《數(shù)學(xué)（上 二冊）（第二版）》 課件 第5-9章 平面向量 -排列組合與概率統(tǒng)計

平面向量第5章1目錄5.1平面向量的概念及其線性運算5.2平面向量的坐標表示5.3平面向量的數(shù)量積25.1平面向量的概念及其線性運算3平面向量的概念我們把類似位移、速度、力等既有大小又有方向的量稱為向量，而把那些只有大小沒有方向的量（如長度、時間、年齡等）稱為數(shù)量。處在平面內(nèi)的向量常被稱為平面向量。本章討論的向量都是平面向量。在實例考察關(guān)于力的實例中，重力G、浮力F都是用帶箭頭的線段表示的。線段的長度表示力的大小，線段的箭頭方向表示力的方向。由于帶箭頭的線段能直觀形象地反映向量的大小和方向，因此，我們通常用這種帶箭頭的線段來表示向量，線段的長度表示向量的大小，箭頭的方向表示向量的方向。4如圖a所示，A，B是線段的兩個端點。如果向量的方向是從A到B（A為起點，B為終點），則該向量可記作

，讀作“向量AB”如果方向相反（B為起點，A為終點），則該向量可記作

，讀作“向量BA”。顯然，

與

的大小相等且方向相反。用帶箭頭的線段表示一個已知向量時，線段的起點可以在平面上任何位置，被限定的只是終點相對于起點的位置。如圖b所示，一個水平向右、大小為50牛頓的力F可以用

來表示，也能用

來表示，即向量只與大小和方向有關(guān)，而與起點選取的位置無關(guān)。這樣的向量常被稱為自由向量。本章討論的向量都是自由向量。56向量也可以用小寫英文字母a，b，c，…表示。這些字母印刷時用黑體，手寫則應(yīng)寫成

，…的形式。向量有兩個基本要素：大小和方向。向量的大小稱為向量的模（或長度），向量

，a，

的長度分別記作

。我們把模為零的向量稱為零向量，記作0。零向量的方向是任意的。一排學(xué)生一起前進，在這一過程中，他們的位移方向相同；飛機在北京和重慶之間往返的位移方向相反。我們把方向相同或相反的非零向量稱為平行向量。如圖所示，a，b，c是三個平行向量，可記作a∥b∥c。7我們規(guī)定：零向量與任一向量平行，即0∥a。長度相等且方向相同的向量稱為相等向量。一排同學(xué)一起齊步前進，他們的位移就是相等向量。與向量a模相等且方向相反的向量b稱為向量a的負向量（或相反向量），記作b=-a。如圖所示，a，b，c是一組平行向量，在平面內(nèi)任意地作一條平行于上述向量的直線l。任選l上的一點O，可以作

。這就是說，任一組平行向量都可以被移到同一條直線上。所以，我們也將平行向量稱為共線向量。8平面向量的加減運算如圖所示，我們用字母A，B，C分別表示北京、上海、廣州三個城市所在的位置。如果一架飛機從A處（北京）飛到B處（上海），然后再從B處飛到C處（廣州），那么這架飛機兩次（飛行）位移

和

的和，與飛機從A處直接飛到C處的位移

相同。我們把位移

稱為位移

與

的和，記作9如圖所示，已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作

=a，

=b，則向量

稱為a與b的和向量，記作a+b，即求向量和的運算稱為向量的加法，上述這種求兩個向量和的方法稱為向量加法的三角形法則。10如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，因為

，所以

。。可見，

與

的和正好是以向量

，

為鄰邊的平行四邊形的對角線AC表示的向量。這種求不共線的兩個向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則。對于向量加法，我們規(guī)定：1.a+0=0+a=a。2.a+（-a）=0。向量加法還滿足下列運算律：1.a+b=b+a。2.（a+b）+c=a+（b+c）。通常我們將（a+b）+c記作a+b+c。11我們知道，減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。同樣地，我們定義a-b=a+（-b），即減去一個向量等于加上這個向量的負向量，所得到的向量稱為a與b的差向量。求向量差的運算稱為向量的減法。由向量減法的定義，起點相同的兩個向量

和

的差向量應(yīng)為由此，我們可以得到a-b的作圖方法。12如圖所示，在平面內(nèi)任取一點O，作

=a，

=b，則

=a-b。即起點相同的兩個向量a與b的差a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量。13向量的數(shù)乘運算如圖所示，桌面上放有質(zhì)量相等的4個鐵球，每個鐵球?qū)ψ烂娴膲毫是相等的，則桌面受到的總壓力是F+F+F+F。14如圖所示，我們作出則我們把F+F+F+F記作4F?？梢钥闯?，向量4F的方向與F的方向相同，向量4F的模是F的模的4倍，即15實數(shù)與向量相乘的運算稱為向量的數(shù)乘運算。對任意向量a，b，設(shè)λ，μ為實數(shù)，有1.λ（μa）=（λμ）a。2.（λ+μ）a=λa+μa。3.λ（a+b）=λa+λb。由數(shù)乘向量和共線向量的概念，可以得到165.2平面向量的坐標表示17向量的坐標表示如圖b所示，力F1=

，F(xiàn)2=

，它們的起點為同一個點O，

的終點M的坐標為（45，0），

的終點N的坐標為（0，60）。根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，兩個力F1，F(xiàn)2的合力F=

+

=

的終點A的坐標為（45，60）。因此，合力F的大小和方向分別為可以看出，在平面直角坐標系中，當(dāng)向量的起點位于坐標原點時，向量的長度和方向就由終點的坐標唯一確定。1819如圖a所示，在平面直角坐標系中，對于給定的一個向量a，我們總可以通過平移，使向量a的起點位于坐標原點O，這時向量a的終點A是唯一確定的。根據(jù)平行四邊形法則，向量a=

可以看成是兩個向量

與

的和。即設(shè)點A的坐標是（x，y），i，j分別是方向與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量（即模為1的向量）。則所以2021我們把用xi+yj來表示向量的形式稱為向量a的代數(shù)形式。把有序?qū)崝?shù)對（x，y）稱為向量a的坐標表示，也稱為坐標形式，記作而且，向量a的模為顯然，向量

終點A的坐標（x，y），就是向量

的坐標；反之亦然。22如上圖b所示，對于直角坐標系中任一向量

，起點A的坐標是（x1，y1），終點B的坐標是（x2，y2）。由向量的減法，得到根據(jù)向量的代數(shù)形式，可知所以

=（x2-x1，y2-y1），即23向量的坐標運算一在平面直角坐標系中，已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）

