2024年高考數(shù)學復習專題 練習★★立體幾何中的動態(tài)問題（3大考點+強化訓練）

2024年高考數(shù)學復習專題練習★★立體幾何中的動態(tài)問題（3大考點+強化訓練）“動態(tài)”問題是高考立體幾何問題最具創(chuàng)新意識的題型，它滲透了一些“動態(tài)”的點、線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力，題型更新穎．同時，由于“動態(tài)”的存在，也使立體幾何題更趨多元化，將立體幾何問題與平面幾何中的解三角形問題、多邊形面積問題以及解析幾何問題之間建立橋梁，使得它們之間靈活轉(zhuǎn)化．知識導圖考點分類講解考點一：動點軌跡問題規(guī)律方法解決與幾何體有關(guān)的動點軌跡問題的方法(1)幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進行判定．(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定或用代數(shù)法進行計算．(3)特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長度關(guān)系取特殊值或位置進行排除．【例1】（2024·浙江溫州·一模）如圖，所有棱長都為1的正三棱柱，，點是側(cè)棱上的動點，且，為線段上的動點，直線平面，則點的軌跡為（

）

A．三角形（含內(nèi)部） B．矩形（含內(nèi)部）C．圓柱面的一部分 D．球面的一部分【變式1】（多選）（23-24高三上·貴州安順·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，點E、F、G、H分別為棱、、、的中點，點M為棱上動點，則（

）

A．點E、F、G、H共面 B．的最小值為C．點B到平面的距離為 D．【變式2】（2023·貴州·一模）如圖，已知正方體的棱長為2，M，N，P分別為棱的中點，Q為該正方體表面上的點，若M，N，P，Q四點共面，則點Q的軌跡圍成圖形的面積為．【變式3】(2023·寧波聯(lián)考)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點P滿足eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(BB1,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則下列說法正確的有()A．若λ＋μ＝1，則A1P⊥AD1B．若λ＋μ＝1，則三棱錐A1－PDC1的體積為定值C．若點P總滿足PA⊥BD1，則動點P的軌跡是一條直線D．若點P到點A的距離為eq\r(3)，則動點P的軌跡是一個面積為π的圓考點二：折疊、展開問題規(guī)律方法畫好折疊、展開前后的平面圖形與立體圖形，抓住兩個關(guān)鍵點：不變的線線關(guān)系、不變的數(shù)量關(guān)系．【例2】（2024·河南·模擬預測）為體現(xiàn)市民參與城市建設(shè)、共建共享公園城市的熱情，同時搭建城市共建共享平臺，彰顯城市的發(fā)展溫度，某市在中心公園開放長椅贈送點位，接受市民贈送的休閑長椅.其中觀景草坪上一架長椅因其造型簡單別致，頗受人們喜歡（如圖1）.已知和是圓的兩條互相垂直的直徑，將平面沿翻折至平面，使得平面平面（如圖2）此時直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【變式1】（22-23高三上·浙江·開學考試）如圖，矩形中，，將沿直線翻折成，若為線段的點，滿足，則在翻折過程中（點不在平面內(nèi)），下面四個選項中正確的是（

）A．平面B．點在某個圓上運動C．存在某個位置，使D．線段的長的取值范圍是【變式2】（2024高三·全國·專題練習）如圖1，在等邊中，點分別為邊上的動點且滿足，記.將沿DE翻折到的位置，使得平面平面DECB，連接MB，MC，如圖2，N為MC的中點．(1)當平面MBD時，求的值．(2)隨著的值的變化，二面角的大小是否改變？若是，請說明理由；若不是，請求出二面角的正弦值．【變式3】(2023·邵陽模擬)如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，AD＝1，AF⊥平面ABCD，且AF＝3，點E為線段CD(除端點外)上的動點，沿直線AE將△DAE翻折到△D′AE，則下列說法中正確的是()A．當點E固定在線段CD的某位置時，點D′的運動軌跡為球面B．存在點E，使AB⊥平面D′AEC．點A到平面BCF的距離為eq\f(\r(3),2)D．異面直線EF與BC所成角的余弦值的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),13)，\f(\r(10),10)))考點三：最值、范圍問題規(guī)律方法在動態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問題，常用的解題思路是(1)直觀判斷：在變化過程中判斷點、線、面在何位置時，所求的量有相應最大、最小值．(2)函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標函數(shù)的最值．【例3】(多選)(2023·鞍山模擬)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，P是線段BC1上的動點，則下列結(jié)論正確的是()A．四面體PA1D1A的體積為定值B．AP＋PC的最小值為2eq\r(2)C．A1P∥平面ACD1D．直線A1P與AC所成的角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))【變式1】(2023·青島模擬)三面角是立體幾何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解決三面角問題的重要依據(jù)．三面角P－ABC是由有公共端點P且不共面的三條射線PA，PB，PC以及相鄰兩射線間的平面部分所組成的圖形，設(shè)∠APC＝α，∠BPC＝β，∠APB＝γ，二面角A－PC－B為θ，由三面角余弦定理得cosθ＝eq\f(cosγ－cosα·cosβ,sinα·sinβ).在三棱錐P－ABC中，PA＝6，∠APC＝60°，∠BPC＝45°，∠APB＝90°，PB＋PC＝6，則三棱錐P－ABC體積的最大值為()A.eq\f(27\r(2),4)B.eq\f(27,4)C.eq\f(9,2)D.eq\f(9,4)【變式2】（23-24高三下·北京·開學考試）正方體的棱長為1，動點在線段上，動點在平面上，且平面.線段長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3】（2023·黑龍江哈爾濱·三模）已知四棱錐的底面為正方形，底面，點是線段上的動點，則直線與平面所成角的最大值為（

