2021高考數(shù)學(xué)考點精講精練《17正余弦定理》（練習(xí)）（解析版）

考點17正余弦定理

【題組一正余弦定理選擇】

1.在AABC中，a=2y/3>6=2及，ZB=45°,則ZA為

【答案】60°或12()。

【解析】由正弦定理可得:

sinA-sinBsinA=

2V2

0<A<135。，.?.NA=60°或44=120。

2.在AABC中，a=3,b=5,sinA=1,則sinB=

【答案w

35.八5

【解析】由正弦定理得T=G'smB=g,故選&

3.已知a,4c分別為ABC三個內(nèi)角A,6,C的對邊且〃+c,2—百加=",則44=

【答案】30（或?）

6

【解析】因為〃+c2-y/3hc=a2，所以Z??+c2-/=J%c，所以2bccosA=,所以cosA=

7171

??.A=—?故答案為二.

66

4.在AA3C中，角A，B,C的對邊分別為。，b,c,若8=8,c=3,A=60°,則此三角形的外接

圓的面積為.

【解析】在乙43。中，由余弦定理可得：/=Z?2+c?—2〃ccos4=49解得：ci=7；

a=2R,解得/?=拽，

再由正弦定理可得:

sinA3

049乃497r

由圓面積公式解得外接圓面積為：S=7TR-=——.故答案為：——.

33

5.在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c.若。=l,c=百,NC=言，則。=.

【答案】1

277*cbI

【解析】因為b=l,c=JLc=——，那么根據(jù)正弦定理可知——=——，可知sinB=-，因為b<c,那么角

3sinCsinB2

TTTT

B二一，A二一然后利用余弦定理可知a2=c2+bL，-2cbcosA=l,故a=l.

66

6.AA8C中，角A&C成等差數(shù)列，則sin?A+sin?C-sin?8=_____

sinAsinC

【答案】1

.如/“▼$叫上r>71sin2A+sin2C-sin2Ba1-\-(r-b11

【解析】由題意，B=—,-------------------=----------=2cosB=l.

3sinAsinCac

【題組二邊角互換】

1.在AABC中，如果511124:91115:S111。=2:3：4,那么cosC等于o

【答案】--

4

【解析】由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4

可設(shè)a=2k,b=3k,c=4k(k>0)由余弦定理可得，CosC=—。

4

2.在中，角4B,。所對的邊分別為ab,a若2a=》+2ccos8,則。=0

【答案】V

3

【解析】在AABC中，2c8s8=2。一人，:.由余弦定理可得2cx“十。一一.=2?！?,

lac

.-.a*2+b2-c2=ab,:.cosC=a2+b2~c2=-,又CG(O,I),，C=￡.

lab23

3.在△力8c中，三個內(nèi)角4,B,。所對的邊分別為a,b,c,且加c=acos3+acosC,則4=o

71

【答案】-

2

+r2—b~cr+b~—c~

【解析】由加c=acos班acos。根據(jù)余弦定理可得，b+C=a^—^——+a=—^——,

2aclab

2c2h

b_a2(b+c)+bc(b+c)-(b3+，*)

2hc

=。地+少兒伍+力伍+0)("—A+c),進一步化簡可得標(biāo)="2+’2

2bc

7t

為直角三角形，A=一.

2

4.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bsinA=gacosB，則角8的大小為.

【答案】60°.

/-一abbI-

【解析】由已知。sinA=G<zcos8，根據(jù)正弦定理得：——7=_7=~=—~~,則sin8=&BSB,

sinAV3cosBsinB

即任—=tan8=G,所以8=60。.故答案為60°.

cosB

5.已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且匚匹.”A則B=。

c-asmC+sinB--------

【答案】-

3

【解析】根據(jù)正弦定理-三=七=三可得.胃"口=唉,由已知可得T=去,整理可得a?+c2-從=

sin4sinfisinCsmC+sinBc+bc-ac+b

ac,

二cosB=~—=上-=二,???在/ABC中B=g.