=（x1+x2）i+（y1+y2）j，即a+b=（x1+x2，y1+y2）。類似地，有

a-b=（x1-x2，y1-y2），λa=（λx1，λy1）。24由此，我們得到：設(shè)a的坐標為（x1，y1），b的坐標為（x2，y2）。如果a∥b（b≠0），那么存在一個實數(shù)λ，使得a=λb。坐標表示為（x1，y1）=λ（x2，y2）=（λx2，λy2），即25當(dāng)λ≠0時，上述方程組消去實數(shù)λ，得x1y2-x2y1=0。當(dāng)λ=0時，x1=y1=0，也有x1y2-x2y1=0，這一過程也可進行逆向推導(dǎo)。由此，我們得到：265.3平面向量的數(shù)量積27由物理學(xué)知識可知，力做的功等于力與受力物體在力的方向上移動距離的乘積。如圖所示，某同學(xué)在推小車，水平方向位移為s，推力F的方向與地面夾角為45°。那么，她做的功W等于力F在小推車位移方向上的分量|F|cos45°與小推車移動的距離|s|的乘積，即W=|F|cos45°·|s|=|F||s|cos45°。28平面向量的數(shù)量積在實例考察中，某同學(xué)做的功W=|F||s|cos45°，在這里，|F|是推力的大小，|s|是水平位移的大小，45°是力F和位移s的夾角，我們把W稱為向量F和s的數(shù)量積，它是一個數(shù)量。若任意非零向量a，b的夾角為θ（θ∈[0，π]），我們就把|a||b|cosθ稱為向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ。29由向量的數(shù)量積的定義，可得到以下重要性質(zhì)：1.a·a=|a||a|cos0°=|a|2，即有2.對于非零向量a，b，當(dāng)a⊥b時，有a·b=|a||b|cos90°=0。反之，當(dāng)a·b=0時，有a⊥b。3.對于任意向量a，b，c和實數(shù)m，有下列運算律：

a·b=b·a，

（ma）·b=m（a·b），（a+c）·b=a·b+c·b。30數(shù)量積的坐標表示在平面直角坐標系中，設(shè)向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），在x軸上的單位向量為i，在y軸上的單位向量為j，則有|i|=1，|j|=1，i·i=1，j·j=1，i·j=0，j·i=0，a=（x1，y1）=x1i+y1j，b=（x2，y2）=x2i+y2j。31所以

a·b=（x1i+y1j）·（x2i+y2j）

=x1x2i·i+x1y2i·j+y1x2j·i+y1y2j·j

=x1x2

i

2+y1y2

j2

=x1x2+y1y2，即

a·b=x1x2+y1y2。

①32式①稱為平面向量的數(shù)量積公式。由此可推出以下結(jié)論：設(shè)a=（x，y），則所以式②可用來計算平面上任意一點到坐標系原點的距離。33如果向量a是用起點A（x1，y1）和終點B（x2，y2）表示的，向量

的坐標為（x2-x1，y2-y1），從而點A和點B之間的距離為式③可用來計算平面上任意兩點之間的距離。由式①及互相垂直的向量數(shù)量積為0可以得到：當(dāng)a⊥b時，有反之，當(dāng)a·b=x1x2+y1y2=0時，有a⊥b。34平面解析幾何第6章35目錄6.1直線的傾斜角和斜率6.2直線的方程6.3兩條直線的位置關(guān)系6.4曲線和方程6.5圓6.6橢圓6.7雙曲線6.8拋物線366.1直線的傾斜角和斜率37如圖a所示，在平面直角坐標系中，當(dāng)直線l與x軸相交時，x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所形成的最小正角α，可以很好地反映直線l的傾斜程度，我們把α稱為直線l的傾斜角。圖b可以表示上海楊浦大橋橋塔上過同一點P的兩條拉索（同一平面內(nèi)）中，左側(cè)拉索所在直線的傾斜角α1是銳角，右側(cè)拉索所在直線的傾斜角α2是鈍角。圖c中的直線l垂直于x軸，它的傾斜角α是90°。圖d中直線l垂直于y軸，我們規(guī)定它的傾斜角α是0°。因此，直線l的傾斜角α的取值范圍是0°≤α<180°（或?qū)懽鳓痢蔥0，π））。38這樣，平面直角坐標系內(nèi)每一條直線都有一個確定的傾斜角α，且傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等；傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等。當(dāng)直線l的傾斜角α≠90°時，α與其正切tanα是一一對應(yīng)的，因此，直線的傾斜程度也可用tanα表示。我們把直線傾斜角α（α≠90°）的正切稱為直線的斜率。通常用小寫英文字母k表示，即39根據(jù)正切函數(shù)的知識，可以得到直線的傾斜角α與斜率k之間的關(guān)系如下：當(dāng)直線垂直于y軸時，α=0°?k=0；當(dāng)直線的傾斜角是銳角時，0°<α<90°?k>0；當(dāng)直線垂直于x軸時，α=90°?k不存在；當(dāng)直線的傾斜角是鈍角時，90°<α<180°?k<0。40事實上，無論直線的傾斜角α是銳角還是鈍角，我們都能得到如下結(jié)論：在平面直角坐標系中，經(jīng)過兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直線的斜率公式是設(shè)向量

=（v1，v2）與直線l平行，則向量

稱為直線l的方向向量。若P1（x1，y1），P2（x2，y2）是l上的兩點，則向量

=（x2-x1，y2-y1）為直線l的方向向量。由直線l的斜率公式k=

（x2≠x1）可得416.2直線的方程42直線的點向式方程如圖所示，如果直線l與兩條坐標軸都不垂直（斜率存在且不等于0），方向向量

=（v1，v2），且經(jīng)過點P（x1，y1），求直線l的方程。43設(shè)點C（x，y）是直線l上的不同于點P的任意一點，因為

為直線l的方向向量，且

=（x-x1，y-y1），所以方程①稱為直線的點向式方程。若直線l經(jīng)過兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），則向量

=（x2-x1，y2-y1）為直線l的方向向量。如果直線l與兩條坐標軸都不垂直，由點向式方程可得方程②稱為直線的兩點式方程。44直線的點斜式方程如圖所示，已知直線l經(jīng)過點P0（x0，y0），且斜率為k。設(shè)點P（x，y）是直線l上不同于點P0的任意一點，由直線的斜率公式，得將上式兩邊同乘以x-x0，得因為點P0的坐標（x0，y0）同樣滿足上述關(guān)系式，所以關(guān)系式③就是所求直線l的方程。由于這個方程是由直線l上一定點P0（x0，y0）和直線l的斜率k所確定的，所以把方程③稱為直線的點斜式方程。45直線的斜截式方程與截距式方程如圖所示，點P0是直線l與y軸的交點，設(shè)其坐標為（0，b），我們把b稱為直線l在y軸上的截距。此時，直線l的點斜式方程為y-b=k（x-0）即46方程④是由直線l的斜率k和在y軸上的截距b確定的，所以把方程④稱為直線的斜截式方程。若直線l與x軸相交于點A，設(shè)其坐標為（a，0），我們把a稱為直線l在x軸上的截距。我們把方程稱為直線的截距式方程。47直線的一般式方程從上述討論可知，直線的方程無論是點斜式還是斜截式，都是關(guān)于x，y的二元一次方程。二元一次方程的一般形式是：Ax+By+C=0（A，B不全為零）。那么，形如Ax+By+C=0（A，B不全為零）的二元一次方程的圖形是否為一條直線呢?我們通過下表來討論這個問題。4849綜上所述，方程Ax+By+C=0（A，B不全為零）在平面直角坐標系中表示的是一條直線。我們把形如的二元一次方程稱為直線的一般式方程。506.3兩條直線的位置關(guān)系51兩條直線平行的判定如圖所示，設(shè)直線l1和l2的傾斜角分別為α1和α2，斜率分別為k1和k2。52如果l1∥l2，那么直線l1與l2的傾斜角相等，即α1=α2，則tan