）A． B． C． D．強化訓練一、單選題1．（2023·云南保山·二模）已知正方體，Q為上底面所在平面內(nèi)的動點，當直線與的所成角為45°時，點Q的軌跡為（

）A．圓 B．直線 C．拋物線 D．橢圓2．（2023·全國·三模）在平面直角坐標系中，為圓上的動點，定點．現(xiàn)將軸左側(cè)半圓所在坐標平面沿軸翻折，與軸右側(cè)半圓所在平面成的二面角，使點翻折至，仍在右側(cè)半圓和折起的左側(cè)半圓上運動，則，兩點間距離的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預測）如圖，已知矩形ABCD中，E為線段CD上一動點（不含端點），記，現(xiàn)將沿直線AE翻折到的位置，記直線CP與直線AE所成的角為，則（

）A． B． C． D．4．（2023·上海寶山·二模）在空間直角坐標系中,已知定點,和動點.若的面積為,以為頂點的錐體的體積為,則的最大值為(

)A． B． C． D．5．（23-24高三上·河北衡水·階段練習）正三棱柱中，為的中點，為棱上的動點，為棱上的動點，且，則線段長度的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．（23-24高三下·山西·階段練習）在棱長為4的正方體中，是的中點，是上的動點，則三棱錐外接球半徑的最小值為（

）A．3 B． C． D．7．（2023·陜西咸陽·模擬預測）如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則以下不正確的是（

）

A．當在平面上運動時，四棱錐的體積不變B．當在線段上運動時，與所成角的取值范圍是C．使直線與平面所成的角為的點的軌跡長度為D．若是的中點，當在底面上運動，且滿足平面時，長度的最小值是8．（2023·吉林長春·模擬預測）四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，側(cè)面為正方形，設(shè)點O為四棱錐外接球的球心，E為上的動點，則直線與所成的最小角的正弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題1．（23-24高三下·江蘇蘇州·開學考試）在正方體中，點為棱上的動點，則（

）A．平面平面B．平面平面C．與所成角的取值范圍為D．與平面所成角的取值范圍為2．（2023·全國·模擬預測）如圖①，四邊形ABCD是兩個直角三角形拼接而成，，，，.現(xiàn)沿著BD進行翻折，使平面平面BCD，連接AC，得到三棱錐（如圖②），則下列選項中正確的是（

）A．平面平面ACDB．二面角的大小為60°C．異面直線AD與BC所成角的余弦值為D．三棱錐外接球的表面積為3．（2023·全國·模擬預測）如圖1，矩形由正方形與拼接而成．現(xiàn)將圖形沿對折成直二面角，如圖2．點（不與重合）是線段上的一個動點，點在線段上，點在線段上，且滿足，，則（

）

圖1

圖2A． B．C．的最大值為 D．多面體的體積為定值三、填空題1．（2023·河南·模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體中，是棱(不包含端點)上一動點，則三棱錐的體積的取值范圍為.

2．（2023·江蘇淮安·模擬預測）某同學參加課外航模興趣小組活動，學習模型制作.將一張菱形鐵片進行翻折，菱形的邊長為1，，E是邊上一點，將沿著DE翻折到位置，使平面面，則點A與之間距離最小值是.3．（23-24高三上·河北保定·期末）如圖，在棱長為8的正方體中，是棱上的一個動點，給出下列三個結(jié)論：①若為上的動點，則的最小值為；②到平面的距離的最大值為；③為的中點，為空間中一點，且與平面所成的角為，與平面所成的角為，則在平面上射影的軌跡長度為，其中所有正確結(jié)論的序號是．四、解答題1．（2023·河南·二模）如圖所示，正六棱柱的底面邊長為1，高為，為線段上的動點.

(1)求證：平面；(2)設(shè)直線與平面所成的角為，求的取值范圍.2．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在正方體中，分別是、的中點．(1)求與所成的角；(2)設(shè)，在正方形內(nèi)（或上），是否存在點使得三棱錐的體積為1？若存在，求出動點的軌跡；若不存在，說明理由．3．（2023·廣西南寧·模擬預測）如圖，在矩形中，，，點是邊上的動點，沿將翻折至，使二面角為直二面角.

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