人教版九年級數(shù)學(xué)上冊同步壓軸題專題02一元二次方程的四種實際應(yīng)用（原卷版+解析）

專題02一元二次方程的四種實際應(yīng)用【基礎(chǔ)知識點】應(yīng)用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長率問題、面積問題等方面應(yīng)用.①平均增長率(降低率)問題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長率(降低率)，n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；②利潤問題：利潤=售價-成本；利潤率=利潤/成本×100%；③傳播、比賽問題：④面積問題：a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過割補或平移形成規(guī)則圖形，運用面積之間的關(guān)系列方程.注意：運用一元二次方程解決實際問題時，方程一般有兩個實數(shù)根，則必須要根據(jù)題意檢驗根是否有意義.類型一、增長率問題例1.某蔬菜種植基地2020年蔬菜產(chǎn)量為40噸，預(yù)計2022年蔬菜產(chǎn)量比2021年增加20噸．若蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為x，則下面所列的方程正確的是(

)．A． B． C．D．【變式訓(xùn)練1】疫情形勢下，我國堅持“動態(tài)清零”的防控措施，使很多地區(qū)疫情蔓延形勢得以有效控制，并逐步恢復(fù)生產(chǎn)．某商店今年1月份的銷售額僅2萬元，3月份的銷售額已達到4.5萬元，從1月份到3月份，該店銷售額平均每月的增長率是(

)A．50% B．62.5% C．20% D．25%【變式訓(xùn)練2】河南省地方教育經(jīng)費總投入逐年增加，2017年為2154.67億元，2019年為2668.52億元．若設(shè)教育經(jīng)費總投入平均每年增長的百分率為，則下面所列方程中正確的是(