α1=tan

α2，即k1=k2。因此，若l1∥l2，則k1=k2。53如果直線l1與l2不重合，且k1=k2，即tan

α1=tan

α2（α1，α2∈[0，π）），則α1=α2，得到l1∥l2。因此，若k1=k2，則l1∥l2。于是，對于兩條不重合的直線l1與l2，若它們的斜率分別為k1與k2，則有若它們的斜率都不存在，那么它們的傾斜角均為90°，也有l(wèi)1∥l2。54兩條直線垂直的判定設(shè)兩條直線l1與l2的傾斜角分別為α1與α2（α1，α2≠90°），l1的方程為y=k1x+b1（k1≠0），l2的方程為y=k2x+b2（k2≠0）。我們來討論l1⊥l2時，它們的斜率k1與k2之間的關(guān)系。由圖a可得α1+（180°-α2）=90°，則所以k1=-

，即k1·k2=-1。5556因此，對斜率都存在的兩條直線l1與l2，當(dāng)l1⊥l2時，必有k1·k2=-1。反之，當(dāng)k1·k2=-1時，有則所以α1+（180°-α2）=90°，即l1⊥l2。因此，有如果兩條直線l1與l2的斜率一個等于0，另一個不存在，如上圖b所示，顯然，這兩條直線也垂直。57相交直線的交點設(shè)平面內(nèi)兩條不重合的直線的方程分別是l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0。如果l1，l2不平行，則必然相交于一點，交點的坐標既滿足l1的方程，又滿足l2的方程，是這兩個方程的公共解；反之，如果這兩個方程只有一個公共解，那么以這個解為坐標的點必是l1與l2的交點。因此，求兩條相交直線的交點，只需解以下方程組即可。這個方程組的解就是l1與l2的交點坐標。58點到直線的距離如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點P0（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0。過點P0作直線l的垂線P0Q，Q為垂足，則垂線段P0Q的長度就是點P0到直線l的距離，記作d?？梢宰C明，點P0（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離公式為596.4曲線和方程60曲線和方程的概念下面以圖b所示拋物線為例進行分析。二次函數(shù)y=x2的圖像是關(guān)于y軸對稱的拋物線，這條拋物線由所有以方程x2-y=0解為坐標的點組成的。也就是說，如果點P（x0，y0）是這條拋物線上的點，則（x0，y0）一定是這個方程的解。由此推廣到一般情況：在平面直角坐標系中，如果某條曲線C（可以將其看作適合某種條件的點的集合或軌跡）上點的坐標都是二元方程F（x，y）=0的解；同時以方程F（x，y）=0的解為坐標的點都在曲線C上，那么，方程F（x，y）=0稱為曲線C的方程，而曲線C是這個方程F（x，y）=0的曲線。6162求曲線的方程在平面上有兩定點A，B，現(xiàn)要尋找點P使PA⊥PB，你能求出滿足條件的點P的軌跡方程嗎?以線段AB的中點O為原點，以AB所在的直線為x軸，建立直角坐標xOy。設(shè)丨AB丨=2a（a>0），則點A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0）?，F(xiàn)設(shè)點P（x，y），由PA⊥PB，得kPA·kPB=-1，即整理得x2+y2=a2（x≠±a）。所以方程x2+y2=a2（x≠±a）就是點P的軌跡方程。63由此，我們可以總結(jié)出已知平面曲線求曲線方程的主要步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担唬?）設(shè)曲線上任意一點P（或動點）的坐標為（x，y）；（3）寫出點P的限制條件，即列出等式；（4）將點P的坐標代入等式，得方程F（x，y）=0；（5）化簡方程F（x，y）=0（此過程應(yīng)為同解變形）。由于化簡過程是同解變形，所以可以省略證明“以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點”的過程。64求兩條曲線的交點兩條曲線（包括直線）的交點坐標也就是兩條曲線的公共點的坐標。由曲線上點的坐標和其方程的解之間的關(guān)系可知，兩條曲線交點的坐標，應(yīng)該是這兩條曲線的方程所組成的方程組的實數(shù)解。反之，方程組有幾組實數(shù)解，兩條曲線就有幾個交點；若方程組無實數(shù)解，則兩條曲線就沒有交點。因此，求兩條曲線的交點就是求這兩條曲線的方程所組成的方程組的實數(shù)解。656.5圓66圓的標準方程如圖所示，在平面直角坐標系中，已知一個圓以點C（a，b）為圓心、r為半徑，設(shè)P（x，y）是圓上任意一點，則|PC|=r。由兩點之間的距離公式，可以得到關(guān)于點P的坐標的關(guān)系式將上式兩邊平方，得67若點P（x，y）在圓上，由上述討論可知，點P的坐標滿足方程①；反之，若點P的坐標（x，y）滿足方程①，則表明點P到圓心C的距離為r，即點P在以點C為圓心的圓上。所以方程①就是以點C（a，b）為圓心、r為半徑的圓的方程。我們稱這個方程為圓的標準方程。如果圓心在坐標系的原點，這時a=0，b=0，那么圓的標準方程就是

