2019年高考空間幾何專題(文科)：第三講外接球和內(nèi)切球

第三講球【考點(diǎn)分析】球作為立體幾何中重要的旋轉(zhuǎn)體之一，成為考查的重點(diǎn)，一般考查柱錐的外接球及內(nèi)切球，與三視圖綜合考查。【基礎(chǔ)掃描】球的表面積：S＝4πR2球的體積：V＝eq\f(4,3)πR3空間幾何體的外接球：球心到各個(gè)頂點(diǎn)距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球空間幾何體的內(nèi)切球：球心到各面距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球常用的結(jié)論結(jié)論1：正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心其體對(duì)角線的中點(diǎn)．結(jié)論2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點(diǎn)．結(jié)論3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)．結(jié)論4：正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過(guò)計(jì)算找到．結(jié)論5：若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心．6、求外接球半徑的常見(jiàn)方法有：①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長(zhǎng)）；②若面（），則（為外接圓半徑）；③可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球；④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.【知識(shí)運(yùn)用】題型一外接球類型一：長(zhǎng)方體（正方體）的外接球【例1】（1）（2018海南模擬）若一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為4，3，2的長(zhǎng)方體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，則此球的表面積為_(kāi)_________．【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在球上，所以長(zhǎng)方體為球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，其體對(duì)角線為球的直徑，所以球的表面積為，故填.（2）．(2017·天津)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為_(kāi)_______．解析設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則6a2＝18，∴a＝eq\r(3).設(shè)球的半徑為R，則由題意知2R＝eq\r(a2＋a2＋a2)＝3，∴R＝eq\f(3,2).故球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9,2)π.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】1、長(zhǎng)方體或正方體的外接球的球心是在其體對(duì)角線的中點(diǎn)處2.正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a（a為正方體的邊長(zhǎng)）3、長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)類型二：各頂點(diǎn)都在長(zhǎng)方體或正方體上的幾何體【例2】（2018天津市模擬）．如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積是________.【解析】由幾何體的三視圖可得該幾何體是直三棱柱，如圖所示：其中，三角形是腰長(zhǎng)為的直角三角形，側(cè)面是邊長(zhǎng)為4的正方形，則該幾何體的外接球的半徑為.∴該幾何體的外接球的表面積為.故答案為.【方法總結(jié)】途徑1：正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個(gè)面都是是直角三角形的三棱錐都分別可構(gòu)造正方體．【方法總結(jié)】途徑1：正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個(gè)面都是是直角三角形的三棱錐都分別可構(gòu)造正方體．途徑2：同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對(duì)的棱相等的三棱錐都分別可構(gòu)造長(zhǎng)方體和正方體．途徑3：若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系，則可將棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體．途徑4：若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則可將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體．【變式】1、如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為（）A.272πB.27πC.27【解析】由已知中的三視圖，可得該幾何體是以俯視圖為底面的四棱錐，其底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，且高為3，其外接球等同于棱長(zhǎng)為3的正方體的外接球，所以外接球半徑R滿足2R=32+322．（2018四川模擬）如圖所示的三視圖表示的幾何體的體積為，則該幾何體的外接球的表面積為（）A.B.C.D.【解析】由三視圖可得該幾何體為底面邊長(zhǎng)為，一條側(cè)棱垂直底面的四棱錐，設(shè)高為4，

