西安交通大學(xué)城市學(xué)院-電路分析-第4章

第四章正弦穩(wěn)態(tài)分析4.2正弦量目錄本章重點(diǎn)4.3相量法的基礎(chǔ)4.4阻抗和導(dǎo)納4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率4.1復(fù)數(shù)

重點(diǎn)：2.正弦量的相量表示3.電路定理的相量形式1.正弦量的表示、相位差4.正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析6.正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率計(jì)算下頁上頁返回正弦交流電路正弦輸入的線性穩(wěn)定電路，其（穩(wěn)態(tài)）輸出一定為正弦量，工程上稱這種電路為交流電路。正弦穩(wěn)態(tài)電路在電力系統(tǒng)和電子技術(shù)領(lǐng)域占有十分重要的地位。研究正弦電路的意義正弦信號容易產(chǎn)生、傳送和使用。下頁上頁優(yōu)點(diǎn)返回引言正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其加、減、求導(dǎo)、積分運(yùn)算后仍是同頻率的正弦函數(shù)。正弦信號是一種基本信號，任何非正弦周期信號可以分解為按正弦規(guī)律變化的分量。對正弦電路的分析研究具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義。結(jié)論3.電路的性能可用頻率響應(yīng)反映。返回1.復(fù)數(shù)的表示形式FbReImaO

|F|代數(shù)式指數(shù)式極坐標(biāo)式三角函數(shù)式4.1

復(fù)數(shù)下頁上頁返回幾種表示法的關(guān)系：或下頁上頁FbReImaO

|F|返回例4.1則

F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)若

F1=a1+jb1，F(xiàn)2=a2+jb2圖解法下頁上頁F1F2ReImOF1+F2-F2F1ReImOF1-F2F1+F2F2返回2.復(fù)數(shù)運(yùn)算加減運(yùn)算——采用代數(shù)式乘除運(yùn)算——采用極坐標(biāo)式若

F1=|F1|

1，F(xiàn)2=|F2|

2則下頁上頁模相乘角相加模相除角相減返回共軛復(fù)數(shù)下頁上頁返回例4.2

解下頁上頁例4.3解返回

+j,–j,-1

都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。3.特殊旋轉(zhuǎn)因子ReImO下頁上頁注意返回4.2

正弦量1.

正弦量的產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢下頁上頁返回下頁上頁返回瞬時(shí)值表達(dá)式i(t)=Imcos(w

t+y)tiOT周期T

和頻率f頻率f

：每秒重復(fù)變化的次數(shù)。周期T

：重復(fù)變化一次所需的時(shí)間。單位:Hz(赫茲)單位：s(秒)正弦量為周期函數(shù)

f(t)=f(

t+kT

)下頁上頁波形返回2.正弦量的三要素

i(t)=Imcos(w

t+

)幅值

(振幅、最大值)Im反映正弦量變化幅度的大小。下頁上頁返回角頻率ω初相位

單位：

rad/s

，弧度/秒相位變化的速度，反映正弦量變化快慢。反映正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)，常用角度表示。下頁上頁返回波形下頁上頁返回下頁上頁返回下頁上頁返回同一個(gè)正弦量，計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，初相位不同。注意下頁上頁返回例4.4已知正弦電流波形如圖，＝103rad/s，1.寫出i(t)表達(dá)式；2.求最大值發(fā)生的時(shí)間t1。tiO10050t1解由于最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)右側(cè)下頁上頁返回3.同頻率正弦量的相位差設(shè)

u(t)=Umcos(w

t+

u),i(t)=Imcos(w

t+

i)相位差：j=(wt+

u)-(wt+

i)=

u-

i下頁上頁等于初相位之差返回規(guī)定：|

|<(180°)j>0，u超前ij角，或i

滯后

u

角

(u

比i先到達(dá)最大值)。

j<0，

i超前

uj

角，或u滯后

ij

角（

i比

u

先到達(dá)最大值）。下頁上頁返回

tu,iu

i

u

ijO同相反相正交電壓超前電流特殊相位關(guān)系下頁上頁返回4.周期性電流、電壓的有效值周期性電流、電壓的瞬時(shí)值隨時(shí)間而變，為了衡量其平均效果工程上采用有效值來表示。周期電流、電壓有效值定義R直流IR交流i物理意義下頁上頁返回下頁上頁均方根值定義電壓有效值：正弦電流、電壓的有效值設(shè)

i(t)=Imcos(t+

)返回下頁上頁返回所以同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關(guān)系若交流電壓有效值為U=220V

，U=380V

其最大值為Um

311VUm

537V下頁上頁注意工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如設(shè)備銘牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐壓水平時(shí)應(yīng)按最大值考慮。返回測量中，交流測量儀表指示的電壓、電流讀數(shù)一般為有效值。區(qū)分電壓、電流的瞬時(shí)值、最大值、有效值的符號。下頁上頁返回5.正弦穩(wěn)態(tài)的概念RLiu+-下頁上頁返回穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量下頁上頁返回下頁上頁返回4.3