x2+y2=r2。

①68圓的一般方程圓的方程還有一種形式。我們看一個具體的例子，圖中，已知圓的圓心為C（6，-5），半徑r為4。由此，我們可以寫出這個圓的標準方程（x-6）2+（y+5）2=16。將上面的方程展開并整理得x2+y2-12x+10y+45=0。我們把方程x2+y2-12x+10y+45=0稱為這個圓的一般方程。通常，如果形如的方程能夠表示一個圓，我們就把它稱為圓的一般方程。需注意的是，與方程③類似的方程并不是都能表示一個圓。6970直線與圓的位置關(guān)系在平面幾何中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過直線與圓的三種不同的位置關(guān)系及它們的判定方法。已知圓C的半徑為r，設(shè)圓心C到直線l的距離為d。1.直線和圓有兩個公共點，稱為直線與圓相交，這時直線稱為圓的割線。直線l與圓C相交?d<r。2.直線和圓有唯一公共點，稱為直線與圓相切，這時直線稱為圓的切線，唯一公共點稱為切點。直線l與圓C相切?d=r。3.直線和圓沒有公共點，稱為直線與圓相離。直線l與圓C相離?d>r。71以上應(yīng)用了幾何方法判定直線與圓的位置關(guān)系。在平面直角坐標系中，圓的圓心為C（a，b），直線l的方程為Ax+By+C=0，則圓心C到直線l的距離d為比較d與r的大小，即可判定直線與圓的位置關(guān)系。應(yīng)用代數(shù)方法，從聯(lián)立方程組的解的個數(shù)，也能判定直線與圓的位置關(guān)系。通過方程組中的第一式用含有x的式子表示出y，代入第二式，得出一個關(guān)于x的一元二次方程，由這個一元二次方程的判別式Δ的符號就能判定直線與圓是相交、相切還是相離。72我們把上述討論的直線與圓的位置關(guān)系及判定方法總結(jié)如下：73圓的參數(shù)方程我們前面學(xué)習(xí)了直線的方程Ax+By+C=0（A，B不全為零）和圓的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）。直線和圓的方程都可以表示為F（x，y）=0的形式。方程F（x，y）=0描述了曲線上任一點的坐標x，y之間的關(guān)系，習(xí)慣上，我們把方程F（x，y）=0稱為曲線的普通方程。下面，我們要學(xué)習(xí)曲線方程的另一種形式———參數(shù)方程。如圖所示，設(shè)圓心在原點、半徑為r的圓O與x軸的正半軸的交點是A。74設(shè)在圓上的點從點A開始按逆時針方向運動到達點P，∠AOP=θ，則點P的位置與旋轉(zhuǎn)角θ有關(guān)。當(dāng)θ確定時，點P在圓上的位置也就確定了。點P在圓上的位置是隨θ的變化而變化。點P的橫坐標與縱坐標都是θ的函數(shù)，由三角函數(shù)的定義得并且對于θ的每一個允許值，由方程組①所確定的點P（x，y）都在圓O上。方程組①稱為圓心在原點、半徑為r的圓的參數(shù)方程，其中θ是參數(shù)。75一般地，在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點P的坐標x，y都是某個變量t的函數(shù)，即并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點P（x，y）都在這條曲線上，則方程組就稱為這條曲線的參數(shù)方程。變量t稱為參變數(shù)，簡稱參數(shù)。76將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識別曲線的類型。曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，它們都表示曲線上任意一點的坐標之間的關(guān)系。曲線的參數(shù)方程

消去參數(shù)t后即化為曲線的普通方程，但要注意的是消參數(shù)的過程中一定要保證不使方程的取值范圍發(fā)生改變。776.6橢圓78觀察下面圖片中所顯示的曲線，你能說出生活中存在的類似的曲線嗎?一杯水圖所示水杯的杯口為圓形，杯中盛有水。豎直放置時，杯中水面的輪廓為圓形；現(xiàn)將杯口傾斜（無水溢出），觀察杯中水面輪廓形成的曲線。這一曲線與圓相比具有什么特征?一條曲線取一根沒有伸縮性的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2

兩點，且使繩長大于F1和F2之間的距離。用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，筆尖就畫出了如圖所示的一條曲線。79橢圓的定義及其標準方程實例考察中，上圖中杯中水面的輪廓和上圖中畫出的曲線都是橢圓。分析上面的作圖方法不難看出，橢圓上的任意一點到點F1和F2的距離的和為定值。我們定義：下面，我們來建立橢圓的方程。如圖所示，以過焦點F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系。80設(shè)P（x，y）是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c（c>0），那么，焦點F1，F(xiàn)2的坐標分別是（-c，0），（c，0）。又設(shè)點P與F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)2a（a>0），于是有|PF1|+|PF2|=2a。應(yīng)用兩點間的距離公式，并把P，F(xiàn)1和F2的坐標代入，得整理得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）。81由橢圓的定義可知，2a>2c，即a>c>0，所以a2-c2>0。為了使方程變得簡單整齊，可令a2-c2=b2（b>0），則方程變?yōu)閎2x2+a2y2=a2b2，兩邊同除以a2b2，得這個方程稱為橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1（-c，0）和F2（c，0），其中a2=b2+c2。82如果以經(jīng)過兩個焦點F1和F2的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸，如圖所示，用同樣的方法，可得橢圓的方程為這個方程是一個焦點在y軸上的橢圓的標準方程，焦點為F1（0，-c）和F2（0，c），其中a，b，c之間仍然滿足a2=b2+c2。83橢圓的幾何性質(zhì)通過曲線的方程來研究曲線的幾何性質(zhì)并正確畫出圖形是解析幾何的基本問題之一，我們可以根據(jù)橢圓的標準方程，來研究橢圓的幾何性質(zhì)。現(xiàn)給出下表供讀者學(xué)習(xí)、研究。8485借助上表所列的幾何性質(zhì)可以畫出橢圓的草圖。其步驟是：1.根據(jù)橢圓的標準方程標出四個頂點；2.過這四個頂點作坐標軸的平行線，得到橢圓的界定矩形；3.用平滑的曲線將四個頂點連成一個橢圓，連接時要注意橢圓的對稱性及頂點附近的平滑性。86橢圓的參數(shù)方程我們知道在同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中有恒等式cos2

θ+sin2

θ=1，且橢圓的標準方程為因此，可以令

即（θ為參數(shù)）

這就是橢圓的參數(shù)方程。其中，常數(shù)a，b分別是橢圓的長半軸長和短半軸長。根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，橢圓上任一點的坐標可設(shè)成（acosθ

，bsin

θ），這為解決橢圓問題提供了一條新的途徑。876.7雙曲線88雙曲線的定義和標準方程顯然，圖所畫曲線的特點是，其上任意一點到點F1和F2的距離的差的絕對值相等。我們定義：89與橢圓類似，以過焦點F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2

的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系。設(shè)P（x，y）是雙曲線上的任意一點，雙曲線的焦距為2c（c>0），則兩個焦點的坐標分別為F1（-c，0）和F2（c，0）。又設(shè)點P與F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值為2a（0<a<c），即丨PF1丨-丨PF2丨=±2a。90由兩點間的距離公式得所以整理得（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）。91由于0<a<c，所以c2-a2>0。令c2-a2=b2（b>0），代入上式，得b2x2-a2y2=a2b2，兩邊同除以a2b2，得這個方程稱為雙曲線的標準方程，它表示焦點在x軸上的雙曲線，其中a，b，c之間的關(guān)系是c2=a2+b2。92如圖所示，如果以經(jīng)過兩個焦點F1和F2的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸，用同樣的方法可得雙曲線的方程為這個方程是焦點在y軸上的雙曲線的標準方程，其中a，b，c間的關(guān)系仍然為c2=a2+b2。93雙曲線的幾何性質(zhì)仿照討論橢圓幾何性質(zhì)的方法，根據(jù)雙曲線的標準方程來研究雙曲線的幾何性質(zhì)，給出下表：9495借助上表所列的幾何性質(zhì)，可以快速畫出雙曲線的草圖。步驟是：1.根據(jù)雙曲線的標準方程畫出雙曲線的漸近線（漸近線把平面分割成四個部分）；2.標出雙曲線的頂點，用描點法畫出雙曲線在第一象限的草圖；3.利用雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲線。當(dāng)然，也可以使用計算機軟件便捷地繪制圖像。966.8拋物線97拋物線的定義及其標準方程噴泉噴出的水的運動軌跡（曲線）正是我們見過的二次函數(shù)的圖像，即拋物線。用實例考察中的方法畫出的曲線也是拋物線，對稱軸是水平直線。分析畫拋物線的作圖方法不難看出，曲線上的任意一點到直尺的距離與到點F的距離相等。我們定義：98下面，我們來建立拋物線的方程。如圖所示，使x軸經(jīng)過點F且垂直于直線l，垂足為H，并使原點O與線段HF的中點重合，建立直角坐標系xOy。99設(shè)|HF|=p（p>0），那么焦點F的坐標為

