人教a版高中數(shù)學(xué)必修3第1章算法初步全部教案+同步單元測(cè)試卷

第一章算法初步

本章教材分析

算法是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，是計(jì)算科學(xué)的重要基礎(chǔ).算法的應(yīng)用是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

的一個(gè)重要方面.學(xué)生學(xué)習(xí)算法的應(yīng)用,目的就是利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.

通過(guò)算法的學(xué)習(xí),對(duì)完善數(shù)學(xué)的思想，激發(fā)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，

增強(qiáng)進(jìn)行實(shí)踐的能力等，都有很大的幫助.

本章主要內(nèi)容：算法與程序框圖、基本算法語(yǔ)句、算法案例和小結(jié).教材從學(xué)生最熟悉

的算法入手，通過(guò)研究程序框圖與算法案例，使算法得到充分的應(yīng)用，同時(shí)也展現(xiàn)了古老算

法和現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的密切關(guān)系.算法案例不僅展示了數(shù)學(xué)方法的嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性，也為計(jì)

算機(jī)的應(yīng)用提供了廣闊的空間.讓學(xué)生進(jìn)一步受到數(shù)學(xué)思想方法的熏陶，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱

情.

在算法初步這一章中讓學(xué)生近距離接近社會(huì)生活，從生活中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)在社會(huì)生

活中得到應(yīng)用和提高，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是有用的，從而培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.“數(shù)學(xué)建?！?/p>

也是高考考查重點(diǎn).

本章還是數(shù)學(xué)思想方法的載體，學(xué)生在學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常用到“算法思想'’"轉(zhuǎn)化思想”，從而

提高自己數(shù)學(xué)能力.因此應(yīng)從三個(gè)方面把握本章：

(1)知識(shí)間的聯(lián)系；

(2)數(shù)學(xué)思想方法；

(3)認(rèn)知規(guī)律.

本章教學(xué)時(shí)間約需12課時(shí)，具體分配如下(僅供參考):

1.1.1算法的概念約1課時(shí)

1.1.2程序框圖與算法的基木邏輯結(jié)構(gòu)約4課時(shí)

1.2.1輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句和賦值語(yǔ)句約1課時(shí)

1.2.2條件語(yǔ)句約1課時(shí)

1.2.3循環(huán)語(yǔ)句約1課時(shí)

1.3算法案例約3課時(shí)

本章復(fù)習(xí)約1課時(shí)

1.1算法與程序框圖

1.1.1算法的概念

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

算法在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中是一個(gè)新的概念，但沒(méi)有一個(gè)精確化的定義，教科書(shū)只對(duì)它作了

如下描述：“在數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問(wèn)題的明確有限的步驟為

了讓學(xué)生更好理解這一概念，教科書(shū)先從分析一個(gè)具體的二元一次方程組的求解過(guò)程出發(fā),

歸納出了二元一次方程組的求解步驟，這些步驟就構(gòu)成了解二元一次方程組的算法.教學(xué)中,

應(yīng)從學(xué)生非常熟悉的例子引出算法，再通過(guò)例題加以鞏固.

三維目標(biāo)

1.正確理解算法的概念，掌握算法的基本特點(diǎn).

2.通過(guò)例題教學(xué)，使學(xué)生體會(huì)設(shè)計(jì)算法的基本思路.

3.通過(guò)有趣的實(shí)例使學(xué)生了解算法這一概念的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：算法的含義及應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：寫(xiě)出解決一類問(wèn)題的算法.

課時(shí)安排

1課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

思路1(情境導(dǎo)入)

一個(gè)人帶著三只狼和三只羚羊過(guò)河，只有i條船，同船可容納?個(gè)人和兩只動(dòng)物，沒(méi)有

人在的時(shí)候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量狼就會(huì)吃羚羊.該人如何將動(dòng)物轉(zhuǎn)移過(guò)河？請(qǐng)

同學(xué)們寫(xiě)出解決問(wèn)題的步驟，解決這一問(wèn)題將要用到我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容——算法.

思路2(情境導(dǎo)入)

大家都看過(guò)趙本山與宋丹丹演的小品吧，宋丹丹說(shuō)了一個(gè)笑話，把大象裝進(jìn)冰箱總共分

幾步？

答案：分三步，第一步：把冰箱門(mén)打開(kāi)；第二步：把大象裝進(jìn)去；第三步：把冰箱門(mén)關(guān)上.

上述步驟構(gòu)成了把大象裝進(jìn)冰箱的算法，今天我們開(kāi)始學(xué)習(xí)算法的概念.

思路3(直接導(dǎo)入)

算法不僅是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，也是計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要基礎(chǔ).在現(xiàn)代社會(huì)里,

計(jì)算機(jī)已成為人們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ髦胁豢扇鄙俚墓ぞ?聽(tīng)音樂(lè)、看電影、玩游戲、打字、畫(huà)

卡通畫(huà)、處理數(shù)據(jù)，計(jì)算機(jī)是怎樣工作的呢？要想弄清楚這個(gè)問(wèn)題，算法的學(xué)習(xí)是一個(gè)開(kāi)始.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

(1)解二元一次方程組有幾種方法？

(2)結(jié)合教材實(shí)例‘'式'總結(jié)用加減消元法解二元一次方程組的步驟.

2x+y=l,(2)

x-2v=-1⑴

(3)結(jié)合教材實(shí)例《,總結(jié)用代入消元法解二元一次方程組的步驟.

2x+y=l,(2)

(4)請(qǐng)寫(xiě)出解一般二元一次方程組的步驟.

(5)根據(jù)上述實(shí)例談?wù)勀銓?duì)算法的理解.

(6)請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)算法的特征.

(7)請(qǐng)思考我們學(xué)習(xí)算法的意義.

討論結(jié)果：

(1)代入消元法和加減消元法.

(2)回顧二元一次方程組

\的求解過(guò)程，我們可以歸納出以下步驟：

[2x+y^l,(2)

第一步，①+②*2,得5x=l.③

第二步，解③，得x=(.

第三步，②-①x2,得5y=3.④

第四步，解④，得尸士.

