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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省德宏傣族景頗族自治州2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題1.已知集合,,若,則的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知,得,又,所以.故選:A.2.已知關(guān)于的不等式的解集為,則關(guān)于的不等式的解集為()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意,方程的兩根為2和3,則,則為,其解集為.故選:D.3.已知為的邊的中點.若,,則()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由,所以.故選:B4.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩條對稱軸,則的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為,所以,因為函數(shù)在區(qū)間恰有兩條對稱軸,所以,解得.故選:A.5.在三棱錐中,,,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖,將三棱錐轉(zhuǎn)化為長方體,可知三棱錐的外接球即為長方體的外接球,則,可得,則外接球的半徑,所以三棱錐的外接球的表面積為.故選:C.6.甲乙兩人玩紙牌游戲,已知甲手中有兩張10與三張5,乙手中有三張9與兩張4.現(xiàn)從兩人手中各隨機抽取兩張牌并交換給對方,則交換之后甲手中牌的點數(shù)之和大于乙手中牌的點數(shù)之和的概率為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗一開始兩人手中牌的點數(shù)之和是相等的,要想交換之后甲手中的牌點數(shù)之和更大,則甲被抽取的兩張牌的點數(shù)之和應(yīng)比乙被抽取的小,若甲被抽取的兩張牌點數(shù)都為10,不合題意;若甲被抽取的兩張牌一張點數(shù)為10一張點數(shù)為5,則乙被抽取的兩張牌點數(shù)都為9;若甲被抽取的兩張牌點數(shù)都為5,乙被抽取的兩張牌點數(shù)都為9或一張點數(shù)為9一張點數(shù)為4.則所求概率為.故選:D7.已知正項等比數(shù)列中,成等差數(shù)列.若數(shù)列中存在兩項,使得為它們的等比中項,則的最小值為()A.3 B.4 C.6 D.9〖答案〗A〖解析〗設(shè)正項等比數(shù)列的公比為,由,,成等差數(shù)列,有,即,得,由,解得,若數(shù)列中存在兩項,,使得為它們的等比中項,則,即,得,則,,當且僅當,即時等號成立,所以的最小值為3.故選:A8.已知函數(shù),則函數(shù)的零點個數(shù)為()A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗當時,,則在上恒成立,故在上單調(diào)遞增,又,,則存在,使得,畫出的圖象,如下:令,則,當時,令,解得或,若,則,結(jié)合圖象可知,此時存在兩個根,,若,則,結(jié)合圖象可知,此時存在和滿足要求,當時,令得,此時,結(jié)合圖象可知,此時存在兩個根,綜上,共6個零點.故選:C二、多項選擇題9.已知是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),則下列說法正確的是()A. B.若,則C. D.若,則的最小值為1〖答案〗CD〖解析〗對于A,設(shè),則,但,故A錯誤;對于B,令,滿足,故B錯誤;對于C,設(shè),則所以,則,所以,故C正確;對于D,設(shè),則,即,表示以為圓心,半徑為1的圓,表示圓上的點到的距離,故的最小值為,故D正確.故選:CD.10.已知雙曲線左、右焦點分別為、,過原點的直線與雙曲線交于A、B兩點.若四邊形為矩形,且,則下列正確的是()A. B.雙曲線的離心率為C.矩形的面積為 D.雙曲線的漸近線方程為〖答案〗AB〖解析〗如下圖所示:設(shè),所以,由雙曲線的定義可知,因為四邊形為矩形,所以,因此,所以選項A正確;由,所以選項B正確;矩形的面積為,所以選項C不正確;因為,所以雙曲線的漸近線方程為,因此選項D不正確,故選:AB11.已知曲線、與直線交點的橫坐標分別為、,則()A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由,得,即是與交點的橫坐標,由,得,即是與交點的橫坐標,畫出,,,的圖象,如下圖所示,與它們的交點依次為,與關(guān)于直線對稱,所以,關(guān)于對稱,則,,由,解得,,所以,故A正確;對于B,由,且,則,,所以,令,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,,即,故B正確;對于C,由,,所以,故C正確;對于D,由,,則,若,則,當時與矛盾,又顯然不成立,故D錯誤故選:ABC.12.