《數(shù)學（上 二冊）（第二版）》 課件 第7章 立體幾何

立體幾何第7章104目錄7.1空間幾何體7.2空間幾何體的三視圖和直觀圖7.3簡單幾何體的表面積和體積7.4空間直線的位置關(guān)系7.5直線與平面的位置關(guān)系7.6平面與平面的位置關(guān)系7.7空間向量1057.1空間幾何體106棱柱和棱錐的幾何特征由若干個平面多邊形所圍成的幾何體稱為多面體。構(gòu)成多面體的各個平面多邊形稱為多面體的面。一個多面體中，相鄰面的公共邊稱為多面體的棱，棱與棱的交點稱為多面體的頂點。107棱柱圖所示的計算機機箱和茶葉盒我們都非常熟悉。仔細觀察兩者的外形簡圖，就會發(fā)現(xiàn)它們的共同特點：兩幅簡圖所示的幾何體都是多面體；每個多面體都至少有兩個平面平行，且總能找到這樣的兩個互相平行的平面；不在這兩個面上的棱都互相平行。由此，我們可以把具有上述特點的幾何體歸為一類。108棱柱中，兩個互相平行的面稱為棱柱的底面，簡稱底；兩底面間的距離為棱柱的高；其余各面稱為棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊稱為棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點稱為棱柱的頂點。底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱……我們常用底面頂點的字母表示棱柱。109圖中的（1）（6）（11）（12）和（13）都是具有棱柱結(jié)構(gòu)的物體。觀察這些棱柱可知，它們的側(cè)棱與底面垂直，我們把這樣的棱柱稱為直棱柱。其中（1）（11）（12）和（13）的底面都是全等的正多邊形，側(cè)面都是全等的矩形，我們把它們稱為正棱柱。圖中的（1）（11）（12）和（13）分別是正四棱柱、正三棱柱、正五棱柱和正六棱柱。110棱錐觀察上圖中的（2）（3）（7）（10）和（16）可以發(fā)現(xiàn)，它們都有一個面是多邊形，其余各面是具有一個公共頂點的三角形。在棱錐中，多邊形的面稱為棱錐的底面（或底）；有公共頂點的各個三角形稱為棱錐的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊稱為棱錐的側(cè)棱；各側(cè)棱的公共點稱為棱錐的頂點；頂點到底面的距離稱為棱錐的高。底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱錐分別稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐……其中三棱錐又稱四面體。棱錐也用頂點和底面各頂點的字母表示。111上圖中的（3）（7）（10）和（16）都是棱錐，而且它們的底面是正多邊形，側(cè)面是全等的等腰三角形，我們把這樣的棱錐稱為正棱錐。上圖中的（3）（7）（10）和（16）分別是正四棱錐、正三棱錐、正五棱錐和正六棱錐。112圓柱和圓錐的幾何特征圓柱我們用一個長方形的硬紙片繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，就能得到一個幾何體。下圖所示是矩形O'OBB'以一邊O'O所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱。113我們把旋轉(zhuǎn)軸稱為圓柱的軸；垂直于軸的邊O'B'，OB旋轉(zhuǎn)而形成的圓面稱為圓柱的底面；兩個底面之間的距離稱為圓柱的高；平行于軸的邊B'B旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊B'B都稱為圓柱的母線。圓柱可以用表示它的軸的字母表示。例如上，圖的圓柱可以表示為圓柱O'O。我們通常將圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體。114圓錐與圓柱一樣，圓錐也是由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成的。下圖所示是直角三角形SBO以一條直角邊SO所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓錐。115我們把旋轉(zhuǎn)軸稱為圓錐的軸；直角邊SO的長度稱為圓錐的高；另一條直角邊OB旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為圓錐的底面；斜邊SB旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為圓錐的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，斜邊SB都稱為圓錐的母線。圓錐可以用表示它的軸的字母表示。例如，上圖所示的圓錐可以表示為圓錐SO。圖中的（4）和（15）就是圓錐形物體。我們通常將圓錐和棱錐統(tǒng)稱為錐體。116球的結(jié)構(gòu)特征同樣，球也是由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成的。圖所示的球是半圓以直徑AB所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的。在這個球中，AB的中點O稱為球心；通過球心，且兩端在球面上的線段稱為球的直徑；兩端分別為球心和球面上任意一點的線段稱為球的半徑。球常用表示球心的字母表示。117簡單組合體記得小時候玩過的積木嗎?我們可以使用很多簡單的幾何體，例如圓柱、長方體等搭建出各種各樣的房屋、城堡、家具（圖a）等。再觀察如圖b所示的零件，從整體看，它不屬于前面學過的任何一種幾何體，但它是由一個正六棱柱和一個圓柱組成的，我們把它稱為簡單組合體。在現(xiàn)實生活中，我們接觸到的物體大多由具有柱、錐、球等幾何特征的物體組合而成，它們都是簡單組合體。1187.2空間幾何體的三視圖和直觀圖119空間幾何體的三視圖我們想象有平行射線分別對幾何體從前向后（主視方向）、從上向下（俯視方向）和從左向右（左視方向）投射，這時在幾何體的后面、下面和右面的平面上所得到的平面圖形分別稱為幾何體的主視圖、俯視圖和左視圖。