)A． B．C． D．【變式訓(xùn)練3】華為某型號手機經(jīng)過2次降價后的價格是2次降價前價格的，則每次降價的平均百分比是(

)A．10% B．20% C．15% D．25%類型二、利潤問題例1.某商場銷售一種小商品，每件進貨價為190元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當銷售價為210元時，平均每天能銷售8件；當銷售價每降低2元時，平均每天就能多銷售4件．(1)商場要想使這種小商品平均每天的銷售利潤達到280元，求每件小商品的銷售價應(yīng)定為多少元？(2)設(shè)每件小商品降價元，每天的銷售總利潤為元，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；每件小商品降價多少元時，每天的總利潤最大？最大利潤是多少？【變式訓(xùn)練1】冰墩墩是2022年北京冬季奧運會的吉祥物．冰墩墩以熊貓為原型設(shè)計，寓意創(chuàng)造非凡、探索未來．某批發(fā)市場購進一批冰墩墩玩偶出售，每件進貨價為50元．經(jīng)市場調(diào)查，每月的銷傳量y(萬件)與每件的售價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表：售價x(元/件)606268銷售量y(萬件)403624(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)表達式為；(2)批發(fā)市場銷售冰墩墩玩偶希望每月獲利352萬元，且盡量給客戶實惠，每件冰墩墩應(yīng)該如何定價？(3)批發(fā)市場規(guī)定，冰墩墩的每件利潤率不低于10%，若這批玩偶每月銷售量不低于20a萬件，最大利潤為400萬元，求a的值．【變式訓(xùn)練2】商店銷售某種利潤率為50%的商品，現(xiàn)在的售價為30元/千克，每天可賣100千克，現(xiàn)準備對價格進行調(diào)整，由實際銷售經(jīng)驗可知，售價每漲1元銷售量要少賣10千克，設(shè)漲價后的銷專單價為x(元/千克)，且物價局規(guī)定每千克的利潤不低于12元且不高于18元．(1)該商品的購進價格是每千克多少元？(2)若商店某天的利潤為750元，求售價為多少元？(3)求該商店每天銷售這種商品的最大利潤．【變式訓(xùn)練3】冰墩墩是2022年北京冬奧會的吉祥物，冰墩墩造型的玩偶非常暢銷．某超市經(jīng)銷一種冰墩墩的玩偶，每件成本為60元．經(jīng)市場調(diào)研，當該玩偶每件的銷售價為70元時，每個月可銷售300件，若每件的銷售價增加1元，則每個月的銷售量將減少10件．(1)若該超市某月銷售這種造型玩偶200件，求這個月每件玩偶的銷售價．(2)若該超市某月銷售這種造型玩偶獲得利潤4000元，求這個月每件玩偶的銷售價．類型三、工程問題例1．為了提升干線公路美化度，相關(guān)部門擬定派一個工程隊對39000米的公路進行路面“白改黑”工程．該工程隊計劃使用一大一小兩種型號設(shè)備交替的方式施工，原計劃小型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面30米，大型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面60米．(1)由于小型設(shè)備工作效率較低，該工程隊計劃使用大型設(shè)備的時間比使用小型設(shè)備的時間多，當這個工程完工時，小型設(shè)備的使用時間為多少小時？(2)通過勘察、又新增了部分支線公路美化，結(jié)果此工程的實際施工里程比最初擬定的里程39000米多了9000米，于是在實際施工中，小型設(shè)備在鋪設(shè)公路效率不變的情況下，使用時間比原計劃增加了18m小時，同時，因為新增的工人操作大型設(shè)備不夠熟練，使得比原計劃每小時下降了m米，使用時間增加了小時，求m的值．【變式訓(xùn)練1】“端午臨中夏，時清日復(fù)長”．臨近端午節(jié)，一網(wǎng)紅門店接到一批3200袋粽子的訂單，決定由甲、乙兩組共同完成．已知甲組3天加工的粽子數(shù)比乙組2天加工的粽子數(shù)多300袋．兩組同時開工，甲組原計劃加工10天、乙組原計劃加工8天就能完成訂單．(1)求甲、乙兩組平均每天各能加工多少袋粽子；(2)兩組人員同時開工2天后，臨時又增加了500袋的任務(wù)，甲組人員從第3天起提高了工作效率，乙組的工作效率不變．經(jīng)估計，若甲組平均每天每多加工100袋粽子，則甲、乙兩組就都比原計劃提前1天完成任務(wù)．已知甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)，求提高工作效率后，甲組平均每天能加工多少袋粽子？【變式訓(xùn)練2】某公司主營鐵路建設(shè)施工．(1)原計劃今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和橋梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是橋梁施工的9倍，那么，原計劃今年一季度，橋梁施工最多是多少千米？(2)到今年3月底，施工里程剛好按原計劃完成，且橋梁施工的里程數(shù)正好是原計劃的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本之比1：3：10，總成本為254億元，預(yù)計二季度平地施工里程會減少7a千米，隧道施工里程會減少2a千米，橋梁施工里程會增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本與一季度持平，橋梁施工每千米的成本將會增加a億元，若二季度總成本與一季度相同，求a的值．【變式訓(xùn)練3】公安部交管局部署“一盔一帶”安全守護行動，帶動了市場頭盔的銷量．某頭盔經(jīng)銷商5至7月份統(tǒng)計，某品牌頭盔5月份銷售2250個，7月份銷售3240個，且從5月份到7月份銷售量的月增長率相同．請解決下列問題．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)為了達到市場需求，某工廠建了一條頭盔生產(chǎn)線生產(chǎn)頭盔，經(jīng)過一段時間后，發(fā)現(xiàn)一條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是900個/天，但如果每增加一條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少30個/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)頭盔3900個，在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下(生產(chǎn)線越多，投入越大)，應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？類型四、面積問題例1.如圖，要建一個面積為140平方米的倉庫，倉庫的一邊靠墻，這堵墻長16米;在與墻平行的一邊，要開一扇2米寬的門.已知圍建倉庫的現(xiàn)有木板材料可使新建板墻的總長為32米，那么這個倉庫設(shè)計的長和寬應(yīng)分別為多少米?【變式訓(xùn)練1】如圖，用長為40cm的細鐵絲圍成一個矩形．(1)若這個矩形的面積等于，求的長度；(2)這個矩形的面積可能等于嗎？若能，求出的長度，若不能，說明理由；(3)若這個矩形為黃金矩形(與之比等于黃金比)，求該矩形的面積．(結(jié)果保留根號)【變式訓(xùn)練2】如圖，從一塊矩形鐵片中間截去一個小矩形，使剩下部分四周的寬度都等于，且小矩形的面積是原來矩形面積的一半，則的值為_________．【變式訓(xùn)練3】如圖，在足夠大的空地上有一段長為20米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄．(1)所圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所用舊墻AD的長；(2)求矩形菜園ABCD面積的最大值．專題02一元二次方程的四種實際應(yīng)用【基礎(chǔ)知識點】應(yīng)用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長率問題、面積問題等方面應(yīng)用.①平均增長率(降低率)問題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長率(降低率)，n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；②利潤問題：利潤=售價-成本；利潤率=利潤/成本×100%；③傳播、比賽問題：④面積問題：a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過割補或平移形成規(guī)則圖形，運用面積之間的關(guān)系列方程.注意：運用一元二次方程解決實際問題時，方程一般有兩個實數(shù)根，則必須要根據(jù)題意檢驗根是否有意義.類型一、增長率問題例1.某蔬菜種植基地2020年蔬菜產(chǎn)量為40噸，預(yù)計2022年蔬菜產(chǎn)量比2021年增加20噸．若蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為x，則下面所列的方程正確的是(

