《數(shù)學(xué)（上 二冊(cè)）（第二版）》 課件 第7章 立體幾何

立體幾何第7章104目錄7.1空間幾何體7.2空間幾何體的三視圖和直觀圖7.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積7.4空間直線的位置關(guān)系7.5直線與平面的位置關(guān)系7.6平面與平面的位置關(guān)系7.7空間向量1057.1空間幾何體106棱柱和棱錐的幾何特征由若干個(gè)平面多邊形所圍成的幾何體稱(chēng)為多面體。構(gòu)成多面體的各個(gè)平面多邊形稱(chēng)為多面體的面。一個(gè)多面體中，相鄰面的公共邊稱(chēng)為多面體的棱，棱與棱的交點(diǎn)稱(chēng)為多面體的頂點(diǎn)。107棱柱圖所示的計(jì)算機(jī)機(jī)箱和茶葉盒我們都非常熟悉。仔細(xì)觀察兩者的外形簡(jiǎn)圖，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們的共同特點(diǎn)：兩幅簡(jiǎn)圖所示的幾何體都是多面體；每個(gè)多面體都至少有兩個(gè)平面平行，且總能找到這樣的兩個(gè)互相平行的平面；不在這兩個(gè)面上的棱都互相平行。由此，我們可以把具有上述特點(diǎn)的幾何體歸為一類(lèi)。108棱柱中，兩個(gè)互相平行的面稱(chēng)為棱柱的底面，簡(jiǎn)稱(chēng)底；兩底面間的距離為棱柱的高；其余各面稱(chēng)為棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊稱(chēng)為棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)稱(chēng)為棱柱的頂點(diǎn)。底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別稱(chēng)為三棱柱、四棱柱、五棱柱……我們常用底面頂點(diǎn)的字母表示棱柱。109圖中的（1）（6）（11）（12）和（13）都是具有棱柱結(jié)構(gòu)的物體。觀察這些棱柱可知，它們的側(cè)棱與底面垂直，我們把這樣的棱柱稱(chēng)為直棱柱。其中（1）（11）（12）和（13）的底面都是全等的正多邊形，側(cè)面都是全等的矩形，我們把它們稱(chēng)為正棱柱。圖中的（1）（11）（12）和（13）分別是正四棱柱、正三棱柱、正五棱柱和正六棱柱。110棱錐觀察上圖中的（2）（3）（7）（10）和（16）可以發(fā)現(xiàn)，它們都有一個(gè)面是多邊形，其余各面是具有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形。在棱錐中，多邊形的面稱(chēng)為棱錐的底面（或底）；有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形稱(chēng)為棱錐的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊稱(chēng)為棱錐的側(cè)棱；各側(cè)棱的公共點(diǎn)稱(chēng)為棱錐的頂點(diǎn)；頂點(diǎn)到底面的距離稱(chēng)為棱錐的高。底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱錐分別稱(chēng)為三棱錐、四棱錐、五棱錐……其中三棱錐又稱(chēng)四面體。棱錐也用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示。111上圖中的（3）（7）（10）和（16）都是棱錐，而且它們的底面是正多邊形，側(cè)面是全等的等腰三角形，我們把這樣的棱錐稱(chēng)為正棱錐。上圖中的（3）（7）（10）和（16）分別是正四棱錐、正三棱錐、正五棱錐和正六棱錐。112圓柱和圓錐的幾何特征圓柱我們用一個(gè)長(zhǎng)方形的硬紙片繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，就能得到一個(gè)幾何體。下圖所示是矩形O'OBB'以一邊O'O所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱。113我們把旋轉(zhuǎn)軸稱(chēng)為圓柱的軸；垂直于軸的邊O'B'，OB旋轉(zhuǎn)而形成的圓面稱(chēng)為圓柱的底面；兩個(gè)底面之間的距離稱(chēng)為圓柱的高；平行于軸的邊B'B旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱(chēng)為圓柱的側(cè)面；無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊B'B都稱(chēng)為圓柱的母線。圓柱可以用表示它的軸的字母表示。例如上，圖的圓柱可以表示為圓柱O'O。我們通常將圓柱和棱柱統(tǒng)稱(chēng)為柱體。114圓錐與圓柱一樣，圓錐也是由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成的。下圖所示是直角三角形SBO以一條直角邊SO所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓錐。115我們把旋轉(zhuǎn)軸稱(chēng)為圓錐的軸；直角邊SO的長(zhǎng)度稱(chēng)為圓錐的高；另一條直角邊OB旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱(chēng)為圓錐的底面；斜邊SB旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱(chēng)為圓錐的側(cè)面；無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，斜邊SB都稱(chēng)為圓錐的母線。