，準線l的方程為x=

。設(shè)P（x，y）是拋物線上的任意一點，作PN⊥l，垂足為

，由拋物線的定義可知|PF|=|PN|。由兩點間的距離公式得100展開整理得y2=2px（p>0）。這個方程稱為拋物線的標準方程，它表示焦點在x軸的正半軸上的拋物線（開口向右），它的焦點為F

，準線方程為x=

。在建立拋物線的標準方程時，如果建立的直角坐標系使焦點在不同的坐標軸上，則得到的標準方程也不同，所以拋物線的標準方程還有另外三種形式。四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程見下表。101102103拋物線的幾何性質(zhì)根據(jù)拋物線的標準方程，研究拋物線的范圍、對稱性、頂點、離心率等，列表如下：立體幾何第7章104目錄7.1空間幾何體7.2空間幾何體的三視圖和直觀圖7.3簡單幾何體的表面積和體積7.4空間直線的位置關(guān)系7.5直線與平面的位置關(guān)系7.6平面與平面的位置關(guān)系7.7空間向量1057.1空間幾何體106棱柱和棱錐的幾何特征由若干個平面多邊形所圍成的幾何體稱為多面體。構(gòu)成多面體的各個平面多邊形稱為多面體的面。一個多面體中，相鄰面的公共邊稱為多面體的棱，棱與棱的交點稱為多面體的頂點。107棱柱圖所示的計算機機箱和茶葉盒我們都非常熟悉。仔細觀察兩者的外形簡圖，就會發(fā)現(xiàn)它們的共同特點：兩幅簡圖所示的幾何體都是多面體；每個多面體都至少有兩個平面平行，且總能找到這樣的兩個互相平行的平面；不在這兩個面上的棱都互相平行。由此，我們可以把具有上述特點的幾何體歸為一類。108棱柱中，兩個互相平行的面稱為棱柱的底面，簡稱底；兩底面間的距離為棱柱的高；其余各面稱為棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊稱為棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點稱為棱柱的頂點。底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱……我們常用底面頂點的字母表示棱柱。109圖中的（1）（6）（11）（12）和（13）都是具有棱柱結(jié)構(gòu)的物體。觀察這些棱柱可知，它們的側(cè)棱與底面垂直，我們把這樣的棱柱稱為直棱柱。其中（1）（11）（12）和（13）的底面都是全等的正多邊形，側(cè)面都是全等的矩形，我們把它們稱為正棱柱。圖中的（1）（11）（12）和（13）分別是正四棱柱、正三棱柱、正五棱柱和正六棱柱。110棱錐觀察上圖中的（2）（3）（7）（10）和（16）可以發(fā)現(xiàn)，它們都有一個面是多邊形，其余各面是具有一個公共頂點的三角形。在棱錐中，多邊形的面稱為棱錐的底面（或底）；有公共頂點的各個三角形稱為棱錐的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊稱為棱錐的側(cè)棱；各側(cè)棱的公共點稱為棱錐的頂點；頂點到底面的距離稱為棱錐的高。底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱錐分別稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐……其中三棱錐又稱四面體。棱錐也用頂點和底面各頂點的字母表示。111上圖中的（3）（7）（10）和（16）都是棱錐，而且它們的底面是正多邊形，側(cè)面是全等的等腰三角形，我們把這樣的棱錐稱為正棱錐。上圖中的（3）（7）（10）和（16）分別是正四棱錐、正三棱錐、正五棱錐和正六棱錐。112圓柱和圓錐的幾何特征圓柱我們用一個長方形的硬紙片繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，就能得到一個幾何體。下圖所示是矩形O'OBB'以一邊O'O所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱。113我們把旋轉(zhuǎn)軸稱為圓柱的軸；垂直于軸的邊O'B'，OB旋轉(zhuǎn)而形成的圓面稱為圓柱的底面；兩個底面之間的距離稱為圓柱的高；平行于軸的邊B'B旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊B'B都稱為圓柱的母線。圓柱可以用表示它的軸的字母表示。例如上，圖的圓柱可以表示為圓柱O'O。我們通常將圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體。114圓錐與圓柱一樣，圓錐也是由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成的。下圖所示是直角三角形SBO以一條直角邊SO所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓錐。115我們把旋轉(zhuǎn)軸稱為圓錐的軸；直角邊SO的長度稱為圓錐的高；另一條直角邊OB旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為圓錐的底面；斜邊SB旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為圓錐的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，斜邊SB都稱為圓錐的母線。圓錐可以用表示它的軸的字母表示。例如，上圖所示的圓錐可以表示為圓錐SO。圖中的（4）和（15）就是圓錐形物體。我們通常將圓錐和棱錐統(tǒng)稱為錐體。116球的結(jié)構(gòu)特征同樣，球也是由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成的。圖所示的球是半圓以直徑AB所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的。在這個球中，AB的中點O稱為球心；通過球心，且兩端在球面上的線段稱為球的直徑；兩端分別為球心和球面上任意一點的線段稱為球的半徑。球常用表示球心的字母表示。117簡單組合體記得小時候玩過的積木嗎?我們可以使用很多簡單的幾何體，例如圓柱、長方體等搭建出各種各樣的房屋、城堡、家具（圖a）等。再觀察如圖b所示的零件，從整體看，它不屬于前面學(xué)過的任何一種幾何體，但它是由一個正六棱柱和一個圓柱組成的，我們把它稱為簡單組合體。在現(xiàn)實生活中，我們接觸到的物體大多由具有柱、錐、球等幾何特征的物體組合而成，它們都是簡單組合體。1187.2空間幾何體的三視圖和直觀圖119空間幾何體的三視圖我們想象有平行射線分別對幾何體從前向后（主視方向）、從上向下（俯視方向）和從左向右（左視方向）投射，這時在幾何體的后面、下面和右面的平面上所得到的平面圖形分別稱為幾何體的主視圖、俯視圖和左視圖。如圖c所示，保持主視圖平面不動，將俯視圖平面向下旋轉(zhuǎn)90°，左視圖平面向右旋轉(zhuǎn)90°，這樣三個視圖就在一個平面上了。以這三種視圖方式來表現(xiàn)空間幾何體結(jié)構(gòu)的圖就稱為空間幾何體的三視圖。圖d就是同學(xué)甲所搭建幾何體的三視圖。120121空間幾何體的直觀圖對于空間幾何體的直觀圖，我們并不陌生。例如在“游戲二”中，圖就是同學(xué)甲用13個正方體搭建的幾何體的直觀圖。直觀圖都有較強的立體感，接近人們直接觀察的效果。水平放置的平面圖形在直觀圖中變化較明顯，如正方體的上、下底面變成了平行四邊形，圓柱的上、下底面變成了類似橢圓的圖形。因此，要畫空間幾何體的直觀圖，就要先研究水平放置的平面圖形的直觀圖。1227.3簡單幾何體的表面積和體積123正棱柱與正棱錐的表面積和體積將較厚的紙板按圖的樣子分別畫好并剪裁，再把它沿虛線折起來并粘上，做成模型。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，由圖a所示紙板折成的模型是正五棱柱：中間的矩形成了五棱柱的側(cè)面，上下兩個五邊形成了正五棱柱的兩個底面，且矩形的長等于正五棱柱底面的周長，矩形的寬為正五棱柱的側(cè)棱長，即正五棱柱的高。實際上，圖a就是正五棱柱的表面展開圖。表面展開圖的面積就是正五棱柱的表面積，即S表=S側(cè)+2S底。124125由圖b所示紙板折成的模型是正五棱錐：五個全等的等腰三角形圍成了棱錐的側(cè)面，正五邊形為棱錐的底面，且五個等腰三角形底邊長的和等于正五棱錐底面的周長，等腰三角形的腰長為側(cè)棱長。實際上，圖b就是正五棱錐的表面展開圖。表面展開圖的面積就是正五棱錐的表面積，即S表=S側(cè)+S底。正棱柱、正棱錐的側(cè)面展開圖及側(cè)面積、表面積、體積的計算見下表。126圓柱與圓錐的表面積和體積用紙剪出一個矩形和一個扇形。把矩形卷起來，并把它的一組對邊粘好；再把扇形卷起來，并把它的兩條半徑粘好。觀察可以發(fā)現(xiàn)，由矩形圍成的是一個圓柱體的側(cè)面。可以知道，圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，且矩形的長等于圓柱底面圓的周長，寬為母線長，即圓柱的高。圓柱的底面為兩個全等的圓面。由扇形圍成的是一個圓錐體的側(cè)面。可以知道，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，且扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半徑為圓錐的母線長。圓錐的底面為一個圓。127圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖及側(cè)面積、表面積、體積的計算見下表。128球的表面積和體積1297.4空間直線的位置關(guān)系130平面的表示方法正像直線是可以無限延伸的一樣，平面也是可以無限延伸的，也就是說，平面是沒有邊界的。在日常生活中常見的桌面、黑板面等，都只是平面的局部形象。平面可以用一個小寫希臘字母表示，如平面α、平面β、平面γ等；也可以用平面上三個（或三個以上）不在同一直線上點表示。131例如，在圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，下底面可用“平面ABCD”表示；有時，也用平行四邊形對角線上的頂點字母表示平面，例如，“平面ABCD”也可表示為“平面AC”或“平面BD”。132要在紙上畫出一個無限延展的平面時，通常只畫出平面的一個局部，并畫成平行四邊形。例如，圖a表示的是一個水平放置的平面α；圖b表示的是豎直放置的平面的三種畫法，其中平面α、平面β和平面γ分別表示在觀察者的左前方、正前方和右前方的平面。133當(dāng)一個平面的一部分被另一個平面遮住時，被遮部分的線段應(yīng)畫成虛線或不畫。134點、直線與平面的確定找一塊平板，在它的某一面（該面平整）上任意畫出點A，B。使用直尺在點A，B間畫線，可以發(fā)現(xiàn)，只要直尺邊緣上有兩點分別與A，B重合，那么直尺邊緣就會全都在平板的平面上。公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。公理2不共線（不在同一條直線上）的三個點確定一個平面。135根據(jù)公理1、公理2，可得出：推論1一條直線和直線外一點確定一個平面（圖a）。推論2兩條相交直線確定一個平面（圖b）。推論3兩條平行直線確定一個平面（圖c）。136公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條經(jīng)過這個點的公共直線。如圖所示，點A是平面α和β的一個公共點，則平面α和β有且只有一條經(jīng)過點A的公共直線l。這時也稱平面α和β相交于l。137空間直線的位置關(guān)系我們把類似于圖中的那些不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線稱為異面直線?？臻g中不重合的兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種：1381.平行———兩條直線在同一平面內(nèi)，且無公共點。2.相交———兩條直線在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點。3.異面———兩條直線不同在任何一個平面內(nèi)，無公共點。顯然，兩條異面直線具有下列特征：不平行、不相交、不同在任何一個平面內(nèi)。畫異面直線時，要以輔助平面作襯托，把兩條直線明顯地畫在不同的平面內(nèi)，以體現(xiàn)“異面”的特點。139空間的平行直線觀察如圖所示的V形架，它的兩條側(cè)邊a和b均平行于V形架底邊c，即a∥c，b∥c。容易看出，兩條側(cè)邊a與b也互相平行，即a∥b。公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行。公理4所表述的性質(zhì)，通常稱為空間平行線的傳遞性。140等角定理空間中如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。141異面直線所成的角如圖所示，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O作直線a'∥a，b'∥b。根據(jù)等角定理可知，a'和b'所成角的大小與點O位置的選取無關(guān)。我們把a'和b'所成的銳角（或直角）稱為異面直線a與b所成的角（或夾角）。如果兩條異面直線a，b所成的角是直角，則稱這兩條異面直線相互垂直，記作a⊥b。實例考察中長方體的棱AA1與棱BC，以及蝸輪與蝸桿的軸線都相互垂直。1427.5直線與平面的位置關(guān)系143空間直線與平面的三種位置關(guān)系觀察圖a中線段AB1所在直線與長方體ABCD-A1B1C1D1的六個面的位置關(guān)系；再觀察圖b中正四棱錐側(cè)棱SA所在直線與正四棱錐的五個面的位置關(guān)系。通過實例觀察與分析，我們可以得到空間直線與平面的位置關(guān)系有且只有以下三種：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交和直線與平面平行。直線l與平面α相交和平行可以統(tǒng)稱為直線在平面外，記作l?α。144145直線與平面平行的判定現(xiàn)在我們來觀察一扇門，門框左右兩條邊緣所在的直線是a，b。把墻面所在的平面記作α。若門關(guān)著，直線a，b同在平面α上，且a∥b；若門開著，a離開了平面α，但仍保持與b平行，而且a與平面α也是平行的。146一般地，我們可以得到下面的定理：線面平行判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線與此平面平行。147直線與平面平行的性質(zhì)線面平行性質(zhì)定理如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就與交線平行。148直線與平面垂直的判定如果直線l與平面α內(nèi)的任何直線都垂直，則稱直線與平面互相垂直，記作l⊥α。l稱為平面α的垂線，α稱為直線l的垂面，l與α的交點稱為垂足。從平面外一點向平面引垂線，這個點到垂足的距離稱為點到平面的距離。一般地，我們可以得到下面的定理：線面垂直判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與此平面垂直。149直線與平面垂直的性質(zhì)如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在的直線都垂直于平面ABCD，而我們知道這四條棱是相互平行的。一般地，我們可以得到直線與平面垂直的性質(zhì)定理：線面垂直性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。150直線與平面所成的角如果一條直線與一個平面相交但不垂直，則稱這條直線是平面的斜線，斜線與平面的交點稱為斜足。如圖所示，從平面α外一點P，分別作α的垂線PO和斜線PA，其中O為垂足，A為斜足，則稱PO是平面的垂線段，PA是平面的斜線段，OA是斜線段PA在平面內(nèi)的射影，垂足O稱為點P在平面內(nèi)的射影。斜線段和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，稱為這條斜線段所在的斜線與平面所成的角。1517.6平面與平面的位置關(guān)系152將一本書放在桌面上，觀察它的封面和封底所在平面有什么關(guān)系。將該書打開，再次觀察它的封面和封底所在平面有什么關(guān)系。通過實例可以發(fā)現(xiàn)，兩個不重合的平面要么沒有公共點，要么有無數(shù)個公共點。我們將沒有公共點的兩個平面稱為平行平面，將有公共點的兩個不重合平面稱為相交平面。153兩個平面平行的判定平面α與平面β平行，記作α∥β。一般地，我們可以得到下面的定理：面面平行判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。154根據(jù)上述定理，我們還能得到下面兩個推論：推論1如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面平行。推論2垂直于同一條直線的兩個平面平行。155兩個平面平行的性質(zhì)一般地，我們有下面的定理：面面平行性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。我們把兩個平行平面間垂直線段的長，稱為這兩個平行平面間的距離。156二面角及其平面角沿著平面內(nèi)的一條直線將平面對折，得到兩個半平面，這兩個半平面組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個半平面稱為二面角的面。如果棱用AB表示，二面角可以記作二面角α-AB-β；如果棱用l表示，則可記作二面角α-l-β。如果以二面角α-AB-β的棱AB上任意一點M為端點，在兩個半平面α，β內(nèi)分別作垂直于棱的射線MN，MP，則稱∠NMP為這個二面角的平面角。二面角的大小用它的平面角來度量，且與點M在棱上的位置無關(guān)。平面角的取值范圍是[0，π]。平面角為90°的二面角稱為直二面角。157158兩個平面垂直的判定兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，則稱這兩個平面互相垂直。面面垂直判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直。159兩個平面垂直的性質(zhì)一般地，我們有下面的定理：面面垂直性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。如圖所示，設(shè)β⊥α，CD是平面α與β的交線，AB為平面β內(nèi)的一條直線，若AB⊥CD，則AB⊥α。1607.7空間向量161空間向量及其線性運算與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示。方向相同且長度相等的有向線段表示同一向量或相等的向量。如圖所示，已知空間向量a，b，在空間任取一點O，作

