2024高考數(shù)學(xué)常考題型第11講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)6大題型（解析版）

2024高考數(shù)學(xué)?？碱}型精華版第11講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)6大題

型

【題型目錄】

題型一：三角函數(shù)的周期性

題型二：三角函數(shù)對稱性

題型三：三角函數(shù)的奇偶性

題型四：三角函數(shù)的單調(diào)性

題型五：三角函數(shù)的值域

題型六：三角函數(shù)的圖像

【典例例題】

題型一：三角函數(shù)的周期性

【例1】（2022?全國?興國中學(xué)高三階段練習(xí)（文））下列函數(shù)中，最小正周期為兀的奇函數(shù)是（）.

A.j^=|tanx|B.y=sin|2x|

C.y=sinxcosxD.y=sinx

【答案】C

【分析】根據(jù)奇偶性可判斷AB錯誤，根據(jù)周期公式可判斷C正確D錯誤.

【詳解】A選項，V=kanM為偶函數(shù)，故A錯誤；

B選項，y=/（x）=sin|2x|,則/（-乂）=$訶-2兄=$訶2司=/（工），

故、=疝網(wǎng)為偶函數(shù),故B錯誤;

C選項，y=sinxcosx=gsin2x,最小正周期7=掾=兀，且為奇函數(shù)，故C正確；

兀

D選項，y=sinx為奇函數(shù)，最小正周期7=寧2=2*故D錯誤.

故選：C.

【例2】（2022江西景德鎮(zhèn)一中高一期中（文））下列函數(shù)中①y=sin|x|；②丁=卜出目；③y=|anx|；

④y=|l+2cosx|,其中是偶函數(shù)，且最小正周期為”的函數(shù)的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】①的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于了軸對稱，＞=sin|x|是偶函數(shù),

但不是周期函數(shù)，，排除①;

②的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于V軸對稱，y=kinx|是偶函數(shù),

最小正周期是〃，.??②正確；

③的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于歹軸對稱，y=gnx|是偶函數(shù),

④的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于V軸對稱，y=|l+2cosx|是偶函數(shù)，最小正周期為2萬，；.排除④.

故選：B.

【例3】(2022?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)，(x)=sin(2xTcos(2x+§的最小正周期是()

兀71

A.—B.—C.兀D.27r

42

【答案】B

【分析】將/(力解析式用正余弦的和差角公式展開化簡，即可得到結(jié)果.

【詳解】因為/(x)=sin(2x-g卜os(2x+?71

3

lsin2x-^cos2xUos2x-直in2x

22227

=-sin2xcos2x--sin22x-匹os22x+^sin2xcos2x

4444

1..V3

=—sin4x---------

24

所以7=§=m，

42

故選:B.

【例4】設(shè)函數(shù)/(x)=cos2x+bsinx+c,則/(x)的最小正周期()

A.與6有關(guān)，且與，有關(guān)B.與6有關(guān)，但與c無關(guān)

C.與b無關(guān)，且與c無關(guān)D.與6無關(guān)，但與c有關(guān)

【答案】B

【解析】因y=cos2x的最小正周期為T=—三=7，^=$山》的最小正周期為7=』=2萬

,21

所以當(dāng)6/0時，/(x)的最小正周期為2萬；當(dāng)6=0時，/(x)的最小正周期為乃；

【例5】(2022?全國?高一課時練習(xí))函數(shù)y=2cos2卜+；卜1的最小正周期為()

無■萬一C

A.—B.—C.4D.27r

42

【答案】C

T2K

【分析】由降事公式和誘導(dǎo)公式即可得到N=-sin2x,再通過7=時即可求解.

【詳解】因為y=2cos2（x+?）-I=cos（2x+5）=-sin2x,所以7=與=%.

故選：C

【例6】（2022?廣西桂林?模擬預(yù)測（文））函數(shù)/（x）=2忖n6x+cos6x|的最小正周期是（）

TC71兀

A，2B.一C.D.

36

【答案】D

【分析】根據(jù)周期的定義對選項一一檢驗即可得出答案.

sid6X￡

【詳解】/(x)=2|sin6x+cos6$

因為/0+菅）

=2近sin=2^2-sinf6x+—j=/(x),

所以/（x）的最小正周期為J.