則，將該幾何體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則其外接球半徑為故這個(gè)幾何體的外接球的表面積為．故選C．類型三：柱的外接球【例3】（2018安徽模擬）設(shè)直三棱柱ABC-A1B1C1的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且球的表面積是40π，AB=AC=AA1，∠BAC=120°，則此直三棱柱的高是________.【解析】設(shè)三角形BAC邊長(zhǎng)為，則三角形BAC外接圓半徑為，因?yàn)樗约粗比庵母呤?【變式】1(江蘇2018模擬)．直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB=3，BC=4，A【解析】ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴A1A⊥AC，又三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，A1C是球的直徑，2.【2017課標(biāo)3，理8】已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為A． B． C． D．【答案】B2類型四：錐的外接球（重點(diǎn)）【例4-1】【衡水金卷】已知正四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面正方形的邊長(zhǎng)為，若該正四棱錐的體積為2，則此球的體積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為底面正方形的邊長(zhǎng)為正四棱錐的體積為，解得在中，由勾股定理可得：【方法總結(jié)】利用球心與截面圓圓心的連線垂直于截面圓及球心與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦的性質(zhì)，確定球心．即，解得故選【方法總結(jié)】利用球心與截面圓圓心的連線垂直于截面圓及球心與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦的性質(zhì)，確定球心．【變式】（2018衡陽(yáng)模擬）．已知正四棱錐的各條棱長(zhǎng)均為2，則其外接球的表面積為()A.B.C.D.【解析】設(shè)點(diǎn)P在底面ABCD的投影點(diǎn)為,則平面ABCD,故而底面ABCD所在截面圓的半徑,故該截面圓即為過(guò)球心的圓，則球的半徑R=,故外接球的表面積為故選C.【例4-2】（2018攀枝花模擬）一個(gè)幾何體的視圖如下圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為(）A.4πB.5πC.8πD.9π【解析】分析：先通過(guò)三視圖找到幾何體的原圖，發(fā)現(xiàn)原圖是一個(gè)三棱錐，再找到幾何體的外接球的半徑，再求該幾何體的外接球的表面積.詳解：由三視圖可知幾何體的原圖如下圖所示：在圖中AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC=2,BD=1,AB=2.由于△BCD是直角三角形，所以它的外接圓的圓心在斜邊的中點(diǎn)E,且r=設(shè)外接球的球心為O,如圖所示，由題得R所以該幾何體的外接球的表面積為4πR【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】一般先要確定截面圓的圓心和球心，再求直角三角形的三邊，最后解勾股定理的方程，簡(jiǎn)記為“兩心三邊一方程”【變式】如圖，虛線小方格是邊長(zhǎng)為的正方形，粗實(shí)（虛）線為某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積為A.B.C.D.【解析】幾何體的直觀圖如圖所示為三棱錐，三棱錐中，，所以外接球的直徑為，則半徑，所以外接球的表面積.2．（衡水金卷信息卷）已知幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）A.214π3B.127π3【解析】根據(jù)幾何體的三視圖可知，該幾何體為三棱錐A-BCD其中AD=DC=2，BD=4且AD⊥底面ABC，根據(jù)余弦定理可知：BC可知BC=27根據(jù)正弦定理可知?BCD外接圓直徑2r=∴r=2213，如圖，設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，球心為O，過(guò)球心O向AD作垂線，則垂足HDH=1，在Rt?ODH中，R∴外接球的表面積S=4πR3題型二：空間幾何體的內(nèi)切球【例5】正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切．求球的表面積與體積．【答案】，．∴得：，∴．∴．【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等。2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合。4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理。5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。（一）正方體的的內(nèi)切球設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，求（1）內(nèi)切球半徑；（2）與棱相切的球半徑。（1）截面圖為正方形的內(nèi)切圓，得；（2）與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點(diǎn)為各棱的中點(diǎn)，作截面圖，圓為正方形的外接圓，易得。（二）棱錐的內(nèi)切球（分割法）將內(nèi)切球的球心與棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)連線，將棱錐分割成以原棱錐的面為底面，內(nèi)切球的半徑為高的小棱錐，根據(jù)分割前后的體積相等，列出關(guān)于半徑R的方程。若棱錐的體積為V，表面積為S，則內(nèi)切球的半徑為.變式：【衡水金卷】如圖是一三棱錐的三視圖，則此三棱錐內(nèi)切球的體積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】把此三棱錐嵌入長(zhǎng)寬高分別為：的長(zhǎng)方體中三棱錐即為所求的三棱錐其中，，，則，故可求得三棱錐各面面積分別為：，，，故表面積為三棱錐體積設(shè)內(nèi)切球半徑為，則故三棱錐內(nèi)切球體積故選【強(qiáng)化練習(xí)】1．