如圖c所示，保持主視圖平面不動，將俯視圖平面向下旋轉(zhuǎn)90°，左視圖平面向右旋轉(zhuǎn)90°，這樣三個視圖就在一個平面上了。以這三種視圖方式來表現(xiàn)空間幾何體結(jié)構(gòu)的圖就稱為空間幾何體的三視圖。圖d就是同學甲所搭建幾何體的三視圖。120121空間幾何體的直觀圖對于空間幾何體的直觀圖，我們并不陌生。例如在“游戲二”中，圖就是同學甲用13個正方體搭建的幾何體的直觀圖。直觀圖都有較強的立體感，接近人們直接觀察的效果。水平放置的平面圖形在直觀圖中變化較明顯，如正方體的上、下底面變成了平行四邊形，圓柱的上、下底面變成了類似橢圓的圖形。因此，要畫空間幾何體的直觀圖，就要先研究水平放置的平面圖形的直觀圖。1227.3簡單幾何體的表面積和體積123正棱柱與正棱錐的表面積和體積將較厚的紙板按圖的樣子分別畫好并剪裁，再把它沿虛線折起來并粘上，做成模型。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，由圖a所示紙板折成的模型是正五棱柱：中間的矩形成了五棱柱的側(cè)面，上下兩個五邊形成了正五棱柱的兩個底面，且矩形的長等于正五棱柱底面的周長，矩形的寬為正五棱柱的側(cè)棱長，即正五棱柱的高。實際上，圖a就是正五棱柱的表面展開圖。表面展開圖的面積就是正五棱柱的表面積，即S表=S側(cè)+2S底。124125由圖b所示紙板折成的模型是正五棱錐：五個全等的等腰三角形圍成了棱錐的側(cè)面，正五邊形為棱錐的底面，且五個等腰三角形底邊長的和等于正五棱錐底面的周長，等腰三角形的腰長為側(cè)棱長。實際上，圖b就是正五棱錐的表面展開圖。表面展開圖的面積就是正五棱錐的表面積，即S表=S側(cè)+S底。正棱柱、正棱錐的側(cè)面展開圖及側(cè)面積、表面積、體積的計算見下表。126圓柱與圓錐的表面積和體積用紙剪出一個矩形和一個扇形。把矩形卷起來，并把它的一組對邊粘好；再把扇形卷起來，并把它的兩條半徑粘好。觀察可以發(fā)現(xiàn)，由矩形圍成的是一個圓柱體的側(cè)面?？梢灾?，圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，且矩形的長等于圓柱底面圓的周長，寬為母線長，即圓柱的高。圓柱的底面為兩個全等的圓面。由扇形圍成的是一個圓錐體的側(cè)面?？梢灾溃瑘A錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，且扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半徑為圓錐的母線長。圓錐的底面為一個圓。127圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖及側(cè)面積、表面積、體積的計算見下表。128球的表面積和體積1297.4空間直線的位置關(guān)系130平面的表示方法正像直線是可以無限延伸的一樣，平面也是可以無限延伸的，也就是說，平面是沒有邊界的。在日常生活中常見的桌面、黑板面等，都只是平面的局部形象。平面可以用一個小寫希臘字母表示，如平面α、平面β、平面γ等；也可以用平面上三個（或三個以上）不在同一直線上點表示。131例如，在圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，下底面可用“平面ABCD”表示；有時，也用平行四邊形對角線上的頂點字母表示平面，例如，“平面ABCD”也可表示為“平面AC”或“平面BD”。132要在紙上畫出一個無限延展的平面時，通常只畫出平面的一個局部，并畫成平行四邊形。例如，圖a表示的是一個水平放置的平面α；圖b表示的是豎直放置的平面的三種畫法，其中平面α、平面β和平面γ分別表示在觀察者的左前方、正前方和右前方的平面。133當一個平面的一部分被另一個平面遮住時，被遮部分的線段應畫成虛線或不畫。134點、直線與平面的確定找一塊平板，在它的某一面（該面平整）上任意畫出點A，B。使用直尺在點A，B間畫線，可以發(fā)現(xiàn)，只要直尺邊緣上有兩點分別與A，B重合，那么直尺邊緣就會全都在平板的平面上。公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。公理2不共線（不在同一條直線上）的三個點確定一個平面。135根據(jù)公理1、公理2，可得出：推論1一條直線和直線外一點確定一個平面（圖a）。推論2兩條相交直線確定一個平面（圖b）。推論3兩條平行直線確定一個平面（圖c）。136公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條經(jīng)過這個點的公共直線。如圖所示，點A是平面α和β的一個公共點，則平面α和β有且只有一條經(jīng)過點A的公共直線l。這時也稱平面α和β相交于l。137空間直線的位置關(guān)系我們把類似于圖中的那些不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線稱為異面直線?？臻g中不重合的兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種：1381.平行———兩條直線在同一平面內(nèi)，且無公共點。2.相交———兩條直線在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點。3.異面———兩條直線不同在任何一個平面內(nèi)，無公共點。顯然，兩條異面直線具有下列特征：不平行、不相交、不同在任何一個平面內(nèi)。畫異面直線時，要以輔助平面作襯托，把兩條直線明顯地畫在不同的平面內(nèi)，以體現(xiàn)“異面”的特點。139空間的平行直線觀察如圖所示的V形架，它的兩條側(cè)邊a和b均平行于V形架底邊c，即a∥c，b∥c。容易看出，兩條側(cè)邊a與b也互相平行，即a∥b。公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行。公理4所表述的性質(zhì)，通常稱為空間平行線的傳遞性。140等角定理空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。