6

故選：D.

【例7】（2022?全國?高一專題練習(xí)）/（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期是（）

乃

A.—B.乃C.2%D.3萬

2

【答案】A

【分析】化簡可得化x）=[sin2x|+l,根據(jù)正弦函數(shù)的周期可得.

【詳解】因為=|sinx|+1cosx|=J（|sinx|+|cosx）~sin2*+1,

因為y=sin2x的最小正周期為"，所以y=卜仙2司的最小正周期為',

所以/（x）的最小正周期為

故選：A.

【題型專練】

1.（2023全國高三題型專練）在函數(shù)②y=|cosx|,③卜=cos（2x+今），@y=tan（2x-（

中，最小正周期為兀的所有函數(shù)為（）

A.②④B.①③④C.①②③D.②③④

【答案】C

24

【解析】?.’y=cos|2x|=cos2x,，7=彳=萬;

y=|cosx|圖象是將夕=8$》在x軸下方的圖象對稱翻折到x軸上方得到，

所以周期為萬,由周期公式知，y=cos(2x+￡)為萬，y=tan(2x-f)為】，故選：C.

2.(2022?河北深州市中學(xué)高三階段練習(xí))下列函數(shù)中，最小正周期為乃的奇函數(shù)是()

A.y=sin(x+￡)B.y=sin(乃+x)cos(萬一x)

C.y=cos2x-cos2fx+D.y=sin|2x|

【答案】B

【分析】先化簡各選項，由最小正周期的計算公式和奇、偶函數(shù)的定義對選項-一判斷即可求出答案.

【詳解】對于A：y=sin(x+?)最小正周期為2%，故A錯誤；

124

對于B：y=sinxcosx=—sin2x,最小正周期/='一=%,且為奇函數(shù)，故B正確；

22

對于C：y=cos2x-sin2x=cos2x,最小正周期為萬的偶函數(shù)，故C錯誤；

對于D：y=/(x)=sin|2x|,則f(-x)=sink2x|=sin|M=/(x),

故了=則|2刈為偶函數(shù)，故D錯誤.

故選：B

3.(2022?北京昌平?高一期末)下列函數(shù)中，最小正周期為萬的奇函數(shù)是()

A.y=sin(x+?)B.y=sin|2x|

C.y=sinxcosxD.^=cos2x-sin2x

【答案】C

【分析】利用二倍角公式及正(余)弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；

【詳解】解：對于A：y=sin卜+?)最小正周期為2萬，故A錯誤；

對于B：y=/(x)=sin|2x|,則/(-x)=sin卜2x|=sin|2x|=/(x),故刀=sin|2x|為偶函數(shù),故B錯誤;

127r

對于C：y-sinxcosx--sin2x,最小正周期T=—=乃，且為奇函數(shù)，故C正確；

22

對于D：y=cos2x-sin2x=cos2x,最小正周期為萬的偶函數(shù)，故D錯誤；

故選：C

4.（2022?陜西渭南?高二期末（理））函數(shù)/（x）=sin2x+#sinxcosx的最小正周期是

【答案】兀

_2K

【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式將化簡函數(shù)，再由7=同即可求解.

【詳解】/（x）=sin2x+V3sinxcosx=-~~級+^~sin2x=sii[2x-^j-R

所以7=M=/r.

故答案為：兀

5.（2022?全國?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=10sinm-cos（mj（（?>0）的最小正周期為"，則0=

【答案】1

【分析】利用輔助角公式，可得/（A解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期的求法，結(jié)合題意，即可得答

案.

=卜山,一方,

【詳解】因為函數(shù)/（x）=1百sins-coss1

12〃

所以最小正周期為：-X--，解得。=L

故答案為：1

6.（2022?浙江?杭十四中高一期末）函數(shù)_y=cos（'+x卜最小正周期為

【答案】n

【分析】利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、降寨公式和輔助角公式化簡，然后由周期公式可得.