（2018山東模擬）在四面體ABCD中，AB=BC=CD=DA=1A.4πB.2πC.4【解析】由題意AB可知ΔBAD和ΔBCD是以BD取BD的中點(diǎn)，則OA=所以外接球的半徑為R=所以外接球的表面積為S=4πR2．在四面體ABCD中，AB=AC=23，BC=6，AD⊥底面ABC，△DBC的面積是6，若該四面體的頂點(diǎn)均在球O的表面上，則球OA.24πB.32πC.46πD.49π【解析】四面體ABCD與球O的位置關(guān)系如圖所示，設(shè)E為BC的中點(diǎn)，O1為ΔABC外接球的圓心，因?yàn)锳B=AC=23，BC=6，由余弦定理可得∠BAC=2π3，由正弦定理可得2AO1=632=43,AO1=23由勾股定理可得AE=3，又SΔDBC=4、（2018湖南模擬）．某幾何體的三視圖如圖所示，圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該幾何體的外接球的表面積為A.100π9B.9πC.100π【解析】由三視圖知，該幾何體為三棱錐，高為3，其一個(gè)側(cè)面與底面垂直，且底面為等腰直角三角形，所以球心在垂直底面的側(cè)面的三角形高上，設(shè)球半徑為R，則(3-R)2+1=R2解得R5．已知底面半徑為1，高為3的圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球O的球面上，則此球的表面積為（）A.323π27B.4πC.【解析】設(shè)球的半徑為R，由已知有R2=12+36．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為41π4，則幾何體的高xA.3B.5C.4D.2【解析】由三視圖可知該幾何體為四棱錐P-ABCD，如圖.底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，過(guò)底面ABCD的中心N作底面ABCD的垂線，則該幾何體的外接球的球心O在該垂線上，過(guò)O作OK⊥側(cè)面PAD,則垂足K在AD的高線PM上，連接OA,OP，則OA,OP為球的半徑，該幾何體的外接球的表面積為S=41π4，即4π×4116=4πR2，R=414，由OP2=PK2+OK27．一個(gè)幾何體的視圖如下圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為()A.B.C.D.【解析】由三視圖可知，幾何體為一個(gè)三棱錐，且一邊垂直于底面，其外接求的直徑等于其補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體的外接球，且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑，所以，即，所以，故選A．8．已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的倍，記該圓錐的內(nèi)切球的表面積為，外接球的表面積為，則（）A.B.C.D.【解析】如圖：由已知圓錐側(cè)面積是底面積的倍，不妨設(shè)底面圓半徑為則：，，解得故，則，故故選9．已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的倍，記該圓錐的表面積為，外接球的表面積為，則（）A.B.C.D.【解析】設(shè)圓錐的底面半徑是，母線長(zhǎng)為，∵圓錐的側(cè)面積是其底面積的2倍，，解得，則圓錐的軸截面是正三角形，設(shè)圓錐的外接球的半徑為∵圓錐的外接球的球心是軸截面（正三角形）的外接圓的圓心即重心，三角形的高是∴該圓錐的表面積外接球的表面積為故選B．10．在三棱錐中，，，面，且在三角形中，有（其中為的內(nèi)角所對(duì)的邊），則該三棱錐外接球的表面積為（）A.B.C.D.【解析】設(shè)該三棱錐外接球的半徑為.在三角形中，（其中為的內(nèi)角所對(duì)的邊）.∴∴根據(jù)正弦定理可得，即.∵∴∵∴∴由正弦定理，，得三角形的外接圓的半徑為.∵面∴∴∴該三棱錐外接球的表面積為故選A.11．在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A.B.C.D.【解析】如圖所示，作平面于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，易得，四邊形為矩形，，在中，由余弦定理，代入整理得，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，由得，即，所以球的表面積為，故選A．12．某幾何體的三視圖如圖所示，若這個(gè)幾何體的頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積是()A.2πB.4πC.5πD.20π【解析】由三視圖知，該幾何體為三棱錐，且其中邊長(zhǎng)為1的側(cè)棱與底面垂直，底面為底邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，所以可以將該三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，1的長(zhǎng)方體，所以該幾何體的外接球O的半徑R＝2+2+12=52，所以球O的表面積S＝4πR213．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積為（）A.B.C.D.【解析】由題得幾何體的原圖為圖中的四棱錐A-BCDE,四棱錐A-BCDE的外接球和長(zhǎng)方體的外接球重合，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球直徑所以該幾何體的外接球的體積為故選D.14、某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為一個(gè)正六邊形及其三條對(duì)角線，則該幾何體的外接球的表面積是（）A.B.C.D.【解析】由三視圖可得該幾何體是六棱錐，底面是邊長(zhǎng)為1的正六邊形，有一條側(cè)棱垂直底面，且長(zhǎng)為2，可以將該幾何體補(bǔ)成正六棱柱，其外接球與該正六棱柱外接球是同一個(gè)球．