Zac2ac23

6.在AABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,已知a=2G,c=20，1+幽4=主

tanBb

則角C=_

【答案】-

4

■A-.2ctanA+tanBsinAcosB4-cosAsinBsinC2sinC

【解析】V1+----二一，即-------------------------------------------------

tanBbtanBsinBcosAsinBcosAsinB

1即A為銳角，2A吟

/.cosA二一>

2

a=25/3>c=2起,???由正弦定理，一二一--得：sinO？J^x1二

sinAsinC云萬2

71,7[

?/a>c,...A>C,C=—.故答案為：一.

44

7.在A4BC中，角A，B,C的對邊分別為。，b,C,若/=%2+3c2_2&sinA，則。=

冗

【答案】7

O

【解析】根據(jù)〃2=3b2+3c?-2>/§fecsinA…①余弦定理儲=解+J-2Z?ccosA…②

由①一②可得：2b2+2c2=2>/3Z?csinA-2bccosA化簡：b2+c2=V3Z?csinA-becosA

ob2+c2=2Z?csin(A--)

b+c二.2bc,??sin(A—)—1,0<A<,/.-----<A.-----<—,/.A-----——,A=—,

6666623

2萬

此時〃+c2=?c，故得力=c,即8=C,.「廠3.故答案為：7-

??v--------——6

26°

【題組三三角形面積】

1.銳角△ABC中角AB,C的對邊分別是a,b,c,若a=4b3，且AABC的面積為36，則。=_

【答案】m

【解析】由題意得3G=LabsinCnsinC=3，乂銳角AABC，所以。=工，由余弦定理得

223

c2=a2+b2—2abcosC=25—12=13,c=\/V3.

2.A4BC中，AB=6,AC=1,8=30，A4BC的面積為之，則。=

2

【答案】60-.

\/

【解析】由題意，在A48C中，A3=6,AC=l,3=30。,

所以AABC的面積為5=,43?8。?$由5=!*6乂5。乂,=也，解得BC=2,

2222

由余弦定理得cosC=JC?+BU—AB=1+y又由Ce(0,180°),所以C=60°.

2ACBC2x1x42

3

3.AABC中，a、b、c成等差數(shù)列，ZB=30°,SMliC=-,那么6=.

【答案】V3+1

【解析】Va>b>c成等差數(shù)列,??.2b=a+c,.??4bJJ+c'+Zac,①

13

VS=—acsinB=—,，ac=6②

22

Vb2=/+c2-2accos6,③由①②③得〃=4+2后,，/?=石+1.

〃2序—2

4.已知△/%中，角人&C的對邊分別為a,b,c,且s=幺二_土，那么

ZVAOC]

【答案】-

4

222

a+Z?-c2abcosC1,「

【解析】--------------=------------=—abcosC

442

=—absinC—abcosC^—absinC=>cosC=sinC=>tanC=1

222

TTTT

NC為三角形內(nèi)角，ZC=-故答案為巴

44

『4扇2

5.設(shè)。也c分別是AABC的內(nèi)角A民C的對邊,其面積為幺士--,則sinC=

4

【答案】①

2

帥

【解析】S?8c"+"—l=LcosC='absinC,tanC=1,0<C<C=-,sinC=—.

42242

6.在AA8C中，a、h>c分別是角A、B、C的對邊，若b=2c,a=V6?A=一，則AA8C的面積

3

為.

【答案】百

【解析】由余弦定理可得/-b1+c2-2/?ccos4=4<?+c2-2x2cxcx—,

2

即3/=6,解得c=J5,則〃=2C=2A/5,因此，AA8C的面積為

百

SMBC=-^-Z?csinA=-^-X2A/2x>/2x^-=

7.在AABC中，已知sin?A+sin?sinAsin5=sin?C，且滿足"=4,則AABC的面積為_?_

【答案】A/3

【解析】在AABC中,已知sin?A+sin?B-sinAsinB=sin2C，.?.由正弦定理得癡+/—,

,2,?z-a^+b'-c-ab1n

la!n|lcr2+b~2-c=ab>??cosC=---------------=.即C=；

lab2ab23

ab=4,AABC的面積S=』a》sinC=Lx4x^^=\/5.