■、工&力、E、1（乃、）l+cos2x

【詳解】因為V=COSIy+X1COSX-COS-X=-S1DXCOSX-------------

1..cc\1v2._7t.1

=——（sin2x+cos2x）——=------sm（z2x+一）——

22242

所以7=如=兀.

CO

故答案為：兀

題型二：三角函數(shù)對稱性

【例1】（江西省“紅色十?！?023屆高三上學(xué)期第一聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)

/a）=而3+8）,>0,0<9苦）的兩個相鄰的零點(diǎn)為-找，則/（》）的一條對稱軸是（）

1512

A.x=—B.x=一>-C.x=>-D.x=—

6633

【答案】B

【分析】根據(jù)兩個相鄰零點(diǎn)的距離求出最小正周期，從而求出。=兀,

代入特殊值后求出°=三，求出/（x）的解析式，求出對稱軸方程為x=Z:+!（%eZ）,從而求出正確答案.

36

【詳解】設(shè)“X）的最小正周期為7,則4=棄（-9=1,<7-=—=2,所以0=兀，

23V3JCD

又因為一;兀+9=E（ZwZ）,且所以>=g,則/0）=5汕（網(wǎng)+方），

所以/（%）的對稱軸為nxH—=kit-\—（keZ）,解得x=k4—（kGZ）,

326

取左=-1,得一條對稱軸為直線工=-之.

故選：B.

【例2】（2022全國高一課時練習(xí)）函數(shù)y=cos（2x+。］的圖象（）

A.關(guān)于點(diǎn)與0）對稱B.關(guān)于點(diǎn)信可對稱

C.關(guān)于直線x=￡對稱D.關(guān)于直線x=f對稱

63

【答案】D

【解析】由題設(shè)，由余弦函數(shù)的對稱中心為（版+￡,0）,令2x+f=H+f,得片竺+之，keZ,易知A、

232212

-jrk7TTT

B錯誤；由余弦函數(shù)的對稱軸為工=%加，令2x+—=得％=------,keZ,

326

當(dāng)左=1時，x=y,易知C錯誤，D正確；故選：D

【例3】（2022?江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí)）把函數(shù)尸sin（2x+F卜勺圖像向右平移8（。>。）個單位長度,

所得圖像關(guān)于了軸對稱，則。的最小值是（）

57tc2兀-5兀_兀

A.—B.—C.—D.一

63126

【答案】C

47r

【分析】先利用平移求得了=$治2（X-^）+y,再由三角函數(shù)對稱性即可求解

【詳解】將函數(shù)尸sin（2x+^）勺圖象向右平移W（S>0）個單位長度得到函數(shù)N=sin2（x-0）+g,

???所得函數(shù)圖象關(guān)于夕軸對稱，

47rTT

BP--2^9=—+kn,eZ）,

柴(*)

e＞o,

,當(dāng)％=0時，夕的最小值為三STT.

12

故選：C

【例4】（2023福建省福州屏東中學(xué)高三開學(xué)考試多選題）已知函數(shù)/（x）=3sin（2x+e）［-］＜e＜^J的圖

像關(guān)于直線x=?對稱，則（）

A.函數(shù)+為奇函數(shù)

B.函數(shù)/⑺在py上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/（X）的圖像向右平移。（。＞0）個單位長度得到的函數(shù)圖像關(guān)于x=g對稱，則。的最小值是g

63

D.若方程〃x）=a在上,=］上有2個不同實根x”z，則卜-X2I的最大值為1

63」2

【答案】AC

【分析】根據(jù)題意得夕=-奈，〃x）=3sin（2xj）,再結(jié)合三角函數(shù)的圖像性質(zhì)依次分析各選項即可得答

案.