141異面直線所成的角如圖所示，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O作直線a'∥a，b'∥b。根據(jù)等角定理可知，a'和b'所成角的大小與點O位置的選取無關(guān)。我們把a'和b'所成的銳角（或直角）稱為異面直線a與b所成的角（或夾角）。如果兩條異面直線a，b所成的角是直角，則稱這兩條異面直線相互垂直，記作a⊥b。實例考察中長方體的棱AA1與棱BC，以及蝸輪與蝸桿的軸線都相互垂直。1427.5直線與平面的位置關(guān)系143空間直線與平面的三種位置關(guān)系觀察圖a中線段AB1所在直線與長方體ABCD-A1B1C1D1的六個面的位置關(guān)系；再觀察圖b中正四棱錐側(cè)棱SA所在直線與正四棱錐的五個面的位置關(guān)系。通過實例觀察與分析，我們可以得到空間直線與平面的位置關(guān)系有且只有以下三種：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交和直線與平面平行。直線l與平面α相交和平行可以統(tǒng)稱為直線在平面外，記作l?α。144145直線與平面平行的判定現(xiàn)在我們來觀察一扇門，門框左右兩條邊緣所在的直線是a，b。把墻面所在的平面記作α。若門關(guān)著，直線a，b同在平面α上，且a∥b；若門開著，a離開了平面α，但仍保持與b平行，而且a與平面α也是平行的。146一般地，我們可以得到下面的定理：線面平行判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線與此平面平行。147直線與平面平行的性質(zhì)線面平行性質(zhì)定理如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就與交線平行。148直線與平面垂直的判定如果直線l與平面α內(nèi)的任何直線都垂直，則稱直線與平面互相垂直，記作l⊥α。l稱為平面α的垂線，α稱為直線l的垂面，l與α的交點稱為垂足。從平面外一點向平面引垂線，這個點到垂足的距離稱為點到平面的距離。一般地，我們可以得到下面的定理：線面垂直判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與此平面垂直。149直線與平面垂直的性質(zhì)如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在的直線都垂直于平面ABCD，而我們知道這四條棱是相互平行的。一般地，我們可以得到直線與平面垂直的性質(zhì)定理：線面垂直性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。150直線與平面所成的角如果一條直線與一個平面相交但不垂直，則稱這條直線是平面的斜線，斜線與平面的交點稱為斜足。如圖所示，從平面α外一點P，分別作α的垂線PO和斜線PA，其中O為垂足，A為斜足，則稱PO是平面的垂線段，PA是平面的斜線段，OA是斜線段PA在平面內(nèi)的射影，垂足O稱為點P在平面內(nèi)的射影。斜線段和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，稱為這條斜線段所在的斜線與平面所成的角。1517.6平面與平面的位置關(guān)系152將一本書放在桌面上，觀察它的封面和封底所在平面有什么關(guān)系。將該書打開，再次觀察它的封面和封底所在平面有什么關(guān)系。通過實例可以發(fā)現(xiàn)，兩個不重合的平面要么沒有公共點，要么有無數(shù)個公共點。我們將沒有公共點的兩個平面稱為平行平面，將有公共點的兩個不重合平面稱為相交平面。153兩個平面平行的判定平面α與平面β平行，記作α∥β。一般地，我們可以得到下面的定理：面面平行判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。154根據(jù)上述定理，我們還能得到下面兩個推論：推論1如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面平行。推論2垂直于同一條直線的兩個平面平行。155兩個平面平行的性質(zhì)一般地，我們有下面的定理：面面平行性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。我們把兩個平行平面間垂直線段的長，稱為這兩個平行平面間的距離。156二面角及其平面角沿著平面內(nèi)的一條直線將平面對折，得到兩個半平面，這兩個半平面組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個半平面稱為二面角的面。如果棱用AB表示，二面角可以記作二面角α-AB-β；如果棱用l表示，則可記作二面角α-l-β。如果以二面角α-AB-β的棱AB上任意一點M為端點，在兩個半平面α，β內(nèi)分別作垂直于棱的射線MN，MP，則稱∠NMP為這個二面角的平面角。二面角的大小用它的平面角來度量，且與點M在棱上的位置無關(guān)。平面角的取值范圍是[0，π]。平面角為90°的二面角稱為直二面角。157158兩個平面垂直的判定兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，則稱這兩個平面互相垂直。面面垂直判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直。159兩個平面垂直的性質(zhì)一般地，我們有下面的定理：面面垂直性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。如圖所示，設β⊥α，CD是平面α與β的交線，AB為平面β內(nèi)的一條直線，若AB⊥CD，則AB⊥α。1607.7空間向量161空間向量及其線性運算與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示。方向相同且長度相等的有向線段表示同一向量或相等的向量。如圖所示，已知空間向量a，b，在空間任取一點O，作