)．A． B． C．D．【答案】A【詳解】解：設(shè)蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為x，則可列方程為40(1+x)x=20，故選：A．【變式訓(xùn)練1】疫情形勢下，我國堅持“動態(tài)清零”的防控措施，使很多地區(qū)疫情蔓延形勢得以有效控制，并逐步恢復(fù)生產(chǎn)．某商店今年1月份的銷售額僅2萬元，3月份的銷售額已達到4.5萬元，從1月份到3月份，該店銷售額平均每月的增長率是(

)A．50% B．62.5% C．20% D．25%【答案】A【詳解】設(shè)該店銷售額平均每月的增長率為x，則二月份銷售額為2(1+x)萬元，三月份銷售額為2(1+x)2萬元，由題意可得：2(1+x)2=4.5，解得：x1=0.5=50%，x2=-2.5(不合題意舍去)，答：該店銷售額平均每月的增長率為50%；故選A．【變式訓(xùn)練2】河南省地方教育經(jīng)費總投入逐年增加，2017年為2154.67億元，2019年為2668.52億元．若設(shè)教育經(jīng)費總投入平均每年增長的百分率為，則下面所列方程中正確的是(

)A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：設(shè)教育經(jīng)費總投入平均每年增長的百分率為，則，故選：A【變式訓(xùn)練3】華為某型號手機經(jīng)過2次降價后的價格是2次降價前價格的，則每次降價的平均百分比是(