=a，

=b。由O，A，B三點必定在同一個平面內(nèi)可以知道，任意兩個空間向量都可以用同一平面內(nèi)兩條有向線段來表示。162可以將平面向量的線性運算推廣到空間，定義空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量的運算。163164空間向量分解定理共線向量與共面向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，向量a與b平行或共線，記作a//b。與平面向量類似有如下定理：165推論如果直線l經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量a，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，滿足等式其中向量a稱為直線l的方向向量，如圖所示。166在l上取

=a，則或當(dāng)t=

時，點P是線段AB的中點，則①②式都稱為空間直線的向量參數(shù)表示式，③式是線段AB的中點公式。167已知平面α與向量a，作

=a，如果直線OA平行于平面α或a在α內(nèi)，那么我們就說向量a平行于平面α，記作a∥α。通常我們把平行于同一平面的向量稱為共面向量，空間任意兩個向量，總是共面的，有如下定理：168但任意三個空間向量既可能是共面的，也可能不共面。推論空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y，使

，或?qū)臻g任一定點O，有

。169由定理可知，如果三個向量a，b，c不共面，那么空間的每一個向量都可以由向量a，b，c線性表示。我們把｛a，b，c｝稱為空間的一個基底，a，b，c稱為基向量。如果空間一個基底的三個基向量兩兩相互垂直，那么這個基底稱為正交基底。特別地，當(dāng)一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，這個基底為單位正交基底，通常用｛i，j，k｝表示。推論

設(shè)O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任一點P，都有唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使

。

170空間向量的數(shù)量積171空間向量的數(shù)量積具有如下性質(zhì)：（1）a·e=|a|cos〈a，e〉（e是單位向量）。（2）a⊥b?a·b=0。（3）|a|2=a·a。（4）λ（a·b）=（λa）·b。（5）a·b=b·a。（6）a·（b+c）=a·b+a·c。172空間向量的坐標運算空間直角坐標系從空間某一個定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標系O-xyz。點O稱為坐標原點。通過每兩個坐標軸的平面稱為坐標平面，三個坐標平面分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面。173畫空間直角坐標系O-xyz時，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°。在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指能指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系，本書建立的坐標系都是右手直角坐標系。174如圖所示，在空間直角坐標系O-xyz中，分別取與x軸、y軸、z軸方向相同的單位向量i，j，k作為基向量，對于空間任意一個向量a，根據(jù)空間向量分解定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使a=xi+yj+zk。有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）稱為a在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，記作a=（x，y，z）。175在空間直角坐標系O-xyz中，對于任意一點A（x，y，z），向量