圓錐可以用表示它的軸的字母表示。例如，上圖所示的圓錐可以表示為圓錐SO。圖中的（4）和（15）就是圓錐形物體。我們通常將圓錐和棱錐統(tǒng)稱(chēng)為錐體。116球的結(jié)構(gòu)特征同樣，球也是由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成的。圖所示的球是半圓以直徑AB所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的。在這個(gè)球中，AB的中點(diǎn)O稱(chēng)為球心；通過(guò)球心，且兩端在球面上的線段稱(chēng)為球的直徑；兩端分別為球心和球面上任意一點(diǎn)的線段稱(chēng)為球的半徑。球常用表示球心的字母表示。117簡(jiǎn)單組合體記得小時(shí)候玩過(guò)的積木嗎?我們可以使用很多簡(jiǎn)單的幾何體，例如圓柱、長(zhǎng)方體等搭建出各種各樣的房屋、城堡、家具（圖a）等。再觀察如圖b所示的零件，從整體看，它不屬于前面學(xué)過(guò)的任何一種幾何體，但它是由一個(gè)正六棱柱和一個(gè)圓柱組成的，我們把它稱(chēng)為簡(jiǎn)單組合體。在現(xiàn)實(shí)生活中，我們接觸到的物體大多由具有柱、錐、球等幾何特征的物體組合而成，它們都是簡(jiǎn)單組合體。1187.2空間幾何體的三視圖和直觀圖119空間幾何體的三視圖我們想象有平行射線分別對(duì)幾何體從前向后（主視方向）、從上向下（俯視方向）和從左向右（左視方向）投射，這時(shí)在幾何體的后面、下面和右面的平面上所得到的平面圖形分別稱(chēng)為幾何體的主視圖、俯視圖和左視圖。如圖c所示，保持主視圖平面不動(dòng)，將俯視圖平面向下旋轉(zhuǎn)90°，左視圖平面向右旋轉(zhuǎn)90°，這樣三個(gè)視圖就在一個(gè)平面上了。以這三種視圖方式來(lái)表現(xiàn)空間幾何體結(jié)構(gòu)的圖就稱(chēng)為空間幾何體的三視圖。圖d就是同學(xué)甲所搭建幾何體的三視圖。120121空間幾何體的直觀圖對(duì)于空間幾何體的直觀圖，我們并不陌生。例如在“游戲二”中，圖就是同學(xué)甲用13個(gè)正方體搭建的幾何體的直觀圖。直觀圖都有較強(qiáng)的立體感，接近人們直接觀察的效果。水平放置的平面圖形在直觀圖中變化較明顯，如正方體的上、下底面變成了平行四邊形，圓柱的上、下底面變成了類(lèi)似橢圓的圖形。因此，要畫(huà)空間幾何體的直觀圖，就要先研究水平放置的平面圖形的直觀圖。1227.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積123正棱柱與正棱錐的表面積和體積將較厚的紙板按圖的樣子分別畫(huà)好并剪裁，再把它沿虛線折起來(lái)并粘上，做成模型。通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，由圖a所示紙板折成的模型是正五棱柱：中間的矩形成了五棱柱的側(cè)面，上下兩個(gè)五邊形成了正五棱柱的兩個(gè)底面，且矩形的長(zhǎng)等于正五棱柱底面的周長(zhǎng)，矩形的寬為正五棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)，即正五棱柱的高。實(shí)際上，圖a就是正五棱柱的表面展開(kāi)圖。表面展開(kāi)圖的面積就是正五棱柱的表面積，即S表=S側(cè)+2S底。124125由圖b所示紙板折成的模型是正五棱錐：五個(gè)全等的等腰三角形圍成了棱錐的側(cè)面，正五邊形為棱錐的底面，且五個(gè)等腰三角形底邊長(zhǎng)的和等于正五棱錐底面的周長(zhǎng)，等腰三角形的腰長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)。實(shí)際上，圖b就是正五棱錐的表面展開(kāi)圖。表面展開(kāi)圖的面積就是正五棱錐的表面積，即S表=S側(cè)+S底。正棱柱、正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積、表面積、體積的計(jì)算見(jiàn)下表。126圓柱與圓錐的表面積和體積用紙剪出一個(gè)矩形和一個(gè)扇形。把矩形卷起來(lái)，并把它的一組對(duì)邊粘好；再把扇形卷起來(lái)，并把它的兩條半徑粘好。觀察可以發(fā)現(xiàn)，由矩形圍成的是一個(gè)圓柱體的側(cè)面。可以知道，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，且矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面圓的周長(zhǎng)，寬為母線長(zhǎng)，即圓柱的高。圓柱的底面為兩個(gè)全等的圓面。由扇形圍成的是一個(gè)圓錐體的側(cè)面?？梢灾溃瑘A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，且扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)，扇形的半徑為圓錐的母線長(zhǎng)。圓錐的底面為一個(gè)圓。127圓柱、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積、表面積、體積的計(jì)算見(jiàn)下表。128球的表面積和體積1297.4空間直線的位置關(guān)系130平面的表示方法正像直線是可以無(wú)限延伸的一樣，平面也是可以無(wú)限延伸的，也就是說(shuō)，平面是沒(méi)有邊界的。