【詳解】解：因為函數(shù)/（x）=3sin（2x+s）［-5＜0＜］］的圖像關(guān)于直線x=（對稱，

所以，2乂2+0=工+女乃，女EZ,解得。=一工+br,4wZ,

326

因為一（＜9＜］，

所以夕==，即/（x）=3sin（2x.）,

所以，對于A選項，函數(shù)/（x+t）=3sin2r,是奇函數(shù)，故正確；

對于B選項，當(dāng)時，2x-gjg，￥］,由于函數(shù)八sinx在學(xué)］上單調(diào)遞減，所以函數(shù)“X）

_32J6|_26」［_26_

TTTT

在y.y上單調(diào)遞減，故錯誤；

對于C選項，函數(shù)“X）的圖像向右平移。（。＞0）個單位長度得到的函數(shù)圖像對應(yīng)的解析式為

g(x)=3sin^2x-2a--J,

若g(x)圖像關(guān)于x=2對稱，則2xm-2a-￡=g+hrMeZ,解得a=-^+竺，kZ,

666262

由于?！?,故。的最小值是。，故正確；

對于D選項，當(dāng)xe，冬時，2X-^G~7<~7~，

L63J6Loo

jr24

故結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，若方程/(力=。在上有2個不同實根不三，不妨設(shè)再<三,

63

則上取得最大值時滿足2占-m=￡且2X2="，

6666

所以，|演-x?|的最大值為?，故錯誤.

故選：AC

【例5】(2023江西省高三月考)若函數(shù)y=cos"+^J(°GN+)圖象的一個對稱中心是仁,0),則co的

最小值為()

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【解析】當(dāng)x=2時，y=0,即cosj衛(wèi)+2]=0,.,.絲+工=工+就(左wZ),

6\66J662

解得。=6左+2,?.?&€%*，故當(dāng)左=0時，⑦取最小值2.

7T

【例6】【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】若將函數(shù)y=2sin2x的圖像向左平移五個單位長度，則平移后圖象的

對稱軸為()

k/C7T.._kjTTC.,_

(A)x=---------(kwZx).(B)x=------1—(左￡Z)x

2626

k冗7t.._k兀TC.-

(C)x=--------(攵EZ)x(D)x=------1------Z(k￡Z)X

212212

【答案】B

【解析】由題意，將函數(shù)y=2sin2x的圖像向左平移上個單位得y=2sin2（x+土）=2sin（2x+°）,則

12126

平移后函數(shù)的對稱軸為2》+2=春+左乃，左eZ,即x.+年，左eZ,故選B.

【題型專練】

1.（2020?四川省瀘縣第四中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)/（x）=sin2x+、，則函數(shù)/（x）的圖象的對稱軸

方程為（）

.71J?

A.x=k7i----,keZB.x=KTt-^—.keZ

44

C.x=；k7U,keZ1.71、)

D.x=—K7r+—.kGZ

24

【答案】C

【解析】由已知，/（x）=cos2x,令2x=k兀,kwZ,得x=g左肛后wZ.故選：C.

其中。>0,Wl<兀.若/（磐）=2,/（￥）=0,且

2.【2017?天津卷】設(shè)函數(shù)〃x）=2sin（0x+s）,X€R,

OO

/（X）的最小正周期大于2兀，則

271211K

A.co=—,(p=—B.co=—,(0=-----

312312

1IE17K

C.<w=-（PD.CD=—,(D=----

~24324

【答案】A

5am,27i

-----F(p=2K,TH—

81242

【解析】由題意得《其中41,%2WZ,所以69=§(左2—2%1)_§,

\\COTl,

-^-+(p=k2n

又r=空>2兀，所以0</<1,所以。2~1

一,(0—2a.7TH---K,

CO3112

由時〈兀得9=巳，故選A.

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）將函數(shù)y=sin2x-Jicos2x的圖象沿x軸向右平移。個單位（a>0）所得圖

象關(guān)于y軸對稱，則。的最小值是（）

【答案】C

【分析】由輔助角公式，整理函數(shù)解析式，根據(jù)平移變換，結(jié)合對稱性，可得答案.

【詳解】函數(shù)y=sin2x-6cos2x=2—sin2x----cos2x=2sin2x--

將函數(shù)y=2sin12x-?J的圖象沿x軸向右平移。個單位（a>0）,

得到的函數(shù)：y=2sin（2x-2a-q）,二?所得圖象關(guān)于y軸對稱，

2a+?='+ATT"eZ）,解得a=5+午,（keZ）,

二“的最小值是?

故選：C.