222

3

8.在AABC中，a,仇c分別為AB,C的對邊，如果a,"c成等差數(shù)列，8=3()°,AA8C的面積為一那

2

么h=o

【答案】i+G

【解析】由余弦定理得/=cr+c2-2ccosB=(?+c)2-2ac-2accosB,又面積=—acsinB

13

=-ac=-=>ac=6,因為a，人，c成等差數(shù)列，所以a+c=2〃，代入上式可得力？=4/一12—6百，

42

整理得從=4+2內(nèi)，解得b=l+G.

9.在銳角三角形ABC,a,b，。分別為內(nèi)角A，B,C所對的邊長，-+-=6cosC,則更二C/匚6

abtnAtnB

【答案】4

【解析】(方法一)考慮已知條件和所求結(jié)論對于角點6和邊a、。具有輪換性.

當(dāng)力=8或時滿足題意，此時有：cosC=-,tan2—=--CQS^=—,

321+cosC2

CJ2tanA=tanS=—二■=>/2tanCtanC

tan—=??C，7~4?

(方法二)—+—=6cosC=>6abcosC=a2+/?2,6abi+?！?a2+b2,a2+b2=^—

ah2ab2

tanCtanCsinCcosBsinA+sinBcosAsinCsin(A+B)1sin2C

--------1--------=--------------------------------------=----------------------=----------------------.

tanAtan3cosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB

i222

_1c_c_c

由正弦定理得：上式—cosCab_1(。2+/)1里.故答案為：4

$6'V

【題組四三角形形狀判斷】

1.在AABC中，設(shè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別為仇c,若acos3=Z?cos4,則AABC的形狀是三

角形

【答案】等腰三角形

【解析】根據(jù)題意acos3=Z?cosA，結(jié)合正弦定理可得sinAcos3=sinBcosA,

即sinAcos3-cosAsinB=0,所以sin(A-6)=0,結(jié)合三角形內(nèi)角的取值范圍，可得A=B，

所以AABC是等腰三角形.

2.在AABC中，已知初=2。sin&且Qcos5=Z?cosA,則AABC的形狀是三角形

【答案】等邊三角形

【解析】；3Z?=2百々sin5,，山正弦定理得3sin8=2GsinAsin8，sinB0,sinA=—，

若A為鈍角，則cosAvO,由acos3=/?cosA得cos3<(),8也為鈍角，不合題意.

7C

故A為銳角，A=一,又由acos3=Z?cosA得sinAcos3=sinBcosA,「?li/b=B、：.B=A=—

3

71

從而C=§,AA8C為等邊三角形.

3.在AABC中，已知2sinAcos3=sinC,那么AA8C一定是三角形

【答案】等腰

【解析】2sin4cos8=sinC，由正弦定理可得2acosB=c,

^22_.2

由余弦定理得2ax巴士-L=c，化簡得a=b,所以二角形為等腰三角形，

2ac

4.在AABC中，角A，B,C所對的邊的長分別為。，b,c,若“sinA+6sin8vcsinC,則AA8C的

形狀是三角形

【答案】鈍角

^2,2_2

【解析】由正弦定理得：/+。2<。2由余弦定理得：COSC=<0

2ab

CG(0,^).1C為鈍角，則A48C為鈍角三角形

5.設(shè)ABC的內(nèi)角A，8,C所對的邊分別為若匕oC心Bw=A..13.sin25=sin2C，

則ABC三角形

【答案】等腰直角

【解析】因為。85。+￡^€?3=。5畝24,所以51118(：05。+5皿。(：058=51112/4，

BPsin(B+C)=sin2A,即sinA=si>A，所以sinA=l,因此角A為直角;

又sin25=sin2。，所以〃=/,所以方=c；因此，A6C是等腰宜角三角形.