1

第五步，得到方程組的解為“5,

(3)用代入消元法解二元一次方程組

fx-2y=-1,(1)

\我們可以歸納出以下步驟:

2x+y=1,(2)

第一步，由①得x=2y-l.③

第二步，把③代入②，得2(2y-l)+y=l.④

第三步，解④得y=33.⑤

31

第四步，把⑤代入③，得X=2X±-1=M

1

x—

第五步，得到方程組的解為4,

a.x+b,y=c.,(l)

(4)對(duì)于一般的二元一次方程組1117'V

a2x+b2y^C2,(2)

其中ab—azbi/O,可以寫(xiě)出類似的求解步驟：

第一步,①xb2-②xbi，得

—

(a|b2a2bj)x=b2C|-b|C2.(§)

第二步，解③，得x=-C「仇C、2

a}b2-a2b]

—

第三步，②xa「①xa?,得(a??—azb])y=a|C2a2Ci.(4)

第四步，解④，得尸年2-“2。

a}b2-a2bl

'b2cx-b,c2

A一,

ah-a^h.

第五步，得到方程組的解為《1221

CliCj—Q'G

y=------.

ayb2-a2bx

(5)算法的定義：廣義的算法是指完成某項(xiàng)工作的方法和步驟，那么我們可以說(shuō)洗衣機(jī)的使

用說(shuō)明書(shū)是操作洗衣機(jī)的算法，菜譜是做菜的算法等等.

在數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問(wèn)題的明確有限的步驟.

現(xiàn)在，算法通常可以編成計(jì)算機(jī)程序，讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行并解決問(wèn)題.

(6)算法的特征：①確定性：算法的每一步都應(yīng)當(dāng)做到準(zhǔn)確無(wú)誤、不重不漏.“不重”是指不是

可有可無(wú)的，甚至無(wú)用的步驟，“不漏”是指缺少哪一步都無(wú)法完成任務(wù).②邏輯性：算法從

開(kāi)始的“第一步''直到"最后一步”之間做到環(huán)環(huán)相扣，分工明確，"前一步’'是"后一步''的前提,

“后一步”是“前一步”的繼續(xù).③有窮性：算法要有明確的開(kāi)始和結(jié)束，當(dāng)?shù)竭_(dá)終止步驟時(shí)所要

解決的問(wèn)題必須有明確的結(jié)果，也就是說(shuō)必須在有限步內(nèi)完成任務(wù)，不能無(wú)限制地持續(xù)進(jìn)行.

(7)在解決某些問(wèn)題時(shí)，需要設(shè)計(jì)出一系列可操作或可計(jì)算的步驟來(lái)解決問(wèn)題，這些步驟稱

為解決這些問(wèn)題的算法.也就是說(shuō)，算法實(shí)際上就是解決問(wèn)題的一種程序性方法.算法一般是

機(jī)械的，有忖需進(jìn)行大量重復(fù)的計(jì)算，它的優(yōu)點(diǎn)是一種通法，只要按部就班地去做，總能得

到結(jié)果.因此算法是計(jì)算科學(xué)的重要基礎(chǔ).

應(yīng)用示例

思路1

例1(1)設(shè)計(jì)一個(gè)算法，判斷7是否為質(zhì)數(shù).

(2)設(shè)計(jì)一個(gè)算法，判斷35是否為質(zhì)數(shù).

算法分析：(1)根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，可以這樣判斷：依次用2—6除7,如果它們中有一個(gè)能

整除7,則7不是質(zhì)數(shù)，否則7是質(zhì)數(shù).

算法如下：(1)第一步，用2除7,得到余數(shù)1.因?yàn)橛鄶?shù)不為0,所以2不能整除7.

第二步，用3除7,得到余數(shù)1.因?yàn)橛鄶?shù)不為0,所以3不能整除7.

第三步，用4除7,得到余數(shù)3.因?yàn)橛鄶?shù)不為0,所以4不能整除7.

第四步，用5除7,得到余數(shù)2.因?yàn)橛鄶?shù)不為0,所以5不能整除7.

第五步，用6除7,得到余數(shù)1.因?yàn)橛鄶?shù)不為0,所以6不能整除7.因此，7是質(zhì)數(shù).

(2)類似地，可寫(xiě)出“判斷35是否為質(zhì)數(shù)”的算法：第一步，用2除35,得到余數(shù)1.因?yàn)?/p>

余數(shù)不為0,所以2不能整除35.

第二步，用3除35,得到余數(shù)2.因?yàn)橛鄶?shù)不為0,所以3不能整除35.

第三步，用4除35,得到余數(shù)3.因?yàn)橛鄶?shù)不為0,所以4不能整除35.

第四步，用5除35,得到余數(shù)0.因?yàn)橛鄶?shù)為0,所以5能整除35.因此，35不是質(zhì)數(shù).

點(diǎn)評(píng)：上述算法有很大的局限性，用上述算法判斷35是否為質(zhì)數(shù)還可以，如果判斷1997

是否為質(zhì)數(shù)就麻煩了，因此，我們需要尋找普適性的算法步驟.

變式訓(xùn)練

請(qǐng)寫(xiě)出判斷n(n>2)是否為質(zhì)數(shù)的算法.

分析：對(duì)于任意的整數(shù)n(n>2),若用i表示2一(31)中的任意整數(shù)，貝lj“判斷n是否為質(zhì)數(shù)”

的算法包含下面的重復(fù)操作：用i除n,得到余數(shù)r.判斷余數(shù)r是否為0,若是，則不是質(zhì)數(shù);

否則，將i的值增加1,再執(zhí)行同樣的操作.

這個(gè)操作一直要進(jìn)行到i的值等于(n-1)為止.

算法如下：第一步，給定大于2的整數(shù)n.

第二步，令i=2.

第三步，用i除n,得到余數(shù)r.

第四步，判斷是否成立.若是，則n不是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法；否則，將i的值增加1,

仍用i表示.

第五步，判斷“i>(n-1)”是否成立.若是，則n是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法；否則，返回第三步.

例2寫(xiě)出用“二分法”求方程X2-2=0(x>0)的近似解的算法.

分析：令*x)=x2-2,則方程X2-2=0(x>0)的解就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn).

“二分法”的基本思想是：把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間［a,b］(滿足f(a)-f(b)<0)“一分

為二”,得到［a,m］和［m,b］.根據(jù)“f(a>f(m)〈O”是否成立，取出零點(diǎn)所在的區(qū)間［a,m］或

［m,b］,仍記為［a,b］.對(duì)所得的區(qū)間［a,b］重復(fù)上述步驟,直到包含零點(diǎn)的區(qū)間［a,b］“足

夠小''，則［a,b］內(nèi)的數(shù)可以作為方程的近似解.