4.【2018?江蘇卷】已知函數(shù)丁=$畝（2》+尹）（一5<*<5）的圖象關(guān)于直線彳=三對稱，則9的值是.

【答案】一T?T

6

【解析】由題意可得sin（|2■無+。]=±1,所以2兀+夕=工+左無，（p=-—+/cn.（keZ）,

\3）326

_、，兀兀1廠,I,C7U

因為一7<。<7，所以左=0,9=一工.

226

5.（2022?廣西南寧?高二開學(xué)考試多選題）把函數(shù)/（x）=sinx的圖像向左平移;個單位長度，再把橫坐標(biāo)變

為原來的g倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)g（x）的圖像，下列關(guān)于函數(shù)g（x）的說法正確的是（）

5兀7T

A.最小正周期為兀B.單調(diào)遞增區(qū)間^-―，^+―（吐Z）

C.圖像的一個對移中心為信,o]D.圖像的一條對稱軸為直線X=^

【答案】ABD

【分析】由函數(shù)圖像變換得到g（x）解析式即可判斷A；利用整體代換法求出函數(shù)單調(diào)增區(qū)間即可判斷B；

分別求出g（一三）和g

的值即可判斷C和D.

【詳解】函數(shù)〃x）=sinx的圖像先向左平移2個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膅（縱坐標(biāo)

不變）,

得至Ijg(x)=sin(2x+(J的圖像，則其最小正周期為與=兀，A正確；

令-巴+2E42x+242A:n+々4eZ)解得增區(qū)間是far--,A7r+—供eZ),B正確：

23211212_

當(dāng)x=-：時函數(shù)g(x)=sin(2x+：J的值為g(-1]=sin2x(-：=sin(-胃?0，故C錯誤;

當(dāng)x=^?時，函數(shù)g(x)=sin(2x+S的值為g(^J=sin(2x卷+')=sin5=I,

故圖像的一條對稱軸為直線x=2,D正確.

12

故選:ABD.

題型三：三角函數(shù)的奇偶性

[例1](2022?全國?清華附中朝陽學(xué)校模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=sin(2x+?+sin2x向左平移。個單位后

71

為偶函數(shù)，其中。€0,1.則。的值為()

7ic冗「71—兀

A.-B.-C.-D.—

2346

【答案】D

【分析】先對函數(shù)化簡變形，然后利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出平移后的解析式，再利用其為偶函數(shù)可

求出。的值.

【詳解】/(x)=sin(2x+g1+sin2x

-71_.7T._

=sin2xcos—+cos2xsin—+sin2x

33

3?06o

=—sin2x+——cos2x

22

=6sin(2x+?),

所以/(x)的圖象向左平移。個單位后，得

=>/3sin2(x+e)+.=>/Jsin(2x+29+看)，

因為此函數(shù)為偶函數(shù)，

所以26+￥=&+E,A€Z,^0=-+—,keZ,

6262

7T

因為。€0,y,

所以e=F，

6

故選：D

【例2】（2022?廣東?執(zhí)信中學(xué)高一期中）對于四個函數(shù)夕=回同，y=|cosx|,y=sin|x|,y=tan,|,下列說

法錯誤的是（）

A.了=忖曲|不是奇函數(shù)，最小正周期是4，沒有對稱中心

B.y=|cosx|是偶函數(shù)，最小正周期是萬，有無數(shù)多條對稱軸

C.y=sin|x|不是奇函數(shù)，沒有周期，只有一條對稱軸

D.y=tan|x|是偶函數(shù)，最小正周期是萬，沒有對稱中心

【答案】D

【分析】利用圖象逐項判斷，可得出合適的選項.

對于B選項，如下圖所示:

由圖可知，V=|c。詞是偶函數(shù)，最小正周期是萬，有無數(shù)多條對稱軸，B對;

對于C選項，如下圖所示：

由圖可知，V=sin|x|不是奇函數(shù)，沒有周期，只有一條對稱軸，C對;

對于D選項，如下圖所示:

故選：D.

【例3】(2022?陜西師大附中高一期中)已知函數(shù)/(x)=sin2(x+a+2,若a=/(lg5),ft=/(lg1),則()

A.a+b=0B.a-h=0

C.Q+6=5D.a—b-5

【答案】C

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式化簡/(x)=sin2(x+：)+2,然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)化簡并比較°力

4

的表達(dá)式，可得答案.