6.若(a+6+c)3+c—a)=30c,且sinA=2sin3cosC，那么ABC是三角形

【答案】等腰直角

,2221

【解析】由題設(shè)可得趣+可-YuancosAu+'"='=4=1,

2bc23

j義序2

由題設(shè)可得。=2/?cosCna=2。巴士——^b2-c2=0=>b=c,即該三角形是等邊三角形.

lab

7.在AABC中，若sin?A+sin28Vsin?C，則AABC的形狀是二角形

【答案】鈍角

【解析】因為在A45C中，滿足sinZA+sinB'vsii?。，

2

由正弦定理知5皿4=/-,5皿8=-^~,5111。=--,代入上式得4/2+62<c,

2R2R2R

又由余弦定理可得cosC="—C二<0,因為C是三角形的內(nèi)角，所以Ce（1,萬），

2ah2

所以A4BC為鈍角三角形.

【題組五三角形個數(shù)】

1.已知a,b,c分別為AABC的三個內(nèi)角A8,C的對邊，已知NC=45。，c=J5，a=x>若滿足條件的

三角形有兩個，則》的取值范圍是-

【答案】^2<x<2

【解析】在AABC中，由NC=45。，c=6,。=%，則asinC=xsin45°=工1，

2

要使得三角形有兩個，則滿足也x<c<x，即也x<JI<x，解得&<x<2,即實數(shù)。的取值范圍

22

是（立2）.

2.在AABC中，角A，B,C所對邊分別是。，b,c,若b=d，c=3,且sinC=±叵，滿足題

意的AABC有-

【答案】一個

【解析】b=y/Fi>c=3，b>c,C為銳角，且sinC=之也1，bsinC=JUx豆五=3=c>滿足題意

1111

的AABC有一個.

3.在ABC中，角力,民。所對的邊長分別為a/,c,若。=15,8=24,A=60°,則這樣的三角形解

的個數(shù)為?

【答案】0

【解析】因為。=15，8=24,A=600所以由正弦定理得：，一=—也即=2—解得

sinAsinBsin60°sinB

sinB=^—^->1，故無解

5

4.△/回中，已知下列條件：①b=3,c=4,企=30°；②a=5,b=8,J=30°；③c=6,6=36，B=

60°；④c=9,6=12,。=60°.其中滿足上述條件的三角形有兩解的是-

【答案】①②

342

【解析】AA8C中，0)?=,c=4,B=30。，可得------二-----,sinC=->sin30°

sin30°sinC3

故滿足條件的角。有2個，一個為銳角，一個為鈍角，三角形有兩個解，故正確

584

(2)。=5,〃=8,A=30°,可得------二——，sinB=->sin30°

sin30°sinB5

故滿足條件的角。有2個，一個為銳角，一個為鈍角，三角形有兩個解，故正確

(3)c=6，。=3W，3=60°，可得」_=sinC=l,則。=工，一角形有唯一的解故錯誤

sinCsin6002

912o/i

(4)c=9，b=12,C=60°，可得------=——，sinB=±>l，則8不存在，三角形無解故錯

sin60°sinB3

誤

5.△鉆C的內(nèi)角A，C的對邊分別為。，c,若/。=45°,c=0，且滿足條件的三角形有兩個，則。

的取值范圍為。

【答案】（四,2）

【解析】由正弦定理得：」一=」一即4_=_乙所以sinA=1a

sinCsinAsin45°sinA2

由題意得，當(dāng)45°<A<135。時，滿足條件的三角形有兩個所以4解得、傷<。<2

JT

6.在A48C中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若4=一，a=5,c=4,則滿足條件的AABC的

4

個數(shù)為_____「

【答案】1

5_4.2石V2_.Ar4

【解析】由正弦定理得；^'=氤:'^'.smc=K2<3■=smA,...C<A,所以c只有一解，所以三角形

T

只有一解.