是確定的，容易得到因此，向量

的坐標為（x，y，z）。這就是說，當(dāng)空間向量a的起點移至坐標原點時，其終點的坐標就是向量a的坐標。176空間向量的直角坐標運算設(shè)則177復(fù)數(shù)第8章178目錄8.1復(fù)數(shù)的概念8.2復(fù)數(shù)的四則運算8.3復(fù)數(shù)的極坐標形式和指數(shù)形式1798.1復(fù)數(shù)的概念180復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)集如圖所示，我們可以把逆時針轉(zhuǎn)180°看成是先逆時針轉(zhuǎn)一半（90°），再逆時針轉(zhuǎn)一半（90°）。仿照將乘-1看作逆時針轉(zhuǎn)180°的方式，我們引入符號i，將乘i看作逆時針轉(zhuǎn)90°。這樣，兩次乘i就逆時針轉(zhuǎn)了180°，相當(dāng)于乘-1。即i×i=i2=-1。181因此，i是-1的一個平方根。需要說明的是，i不是實數(shù)，也不表示具體的數(shù)量，稱為虛數(shù)單位。有了虛數(shù)單位i，任何負數(shù)都能開方。例如，由（±2i）2=（±2）2·i2=-4得到-4的平方根為±2i。182183全體復(fù)數(shù)組成的集合稱為復(fù)數(shù)集，用字母C表示，即C={z|z=a+bi，a，b∈R}。復(fù)數(shù)z表示成a+bi（a，b∈R）的形式稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，并規(guī)定：0+0i=0，0+bi=bi。當(dāng)b=0時，復(fù)數(shù)z=a+bi=a稱為實數(shù)。當(dāng)b≠0時，復(fù)數(shù)z=a+bi稱為虛數(shù)，其中，當(dāng)a=0且b≠0時，復(fù)數(shù)z=a+bi=bi稱為純虛數(shù)。把數(shù)系擴展到復(fù)數(shù)系后，復(fù)數(shù)的分類如下：如果兩個復(fù)數(shù)的實部相等，且虛部也相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等，即若a，b，c，d∈R，則如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)，我們知道它們可以比較大小。如果兩個復(fù)數(shù)不都是實數(shù)，即至少有一個不是實數(shù)，那么它們只有相等與不相等兩種關(guān)系，而不能比較大小。184復(fù)平面及相關(guān)概念復(fù)平面任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi對應(yīng)一個有序?qū)崝?shù)對（a，b）；反之，任何一個有序?qū)崝?shù)對（a，b）對應(yīng)一個復(fù)數(shù)z=a+bi。例如：有序?qū)崝?shù)對（a，b）與平面直角坐標系中的點Z（a，b）是一一對應(yīng)的，因此，可借用平面直角坐標系中的點Z（a，b）來表示復(fù)數(shù)z=a+bi，也可以用復(fù)數(shù)z=a+bi來描述平面直角坐標系中的點Z（a，b）。185如圖所示，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，它表示復(fù)數(shù)z=a+bi。我們把這種建立了直角坐標系用來表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面。這時，x軸稱為實軸，y軸除去原點的部分稱為虛軸。顯然，實軸上的點都表示實數(shù)，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。按照這種表示方法，任意一個復(fù)數(shù)，都有復(fù)平面上唯一確定的一個點與它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面上任意一個點，也都有唯一確定的一個復(fù)數(shù)與它對應(yīng)。由此可知，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面上所有的點組成的集合是一一對應(yīng)的。186觀察下面兩對復(fù)數(shù)：?z1=3+i與z2=3-i；?z1=-1+2i與z2=-1-2i?？梢园l(fā)現(xiàn)，第一對復(fù)數(shù)z1=3+i與z2=3-i的實部相等，虛部互為相反數(shù)，如圖a所示，它們所對應(yīng)的點A與B關(guān)于實軸對稱；第二對復(fù)數(shù)z1=-1+2i與z2=-1-2i和第一對復(fù)數(shù)具有相同的特征。187例如，復(fù)數(shù)3+i的共軛復(fù)數(shù)是3-i，純虛數(shù)i的共軛復(fù)數(shù)是-i，實數(shù)5的共軛復(fù)數(shù)是5?；楣曹棌?fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)z=a+bi與

=a-bi所對應(yīng)的點Z（a，b）與點Z'（a，-b）關(guān)于實軸對稱，如圖所示。188用向量表示復(fù)數(shù)如圖所示，設(shè)任意一個復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上所對應(yīng)的點為Z（a，b）。連接OZ，顯然點Z可以唯一確定一個有向線段

，習(xí)慣上，把有向線段

稱為向量

（物理學(xué)中也稱為矢量）；反過來，任意一個向量

也可以唯一確定一個點Z（a，b）。由此可知，點Z與向量

一一對應(yīng)。因此，復(fù)數(shù)z=a+bi與向量

也是一一對應(yīng)的，即復(fù)數(shù)集C中的元素與復(fù)平面內(nèi)所有以原點O為起點的向量組成的集合中的元素是一一對應(yīng)的。所以，我們可以用向量

表示復(fù)數(shù)z=a+bi。通常，我們規(guī)定：相等的向量表示同一個復(fù)數(shù)。189向量

的大?。ㄓ邢蚓€段

的長度）稱為復(fù)數(shù)z=a+bi的模（或絕對值），記作|z|或|a+bi|，由模的定義可知：特別地，當(dāng)虛部為零，即復(fù)數(shù)z=a+bi=a是實數(shù)時，它的模等于|a|，就是實數(shù)a的絕對值；當(dāng)復(fù)數(shù)z=0時，它的模等于0。190復(fù)數(shù)的輻角與輻角主值設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi對應(yīng)于向量

，以實軸的正半軸為始邊，向量

為終邊的角θ，稱為復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角，它表示出向量

的方向。顯然，非零復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角不是唯一的。若θ是復(fù)數(shù)的一個輻角，則2kπ+θ（k∈Z）也是復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角。我們把[0，2π）范圍內(nèi)的輻角θ的值稱為輻角的主值，記作arg

z，即0≤arg

z<2π，如圖所示。191例如，由任意角的三角函數(shù)定義可知，若已知角θ終邊上一點Z的坐標為（a，b），則從而可以確定復(fù)數(shù)z=a+bi（a≠0）的輻角θ，角θ終邊所在的象限就是復(fù)數(shù)z=a+bi所對應(yīng)的點Z（a，b）所在的象限。192一對共軛復(fù)數(shù)z=a+bi與

=a-bi在復(fù)平面上對應(yīng)于點A和B，點A和點B關(guān)于實軸對稱，如圖所示。設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi的模為r，輻角為θ，則共軛復(fù)數(shù)

=a-bi的模也是r，它的輻角為-θ。193復(fù)數(shù)的三角形式設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi的模為r，輻角為θ，由圖可知z=a+bi=rcosθ+irsinθ=r（cosθ+isinθ），其中輻角θ終邊所在的象限就是復(fù)平面上的點Z（a，b）所在的象限。因此，任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成z=r（cosθ+isinθ）。我們把這種表示形式稱為復(fù)數(shù)的三角形式。1948.2復(fù)數(shù)的四則運算195復(fù)數(shù)的加法運算我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的加法法則為：很明顯，兩個復(fù)數(shù)的和仍是一個復(fù)數(shù)。容易驗證，復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即對于任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3，有z1+z2=z2+z1，（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）。196設(shè)z1，z2，z依次對應(yīng)向量

。容易證明，以O(shè)，A，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形。因此，已知

就可以用畫平行四邊形的方法求得

。這種方法稱為平行四邊形法則。也就是說，復(fù)數(shù)的