【詳解】由題意得〃加/(理)+2」3(2唱；=工9+，，

4222

故。=/(1g5)=1sin(2lg5)+|,b=/(lg1)=/(-lg5)=-1sin(2lg5)+1,

故Q+6=5,

故選：C

【例4】(2022々工西省銅鼓中學(xué)高二開學(xué)考試)將函數(shù)/(》)=日112》+百<；0$2》的圖象向左平移9(3>0)個單

位長度得到一個偶函數(shù)，則。的最小值為()

71c冗c冗e5乃

A?萬B.zC.yD.不

【答案】A

【分析】化簡函數(shù)/(x)的解析式，求出變換后的函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的奇偶性可得出關(guān)于。的

等式，即可求得。的最小值.

【詳解】因為/(x)=sin2x+V3cos2x=2sin^2x+yj,

將函數(shù)〃x)的圖象向左平移姒>>0)個單位長度，

得到函數(shù)y=2sin2(x+^)+y=2sin(2x+2夕+()的圖象，

因為函數(shù)V=2sin(2x+2夕+為偶函數(shù)，則2s+?='+五(&eZ),

解得S=^+當(dāng)住eZ),

”>0,貝悄％=0時，。取最小值看.

故選：A.

3—x

【例5】(2022?四川成都?模擬預(yù)測(理))函數(shù)f(x)=ln—；+，-2x)sin(xT)+2x+l在[0,2]上的最大值與

x+1

最小值的和為()

A.-2B.2

C.4D.6

【答案】D

【分析】將函數(shù)/(x)左移一個單位,即g(x)=f(x+l),xe[-l,l],根據(jù)解析式可判斷g(-x)+g(x)=6,即

函數(shù)g(x)關(guān)于(0,3)對稱，即可求解.

【詳解】將函數(shù)/(x)左移一個單位，得g(x)=/(x+l)=ln蕓+(f-l)sinx+2x+3,xe[-l,l],

則g(-x)+g(x)=6,

所以函數(shù)g(x)關(guān)于(0,3)對稱，故最大值與最小值也關(guān)于(0,3)對稱，其和為6,

故選：D

【例6】(2022?貴州貴陽?高三開學(xué)考試(理))已知函數(shù)/(x)=2cos(2x+*)(0<e<1^的圖象向右平移?個

單位長度后，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則夕=()

71C兀一冗C兀

A.-B.-C.~D.~

34612

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)平移關(guān)系求出g(x)，再由g(x)的對稱性，即得.

【詳解】由題可知g(x)=2cos2口-。)+。=2cos(2x-與+“圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

2冗TTTT

所以9---=—+kn,k^'L,因為0<夕<5，

所以g=占.

6

故選：C.

【例7】（2022?陜西?定邊縣第四中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)/（x）=asinx-bcosx在x=?處取到最

大值，則（）

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.關(guān)于點(diǎn)（萬,0）中心對稱D.關(guān)于X軸對稱

【答案】B

【分析】首先根據(jù)已知條件得到/（x）=〃r^rsin（x+?）,再判斷了卜+空的奇偶性和對稱性即可.

【詳解】因為/（丫）=々5出工一兀05%=〃^^5出（工一9）,其中tanp=—,

因為/（、）="而工-力3%在工=?處取到最大值，

所以sinjf-夕]=1,即工一夕=三+2左乃，kwZ,即0=一二一2%/r,AGZ.

（4J424

所以/（x）=J。?+/sin（x+（+2A/r]=J.?+b?sin（x+（1,

則/卜十（J=Na2+b2sin（x+yj=>Ja2+b2cosx為偶函數(shù).

故選：B

【例8】（2023?全國?高三專題練習(xí)）寫出一個最小正周期為3的偶函數(shù)〃％）=.

27r

【答案】COSyX（答案不唯一）

【分析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知函數(shù)性質(zhì)寫出滿足要求的函數(shù)解析式即可.