=a，

=b。由O，A，B三點必定在同一個平面內(nèi)可以知道，任意兩個空間向量都可以用同一平面內(nèi)兩條有向線段來表示。162可以將平面向量的線性運算推廣到空間，定義空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量的運算。163164空間向量分解定理共線向量與共面向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，向量a與b平行或共線，記作a//b。與平面向量類似有如下定理：165推論如果直線l經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量a，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，滿足等式其中向量a稱為直線l的方向向量，如圖所示。166在l上取

=a，則或當t=

時，點P是線段AB的中點，則①②式都稱為空間直線的向量參數(shù)表示式，③式是線段AB的中點公式。167已知平面α與向量a，作

=a，如果直線OA平行于平面α或a在α內(nèi)，那么我們就說向量a平行于平面α，記作a∥α。通常我們把平行于同一平面的向量稱為共面向量，空間任意兩個向量，總是共面的，有如下定理：168但任意三個空間向量既可能是共面的，也可能不共面。推論空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y，使

，或?qū)臻g任一定點O，有

。169由定理可知，如果三個向量a，b，c不共面，那么空間的每一個向量都可以由向量a，b，c線性表示。我們把｛a，b，c｝稱為空間的一個基底，a，b，c稱為基向量。如果空間一個基底的三個基向量兩兩相互垂直，那么這個基底稱為正交基底。特別地，當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，這個基底為單位正交基底，通常用｛i，j，k｝表示。推論

設O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任一點P，都有唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使