在日常生活中常見(jiàn)的桌面、黑板面等，都只是平面的局部形象。平面可以用一個(gè)小寫(xiě)希臘字母表示，如平面α、平面β、平面γ等；也可以用平面上三個(gè)（或三個(gè)以上）不在同一直線上點(diǎn)表示。131例如，在圖所示的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，下底面可用“平面ABCD”表示；有時(shí)，也用平行四邊形對(duì)角線上的頂點(diǎn)字母表示平面，例如，“平面ABCD”也可表示為“平面AC”或“平面BD”。132要在紙上畫(huà)出一個(gè)無(wú)限延展的平面時(shí)，通常只畫(huà)出平面的一個(gè)局部，并畫(huà)成平行四邊形。例如，圖a表示的是一個(gè)水平放置的平面α；圖b表示的是豎直放置的平面的三種畫(huà)法，其中平面α、平面β和平面γ分別表示在觀察者的左前方、正前方和右前方的平面。133當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，被遮部分的線段應(yīng)畫(huà)成虛線或不畫(huà)。134點(diǎn)、直線與平面的確定找一塊平板，在它的某一面（該面平整）上任意畫(huà)出點(diǎn)A，B。使用直尺在點(diǎn)A，B間畫(huà)線，可以發(fā)現(xiàn)，只要直尺邊緣上有兩點(diǎn)分別與A，B重合，那么直尺邊緣就會(huì)全都在平板的平面上。公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。公理2不共線（不在同一條直線上）的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面。135根據(jù)公理1、公理2，可得出：推論1一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面（圖a）。推論2兩條相交直線確定一個(gè)平面（圖b）。推論3兩條平行直線確定一個(gè)平面（圖c）。136公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線。如圖所示，點(diǎn)A是平面α和β的一個(gè)公共點(diǎn)，則平面α和β有且只有一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的公共直線l。這時(shí)也稱(chēng)平面α和β相交于l。137空間直線的位置關(guān)系我們把類(lèi)似于圖中的那些不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線稱(chēng)為異面直線。空間中不重合的兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種：1381.平行———兩條直線在同一平面內(nèi)，且無(wú)公共點(diǎn)。2.相交———兩條直線在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。3.異面———兩條直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，無(wú)公共點(diǎn)。顯然，兩條異面直線具有下列特征：不平行、不相交、不同在任何一個(gè)平面內(nèi)。畫(huà)異面直線時(shí)，要以輔助平面作襯托，把兩條直線明顯地畫(huà)在不同的平面內(nèi)，以體現(xiàn)“異面”的特點(diǎn)。139空間的平行直線觀察如圖所示的V形架，它的兩條側(cè)邊a和b均平行于V形架底邊c，即a∥c，b∥c。容易看出，兩條側(cè)邊a與b也互相平行，即a∥b。公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行。公理4所表述的性質(zhì)，通常稱(chēng)為空間平行線的傳遞性。140等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。141異面直線所成的角如圖所示，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a'∥a，b'∥b。根據(jù)等角定理可知，a'和b'所成角的大小與點(diǎn)O位置的選取無(wú)關(guān)。我們把a(bǔ)'和b'所成的銳角（或直角）稱(chēng)為異面直線a與b所成的角（或夾角）。如果兩條異面直線a，b所成的角是直角，則稱(chēng)這兩條異面直線相互垂直，記作a⊥b。實(shí)例考察中長(zhǎng)方體的棱AA1與棱BC，以及蝸輪與蝸桿的軸線都相互垂直。1427.5直線與平面的位置關(guān)系143空間直線與平面的三種位置關(guān)系觀察圖a中線段AB1所在直線與長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的六個(gè)面的位置關(guān)系；再觀察圖b中正四棱錐側(cè)棱SA所在直線與正四棱錐的五個(gè)面的位置關(guān)系。通過(guò)實(shí)例觀察與分析，我們可以得到空間直線與平面的位置關(guān)系有且只有以下三種：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交和直線與平面平行。直線l與平面α相交和平行可以統(tǒng)稱(chēng)為直線在平面外，記作l?α。144145直線與平面平行的判定現(xiàn)在我們來(lái)觀察一扇門(mén)，門(mén)框左右兩條邊緣所在的直線是a，b。把墻面所在的平面記作α。若門(mén)關(guān)著，直線a，b同在平面α上，且a∥b；若門(mén)開(kāi)著，a離開(kāi)了平面α，但仍保持與b平行，而且a與平面α也是平行的。146一般地，我們可以得到下面的定理：線面平行判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線與此平面平行。