相量法的基礎(chǔ)正弦輸入電路的穩(wěn)態(tài)解為正弦函數(shù)，頻率與輸入的相同，所以，只需確定初相位和有效值。因此采用正弦量復(fù)數(shù)變換的思想造一個(gè)復(fù)函數(shù)無物理意義下頁上頁返回1.正弦量的相量表示對F(t)取實(shí)部任意一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)都有唯一與其對應(yīng)的復(fù)數(shù)函數(shù)。是一個(gè)正弦量有物理意義下頁上頁結(jié)論返回F(t)還可以寫成復(fù)常數(shù)正弦量對應(yīng)的相量下頁上頁相量的模表示正弦量的有效值。相量的幅角表示正弦量的初相位。注意返回任意一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)都有唯一與其對應(yīng)的相量。結(jié)論同樣可以建立正弦電壓與相量的對應(yīng)關(guān)系已知例4.5試用相量表示i,u。解下頁上頁例4.6試寫出電流的瞬時(shí)值表達(dá)式。解返回例4.7

u(t)

是時(shí)間

t的函數(shù),而相量不是。

u(t)

是電壓的時(shí)域表示,而相量是頻域表示。特別注意！注意下頁上頁返回在復(fù)平面上用失量表示相量的圖。相量圖下頁上頁返回

q+1+jO若則旋轉(zhuǎn)相量與正弦量下頁上頁返回2.相量法的應(yīng)用同頻率正弦量的加減相量關(guān)系為：下頁上頁結(jié)論同頻正弦量的加減運(yùn)算變?yōu)閷?yīng)相量的加減運(yùn)算。返回i1

i2=i3下頁上頁例4.8返回借助相量圖計(jì)算+1+j首尾相接下頁上頁+1+j返回OO正弦量的微分、積分運(yùn)算微分運(yùn)算積分運(yùn)算下頁上頁返回下頁上頁返回查爾斯steinmetz：美籍德國人，電氣工程師，電氣工程領(lǐng)域的先驅(qū)，發(fā)明商用的交流電機(jī)。

他自認(rèn)為最重要的三項(xiàng)成果是：(1)從事電磁領(lǐng)域的研究工作；(2)建立一個(gè)實(shí)用簡便的使用復(fù)數(shù)計(jì)算交流電數(shù)值的方法、(3)弧光現(xiàn)象的研究。

steinmetz發(fā)明了三相電路。他的工作使電力工業(yè)在美國大力發(fā)展。

查爾斯steinmetz被認(rèn)為是美國電氣工程領(lǐng)域的先驅(qū)。CharlesSteinmetz(1865-1923)

正弦穩(wěn)態(tài)解例4.9RLiu+-下頁上頁返回把時(shí)域問題變?yōu)閺?fù)數(shù)問題；把微積分方程的運(yùn)算變?yōu)閺?fù)數(shù)方程運(yùn)算；可以把直流電路的分析方法直接用于交流電路。下頁上頁相量法的優(yōu)點(diǎn)返回3.基爾霍夫定律的相量形式同頻率的正弦量加減可以用對應(yīng)的相量形式來進(jìn)行計(jì)算。因此，在正弦電流電路中，KCL和KVL可用相應(yīng)的相量形式表示：KCLKVL特別注意！下頁上頁返回時(shí)域相量域4.電阻元件VCR的相量形式uR(t)i(t)R+-R+-有效值關(guān)系相位關(guān)系UR=RI

u=

i時(shí)域模型相量模型下頁上頁返回波形圖及相量圖下頁上頁返回5.電感元件VCR的相量形式時(shí)域相量域有效值關(guān)系：U=wLI相位關(guān)系：

u=

i+90°

下頁上頁返回時(shí)域模型相量模型下頁上頁返回波形圖及相量圖感抗的性質(zhì)表示限制高頻電流的能力；感抗和頻率成正比。wXLXL=L=2fL，稱為感抗，單位為

(歐姆)BL=-1/L=-1/2fL，

稱為感納，單位為S

感抗和感納下頁上頁返回相量關(guān)系式6.電容元件VCR的相量形式時(shí)域相量域時(shí)域模型相量模型有效值關(guān)系相位關(guān)系下頁上頁返回下頁上頁返回波形圖及相量圖XC=-1/wC，