在正方體中,,點在底面正方形內(nèi)及邊界上運動,則()A.存在點,使得平面B.若,則動點的軌跡長度為C.若平面,則動點的軌跡長度為D.若平面,則三棱錐的體積為定值〖答案〗BCD〖解析〗以點為坐標原點,直線分別為軸建立空間直角坐標系,則、、、,,,設(shè)點,其中,設(shè)平面的法向量為,,,則,取,得,,若平面,則,則,解得,,與已知矛盾,A錯誤;由,得,則點在平面內(nèi)的軌跡是以點為圓心,半徑為的圓的,因此動點的軌跡長度為,B正確;若平面,則,即,因此點在底面的軌跡為線段,點的軌跡長度為,C正確;由于平面平面,平面,則點的軌跡為線段,顯然,,因此平面,而平面,即平面,點到平面的距離為定值,又的面積為定值,從而為定值,D正確.故選:BCD.三、填空題13.已知樣本數(shù)據(jù)為1,a,b,7,9,且a、b是方程的兩根,則這組樣本數(shù)據(jù)的方差是_________.〖答案〗8〖解析〗由可得或,因為a、b是方程的兩根,不妨設(shè),,所以樣本平均數(shù)為,故樣本方差為:.故〖答案〗為:814.已知,則的值為_________.〖答案〗〖解析〗因為,所以.故〖答案〗為:.15.已知動點在拋物線上,過點引圓的切線,切點分別為A、B,則的最小值為_________.〖答案〗〖解析〗令,題設(shè)圓的圓心,半徑,又,且,所以,,,則,故,所以,當且僅當,即時取等號,綜上,的最小值為.故〖答案〗為:16.設(shè)函數(shù),.若在恒成立,則實數(shù)取值范圍是_________.〖答案〗〖解析〗在恒成立等價于,所以,即對任意恒成立,
設(shè),則所以,當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,且當時,,當時,,若,則,若,因為,且在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,對任意恒成立,即對任意恒成立.設(shè),,則,所以在單調(diào)遞增,所以,即a的取值范圍為.故〖答案〗為:四、解答題17.在等差數(shù)列與等比數(shù)列中,已知,,且,.(1)求數(shù)列,通項公式;(2)若,求數(shù)列的前項和.解:(1)由題意,令公差為,公比為.由,即,有;,,;由,即,有.,.(2)由(1)有.則有.18.已知函數(shù).(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;(2)銳角中,,且,求的取值范圍.解:(1)由題意有,由,,有;由,得.故函數(shù)的最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由(1)有,即,又,所以,所以,即,由,所以,則,.因為是銳角三角形,所以即,所以,所以.則有.所以,即故的取值范圍為.19.如圖,在四棱錐中,已知底面,,,,,,異面直線與所成角為.(1)證明:與平面;(2)在棱上是否存在一點M,使得平面與平面夾角的余弦值為?若存在,指出點M在棱上的位置;若不存在,請說明理由.(1)證明:由題意,建立如圖所示的空間直角坐標系.令,,由,有,,,,,,,.由,有由,有.有,,,,,即,,又,平面,平面.故與平面.(2)解:假設(shè)棱上是存在一點M,令,由,,設(shè)平面的法向量為,易知,由,.設(shè)平面的法向量為,則有,令,則,則,則由,解得:.故存在為的中點,使得平面與平面的夾角的余弦值為.20.已知橢圓的離心率為,A、B分別為橢圓的左、右頂點,為橢圓的右焦點,過的直線與橢圓交于不同的兩點M、N;當直線垂直于軸時,四邊形的面積為2.(1)求橢圓C的方程;(2)若直線l的斜率為,線段的垂直平分線與軸交于點,求證:為定值.(1)解:依題意,有,當直線垂直于軸時,,所以,解得,.故橢圓的方程為.(2)證明:由(1)易得,設(shè)直線的方程為,且,.由,得,易得,則,,所以,記的中點為,則直線的垂直平分線的方程為,令,得,則,則有,又,則有為定值.21.設(shè)有甲、乙、丙三個不透明的箱子,每個箱中裝有除顏色外都相同的4個球,其中甲箱有2個藍球和2個黑球,乙箱有3個紅球和1個白球,丙箱有2個紅球和2個白球.摸球規(guī)則如下:先從甲箱中一次摸出2個球,若從甲箱中摸出的2個球顏色相同,則從乙箱中摸出1個球放入丙箱,再從丙箱中一次摸出2個球;若從甲箱中摸出的2個球顏色不同,則從丙箱中摸出1個球放入乙箱,再從乙箱中一次摸出2個球.(1)若最后摸出的2個球顏色不同,求這2個球是從丙箱中摸出的概率;(2)若摸出每個紅球記2分,每個白球記1分,用隨機變量表示最后摸出的2個球的分數(shù)之和,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.解:(1)記事件A為最后摸出的2個球顏色不同,事件為這2個球是從丙箱中摸出的,又,有;(2)由條件知,3,4,且,,,的分布列為:X234P故.22.已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求出實數(shù)的取值范圍;(2)若方程在上有兩個不
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