)A．10% B．20% C．15% D．25%【答案】B【詳解】設(shè)平均降低率為x，起始價格為m元，根據(jù)題意，得，解得x=0.2或x=1.8(舍去)，故選B．類型二、利潤問題例1.某商場銷售一種小商品，每件進貨價為190元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當銷售價為210元時，平均每天能銷售8件；當銷售價每降低2元時，平均每天就能多銷售4件．(1)商場要想使這種小商品平均每天的銷售利潤達到280元，求每件小商品的銷售價應(yīng)定為多少元？(2)設(shè)每件小商品降價元，每天的銷售總利潤為元，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；每件小商品降價多少元時，每天的總利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)每件小商品的銷售價應(yīng)定為204元或200元銷售(2)每件小商品降價8元時，每天的總利潤最大，最大利潤是288元【解析】(1)解：設(shè)每件小商品的銷售價應(yīng)降價x元銷售，由題意得：，∴，解得或，∴每件小商品的銷售價應(yīng)降價10元或6元銷售，∴每件小商品的銷售價應(yīng)定為204元或200元銷售；(2)解：由題意得，∴當時，w最大，最大為288元，∴每件小商品降價8元時，每天的總利潤最大，最大利潤是288元．【變式訓(xùn)練1】冰墩墩是2022年北京冬季奧運會的吉祥物．冰墩墩以熊貓為原型設(shè)計，寓意創(chuàng)造非凡、探索未來．某批發(fā)市場購進一批冰墩墩玩偶出售，每件進貨價為50元．經(jīng)市場調(diào)查，每月的銷傳量y(萬件)與每件的售價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表：售價x(元/件)606268銷售量y(萬件)403624(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)表達式為；(2)批發(fā)市場銷售冰墩墩玩偶希望每月獲利352萬元，且盡量給客戶實惠，每件冰墩墩應(yīng)該如何定價？(3)批發(fā)市場規(guī)定，冰墩墩的每件利潤率不低于10%，若這批玩偶每月銷售量不低于20a萬件，最大利潤為400萬元，求a的值．【答案】(1)；(2)每件冰墩墩定價為58元；(3)【解析】(1)由表可知單價為60元時，可買40萬件，每上漲2元，銷量就降4萬件，據(jù)此有，整理即可得：；(2)，解得，∵盡量給客戶優(yōu)惠，∴每件冰墩墩定價為58元；(3)設(shè)銷售總利潤為w，由題意，得，又∵，則∵二次項系數(shù)，拋物線開口向下，①若，則當時，，不符合題意，舍去②若，即當時，隨的增大而增大，∴時，最大，此時解得，(舍)，∴．【變式訓(xùn)練2】商店銷售某種利潤率為50%的商品，現(xiàn)在的售價為30元/千克，每天可賣100千克，現(xiàn)準備對價格進行調(diào)整，由實際銷售經(jīng)驗可知，售價每漲1元銷售量要少賣10千克，設(shè)漲價后的銷專單價為x(元/千克)，且物價局規(guī)定每千克的利潤不低于12元且不高于18元．(1)該商品的購進價格是每千克多少元？(2)若商店某天的利潤為750元，求售價為多少元？(3)求該商店每天銷售這種商品的最大利潤．【答案】(1)該商品的進價為20元；(2)商店某天的利潤為750元，求售價為25元；(3)x＝32時，W有最大值960元．【解析】(1)設(shè)進價為a元，∵利潤率為50%，∴a(1+50%)＝30，解得：a＝20，所以該商品的進價為20元；(2)∵物價局規(guī)定每千克的利潤不低于12元且不高于18元．∴12≤x﹣20≤18，∴x的取值為32≤x≤38根據(jù)題意得：[100﹣10(x-30)](x﹣20)＝750∴(400﹣10x)(x﹣20)＝750，解得：x1＝35，x2＝25(不合題意，舍去)，∴x＝35，∴商店某天的利潤為750元，求售價為35元；(3)設(shè)每天的利潤為W，則W＝(400﹣10x)(x﹣20)＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10(x﹣30)2+1000，∵12≤x﹣20≤18，∴32≤x≤38，∵-10＜0，拋物線開口向下，故x＞30時，y隨x增大而減小，∴x＝32時，W有最大值960元．【變式訓(xùn)練3】冰墩墩是2022年北京冬奧會的吉祥物，冰墩墩造型的玩偶非常暢銷．某超市經(jīng)銷一種冰墩墩的玩偶，每件成本為60元．經(jīng)市場調(diào)研，當該玩偶每件的銷售價為70元時，每個月可銷售300件，若每件的銷售價增加1元，則每個月的銷售量將減少10件．(1)若該超市某月銷售這種造型玩偶200件，求這個月每件玩偶的銷售價．(2)若該超市某月銷售這種造型玩偶獲得利潤4000元，求這個月每件玩偶的銷售價．【答案】(1)這個月每件玩偶的銷售價80元；(2)這個月每件玩偶的銷售價80元【解析】(1)解：設(shè)這個月每件玩偶的銷售價為x元，根據(jù)題意300-(x-70)×10=200，解得x=80元，答：這個月每件玩偶的銷售價80元；(2)解：設(shè)這個月每件玩偶的銷售價y元，根據(jù)題意，得：(y-60)[300-10(y-70)]=4000，整理得：y=80，答：這個月每件玩偶的銷售價80元．類型三、工程問題例1．為了提升干線公路美化度，相關(guān)部門擬定派一個工程隊對39000米的公路進行路面“白改黑”工程．該工程隊計劃使用一大一小兩種型號設(shè)備交替的方式施工，原計劃小型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面30米，大型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面60米．(1)由于小型設(shè)備工作效率較低，該工程隊計劃使用大型設(shè)備的時間比使用小型設(shè)備的時間多，當這個工程完工時，小型設(shè)備的使用時間為多少小時？(2)通過勘察、又新增了部分支線公路美化，結(jié)果此工程的實際施工里程比最初擬定的里程39000米多了9000米，于是在實際施工中，小型設(shè)備在鋪設(shè)公路效率不變的情況下，使用時間比原計劃增加了18m小時，同時，因為新增的工人操作大型設(shè)備不夠熟練，使得比原計劃每小時下降了m米，使用時間增加了小時，求m的值．