147直線與平面平行的性質(zhì)線面平行性質(zhì)定理如果一條直線與一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線就與交線平行。148直線與平面垂直的判定如果直線l與平面α內(nèi)的任何直線都垂直，則稱(chēng)直線與平面互相垂直，記作l⊥α。l稱(chēng)為平面α的垂線，α稱(chēng)為直線l的垂面，l與α的交點(diǎn)稱(chēng)為垂足。從平面外一點(diǎn)向平面引垂線，這個(gè)點(diǎn)到垂足的距離稱(chēng)為點(diǎn)到平面的距離。一般地，我們可以得到下面的定理：線面垂直判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與此平面垂直。149直線與平面垂直的性質(zhì)如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在的直線都垂直于平面ABCD，而我們知道這四條棱是相互平行的。一般地，我們可以得到直線與平面垂直的性質(zhì)定理：線面垂直性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。150直線與平面所成的角如果一條直線與一個(gè)平面相交但不垂直，則稱(chēng)這條直線是平面的斜線，斜線與平面的交點(diǎn)稱(chēng)為斜足。如圖所示，從平面α外一點(diǎn)P，分別作α的垂線PO和斜線PA，其中O為垂足，A為斜足，則稱(chēng)PO是平面的垂線段，PA是平面的斜線段，OA是斜線段PA在平面內(nèi)的射影，垂足O稱(chēng)為點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影。斜線段和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，稱(chēng)為這條斜線段所在的斜線與平面所成的角。1517.6平面與平面的位置關(guān)系152將一本書(shū)放在桌面上，觀察它的封面和封底所在平面有什么關(guān)系。將該書(shū)打開(kāi)，再次觀察它的封面和封底所在平面有什么關(guān)系。通過(guò)實(shí)例可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)不重合的平面要么沒(méi)有公共點(diǎn)，要么有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)。我們將沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面稱(chēng)為平行平面，將有公共點(diǎn)的兩個(gè)不重合平面稱(chēng)為相交平面。153兩個(gè)平面平行的判定平面α與平面β平行，記作α∥β。一般地，我們可以得到下面的定理：面面平行判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。154根據(jù)上述定理，我們還能得到下面兩個(gè)推論：推論1如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面平行。推論2垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。155兩個(gè)平面平行的性質(zhì)一般地，我們有下面的定理：面面平行性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。我們把兩個(gè)平行平面間垂直線段的長(zhǎng)，稱(chēng)為這兩個(gè)平行平面間的距離。156二面角及其平面角沿著平面內(nèi)的一條直線將平面對(duì)折，得到兩個(gè)半平面，這兩個(gè)半平面組成的圖形稱(chēng)為二面角，這條直線稱(chēng)為二面角的棱，這兩個(gè)半平面稱(chēng)為二面角的面。如果棱用AB表示，二面角可以記作二面角α-AB-β；如果棱用l表示，則可記作二面角α-l-β。如果以二面角α-AB-β的棱AB上任意一點(diǎn)M為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面α，β內(nèi)分別作垂直于棱的射線MN，MP，則稱(chēng)∠NMP為這個(gè)二面角的平面角。二面角的大小用它的平面角來(lái)度量，且與點(diǎn)M在棱上的位置無(wú)關(guān)。平面角的取值范圍是[0，π]。平面角為90°的二面角稱(chēng)為直二面角。157158兩個(gè)平面垂直的判定兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，則稱(chēng)這兩個(gè)平面互相垂直。面面垂直判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。159兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)一般地，我們有下面的定理：面面垂直性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。如圖所示，設(shè)β⊥α，CD是平面α與β的交線，AB為平面β內(nèi)的一條直線，若AB⊥CD，則AB⊥α。1607.7空間向量161空間向量及其線性運(yùn)算與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示。方向相同且長(zhǎng)度相等的有向線段表示同一向量或相等的向量。如圖所示，已知空間向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作