【詳解】由余弦函數(shù)性質(zhì)知：歹=COS（日）為偶函數(shù)且人為常數(shù)，

又最小正周期為3,則±24￡=3,即￡=2《4，

k3

所以/（X）=cos（q24x）滿足要求.

277

故答案為：COS（丁x）（答案不唯一）

【題型專練】

1.（2022?全國?高一課時練習(xí)）下列函數(shù)中，既為偶函數(shù)又在卜會0）上單調(diào)遞增的是（）

A.>,=cos|x|B.y=|cosx|C.^=sinx--D.^=tanx-cosx

【答案】AB

【分析】逐一研究函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可.

【詳解】對于A,Vcos|-x|=cos|x|,且函數(shù)y=cosN的定義域為R,

函數(shù)y=cos|x|為偶函數(shù)，又x>0時，cos|x|=cosx,且函數(shù)V=cosx在

上單調(diào)遞減，.?.函數(shù)夕=。3忖在卜條0)上單調(diào)遞增，故A符合題意；

對于B,??[cos(-x)|=|cosx|,且函數(shù)y=|cosx|定義域為R,

；?函數(shù)V=|cosx|為偶函數(shù)，當(dāng)工d-],0卜寸，^=|cosx|=cosx,

且函數(shù)尸COSX在卜、,0)上單調(diào)遞增，

.??函數(shù)y=|cosx|在卜會o)上單調(diào)遞增，故B符合題意；

對于C,Vy=sin^x-yj=-cosx,

???函數(shù)y=sin(x-乖卜卦)上單調(diào)遞減，故C不符合題意；

對于D,記yu/abtanr-cosr,

則/(_x)=tan(_x)_cos(_x)=_tanr_cosx,/.f(-x)/(x),

函數(shù)，=tanx-cosx不是偶函數(shù)，故D不符合題意.

故選：AB.

2.(2022?陜西?武功縣普集高級中學(xué)高三階段練習(xí)(文))己知函數(shù)/(x)=e'-eT+sinx+a,若

/(ln/”)=l,/(ln3)=3,則。=()

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

【分析】由利用函數(shù)性質(zhì)計算“X)+/(-x),然后由已知計算/(In⑼+/(-Inm)從而可求得“值.

【詳解】由函數(shù)/(x)=e*-e-'+sinx+a,可得/'(-x)+/(x)=2a.

因為/[仙]]=/(-必加)=3,/仙加)=1,所以/(lnm)+/[ln\)=l+3=4=2a.

所以a=2.

故選：B.

3.(2022?湖南?周南中學(xué)高二期末)函數(shù)為/(x)=sin(2x+e+?｝禺函數(shù)的一個充分條件是()

兀c冗

A.(p=~B.(p=-

6

「n

C.(p=-D.(p=k7C-\-—(ke7^)

【答案】A

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的奇偶性求參數(shù)。，結(jié)合選項確定一個滿足要求的。值即可.

【詳解】若函數(shù)/(x)=sin(2x+0+g)為偶函數(shù)，

777777

所以。+—=%%+—,左wZ,則。=%乃+—,%EZ.

326

故選：A

4.(2022?貴州黔東南?高二期末(理))己知函數(shù)/(x)=cos(20x-?(0>O)的最小正周期為無，將其圖象向

右平移夕3>0)個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，則9的最小值為()

771

A，ZBD.

A6-72

【答案】C

【分析】根據(jù)周期求0=1,根據(jù)平移可得g(x)=cos(2x-2/-g),根據(jù)g(x)為偶函數(shù)，滿足-2夕-。=E,

即可求解.

0,JT

【詳解】r=—=71,.?.?=1,.-./(X)=COS2x-ylg(x)=/'(x-^)=cosf2x-2^>-y

2。

,??函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，???-2夕-告=億，即Q=C-"，左eZ.

362

；夕>0，...31nm=9

故選:C

5.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=，-2x)sin(x-l)+上在［-1,1)51,3］上的最大值為“，最小

x-1

值為N,則M+N=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】令=/(X)轉(zhuǎn)化為g(f)=『sinf+1-sinf+l,令/)=『sinf+；-sinf,根據(jù)奇偶性的定義,

可判斷6。)的奇偶性，根據(jù)奇偶性，可得力。)在12,0)。(0,2］最大值與最小值之和為0,分析即可得答案.