【答案】(1)300；(2)5【解析】(1)解：設(shè)小型設(shè)備的使用時間為x小時，則大型設(shè)備的使用時間為小時，根據(jù)題意得：，解得：，答：小型設(shè)備的使用時間為300小時；(2)解：由(1)得：大型設(shè)備的原來使用時間為小時，根據(jù)題意得：小型設(shè)備的使用時間為小時，大型設(shè)備鋪設(shè)公路每小時為米，大型設(shè)備的使用時間為小時，∴，整理得：，解得：(舍去)．即m的值為5．【變式訓(xùn)練1】“端午臨中夏，時清日復(fù)長”．臨近端午節(jié)，一網(wǎng)紅門店接到一批3200袋粽子的訂單，決定由甲、乙兩組共同完成．已知甲組3天加工的粽子數(shù)比乙組2天加工的粽子數(shù)多300袋．兩組同時開工，甲組原計劃加工10天、乙組原計劃加工8天就能完成訂單．(1)求甲、乙兩組平均每天各能加工多少袋粽子；(2)兩組人員同時開工2天后，臨時又增加了500袋的任務(wù)，甲組人員從第3天起提高了工作效率，乙組的工作效率不變．經(jīng)估計，若甲組平均每天每多加工100袋粽子，則甲、乙兩組就都比原計劃提前1天完成任務(wù)．已知甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)，求提高工作效率后，甲組平均每天能加工多少袋粽子？【答案】(1)甲、乙兩組平均每天各能加工200袋、150袋粽子；(2)400【解析】(1)解：設(shè)甲、乙兩組平均每天各能加工袋、袋粽子由題意得：解得：答：甲、乙兩組平均每天各能加工200袋、150袋粽子．(2)解：設(shè)提高效率后，甲組平均每天比原計劃平均每天多加工袋粽子由題意得：整理得：解得：，，又∵甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)∴∴200+100×2=400(袋)答：提高工作效率后，甲組平均每天能加工400袋粽子．【變式訓(xùn)練2】某公司主營鐵路建設(shè)施工．(1)原計劃今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和橋梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是橋梁施工的9倍，那么，原計劃今年一季度，橋梁施工最多是多少千米？(2)到今年3月底，施工里程剛好按原計劃完成，且橋梁施工的里程數(shù)正好是原計劃的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本之比1：3：10，總成本為254億元，預(yù)計二季度平地施工里程會減少7a千米，隧道施工里程會減少2a千米，橋梁施工里程會增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本與一季度持平，橋梁施工每千米的成本將會增加a億元，若二季度總成本與一季度相同，求a的值．【答案】(1)4；(2)2．【解析】(1)解：設(shè)橋梁施工最多是m千米，則隧道施工為千米，∵隧道施工至少是橋梁施工的9倍，∴，解之得：，∴橋梁施工最多是4千米．(2)解：由(1)可知一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工分別為106千米，36千米和4千米，設(shè)一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本分別為x，3x，10x，∵總成本為254億元，∴，解之得：，由題意可知：二季度平地施工里程為千米，隧道施工里程為千米，橋梁施工里程為千米；平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本分別為：1，3，∵二季度總成本與一季度相同，∴，即，解之得：(舍去)或，故．【變式訓(xùn)練3】公安部交管局部署“一盔一帶”安全守護行動，帶動了市場頭盔的銷量．某頭盔經(jīng)銷商5至7月份統(tǒng)計，某品牌頭盔5月份銷售2250個，7月份銷售3240個，且從5月份到7月份銷售量的月增長率相同．請解決下列問題．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)為了達到市場需求，某工廠建了一條頭盔生產(chǎn)線生產(chǎn)頭盔，經(jīng)過一段時間后，發(fā)現(xiàn)一條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是900個/天，但如果每增加一條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少30個/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)頭盔3900個，在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下(生產(chǎn)線越多，投入越大)，應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？【答案】(1)該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%(2)在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下，增加4條生產(chǎn)線【解析】(1)解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x．依題意，得：，解得：，(不合題意，舍去)．答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．(2)解：設(shè)增加x條生產(chǎn)線．，解得，(不符合題意，舍去)，答：在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下，增加4條生產(chǎn)線．類型四、面積問題例1.如圖，要建一個面積為140平方米的倉庫，倉庫的一邊靠墻，這堵墻長16米;在與墻平行的一邊，要開一扇2米寬的門.已知圍建倉庫的現(xiàn)有木板材料可使新建板墻的總長為32米，那么這個倉庫設(shè)計的長和寬應(yīng)分別為多少米?【答案】14米，10米【解析】設(shè)垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊長為(32-2x+2)米，由題意得x?(32-2x+2)=140，整理，得x2-17x+70=0，解得x1=10，x2=7，當垂直于墻的邊長為7米，則平行于墻的長度為32-14+2=20(米)＞16米，舍去；當垂直