解：第一步，令f(x尸x2-2,給定精確度d.

第二步,確定區(qū)間［a,b］,滿足f(a>f(b)<0.

第三步，取區(qū)間中點(diǎn)m=3〃.

2

第四步，若f(a>f(m)<0,則含零點(diǎn)的區(qū)間為Ca,m］；否則，含零點(diǎn)的區(qū)間為［m,b］.將新得

到的含零點(diǎn)的區(qū)間仍記為［a,b］.

第五步，判斷［a,b］的長(zhǎng)度是否小于d或f(m)是否等于0.若是，則m是方程的近似解；

否則，返回第三步.

當(dāng)d=0.005時(shí)，按照以上算法，可以得到下表.

ab|a-b|

121

11.50.5

1.251.50.25

1.3751.50.125

1.3751.43750.0625

1.406251.43750.03125

1.406251.4218750.015625

1.41406251.4218750.0078125

1.41406251.417968750.00390625

于是,開(kāi)區(qū)間(1.4140625,1.41796875)中的實(shí)數(shù)都是當(dāng)精確度為0.005時(shí)的原方程的

近似解.實(shí)際上，上述步驟也是求痣的近似值的一個(gè)算法.

點(diǎn)評(píng)：算法一般是機(jī)械的，有時(shí)需要進(jìn)行大量的重復(fù)計(jì)算，只要按部就班地去做，總能算出

結(jié)果，通常把算法過(guò)程稱為“數(shù)學(xué)機(jī)械化數(shù)學(xué)機(jī)械化的最大優(yōu)點(diǎn)是它可以借助計(jì)算機(jī)來(lái)完

成，實(shí)際上處理任何問(wèn)題都需要算法.如：中國(guó)象棋有中國(guó)象棋的棋譜、走法、勝負(fù)的評(píng)判

準(zhǔn)則；而國(guó)際象棋有國(guó)際象棋的棋譜、走法、勝負(fù)的評(píng)判準(zhǔn)則；再比如申請(qǐng)出國(guó)有一系列的

先后手續(xù)，購(gòu)買(mǎi)物品也有相關(guān)的手續(xù)……

思路2

例1一個(gè)人帶著三只狼和三只羚羊過(guò)河，只有一條船，同船可容納一個(gè)人和兩只動(dòng)物，沒(méi)

有人在的時(shí)候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量就會(huì)吃羚羊.該人如何將動(dòng)物轉(zhuǎn)移過(guò)河？請(qǐng)

設(shè)計(jì)算法.

分析：任何動(dòng)物同船不用考慮動(dòng)物的爭(zhēng)斗但需考慮承載的數(shù)量，還應(yīng)考慮到兩岸的動(dòng)物都得

保證狼的數(shù)量要小于羚羊的數(shù)量，故在算法的構(gòu)造過(guò)程中盡可能保證船里面有狼，這樣才能

使得兩岸的羚羊數(shù)量占到優(yōu)勢(shì).

解：具體算法如下：

算法步驟：

第一步：人帶兩只狼過(guò)河，并自己返回.

第二步：人帶一只狼過(guò)河，自己返回.

第三步：人帶兩只羚羊過(guò)河，并帶兩只狼返回.

第四步：人帶一只羊過(guò)河，自己返回.

第五步：人帶兩只狼過(guò)河.

點(diǎn)評(píng)：算法是解決某一類問(wèn)題的精確描述，有些問(wèn)題使用形式化、程序化的刻畫(huà)是最恰當(dāng)?shù)?

這就要求我們?cè)趯?xiě)算法時(shí)應(yīng)精練、簡(jiǎn)練、清晰地表達(dá)，要善于分析任何可能出現(xiàn)的情況，體

現(xiàn)思維的嚴(yán)密性和完整性.本題型解決問(wèn)題的算法中某些步驟重復(fù)進(jìn)行多次才能解決，在現(xiàn)

實(shí)生活中，很多較復(fù)雜的情境經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題，設(shè)計(jì)算法的時(shí)候，如果能夠合適地利用

某些步驟的重復(fù)，不但可以使得問(wèn)題變得簡(jiǎn)單.，而且可以提高工作效率.

例2喝一杯茶需要這樣兒個(gè)步驟：洗刷水壺、燒水、洗刷茶具、沏茶.問(wèn)：如何安排這幾

個(gè)步驟？并給出兩種算法，再加以比較.

分析：本例主要為加深對(duì)算法概念的理解，可結(jié)合生活常識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，然后解決問(wèn)題.

解：算法一：

第一步，洗刷水壺.

第二步，燒水.

第三步，洗刷茶具.

第四步，沏茶.

算法二：

第一步，洗刷水壺.

第二步，燒水，燒水的過(guò)程當(dāng)中洗刷茶具.

第三步，沏茶.

點(diǎn)評(píng)：解決一個(gè)問(wèn)題可有多個(gè)算法，可以選擇其中最優(yōu)的、最簡(jiǎn)單的、步驟盡量少的算法.上

面的兩種算法都符合題意，但是算法二運(yùn)用了統(tǒng)籌方法的原理，因此這個(gè)算法要比算法一更

科學(xué).

例3寫(xiě)出通過(guò)尺軌作圖確定線段AB一個(gè)5等分點(diǎn)的算法.

分析：我們借助于平行線定理，把位置的比例關(guān)系變成已知的比例關(guān)系，只要按照規(guī)則一步

一步去做就能完成任務(wù).

解：算法分析：

第一步，從已知線段的左端點(diǎn)A出發(fā)，任意作一條與AB不平行的射線AP.

第二步，在射線上任取一個(gè)不同于端點(diǎn)A的點(diǎn)C,得到線段AC.

第三步，在射線上沿AC的方向截取線段CE=AC.

第四步，在射線上沿AC的方向截取線段EF=AC.

第五步，在射線上沿AC的方向截取線段FG=AC.

第六步，在射線上沿AC的方向截取線段GD=AC,那么線段AD=5AC.

第七步，連結(jié)DB.

第八步，過(guò)C作BD的平行線，交線段AB于M,這樣點(diǎn)M就是線段AB的一個(gè)5等分點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：用算法解決幾何問(wèn)題能很好地訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，并能幫助我們得到解決幾何問(wèn)題

的一般方法，可謂一舉多得，應(yīng)多加訓(xùn)練.