稱為容抗，單位為

(歐姆)BC

=wC，

稱為容納，單位為

S

容抗和頻率成反比

0，|XC|

直流開路(隔直)w

，|XC|0

高頻短路w|XC|容抗與容納下頁上頁返回相量表達(dá)式例試判斷下列表達(dá)式的正、誤。下頁上頁返回下頁上頁返回例已知電流表讀數(shù)：A1＝8A下頁上頁＝6AA2A1A0Z1Z2A2A0＝?解返回＝I0max=?A0A0＝I0min=?下頁上頁＝?A2A0＝A1解返回A1A0Z1Z2A2下頁上頁解返回A0＝0滿足什么關(guān)系A(chǔ)1A0Z1Z2A2下頁上頁解返回若電源的電壓不變，頻率增大一倍，討論電流表讀數(shù)的變化。不變減小一倍增大一倍A1A0Z1Z2A2例4.10解相量模型下頁上頁+_15Wu4H0.02Fij20W-j10W+_15W返回下頁上頁返回j20W-j10W+_15W例4.11解下頁上頁+_5WuS0.2

Fi相量模型+_5W-j5W返回4.4

阻抗和導(dǎo)納1.阻抗的定義正弦穩(wěn)態(tài)情況下Z+-無源線性網(wǎng)絡(luò)+-阻抗模阻抗角歐姆定律的相量形式下頁上頁返回注意阻抗為復(fù)數(shù)，但阻抗不對應(yīng)正弦函數(shù)。當(dāng)無源網(wǎng)絡(luò)內(nèi)為單個(gè)元件時(shí)有Z可以是實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù)。C+-下頁上頁R+-表明返回L+-2.

RLC串聯(lián)電路KVL：下頁上頁LCRuuLuCi+-+-+-+-uRR+-+-+-+-j

L返回Z+-阻抗無源線性網(wǎng)絡(luò)+-Z

—復(fù)阻抗；|Z|

—復(fù)阻抗的模；

Z

—阻抗角；R

—電阻(阻抗的實(shí)部)；X—電抗(阻抗的虛部)。轉(zhuǎn)換關(guān)系：或R=|Z|cos

ZX=|Z|sin

Z阻抗三角形|Z|RXjZ下頁上頁返回若X>0,Z

是感性的，電流滯后電壓。

若X<0,Z

是容性的，電流超前電壓。

無源線性網(wǎng)絡(luò)+-阻抗下頁上頁返回2.感性和容性例4.12計(jì)算圖示電路的電流和電感電壓。已知：3

1HiuS+-+-uL解13

j4

+-+-下頁上頁返回3

j4

+-+-解2下頁上頁返回例4.13

已知：求

i,uR,uL,uC。解畫出相量模型下頁上頁返回12mH5F15

uSuLuCi+-+-+-+-uR15

+-+-+-+-j60-j4015

+-+-+-+-j60-j40UL=240>US=100，UC=160>US=100，分電壓大于總電壓。注意下頁上頁返回1）參考相量串聯(lián)電路取電流為參考相量并聯(lián)電路取電壓為參考相量2）相量圖由一些多邊形組成每個(gè)多邊形反映KCL或KVLR+-+-+-+-j

L下頁上頁返回3.導(dǎo)納無源線性網(wǎng)絡(luò)+-正弦穩(wěn)態(tài)情況下導(dǎo)納模導(dǎo)納角Y+-下頁上頁返回對同一二端網(wǎng)絡(luò):當(dāng)無源網(wǎng)絡(luò)內(nèi)為單個(gè)元件時(shí)有Y

可以是實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù)。下頁上頁表明返回C+-R+-L+-Y—復(fù)導(dǎo)納；|Y|—復(fù)導(dǎo)納的模；

Y

—導(dǎo)納角；G

—電導(dǎo)(導(dǎo)納的實(shí)部)；B

—電納(導(dǎo)納的虛部)；轉(zhuǎn)換關(guān)系：或G=|Y|cos

YB=|Y|sin

Y導(dǎo)納三角形|Y|GB

Y下頁上頁返回4.

復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納的等效互換一般情況G

1/R，B

1/X。若Z為感性，X>0，則B<0，即仍為感性。下頁上頁ZRjXGjBY注意返回，求導(dǎo)納

Y

。例4.14解下頁上頁返回5.

阻抗（導(dǎo)納）的串聯(lián)和并聯(lián)分壓公式阻抗的串聯(lián)下頁上頁Z1+Z2Zn－Z+-返回分流公式導(dǎo)納的并聯(lián)兩個(gè)阻抗Z1、Z2的并聯(lián)等效阻抗為：下頁上頁Y1+Y2Yn－Y+-返回例求圖示電路的等效阻抗，

