廣東省珠海市高一數(shù)學(xué)競賽試題

珠海市高中數(shù)學(xué)競賽（高一卷）一、選擇題（每題6分共36分）1.如果集合，則A的真子集有（）個（A）31（B）32（C）63（D）642如果偶函數(shù)在區(qū)間［1，4］上是增函數(shù)且最大值是3，那么在區(qū)間［-4，-1］上是（A）增函數(shù)且最大值為-5（B）增函數(shù)且最小值為-5（C）減函數(shù)且最大值為-5（D）減函數(shù)且最小值為-53．函數(shù)的定義域是（）（A）（B）（C）（D）4．二次函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.； B.； C.；D.5．方程的一個實(shí)根存在的區(qū)間是（）（參考：）（A）（B）（C）（D）6.設(shè)為正整數(shù)n（十進(jìn)制）的各數(shù)位上的數(shù)字的平方之和，比如.記，，則＝（）(A)(B)4(C)42(D)145.二、填空題（每題6分共54分）7．已知，則.8.已知函數(shù)則_______________.9.已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時，；則當(dāng)時，_____________________.10.已知，則.11.將函數(shù)的圖象C1沿ｘ軸向右平移2個單位得到C2，C2關(guān)于ｙ軸對稱的圖象為C3，若C3對應(yīng)的函數(shù)為，則函數(shù)的表達(dá)式為_______________.12.如果方程的兩根是和，則的值是_______________.13.已知，，，…，則與最接近的正整數(shù)是_______________.14.函數(shù)的值域是_______________.15.對a,bR,記max{a,b}=，函數(shù)f（x）＝max{|x+1|,|x-2|}(xR)的最小值是．三、解答題(共60分)16.（10分）解方程：．17.（15分）已知函數(shù)，求它的單調(diào)區(qū)間．18．（15分）某服裝廠生產(chǎn)一種服裝，每件服裝的成本為40元，出廠單價定為60元。該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100件時，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出廠單價就降低0.02元。根據(jù)市場調(diào)查，銷售商一次訂購量不會超過500件。（I）設(shè)一次訂購量為x件，服裝的實(shí)際出廠單價為P元，寫出函數(shù)的表達(dá)式；（II）當(dāng)銷售商一次訂購了450件服裝時，該服裝廠獲得的利潤是多少元？（服裝廠售出一件服裝的利潤＝實(shí)際出廠單價－成本）19.（對于函數(shù)f(x),若f(x)=x,則稱x為f(x)的“不動點(diǎn)”，若，則稱x為f(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)f(x)的“不動點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B，即}，.(1).求證：AB；(2).若，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.珠海市高中數(shù)學(xué)競賽（高一卷）參考答案一、選擇題（每題6分共36分）1)C2)B3)B4)A5)C6)D二、填空題（每題6分共54分）7)8)9)10)111)(或等價形式)12)13)214)15)．三．解答題（共60分）16．(10分)解:設(shè),得,(5分)(不合題意,舍去),得,(10分)17．(15分)解:設(shè)和是區(qū)間上任意兩個實(shí)數(shù),且,…(給2分)則(給4分)=(給9分)(給11分)(13分)在區(qū)間上單調(diào)遞增.…(15分)注:也給滿分,因式分解正確給5分.1８．（15分）某服裝廠生產(chǎn)一種服裝，每件服裝的成本為40元，出廠單價定為60元。該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100件時，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出廠單價就降低0.02元。根據(jù)市場調(diào)查，銷售商一次訂購量不會超過500件。（I）設(shè)一次訂購量為x件，服裝的實(shí)際出廠單價為P元，寫出函數(shù)的表達(dá)式；（II）當(dāng)銷售商一次訂購了450件服裝時，該服裝廠獲得的利潤是多少元？（服裝廠售出一件服裝的利潤＝實(shí)際出廠單價－成本）解：（I）當(dāng)時，……2分當(dāng)時，……5分所以……7分（II）設(shè)銷售商的一次訂購量為x件時，工廠獲得的利潤為L元，則……12分當(dāng)時，……14分因此，當(dāng)銷售商一次訂購了450件服裝時，該廠獲利的利潤是5850元?！?5分1９.（２０分）對于函數(shù)f(x),若f(x)=x,則稱x為f(x)的“不動點(diǎn)”，若，則稱x為f(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)f(x)的“不動點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B，即}，.(1).求證：AB(2).若，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.證明(1).若A=φ，則AB顯然成立；……２分若A≠φ，設(shè)t∈A，則f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,從而AB.……６分解(2)：A中元素是方程f(x)=x即的實(shí)根.由A≠φ，知a=0或即……９分B中元素是方程即（*）的實(shí)根由AB，知方程（*）左邊含有一個因式，即方程可化為因此，要A=B，即要方程①要么沒有實(shí)根，要么實(shí)根是方程②的根.……１３分若①