知能訓(xùn)練

設(shè)計(jì)算法判斷一元二次方程ax2+bx+c=O是否有實(shí)數(shù)根.

解：算法步驟如下：

第一步，輸入一元二次方程的系數(shù)：a,b,c.

第二步，計(jì)算A=b2-4ac的值.

第三步，判斷AK）是否成立.若AK）成立，輸出“方程有實(shí)根”；否則輸出“方程無(wú)實(shí)根”，結(jié)

束算法.

點(diǎn)評(píng)：用算法解決問(wèn)題的特點(diǎn)是：具有很好的程序性，是一種通法.并且具有確定性、邏輯

性、有窮性.讓我們結(jié)合例題仔細(xì)體會(huì)算法的特點(diǎn).

拓展提升

中國(guó)網(wǎng)通規(guī)定：撥打市內(nèi)電話時(shí)，如果不超過(guò)3分鐘，則收取話費(fèi)0.22元；如果通話

時(shí)間超過(guò)3分鐘，則超出部分按每分鐘0.1元收取通話費(fèi)，不足一分鐘按?分鐘計(jì)算.設(shè)通話

時(shí)間為t（分鐘），通話費(fèi)用丫（元），如何設(shè)計(jì)一個(gè)程序，計(jì)算通話的費(fèi)用.

解：算法分析：

數(shù)學(xué)模型實(shí)際上為：y關(guān)于t的分段函數(shù).

關(guān)系式如下：

0.22,(0<f<3),

y=?0.22+0.1(/—3),(f〉3,twZ),

0.22+0.1([T-3]+1),(7>3,f[Z).

其中[t-3]表示取不大于t—3的整數(shù)部分.

算法步驟如下：

第一步，輸入通話時(shí)間t.

第二步，如果S3,那么y=0.22；否則判斷twz是否成立，若成立執(zhí)行

y=0.2+0.1x(t-3)；否則執(zhí)行y=0.2+0.1x([t-3]+1).

第三步，輸出通話費(fèi)用c.

課堂小結(jié)

(1)正確理解算法這一概念.

(2)結(jié)合例題掌握算法的特點(diǎn)，能夠?qū)懗龀Ｒ?jiàn)問(wèn)題的算法.

作業(yè)

課本本節(jié)練習(xí)1、2.

設(shè)計(jì)感想

本節(jié)的引入精彩獨(dú)特，讓學(xué)生在感興趣的故事里進(jìn)入本節(jié)的學(xué)習(xí).算法是本章的重點(diǎn)也

是本章的基礎(chǔ)，是一個(gè)較難理解的概念.為了讓學(xué)生正確理解這一概念，本節(jié)設(shè)置了大量學(xué)

生熟悉的事例，讓學(xué)生仔細(xì)體會(huì)反復(fù)訓(xùn)練.本節(jié)的事例有古老的經(jīng)典算法，有幾何算法等，

因此這是一節(jié)很好的課例.

備課資料

這是中國(guó)古代的一個(gè)著名算法案例：雞兔49頭，100根腿往地里走，問(wèn)雞兔各多少？

分析：求解雞兔的問(wèn)題簡(jiǎn)單直觀，卻包含著深刻的算法思想.應(yīng)用解二元詼方程組的方法

來(lái)求解雞兔同籠問(wèn)題.

解：算法如下：

第一步，設(shè)有小雞X只，小兔y只，則有；二仆

2x+4y=100.(2)

第二步，將方程組中的第一個(gè)方程兩邊乘以一2加到第二個(gè)方程中去，得到

x+y=49,,

\?解得尸1.

[(4-2)^^100-49x2,

第三步，將y=l代入①，得x=48.

1.1.2程序框圖與算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

用自然語(yǔ)言表示的算法步驟有明確的順序性，但是對(duì)于在一定條件下才會(huì)被執(zhí)行的步

驟，以及在?定條件下會(huì)被重復(fù)執(zhí)行的步驟，自然語(yǔ)言的表示就顯得困難，而且不直觀、不

準(zhǔn)確.因此，本節(jié)有必要探究使算法表達(dá)得更加直觀、準(zhǔn)確的方法.程序框圖用圖形的方式表

達(dá)算法，使算法的結(jié)構(gòu)更清楚、步驟更直觀也更精確.為了更好地學(xué)好程序框圖，我們需要

掌握程序框的功能和作用，需要熟練掌握三種基本邏輯結(jié)構(gòu).

三維目標(biāo)

1.熟悉各種程序框及流程線的功能和作用.

2.通過(guò)模仿、操作、探索，經(jīng)歷通過(guò)設(shè)計(jì)程序框圖表達(dá)解決問(wèn)題的過(guò)程.在具體問(wèn)題的解決

過(guò)程中，理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu).

3.通過(guò)比較體會(huì)程序框圖的直觀性、準(zhǔn)確性.

重點(diǎn)難點(diǎn)

數(shù)學(xué)重點(diǎn)：程序框圖的畫(huà)法.

數(shù)學(xué)難點(diǎn)：程序框圖的畫(huà)法.

課時(shí)安排

4課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

第1課時(shí)程序框圖及順序結(jié)構(gòu)

導(dǎo)入新課

思路1（情境導(dǎo)入）

我們都喜歡外出旅游，優(yōu)美的風(fēng)景美不勝收，如果迷了路就不好玩了，問(wèn)路有時(shí)還聽(tīng)不

明白，真是急死人，有的同學(xué)說(shuō)買(mǎi)張旅游圖不就好了嗎，所以外出旅游先要準(zhǔn)備好旅游圖.

旅游圖看起來(lái)直觀、準(zhǔn)確，本節(jié)將探究使算法表達(dá)得更加直觀、準(zhǔn)確的方法.今天我們開(kāi)始

學(xué)習(xí)程序框圖.

思路2（直接導(dǎo)入）

用自然語(yǔ)言表示的算法步驟有明確的順序性，但是對(duì)于在一定條件下才會(huì)被執(zhí)行的步

驟，以及在一定條件下會(huì)被重復(fù)執(zhí)行的步驟，自然語(yǔ)言的表示就顯得困難，而且不直觀、不

準(zhǔn)確.因此，本節(jié)有必要探究使算法表達(dá)得更加直觀、準(zhǔn)確的方法.今天開(kāi)始學(xué)習(xí)程序框圖.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

（1）什么是程序框圖？

（2）說(shuō)出終端框（起止框）的圖形符號(hào)與功能.