7.已知△4笈中，爐比60°,若此三角形有兩解，則。的取值范圍是-

【答案】V3<fl<2

【解析】做出示意圖如下圖所示：做于“，則?！?44113=45山60，

要使△4獨有兩解，則需asin3<Z?<a，因為從於60°,所以解得6<〃<2，

【題組六取值范圍】

1.在銳角△49C中，角4、B、C所對的邊分別為a、b、c,且才—江爐=1,c=l,則a-6的取值

范圍為.

【答案】(1.V3)

【解析】因為八島?』，C"所以/+"八島小學(xué)考

ab1

八_冗一4------=-------=-------=2

因為0<C<一,所以C=—.又因為sinAsinB.n,所以a=2sinA,〃=2sin3,

26sin-

o

8=9乃-A.

6

下)a—b=25/3sinA—2sinB=2邪>sinA—2sin(——A)

6

=273sinA-2(sin—,zrcosA-cos—sinA)

66

=V3sinA-cosA=2sin(A-.

0<A<-

因為《2所以《<A<g

7C

0<*4-4<—

62

—<A——<—,,<sin（A—工）<■所以—Z?w故答案為：

663262

2.在銳角三角形AABC中，4、B、C成等差數(shù)列，b=l,則的取值范圍-

【答案】（耳目

TT

【解析】力、B、。成等差數(shù)列所以A+C=25,又4+8+C=萬所以3=—

3

a_b_c_l_273

由正弦定理得sinAsinBsinC63

T

Z?sinAbsinC2y/3.‘.一、

/.a+c=--------1----------=------（zsmA+sinC）

sinBsinB3

=~~[sin4+sin一A—6）]=~~sinA+~~sin（A+三）=6sin4+cosA=2sin（A+

7727r7T7T7T7T7T27r

AABC是銳角三角形，所以0<A<2且0<C=——A<—,所以一<A<一,所以一<4+—<——

23262363

<sinA+—<1>/3<2sinfA+—^<2L!jJ^3<a+c<2

2II6；

3.A43C中角A，B,C的對邊分別是a,b,c,若sinA=3sinCss3,且c=3,則的面積

最大值為.

27

【答案】—

4

【解析】由正弦定理可知，sinA=—,5皿。=￡且。=3

2R2R

sinA=3sinCeos變形為a=3ccosB,即a=9cosB

又8為AABC內(nèi)角，cos5=^->0/.,ae（0,9）

sin2B+cos2B=1sinB=vl-cos2B=

2

SM8C=—acsinB=—xax3x—y/si-a-—Ji(81-/)

當(dāng)足卷即0=乎時（s?c"［吟呼故答案為:Y

4.已知A6C中，sinA,sinB,sinC成等比數(shù)列，則少-------的取值范圍是

sinB+cosB

述

【答案】

F

【解析】由sinA，sinB,sinC成等比數(shù)列，得si/BusinAsinC，由正弦定理可得b?=ac.

2oj22〉

IA-_p.,-r,口_ct~+c~_b~ci~+c--

由余弦定理可得cosB=----------=-------

2ac2ac

所以Be0,1

0sin(3+?}5+7€(7,77,所以缶也［，+1)*(1,應(yīng)］.

令t=sinB+cosB-

sin2B+2IsinBcosB+2(sinB+COSBY+1,11(3\［：

---------=------------=---------L——=stnB+cosB+=r+-e2,—

sinB+cosBsinB+cosBsinB+cosBsinB+cosBf(2

5.已知AB,C,。四點共面，BC=2,AB2+AC2=20.C0=3CA，貝”5。|的最大值為—

【答案】10

【解析】設(shè)AC=m,由題意可得：DC=3m,AB=\120-m2，

m+2>，20->2

「AC2+BC2-AB2m2-8

則:cosC=-----------------=--，-A--B-C構(gòu)成三角形，則:，解得:2<m<4,

2ACxBC2m|m-2|<\l2O-m2

由余弦定理:

BD=ylBC2+CD2-2BCxCDxcosC=、4+9irr-2x2x3/nx=752+3m2，

V2m

當(dāng)加=4時，取得最大值為10.

