shù)恰好是第一次看到的數(shù)顛倒了順序的兩位數(shù)，再過一小時。他看到的里程碑上的數(shù)又恰好是第一次看到的兩位數(shù)之間添上一個零的三位數(shù)，問這三塊里程碑上的數(shù)各是多少?(“勤奮杯”競賽試題)11．已知四位數(shù)滿足，求這樣的四位數(shù)．(“《數(shù)學(xué)周報》杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)12．求方程的正整數(shù)解．(“希望杯”邀請賽試題)專題18簡單的不定方程、方程組例13提示：(n-m)(n+m)=3995=1×5×17×47，(n-m)與(n+m)奇偶性相同，對3995的任一正整數(shù)分解均可得到一個(m，n).例2C設(shè)購買10元，15元，20元的電影票分別為x，y，z張.則，②-①×15得5(z-x)=50，解得z-x=10.例3設(shè)此8位數(shù)為，將記為x，記為y，記為z.x，y，z均為自然數(shù).即電話號碼是100000x+10000y+z，且100≤x≤999，0≤y≤9，1000≤z≤9999，則，得1111y–x=285，由100≤x≤999，y≥0，得，故電話號碼是82616144.例4提示：設(shè)盒子里共有x(x≤200)粒棋子，則12a-1=11b=x(a、b為正整數(shù))，解得a=10，b=11，x=121.例5設(shè)甲組學(xué)生a人，乙組學(xué)生b人，丙組學(xué)生c人，由題意得28a+30b+31c=365.因28（a+b+c）＜28a+30b+31c=365.得a+b+c＜＜13.04，所以a+b+c≤13.因31（a+b+c）＞28a+30b+31c=365.得a+b+c＞＞11.7，所以a+b+c≥12因此a+b+c=12或13.當(dāng)a+b+c=13時，得2b+3c=1，此方程無正整數(shù)解；當(dāng)a+b+c=12時，符合題意.例6設(shè)原先租客車x輛，開走一輛空車后，每輛車乘坐k人，顯然x≥2，23≤k≤32.依題意有：22x+1=k(x-1).則.因為k為自然數(shù)，所以必是自然數(shù)，但23是質(zhì)數(shù)，因數(shù)只有1和23，且x≥2，∴x-1=1或x-1=23.如果x-1=1，則x=2，k=45，不符合k≤32的題設(shè)條件.如果x-1=23，則x=24，k=23，符合題意.這時旅客人數(shù)等于k(x-1)=23×23=529人.A級1..2.13.1