【詳解】由〃x)=［(x-Ip-"sin(x-1)+1+—!>；■

x-\

令x-l=f,

因為xe[Tl）u（L3],所以/￡[-2,0）30,2]；

那么fM轉(zhuǎn)化為g⑺=/sinE+；-sin.+1,/e[-2,0）u（0,2],

令人（/）=/sin/+l-sin/,/e[-2,0）o（0,2],

則/（T）=（T）2sin（T）],、-sin（-/）=-|Isin/-n-sin=一々）,

（V）It）

所以是奇函數(shù)

可得/?）的最大值與最小值之和為0,

那么g"）的最大值與最小值之和為2.

故選：B.

6.（2022遼寧丹東?高一期末）寫出一個最小正周期為1的偶函數(shù)/（》）=.

【答案】cos271r

【解析】因為函數(shù)夕=噂5的周期為二，所以函數(shù)3；=852"的周期為1.

故答案為：cos271r.（答案不唯一）

7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知/（x）=2sin（x+a）+cosx是奇函數(shù)，則sina的值為.

【答案】

【分析】首先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)/（0）=0,求得Sina=-g,再代入驗證.

【詳解】因為〃x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以/（0）=0,即2sina+cos0=0,解得sina=-g,經(jīng)檢驗當(dāng)

sina='時，cosa=±-^-

22

/（/）=2sinxcosa+2cosxsina+cosx=2sinxcosa

=±5/3sinx，

不管函數(shù)是歹=VJsinx還是y=-VJsinx,都是奇函數(shù).

所以sina=-g.

故答案為：

2

8.（2022?河南?高二開學(xué)考試）將函數(shù)/（x）=cos"+￡|?>0）的圖像向左平移5個單位長度后得到偶函

數(shù)g（x）的圖像，則〃的最小值是.

【答案】y

【分析】利用三角函數(shù)的圖像變換以及奇偶性的性質(zhì)求解.

【詳解】由題意，得g（x）=cos[cy[x+f+?=8$（0》弓3斤，

因為g（x）為偶函數(shù)，所以卜+看=/乃，AeZ,

2

解得CD-——+4左，€Z,又0>0,

3

所以當(dāng)％=1時，。取得最小值號.

故答案為：號.

9.（2022?全國?高一單元測試）寫出一個同時具有性質(zhì)①/（0）=；；②/。+兀）=/U）的函數(shù)/^）=

（注：/（x）不是常數(shù)函數(shù)）.

【答案】sin2x+1（答案不唯一）

2

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性以及特殊值求得正確答案.

【詳解】由〃x+兀）=/u）知函數(shù)以兀為周期，又/（0）=；,

所以/（x）=sin2x+g滿足條件.

（其他符合題意的答案均可，如/（x）=cos2x-；,〃x）=tanx+；等.）

故答案為：sin2x+2（答案不唯一）

題型四：三角函數(shù)的單調(diào)性

【例1】（湖南省永州市2023屆高三上學(xué)期第一次高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）將函數(shù)

/（x）=6sinxcosx+cos2x-l的圖象向右平移?個單位長度，然后將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵?/p>

來的三(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)，=8(用的圖象,則g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

7ikn7i?、7ikit5nkn~\/t)、

A.——+——,一+——伏wZ)B.---+——，——+——(kGZ)

L12262J242242_

TT5兀

C.---H2ATC,---F2AJI(%tZ)D.--+2K—+2A71(AeZ)

33_66J

【答案】A

【分析】先利用三角恒等變換化簡，得到/（x）=sin（2x+￡）-；,再根據(jù)平移和伸縮變換得到g（x）的解析式,

利用整體法求解出單調(diào)遞增區(qū)間.

▼、*皿、-、631+cos2rleccos2r1，。兀[1

【詳解】/（x）=——sin2x+----------1=——sin2XH---------=sim2XH――八,

222221at

rI/、.（兀兀、1.（1

則g（x）=sm|4Ax--+--