6.在A4BC中，A5=l,BC=2,則角C的取值范圍是()

（冗冗、7171

B.C.

62)

【答案】A

【解析】

3-=匹~,所以sinC=」sinA,所以0<sinC?,，因AB<8C,C必定為銳角，故

sinCsinA22I6

7.在△48C中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若A=3B,貝哈的取值范圍是—

【答案】（1,3）

sin4sin3Bsin(28+B)sin28cos8+cos28sinB2sinKcos2S+cos2Fsinfi

【解析】A=3B=------=---------------------=2cos23+cos28=

sinBsinBsinBsinBsinB

2cos2B+位哼=舞=2cos2B+1又4+BC(O,zr),即48e(O,TT)n2Be(0()=>cos2Be

(0,1)..I6(1,3)

cin~4

8.已知銳角M8C中,角ABC所對的邊分別為若后=a（a+c）,則的貳不的取值范圍是.

【答案】（］_,立）

22

【解析】b2=a2+c2-laccos5,:.ac=c2-laccosB,.\a=c-2asin5,

sinA=sinC_2sinAcosB=sin(A+3)-2sinAcosB=sin(3-A),

因為AASC為銳角二角形，所以A=8-A/.8=2A,

TTTT7T

0<A<一,0<B=2A<—,0<;r—A—B=%—3A<一,

222

7t71

4sin2A◎、

??一<A<一,故一;sinA,GJ

64sin(8-A)

【題組七解析幾何中運用】

cFj

1.如圖所示，四邊形力四中，AC=AD=CO=7,ZABC=120°.sinZBAC=—.則A4BC的

14

面積為，BD=

【答案】上叵8

4

5C

【解析】在MBC中，AC=7,ZABC=120°,sinZBAC=—

14

7BC

A「-----=---

由正弦定理.=.，代入得sin1205g

sinZABCsinABAC-----

14

r5百

7x-----

解得BC=-^―=5,而cosZABC=cos120=——

V32

T

山余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB-8c?cosZABC

代入可得49=AB?+25-10?ABxI

解方程可求得"=3則5180=,*43、4。*5山/區(qū)4。=1*3*7*也=生心

22144

且sinZBCA=sin(ABAC+ZABC)

則cosZDCB=cos(ZDCA+ABAC)=cosZDCA-cosZBCA-sinZDC4-sinZBCA

=9搐一孝*當(dāng)=3由余弦定理可知皿2=℃2+.2-2力。虛-3/。以

代入可得6。2=49+25—2x7x5x1=64所以30=8故答案為：蟲叵；8

74

2.如圖，A，B,C,O為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角，若A+C=180°,AB=6,BC=4,CD=5,

45=5,則四邊形ABC。面積是一.

D

B

【答案】10#

【解析】連接BD,在AABD中，BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosA=60-60cosA.

在A5CQ中，BD2=BC2+CD2-28C-C0cosC=41-41cosC，所以6()-60cosA41-41cosC，

因為A+C=180°,所以cosA=—cosC,所以cosA='，則sinA=馬色，

55

所以四邊形AB。面積5=5_+53)=；48><仞><而4+/0><8><而0

=—x6x5x+—x4x5x=10>/6，故答案為10而.

2525

3.如圖，在三角形AABC中，〃為BC邊上一點，ADLAB且BD=2CD,tan/C4O=g,則tanB為

【解析】如圖，延長AD,過點C作CE_LAD,垂足為E,

QtanNCAD=；CE_1

A￡-5

設(shè)CE=x，則AE=5x,

QZCDE=ZBDAtNCED=NBAD,

-NCDE?VBDA，則匹=生

ADBD

DECDI

QBD=2CD、

~AD~~BD~2

DE=—x,/.DE=—x

33y

tanB=—.