（3）說(shuō)出輸入、輸出框的圖形符號(hào)與功能.

（4）說(shuō)出處理框（執(zhí)行框）的圖形符號(hào)與功能.

（5）說(shuō)出判斷框的圖形符號(hào)與功能.

（6）說(shuō)出流程線的圖形符號(hào)與功能.

（7）說(shuō)出連接點(diǎn)的圖形符號(hào)與功能.

（8）總結(jié)幾個(gè)基本的程序框、流程線和它們表示的功能.

（9）什么是順序結(jié)構(gòu)？

討論結(jié)果：

（1）程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說(shuō)明來(lái)表示算法的圖形.

在程序框圖中，一個(gè)或幾個(gè)程序框的組合表示算法中的一個(gè)步驟；帶有方向箭頭的流程線將

程序框連接起來(lái)，表示算法步驟的執(zhí)行順序.

（2）橢圓形框：O表示程序的開(kāi)始和結(jié)束，稱為終端框（起止框）.表示開(kāi)始時(shí)只有一個(gè)

出口；表示結(jié)束時(shí)只有一個(gè)入口.

（3）平行四邊形框：2表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息,又稱為輸入、輸出框，它有一個(gè)

入口和一個(gè)出口.

（4）矩形框：口表示計(jì)算、賦值等處理操作，又稱為處理框（執(zhí)行框），它有一個(gè)入口和

一個(gè)出口.

(5)菱形框：。是用來(lái)判斷給出的條件是否成立，根據(jù)判斷結(jié)果來(lái)決定程序的流向，稱

為判斷框，它有一個(gè)入口和兩個(gè)出口.

(6)流程線：一表示程序的流向.

(7)圓圈：。連接點(diǎn).表示相關(guān)兩框的連接處，圓圈內(nèi)的數(shù)字相同的含義表示相連接在一

起.

(8)總結(jié)如下表.

圖形符號(hào)名稱功能

終端框(起止框)表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束

//輸入、輸出框表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息

—處理框(執(zhí)行框)賦值、計(jì)算

判斷某一條件是否成立,成立時(shí)在出口處標(biāo)明

判斷框

<>“是，，或“Y”；不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“N”

1流程線連接程序框

O連接點(diǎn)連接程序框圖的兩部分

(9)很明顯，順序結(jié)構(gòu)是由若干個(gè)依次執(zhí)行的步驟組成的，這是任何一個(gè)算法都離不開(kāi)的基

本結(jié)構(gòu).

三種邏輯結(jié)構(gòu)可以用如下程序框圖表示:

例1請(qǐng)用程序框圖表示前面講過(guò)的“判斷整數(shù)n(n>2)是否為質(zhì)數(shù)”的算法.

解：程序框圖如下：

點(diǎn)評(píng)：程序框圖是用圖形的方式表達(dá)算法，使算法的結(jié)構(gòu)更清楚，步驟更直觀也更精確.這

里只是讓同學(xué)們初步了解程序框圖的特點(diǎn)，感受它的優(yōu)點(diǎn)，暫不要求掌握它的畫(huà)法.

變式訓(xùn)練

觀察下面的程序框圖，指!1!該算法解決的問(wèn)題.

解：這是一個(gè)累加求和問(wèn)題，共99項(xiàng)相加，該算法是求—+—+—+…+--—

1x22x33x499x100

的值.

例2已知一個(gè)三角形三條邊的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,利用海倫一秦九韶公式設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算

三角形面積的算法，并畫(huà)出程序框圖表示.(已知三角形三邊邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則三角形的

面積為S=4p(p-a)(p-b)(p-c)),其中p="*：*’這個(gè)公式被稱為海倫—秦九韶公

式)

算法分析：這是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，只需先算出p的值，再將它代入分式，最后輸出結(jié)果.因

此只用順序結(jié)構(gòu)應(yīng)能表達(dá)出算法.

算法步驟如下：

第一步，輸入三角形三條邊的邊長(zhǎng)a,b,c.

第二步，計(jì)算p=a+1+c.

第三步，計(jì)算S=dp(p-a)(p一b)(p一c).

第四步，輸出S.

程序框圖如下:

［開(kāi)始］

，十,

/輸Afl.ac/

P沖

'I

S=JP(P-a)(P-b)(P-c)

,I,

/輸/

［d束］

點(diǎn)評(píng)：很明顯，順序結(jié)構(gòu)是由若干個(gè)依次執(zhí)行的步驟組成的，它是最簡(jiǎn)單的邏輯結(jié)構(gòu)，它是

任何一個(gè)算法都離不開(kāi)的基本結(jié)構(gòu).

變式訓(xùn)練

卜.圖所示的是一個(gè)算法的流程圖，已知旬=3,輸出的b=7,求a2的值.

［開(kāi)始）

輸/

、I,

|將小沁的和記而

,i；

I將［記作力

/輸配/

解：根據(jù)題意色土色一7,

2

,.飛］=3,二@2=］］.即a?的值為11.

例3寫(xiě)出通過(guò)尺軌作圖確定線段AB的一個(gè)5等分點(diǎn)的程序框圖.

解：利用我們學(xué)過(guò)的順序結(jié)構(gòu)得程序框圖如下：

［開(kāi)始］

|從4點(diǎn)、出發(fā)作一條與48不平行的射線AP|

在射線I:任取一個(gè)不同于端點(diǎn)4的點(diǎn)C,取4C為單位線段.

再在/1C1:順次取點(diǎn)E.EG"滿足CE=EF=FG=G0=4C

連結(jié)8D

過(guò)點(diǎn)C作即的平行線交48于點(diǎn)M點(diǎn)”即為線段48的一個(gè)5等分點(diǎn)

（結(jié)束）

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)算法步驟具有一般性，對(duì)于任意自然數(shù)n,都可以按照這個(gè)算法的思想，設(shè)計(jì)出

確定線段的n等分點(diǎn)的步驟，解決問(wèn)題，通過(guò)本題學(xué)習(xí)可以鞏固順序結(jié)構(gòu)的應(yīng)用.

