全稱量詞命題和存在量詞命題的否定 高一數(shù)學(xué)

1.5.2

全稱量詞命題和存在量詞命題的否定自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、命題的否定1.給出下列命題:(1)比較①和③,②和④,它們之間有什么關(guān)系?(2)試判斷以上四個(gè)命題的真假.提示:(1)命題③是對(duì)命題①的否定;命題④是對(duì)命題②的否定.(2)①假;②真;③真;④假.3.(1)一般地,對(duì)一個(gè)命題進(jìn)行否定,就可以得到一個(gè)新的命題,這一新命題稱為原命題的否定.(2)一個(gè)命題和它的否定不能同時(shí)為真命題,也不能同時(shí)為假命題,只能一真一假.二、全稱量詞命題的否定1.寫出下列命題的否定:(1)所有的正比例函數(shù)都是一次函數(shù);(2)每一個(gè)有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)形式.提示:(1)并非所有的正比例函數(shù)都是一次函數(shù).(2)并非每一個(gè)有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)形式.2.怎樣用存在量詞改寫上述兩個(gè)命題的否定?提示:(1)存在一個(gè)正比例函數(shù)不是一次函數(shù).(2)存在一個(gè)有理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.3.以上兩個(gè)命題的否定與原命題在形式上有什么變化?提示:這兩個(gè)全稱量詞命題的否定都變成了存在量詞命題.4.5.命題“?x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是(

)A.?x∈R,都有x2-x+1≤0B.?x∈R,使x2-x+1>0C.?x∈R,使x2-x+1≤0D.以上均不正確解析:原命題為全稱量詞命題,其否定為存在量詞命題.故選C.答案:C三、存在量詞命題的否定1.寫出下列命題的否定:(1)有些矩形是正方形;(2)?x∈R,x3-1=0.提示:(1)沒(méi)有一個(gè)矩形是正方形.(2)不存在x∈R,x3-1=0.2.怎樣用全稱量詞改寫上述兩個(gè)命題的否定?提示:(1)每一個(gè)矩形都不是正方形.(2)?x∈R,x3-1≠0.3.以上兩個(gè)命題的否定與原命題在形式上有什么變化?提示:這兩個(gè)存在量詞命題的否定都變成了全稱量詞命題.4.

5.命題“?x≥0,2x=3”的否定是(

)A.?x<0,2x≠3 B.?x≥0,2x≠3C.?x≥0,2x≠3 D.?x<0,2x≠3解析:因?yàn)樵}為存在量詞命題,所以其否定為全稱量詞命題,即?x≥0,2x≠3.答案:B【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)用自然語(yǔ)言描述的全稱量詞命題的否定形式是唯一的.(×)(2)全稱量詞命題的否定一定是存在量詞命題,存在量詞命題的否定一定是全稱量詞命題.(√)(3)存在量詞命題與其否定的真假可以相同.(×)

合作探究·釋疑解惑探究一

全稱量詞命題的否定與真假判斷【例1】

寫出下列全稱量詞命題的否定,并判斷其真假.(1)所有矩形的對(duì)角線相等;(2)不論m取什么實(shí)數(shù),關(guān)于x的方程x2+x-m=0必有實(shí)數(shù)根;(3)等圓的面積相等,周長(zhǎng)相等.解:(1)該命題的否定:有的矩形對(duì)角線不相等,是假命題.(2)該命題的否定:存在實(shí)數(shù)m,使得關(guān)于x的方程x2+x-m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根.當(dāng)Δ=1+4m<0,即

時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,故為真命題.(3)該命題的否定:存在一對(duì)等圓,其面積不相等或周長(zhǎng)不相等.是假命題.若本例(2)變?yōu)椤安徽搈取什么實(shí)數(shù),關(guān)于x的方程x2+2mx+m2+1=0都無(wú)實(shí)數(shù)根”,試寫出其否定,并判斷其真假.解:該命題的否定:存在實(shí)數(shù)m,使關(guān)于x的方程x2+2mx+m2+1=0有實(shí)數(shù)根.由于Δ=(2m)2-4(m2+1)=-4<0,故方程無(wú)實(shí)數(shù)根.故其否定為假命題.反思感悟全稱量詞命題的否定形式與判斷真假的方法(1)全稱量詞命題的形式是:“?x∈M,p(x)”,其否定形式應(yīng)該是先把全稱量詞改為存在量詞,再對(duì)命題p(x)進(jìn)行否定,即“?x∈M,p(x)”.所以全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.(2)若全稱量詞命題為真命題,則其否定命題就是假命題;若全稱量詞命題為假命題,則其否定命題就是真命題.【變式訓(xùn)練1】