故該幾何體的外接球的半徑，則該幾何體的外接球的表面積是.故選B.點(diǎn)睛：空間幾何體與球接、切問(wèn)題的求解方法：15．如圖，在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A.B.C.D.【解析】如圖，在中，由余弦定理得．取CD的中點(diǎn)E，連BE,AE，則，且，故，所以，從而可得平面ACD．設(shè)的外接圓的半徑為，圓心為，則在上，由，可得，解得．由題意得球心O在過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線上，令，設(shè)，則由可得，解得．設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積．選A．16．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積為（）A.B.C.D.【解析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)俯視圖為底面的三棱柱切去一個(gè)三棱錐所得的組合體，其外接球即為俯視圖為底面的三棱柱的外接球，設(shè)幾何體的外接球的半徑為，則，所以，所以該外接球的體積為，故選A.17．已知三棱錐中，平面，且，.則該三棱錐的外接球的體積為()A.B.C.D.【答案】D【解析】∵，∴是以為斜邊的直角三角形

其外接圓半徑，則三棱錐外接球即為以C為底面，以為高的三棱柱的外接球

∴三棱錐外接球的半徑滿足故三棱錐外接球的體積故選D.18．如圖所示的三視圖表示的幾何體的體積為323A.12πB.24πC.36πD.48π【解析】由三視圖可得該幾何體為底面邊長(zhǎng)為4、m，一條側(cè)棱垂直底面的四棱錐，設(shè)高為4，

則將該幾何體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則其外接球半徑為R=1故這個(gè)幾何體的外接球的表面積為4πR19．已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD外接球的表面積是（）A.20πB.101π5C.25πD.【解析】由三視圖得，幾何體是一個(gè)四棱錐A-BCDE,底面ABCD是矩形，側(cè)面ABE⊥底面BCDE.如圖所示，矩形ABCD的中心為M,球心為O,F為BE中點(diǎn)，OG⊥AF.設(shè)OM=x,由題得ME=5,在直角△OME中，x2+5=AG=R2-1,GF=x,∴R2點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于作圖找到關(guān)于R的方程，本題條件復(fù)雜，要通過(guò)兩個(gè)三角形得到關(guān)于R的兩個(gè)方程x2+5=R2(1)、R20．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為（）A.B.C.D.【解析】幾何體為三棱錐，如圖，底面為頂角為120度的等腰三角形BCD，側(cè)棱AC垂直底面，,設(shè)三角形BCD外接圓圓心為O，則,因此外接球的半徑為,即外接球的表面積為，選C.21．某幾何體的三視圖如圖所示，其外接球表面積為（）A.B.C.D.【解析】由題得，幾何體原圖是長(zhǎng)方體中的三棱錐A-BCD，所以球的直徑，所以,故選C.22．某幾何體的正視圖為等腰三角形，俯視圖為等腰梯形，三視圖如圖所示，該幾何體外接球的表面積是()．A.B.C.D.【解析】由題意得該幾何體的是如圖所示的四棱錐，底面為俯視圖所示的等腰梯形（上下底分別為1,2，高為），棱錐的高為．取的中點(diǎn)，由條件可得，故點(diǎn)為底面梯形外接圓的圓心，過(guò)點(diǎn)作底面，且使得，則四棱錐外接球的球心在上，設(shè)為點(diǎn)．設(shè)，則，可得，，由均為外接球的半徑可得，解得，令外接球的半徑為，則，故四棱錐外接球的表面積為．選D．23．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《增刪算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“有個(gè)金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六兩，試問(wèn)金球幾許金？”意思是：有一個(gè)空心金球，它的直徑12寸，球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，試問(wèn)金球重是多少斤？（注）（）A.125.77B.864C.123.23D.369.69【解析】由題意知，大球半徑，空心金球的半徑，則其體積（立方寸）．因1立方寸金重1斤，則金球重斤，故選C．23．已知正方體ABCD-A1B1C1D1A.323πB.423【解析】正方體體積為8，則棱長(zhǎng)為2由題意可得底面A1B半球體積為1故選D24．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC且PA=2,ΔABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為()A.4π3B.4πC.【解析】根據(jù)已知中底面ΔABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，，PA⊥平面ABC，可得此三棱錐外接球，即為以ΔABC為底面以PA為高的正三棱柱的外接球

∵ΔABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，∴ΔABC的外接圓半徑r=球心到ΔABC的外接圓圓心的距離d=1，故球的半徑R=故三棱錐P-ABC外接球的表面積S=4πR故選：C．25．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，其中有很多對(duì)幾何體外接球的研究，如下圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積是（）A.81πB.33πC.56πD.41π【解析】由三視圖可得，該幾何體是一個(gè)如圖所示的四棱錐P-ABCD，其中ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面PAB⊥平面ABCD．設(shè)F為AB的中點(diǎn)，E為正方形ABCD的中心，O為四棱錐外接球的球心，O1為ΔPAB外接圓的圓心，則球心O為過(guò)點(diǎn)E且與平面ABCD垂直的直線與過(guò)O1且與平面PAB由于ΔPAB為鈍角三角形，故O1在ΔPAB的外部，從而球心O與點(diǎn)P在平面ABCD的兩側(cè)由題意得PF=1,OE=O設(shè)球半徑為R，則R2即OE2+(2∴R2∴S球表=4πR26．