知能訓(xùn)練

有關(guān)專家建議，在未來(lái)幾年內(nèi)，中國(guó)的通貨膨脹率保持在3%左右，這將對(duì)我國(guó)經(jīng)濟(jì)

的穩(wěn)定有利無(wú)害.所謂通貨膨脹率為3%,指的是每年消費(fèi)品的價(jià)格增長(zhǎng)率為3%.在這種情

況下，某種品牌的鋼琴2004年的價(jià)格是10000元，請(qǐng)用流程圖描述這種鋼琴今后四年的價(jià)

格變化情況，并輸出四年后的價(jià)格.

解：用P表示鋼琴的價(jià)格，不難看出如下算法步驟：

2005年P(guān)=10000x(1+3%)=10300；

2006年P(guān)=10300x(1+3%)=10609；

2007年P(guān)=10609x(1+3%)=10927.27；

2008年P(guān)=10927.27x(1+3%)=11255.09；

因此，價(jià)格的變化情況表為：

年份20042005200620072008

鋼琴的價(jià)格10000103001060910927.2711255.09

程序框圖如下:

［開(kāi)始］

.十.

|p=ioooo|

|E0000X1.03=10300|

,I,

|-二10300x1.03=106091

.廠,

|尸=10609x103=10927.27］

,i,

|P=10927.27x1.03=11255詞

/輸出尸/

~jr

［結(jié)束］

點(diǎn)評(píng)：順序結(jié)構(gòu)只需嚴(yán)格按照傳統(tǒng)的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題思路，將問(wèn)題解決掉.最后將解題

步驟"細(xì)化就可以.“細(xì)化”指的是寫(xiě)出算法步驟、畫(huà)出程序框圖.

拓展提升

如下給出的是計(jì)算的值的一個(gè)流程圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條

24620

件是

/輸出S/

［結(jié)束］

答案：i>10.

課堂小結(jié)

（1）掌握程序框的畫(huà)法和功能.

（2）了解什么是程序框圖，知道學(xué)習(xí)程序框圖的意義.

（3）掌握順序結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，并能解決與順序結(jié)構(gòu)有關(guān)的程序框圖的畫(huà)法.

作業(yè)

習(xí)題1.1A1.

設(shè)計(jì)感想

首先，本節(jié)的引入新穎獨(dú)特，旅游圖的故事闡明了學(xué)習(xí)程序框圖的意義.通過(guò)豐富有趣

的事例讓學(xué)生了解了什么是程序框圖，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)程序框圖的興趣.本節(jié)設(shè)計(jì)題目難

度適中，逐步把學(xué)生帶入知識(shí)的殿堂，是一節(jié)好的課例.

第2課時(shí)條件結(jié)構(gòu)

導(dǎo)入新課

思路1（情境導(dǎo)入）

我們以前聽(tīng)過(guò)這樣一個(gè)故事，野獸與鳥(niǎo)發(fā)生了一場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)，蝙蝠來(lái)了，野獸們喊道：你有

牙齒是我們一伙的，鳥(niǎo)們喊道：你有翅膀是我們一伙的，蝙蝠一時(shí)沒(méi)了主意.過(guò)了一會(huì)兒蝙

蝠有了一個(gè)好辦法，如果野獸贏了，就加入野獸這一伙，否則加入另一伙，事實(shí)上蝙蝠用了

分類討論思想，在算法和程序框圖中也經(jīng)常用到這一思想方法，今天我們開(kāi)始學(xué)習(xí)新的邏輯

結(jié)構(gòu)——條件結(jié)構(gòu).

思路2（直接導(dǎo)入）

前面我們學(xué)習(xí)了順序結(jié)構(gòu)，順序結(jié)構(gòu)像是一條沒(méi)有分支的河流，奔流到海不復(fù)回，事實(shí)

上多數(shù)河流是有分支的，今天我們開(kāi)始學(xué)習(xí)有分支的邏輯結(jié)構(gòu)——條件結(jié)構(gòu).

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

（1）舉例說(shuō)明什么是分類討論思想？

（2）什么是條件結(jié)構(gòu)？

（3）試用程序框圖表示條件結(jié)構(gòu).

（4）指出條件結(jié)構(gòu)的兩種形式的區(qū)別.

討論結(jié)果：

（1）例如解不等式ax>8（a#））,不等式兩邊需要同除a,需要明確知道a的符號(hào)，但條件沒(méi)有

給出，因此需要進(jìn)行分類討論，這就是分類討論思想.

(2)在一個(gè)算法中，經(jīng)常會(huì)遇到一些條件的判斷，算法的流程根據(jù)條件是否成立有不同的

流向.條件結(jié)構(gòu)就是處理這種過(guò)程的結(jié)構(gòu).

(3)用程序框圖表示條件結(jié)構(gòu)如下.

條件結(jié)構(gòu)：先根據(jù)條件作出判斷，再?zèng)Q定執(zhí)行哪種操作的結(jié)構(gòu)就稱為條件結(jié)構(gòu)(或分支結(jié)

構(gòu))，如圖1所示.執(zhí)行過(guò)程如下：條件成立，則執(zhí)行A框；不成立，則執(zhí)行B框.

注：無(wú)論條件是否成立，只能執(zhí)行A、B之一，不可能兩個(gè)框都執(zhí)行.A、B兩個(gè)框中，可

以有一個(gè)是空的，即不執(zhí)行任何操作，如圖2.

(4)一種是在兩個(gè)“分支”中均包含算法的步驟，符合條件就執(zhí)行“步驟A”，否則執(zhí)行“步驟

B”；另一種是在一個(gè)“分支”中均包含算法的步驟A,而在另一個(gè)“分支”上不包含算法的任何

步驟，符合條件就執(zhí)行“步驟A”，否則執(zhí)行這個(gè)條件結(jié)構(gòu)后的步驟.

應(yīng)用示例

例1任意給定3個(gè)正實(shí)數(shù)，設(shè)計(jì)一個(gè)算法，判斷以這3個(gè)正實(shí)數(shù)為三邊邊長(zhǎng)的三角形

是否存在，并畫(huà)出這個(gè)算法的程序框圖.

算法分析：判斷以3個(gè)任意給定的正實(shí)數(shù)為三條邊邊長(zhǎng)的三角形是否存在，只需驗(yàn)證這3

個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和是否大于第3個(gè)數(shù).這個(gè)驗(yàn)證需要用到條件結(jié)構(gòu).