=a，

=b。由O，A，B三點(diǎn)必定在同一個(gè)平面內(nèi)可以知道，任意兩個(gè)空間向量都可以用同一平面內(nèi)兩條有向線段來(lái)表示。162可以將平面向量的線性運(yùn)算推廣到空間，定義空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量的運(yùn)算。163164空間向量分解定理共線向量與共面向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱(chēng)為共線向量或平行向量，向量a與b平行或共線，記作a//b。與平面向量類(lèi)似有如下定理：165推論如果直線l經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a，那么對(duì)任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿(mǎn)足等式其中向量a稱(chēng)為直線l的方向向量，如圖所示。166在l上取

=a，則或當(dāng)t=

時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則①②式都稱(chēng)為空間直線的向量參數(shù)表示式，③式是線段AB的中點(diǎn)公式。167已知平面α與向量a，作

=a，如果直線OA平行于平面α或a在α內(nèi)，那么我們就說(shuō)向量a平行于平面α，記作a∥α。通常我們把平行于同一平面的向量稱(chēng)為共面向量，空間任意兩個(gè)向量，總是共面的，有如下定理：168但任意三個(gè)空間向量既可能是共面的，也可能不共面。推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y，使

，或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有

。169由定理可知，如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么空間的每一個(gè)向量都可以由向量a，b，c線性表示。我們把｛a，b，c｝稱(chēng)為空間的一個(gè)基底，a，b，c稱(chēng)為基向量。如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量?jī)蓛上嗷ゴ怪保敲催@個(gè)基底稱(chēng)為正交基底。特別地，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，這個(gè)基底為單位正交基底，通常用｛i，j，k｝表示。推論

設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都有唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使