命題“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定是(

)A.?x∈R,|x|+x2<0 B.?x∈R,|x|+x2≤0C.?x∈R,|x|+x2<0 D.?x∈R,|x|+x2≥0解析:根據(jù)全稱量詞命題的否定形式知,命題“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定為“?x∈R,|x|+x2<0”.故選C.答案:C探究二

存在量詞命題的否定與其真假判斷【例2】

寫出下列存在量詞命題的否定,并判斷真假:(1)?x>1,使x2-2x-3=0;(2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得x2+x+1≤0;(3)至少有一個(gè)(x,y),滿足y=2x+1.解:(1)該命題的否定:?x>1,x2-2x-3≠0.是假命題.(2)該命題的否定:對(duì)所有實(shí)數(shù)x,都有x2+x+1>0.利用配方法可得其否定為真命題.(3)該命題的否定:對(duì)所有的(x,y),都不滿足y=2x+1.是假命題.反思感悟存在量詞命題的否定形式與判斷真假的方法(1)存在量詞命題的形式是:“?x∈M,p(x)”,其否定形式是先把存在量詞改為全稱量詞,再對(duì)命題p(x)進(jìn)行否定,即“?x∈M,

?p(x)”,所以存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.(2)存在量詞命題的否定的真假性與存在量詞命題相反;要說(shuō)明一個(gè)存在量詞命題是真命題,只需要找到一個(gè)實(shí)例即可.【變式訓(xùn)練2】

寫出下列存在量詞命題的否定,并判斷其真假.(1)有些被5整除的整數(shù)末位是0;(2)存在x∈R,x>2;(3)存在x∈R,x2<0.解:(1)該命題的否定:所有被5整除的整數(shù)末位都不是0.是假命題.(2)該命題的否定:任意x∈R,x≤2,是假命題.(3)該命題的否定:任意x∈R,x2≥0,是真命題.易

錯(cuò)

辨

析忽略隱含量詞致錯(cuò)【典例】

寫出下列命題的否定:(1)能被8整除的數(shù)能被4整除.(2)若2x>4,則x>2;(3)若四邊形為正方形,則這個(gè)四邊形的對(duì)角線相等.錯(cuò)解:(1)該命題的否定:能被8整除的數(shù)不能被4整除.(2)該命題的否定:若2x>4,則x≤2.(3)該命題的否定:若四邊形為正方形,則這個(gè)四邊形的對(duì)角線不相等.以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:由于有些全稱量詞命題隱含了全稱量詞,因此導(dǎo)致命題的否定未改變量詞,直接否定結(jié)論出現(xiàn)錯(cuò)誤.正解:(1)原命題省略了全稱量詞“每一個(gè)”,可以改寫為“每一個(gè)能被8整除的數(shù)都能被4整除”,故原命題的否定為:有些能被8整除的數(shù)不能被4整除.(2)原命題省略了全稱量詞“所有的”,可以改寫為“對(duì)所有的實(shí)數(shù)x,若2x>4,則x>2”,故原命題的否定為:存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,滿足2x>4,但x≤2.(3)原命題省略了全稱量詞“所有的”,可以改寫為“對(duì)所有的四邊形,若它為正方形,則它的對(duì)角線相等”,故原命題的否定為:存在一個(gè)四邊形,它為正方形,但它的對(duì)角線不相等.防范措施1.對(duì)于隱含了量詞的命題的否定,應(yīng)先補(bǔ)全量詞,根據(jù)補(bǔ)全的量詞對(duì)原命題進(jìn)行改寫,再進(jìn)行否定.同時(shí)應(yīng)把握每一個(gè)命題的含義,寫出否定形式后最好結(jié)合它們的真假性(一真一假)進(jìn)行驗(yàn)證.2.注意對(duì)全稱量詞命題和存在量詞命題的否定形式的理解,提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).【變式訓(xùn)練】

寫出下列命題的否定,并判斷其真假:(1)集合不都有元素;(2)若四邊形為圓內(nèi)接四邊形,則這個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ);(3)若x2+x-2=0,則x=1.解:(1)原命題省略了存在量詞,可以改寫為“有些集合沒(méi)有元素”,故命題的否定為:所有的集合都有元素;假命題.(2)原命題省略了全稱量詞“