算法步驟如下：

第一步，輸入3個(gè)正實(shí)數(shù)a,b,c.

第二步，判斷a+b>c,b+c>a,c+a>b是否同時(shí)成立.若是，則存在這樣的三角形；否則，不

存在這樣的三角形.

程序框圖如右圖：

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)構(gòu)成三角形的條件，判斷是否滿足任意兩邊之和大于第三邊，如果滿足則存在這

樣的三角形，如果不滿足則不存在這樣的三角形.這種分類討論思想是高中的重點(diǎn)，在畫(huà)程

序框圖時(shí)，常常遇到需要討論的問(wèn)題，這時(shí)要用到條件結(jié)構(gòu).

例2設(shè)計(jì)一個(gè)求解一元二次方程ax2+bx+c=0的算法，并畫(huà)出程序框圖表示.

算法分析：我們知道，若判別式△=b2』ac>0,則原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

—b+A/A-b-VA

Xl=--------,X2=--------；

2a2a

b

若A=0,則原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根xi=x=——；

22a

若A<0,則原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.也就是說(shuō)，在求解方程之前，可以先判斷判別式的符號(hào)，根

據(jù)判斷的結(jié)果執(zhí)行不同的步驟，這個(gè)過(guò)程可以用條件結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn).

又因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)根有相同的部分，為了避免重復(fù)計(jì)算，可以在計(jì)算X1和X2之前，先計(jì)算

bVA

p=----,q=----.

2a2a

解決這一問(wèn)題的算法步驟如下：

第一步，輸入3個(gè)系數(shù)a,b,c.

第二步，計(jì)算A=b2Nac.

第三步，判斷A>0是否成立.若是，貝U計(jì)算p=-2,q=YA.否則，輸出“方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根”,

2a2a

結(jié)束算法.

第四步，判斷A=0是否成立.若是,則輸出xi=x2=p：否則,計(jì)算xi=p+q,x2=p-q,并輸出

X),x2.

程序框圖如下：

例3設(shè)計(jì)算法判斷一元二次方程ax2+bx+c=O是否有實(shí)數(shù)根，并畫(huà)出相應(yīng)的程序框圖.

解：算法步驟如下：

第一步，輸入3個(gè)系數(shù)：a.b,c.

第二步，計(jì)算△=!?—4ac.

第三步，判斷AK)是否成立.若是，則輸出“方程有實(shí)根”；否則，輸出“方程無(wú)實(shí)根”.結(jié)束算

法.

相應(yīng)的程序框圖如右:

［開(kāi)始）

/輸Aa,“c/

'JI:

=6'-4ac|

/箱出力程有實(shí)根?//輸出“方程無(wú)實(shí)根;/

I.［

［結(jié)束）

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)一元二次方程的意義，需要計(jì)算判別式4ac的值.再分成兩種情況處理：（1）

當(dāng)AK）時(shí)，一元二次方程有實(shí)數(shù)根；

（2）當(dāng)A<0時(shí)，一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.該問(wèn)題實(shí)際上是一個(gè)分類討論問(wèn)題，根據(jù)一元二

次方程系數(shù)的不同情況，最后結(jié)果就不同.因而當(dāng)給出一個(gè)一元二次方程時(shí)，必須先確定判

別式的值，然后再用判別式的值的取值情況確定方程是否有解.該例僅用順序結(jié)構(gòu)是辦不到

的，要對(duì)判別式的值進(jìn)行判斷，需要用到條件結(jié)構(gòu).

例4（1）設(shè)計(jì)算法，求ax+b=O的解，并畫(huà)出流程圖.

解：對(duì)于方程ax+b=O來(lái)講，應(yīng)該分情況討論方程的解.

我們要對(duì)次項(xiàng)系數(shù)a和常數(shù)項(xiàng)b的取值情況進(jìn)行分類，分類如下：

b

（1）當(dāng)a#）時(shí)，方程有唯?的實(shí)數(shù)解是--；

a

（2）當(dāng)a=0,b=0B'f,全體實(shí)數(shù)都是方程的解；

（3）當(dāng)a=0,b#）時(shí)，方程無(wú)解.

聯(lián)想數(shù)學(xué)中的分類討論的處理方式，可得如下算法步驟：

第一步，判斷存0是否成立.若成立，輸出結(jié)果“解為

a

第二步，判斷a=0,b=0是否同時(shí)成立.若成立，輸出結(jié)果“解集為R”.

第三步，判斷a=0,b翔是否同時(shí)成立.若成立，輸出結(jié)果“方程無(wú)解”，結(jié)束算法.

程序框圖如下：

點(diǎn)評(píng)：這是條件結(jié)構(gòu)疊加問(wèn)題，條件結(jié)構(gòu)疊加，程序執(zhí)行時(shí)需依次對(duì)“條件1”“條件2”“條件

3”……都進(jìn)行判斷，只有遇到能滿足的條件才執(zhí)行該條件對(duì)應(yīng)的操作.

知能訓(xùn)練

設(shè)計(jì)算法，找出輸入的三個(gè)不相等實(shí)數(shù)a、b、c中的最大值，并畫(huà)出流程圖.

解：算法步驟：

第一步，輸入a,b,c的值.

第二步，判斷a>b是否成立，若成立，則執(zhí)行第三步；否則執(zhí)行第四步.

第三步，判斷a>c是否成立，若成立，則輸出a,并結(jié)束；否則輸出c,并結(jié)束.

第四步，判斷b>c是否成立，若成立，則輸出b,并結(jié)束；否則輸出c,并結(jié)束.

程序框圖如下：

/輸出。//輸出c//輸出6//輸出c/

［結(jié)束)

點(diǎn)評(píng)：條件結(jié)構(gòu)嵌套與條件結(jié)構(gòu)疊加的區(qū)別：

(1)條件結(jié)構(gòu)疊加，程序執(zhí)行時(shí)需依次對(duì)“條件1”“條件2”“條件3”……都進(jìn)行判斷，只有

遇到能滿足的條件才執(zhí)行該條件對(duì)應(yīng)的操作.

(2)條件結(jié)構(gòu)的嵌套中,“條件2”是“條件1”的一個(gè)分支,“條件3”是“條件2”的一個(gè)分支……

依此類推，這些條件中很多在算法執(zhí)行過(guò)程中根據(jù)所處的分支位置不同可能不被執(zhí)行.