＝105rad/s

。解感抗和容抗為：下頁上頁1mH30

100

0.1FR1R2返回例4.151

+-+-0.2H0.01F5

i，求電流i和電壓u2。已知：下頁上頁返回可看作雙結(jié)點(diǎn)電路解9.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析電阻電路與正弦電流電路的分析比較：下頁上頁返回1.引入相量法，電阻電路和正弦電流電路依據(jù)的電路定律是相似的。下頁上頁結(jié)論2.引入電路的相量模型，把列寫時(shí)域微分方程轉(zhuǎn)為直接列寫相量形式的代數(shù)方程。3.引入阻抗以后，可將電阻電路中討論的所有網(wǎng)絡(luò)定理和分析方法都推廣應(yīng)用于正弦穩(wěn)態(tài)的相量分析中。直流（f=0)是一個(gè)特例。返回例1畫出電路的相量模型求各支路電流。已知：解下頁上頁返回R2+_Li1i2i3R1CuZ1Z2R2+_R1下頁上頁返回Z1Z2R2+_R1下頁上頁返回Z1Z2R2+_R1+_R1R2R3R4列寫電路的回路電流方程和結(jié)點(diǎn)電壓方程例解回路方程下頁上頁+_LR1R2R3R4C返回結(jié)點(diǎn)方程下頁上頁+_R1R2R3R4返回方法1：電源變換解例下頁上頁Z2Z1

Z3Z+-Z2Z1ZZ3返回方法2：戴維寧等效變換求開路電壓：求等效電阻：下頁上頁ZeqZ+-+-Z2Z1Z3返回例

解下頁上頁Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3返回用疊加定理計(jì)算電流,下頁上頁Z2Z1Z3+-返回Z2Z1Z3+-例4.15參考相量解下頁上頁返回求交流電橋的平衡條件。

電橋平衡時(shí)例4.15

Z2Z1Z4Z3

|Z1|

1

?|Z4|

4

=|Z2|

2

?|Z3|

3|Z1|

|Z4|

=|Z2|

|Z3|

1

+

4

=

2

+

3

下頁上頁返回解例4.16

Maxwell電橋。求

Lx

和

Rx

。解下頁上頁返回求例4.17解15

+--+jLR2下頁上頁返回15

+--+jLR2下頁上頁返回4.5

正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率1.單口電路吸收的平均功率無源線性網(wǎng)絡(luò)+-電流可分解為下頁上頁返回電阻元件的平均功率平均功率下頁上頁返回電感與電容元件的平均功率下頁上頁返回平均功率的測量測量平均功率時(shí)，通常也要使用電壓表和電流表電流線圈的電流不能超過其額定值電壓線圈的電壓不能超過其額定值高功率因數(shù)表指針滿偏轉(zhuǎn)時(shí)的功率＝電壓量程×電流量程結(jié)論下頁上頁返回2.無功功率瞬時(shí)功率的分解下頁上頁返回單位：var（乏）無功功率的絕對值反映了單口電路與電源之間往返瞬時(shí)功率的振幅。注意

Q>0，稱電路“吸收”無功功率；Q<0，稱電路“發(fā)出”無功功率。電感吸收無功功率，電容發(fā)出無功功率。無功功率也稱為電抗功率。下頁上頁返回3.視在功率jSPQ功率三角形下頁上頁返回單位：VA例4.20三表法測線圈參數(shù)。已知：f=50Hz，且測得U=50V，I=1A，P=30W。解法1下頁上頁返回RL+_ZWAV**解法2又下頁上頁解法3返回思考：若被測對象為電阻與電容的并聯(lián)，求R

和C

。RC+_WAV**下頁上頁返回感性負(fù)載，，滯后功率因數(shù)容性負(fù)載，，超前功率因數(shù)功率因數(shù)是衡量電源利用率的重要指標(biāo)。功率因數(shù)低，則線損大。功率因數(shù)取決于負(fù)載。4.功率因數(shù)的提高注意下頁上頁返回設(shè)備容量

S

(額定)向負(fù)載送多少有功要由負(fù)載的阻抗角決定。P=UIcos

=Scosjcosj

=1,P=S=75kWcosj

=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用戶：異步電機(jī)空載cosj

=0.2~0.3

滿載

cosj

=0.7~0.85日光燈

cosj

=0.45~0.6發(fā)電設(shè)備的容量不能充分利用。電壓、電流到了額定值，但有功功率很??；功率因數(shù)低帶來的問題：下頁上頁S75kVA負(fù)載返回當(dāng)發(fā)電機(jī)的電壓和輸出的有功功率一定時(shí)，線路及發(fā)電機(jī)繞組的電流和損耗增大。下頁上頁返回Z1Z2+_+_+_例圖示輸電線路，已知：線路阻抗Z1=6+j6，負(fù)載阻抗Z2的功率P=500kW，U2=5500V，cos=0.91，求線路消耗的功率。下頁上頁返回解設(shè)提高電網(wǎng)的功率因數(shù)cos

，發(fā)電設(shè)備容量得到充分利用，電能得到大量節(jié)約。對國民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展有著重要的意義。結(jié)論Z1Z2+_+_+_j1j2解決辦法：（1）高壓傳輸（2）改進(jìn)自身設(shè)備（3）并聯(lián)