3

故答案為：3.

3

4.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛到A處時測得公路北側(cè)一山頂。在北偏西45°的方向上，

仰角為a,行駛3()0米后到達3處，測得此山頂在北偏西15。的方向上，仰角為〃，若夕=45。,則此山

的高度8=米，仰角a的正切值為.

【答案】30072V3-1

【解析】設(shè)山的高度CD=x(米),

由題可得：ZC4B=45，ZABC=105，AB=300（米），ZCBD=45

在A4BC中，可得：NAC8=180-45-105=30，利用正弦定理可得:

ABCBAC解得：CB=300>/2（米），4。=150（而+夜）（米）

sin30sin45sin105

在RtABCD中,由NC8O=45可得：x=C8=300痣（米）

tanj300夜

在RA4co中，可得:=—1

AC150（76+^）

5.如圖，四邊形ABC。中，AB=4,BC=5,CD=3,ZABC=90°,ZBCD=120°,則AD的長

【答案］,65-126

【解析】連接”;設(shè)NACB=6,則NAC￡>=120—8,如圖:

45

故在&AABC中，sin6?=-=,cos6>=-=,

Vr41V741

8s（120叫」能+―/提+與:軍,

,7222向2向2a

(A/41)2+32-AD2

4舁5,解得A02=65-1273,

又在川。。中由余弦定理有cos(120-0)=

2x3x2^/41

即AD=，65-12G>故答案為765-12A/3?

6.如圖所示，在平面四邊形ABCO中,AB=BC,NA3C=60°,8=2,AD=4,則四邊形ABC。

的面積的最大值為

【答案】5石+8

【解析】連接AC，在三角形ABC中,'：AB=BC，/4BC=60°,

AABC為等邊二角形，在八48中,CD=2,A￡>=4,

巾余弦定理可得AC?=4)2+82—24。.8.8$。=16+4-2x4x2cosD=20-16cos￡>.

則四邊形ABCD的面積為S=S+S=走AC?+2A。.c。.inD

MBCMCD42s

-16cosD)+4sinD=56+8—sin￡>-省小5V3+8sin(D-60°),

2J

當(dāng)。一60。=90。，即0=150。時，sin(。-60。)取得最大值1,

四邊形ABC。的面積取得最大值為5豆+8.

故答案為5有+8.

D,

B

7.在AABC中，已知3=45°,。是BC邊上一點，如圖，N5AO=75。,OC=1,AC=J7,則A3=

【答案】V6

【解析】NA￡>C=120°，根據(jù)余弦定理AC?=AC>2+￡)C2-2AZ>￡>C-COS120°，AZ^+AD-6=0,

AD=2,NAZ)C=60°，根據(jù)正弦定理,則48=國縹黑=—聲=瓜?

sin60=si"n4"5osin45<2

萬

8.如圖，在△?!回中，己知點〃在勿邊上，ADVAC,sin/540=平,48=3/，力。=3,貝U破的長為

【答案】A/3

【解析】sin/物C=sing+N的功=cosN刈〃，二cosN員切

統(tǒng)=4片+陋一248,A%osN&4D=(3巾V+3?-2X3用X3X乎,即加=3,9=,.

【題組八綜合運用】

1.已知/（力=65后1以九%-8521-3，（》61<）若418。的內(nèi)角4，B,C的對邊分別為。，b.

（1）若c=2,/（C）=0,且AA8C的面積為有，求。，b的值.

（2）若sinC+sin（B—A）=sin2A,試判斷小鉆。的形狀.

【答案】（1）a=b=2-.（2）直角三角形或等腰三角形

【解析】（1）由正弦的二倍角及余弦的降幕公式，結(jié)合輔助角公式化簡可得

f（x）=>/3sinxcosx-cos2x~~-sin2x-cos2x-1=sin（2x一石）—1,

又/?=而（20-看卜1=0,