已知底面邊長(zhǎng)為2，各側(cè)面均為直角三角形的正三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球的表面積為（）A.3πB.2πC.43π【解析】由題意得正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為1，將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體（棱長(zhǎng)為1），則正方體外接球?yàn)檎忮F外接球，所以球的直徑為1+1+1=3，故其表面積為27．劉徽《九章算術(shù)注》記載：“邪解立方有兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑，陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也”.意即把一長(zhǎng)方體沿對(duì)角面一分為二，這相同的兩塊叫做塹堵，沿塹堵的一頂點(diǎn)與其相對(duì)的面的對(duì)角線剖開(kāi)成兩塊，大的叫陽(yáng)馬，小的叫鱉臑，兩者體積之比為定值2:1，這一結(jié)論今稱劉徽原理.如圖是一個(gè)陽(yáng)馬的三視圖，則其外接球的體積為（）A.3πB.32πC.【答案】B【解析】由三視圖可知，該“陽(yáng)馬”是底面對(duì)角線長(zhǎng)為2的正方形，一條長(zhǎng)為1的側(cè)棱與底面垂直的四棱錐，將該四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外接球與四棱錐的外接球相同，球直徑等于長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，即2R=22+1=3【方法點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問(wèn)題是考查學(xué)生空間想象能力最常見(jiàn)題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響.28．在三棱錐中，平面，，，，，則該三棱錐的外接球表面積為_(kāi)_______．【答案】14π【解析】在△ABC中，由余弦定理得所以底面三角形的外接圓的半徑為故填14π.29．已知三棱錐S-ABC,SA⊥平面ABC，ΔABC為等邊三角形，SA=2,AB=3,則三棱錐S-ABC外接球的體積為_(kāi)_________．【答案】32π3【解析】根據(jù)已知中底面ΔABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，SA⊥平面ABC，SA=2，可得此三棱錐外接球，即為以ΔABC為底面以SA為高的正三棱柱的外接球.

∵ΔABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形∴ΔABC外接圓的半徑為r=3，球心到ΔABC的外接圓圓心的距離為d=1∴球的半徑為R=∴三棱錐S-ABC外接球的體積為V=4π3R30．底面半徑為1cm的圓柱形容器里放有四個(gè)半徑為cm的實(shí)心鐵球，四個(gè)球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切.現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好浸沒(méi)所有鐵球，則需要注水________________.【解析】設(shè)四個(gè)實(shí)心鐵球的球心為，其中為下層兩球的球心，四個(gè)球心連線組成棱長(zhǎng)為的正四面體，分別為四個(gè)球心在底面的射影，則是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，所以注水高為正四面體相對(duì)棱的距離與球半徑的二倍的和，即為，故應(yīng)注水的體積等于以注入水的高度為高的圓柱的體積減去四個(gè)球的體積，＝，故答案為.31．若三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,則球O的表面積____________【解析】如圖所示，三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，以為平面，所以，所以，所以截球所得的圓的半徑為,所以球的半徑為，所以的表面積為.32．在正三棱錐中，，分別是，上的點(diǎn)，且，，，若側(cè)棱，則正三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_________．【解析】設(shè)底邊邊長(zhǎng)為a，則在三角形BCD中，在三角形ABD中，，在三角形AMD中，，因?yàn)樵O(shè)A在底面BCD上的射影為E，則設(shè)球半徑為R，則正三棱錐的外接球的表面積為33．邊長(zhǎng)為2的等邊的三個(gè)頂點(diǎn)，，都在以為球心的球面上，若球的表面積為，則三棱錐的體積為_(kāi)_________．【來(lái)源】【全國(guó)市級(jí)聯(lián)考】重慶市2018屆高三4月調(diào)研測(cè)試（二診）數(shù)學(xué)（文科）試題【答案】【解析】設(shè)球半徑為，則，解得．設(shè)所在平面截球所得的小圓的半徑為，則．故球心到所在平面的距離為，即為三棱錐的高，所以．答案：34．如圖，在四面體中，平面，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形.若，則四面體外接球的表面積為_(kāi)_________．【來(lái)源】【全國(guó)市級(jí)聯(lián)考】湖南省郴州市2018屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試題【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連結(jié)在四面體中，平面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是等腰三角形，的中心為，作交的中垂線于為外接球的中心，，，四面體外接球的表面積為，故答案為.35．三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=,則三棱錐S-ABC的外接球的表面積是________【解析】由題意可得，所以取AB中點(diǎn)O,則O是三棱錐S-ABC的外接球的球心，半徑為1.所以S=填?！军c(diǎn)睛】由于AB正好是兩個(gè)直角三角形的公共斜邊，而斜邊上的中線到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以外接球