(3)條件結(jié)構(gòu)嵌套所涉及的“條件2”“條件3”……是在前面的所有條件依次一個(gè)一個(gè)的滿足

“分支條件成立'’的情況下才能執(zhí)行的此操作，是多個(gè)條件同時(shí)成立的疊加和復(fù)合.

例5“特快專遞”是目前人們經(jīng)常使用的異地郵寄信函或托運(yùn)物品的種快捷方式.某快遞

公司規(guī)定甲、乙兩地之間物品的托運(yùn)費(fèi)用根據(jù)下列方法計(jì)算：

(0.530,(3<50),

50x0.53+(ty-50)x0.85,(<y>50).

其中f(單位：元)為托運(yùn)費(fèi)，3為托運(yùn)物品的重量(單位：千克).

試畫(huà)出計(jì)算費(fèi)用f的程序框圖.

分析：這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，根據(jù)數(shù)學(xué)模型可知，求費(fèi)用f的計(jì)算公式隨物品重量3的變化而

有所不同，因此計(jì)算時(shí)先看物品的重量，在不同的條件下，執(zhí)行不同的指令，這是條件結(jié)構(gòu)

的運(yùn)用，是二分支條件結(jié)構(gòu).其中，物品的重量通過(guò)輸入的方式給出.

解：算法程序框圖如右圖：

拓展提升

有一城市，市區(qū)為半徑為15km的圓形區(qū)域，近郊區(qū)為距中心15—25km的范圍內(nèi)的

環(huán)形地帶，距中心25km以外的為遠(yuǎn)郊區(qū)，如右圖所示.市區(qū)地價(jià)每公頃100萬(wàn)元，近郊區(qū)

地價(jià)每公頃60萬(wàn)元，遠(yuǎn)郊區(qū)地價(jià)為每公頃20萬(wàn)元，輸入某一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),求該點(diǎn)的地

價(jià).

分析：由該點(diǎn)坐標(biāo)(x,y),求其與市中心的距離尸正+/2,確定是市區(qū)、近郊區(qū)，還是

100,0<r<15,

遠(yuǎn)郊區(qū)，進(jìn)而確定地價(jià)p.由題意知，p=<60,15<r<25,

20,r>25.

解：程序框圖如下：

課堂小結(jié)

(1)理解兩種條件結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和區(qū)別.

(2)能用學(xué)過(guò)的兩種條件結(jié)構(gòu)解決常見(jiàn)的算法問(wèn)題.

作業(yè)

習(xí)題1.1A組3.

設(shè)計(jì)感想

本節(jié)采用引人入勝的方法引入正課，選用的例題難度適中，有的經(jīng)典實(shí)用，有的新穎獨(dú)

特，每個(gè)例題都是很好的素材.條件結(jié)構(gòu)是邏輯結(jié)構(gòu)的核心，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的好素材，

本節(jié)設(shè)計(jì)符合新課標(biāo)精神，難度設(shè)計(jì)略高于教材.

第3課時(shí)循環(huán)結(jié)構(gòu)

導(dǎo)入新課

思路1（情境導(dǎo)入）

我們都想生活在一個(gè)優(yōu)美的環(huán)境中，希望看到的是碧水藍(lán)天，大家知道工廠的污水是怎

樣處理的嗎？污水進(jìn)入處理裝置后進(jìn)行第一次處理，如果達(dá)不到排放標(biāo)準(zhǔn)，則需要再進(jìn)入處

理裝置進(jìn)行處理，直到達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn).污水處理裝置是一個(gè)循環(huán)系統(tǒng)，對(duì)于處理需要反復(fù)操

作的事情有很大的優(yōu)勢(shì).我們數(shù)學(xué)中有很多問(wèn)題需要反復(fù)操作，今天我們學(xué)習(xí)能夠反復(fù)操作

的邏輯結(jié)構(gòu)——循環(huán)結(jié)構(gòu).

思路2（直接導(dǎo)入）

前面我們學(xué)習(xí)了順序結(jié)構(gòu)，順序結(jié)構(gòu)像一條沒(méi)有分支的河流，奔流到海不復(fù)回；上一節(jié)

我們學(xué)習(xí)了條件結(jié)構(gòu)，條件結(jié)構(gòu)像有分支的河流最后歸入大海；事實(shí)上很多水系是循環(huán)往復(fù)

的，今天我們開(kāi)始學(xué)習(xí)循環(huán)往復(fù)的邏輯結(jié)構(gòu)一循環(huán)結(jié)構(gòu).

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

（1）請(qǐng)大家舉出一些常見(jiàn)的需要反復(fù)計(jì)算的例子.

（2）什么是循環(huán)結(jié)構(gòu)、循環(huán)體？

（3）試用程序框圖表示循環(huán)結(jié)構(gòu).

（4）指出兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn).

討論結(jié)果：

（1）例如用二分法求方程的近似解、數(shù)列求和等.

（2）在?些算法中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)從某處開(kāi)始，按照一定的條件反復(fù)執(zhí)行某些步驟的情況，

這就是循環(huán)結(jié)構(gòu).反復(fù)執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體.

（3）在一些算法中要求重復(fù)執(zhí)行同一操作的結(jié)構(gòu)稱為循環(huán)結(jié)構(gòu).即從算法某處開(kāi)始，按照

定條件重復(fù)執(zhí)行某,處理的過(guò)程.重復(fù)執(zhí)行的處理步驟稱為循環(huán)體.

循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu).

1°當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖（1）所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時(shí)，執(zhí)行A框，A

框執(zhí)行完畢后，返回來(lái)再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，返回來(lái)再執(zhí)行A框，如此

反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次返回來(lái)判斷條件P不成立時(shí)為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開(kāi)循

環(huán)結(jié)構(gòu).繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖.

2°直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖（2）所示，它的功能是先執(zhí)行重復(fù)執(zhí)行的A框，然后判斷

給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則返回來(lái)繼續(xù)執(zhí)行A框，再判斷條件P是否

成立.繼續(xù)重復(fù)操作，直到某一次給定的判斷條件P時(shí)成立為止，此時(shí)不再返回來(lái)執(zhí)行A框,

離開(kāi)循環(huán)結(jié)構(gòu).繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖.

見(jiàn)示意圖：

當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)

（4）兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)的不同點(diǎn)：直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)是程序先進(jìn)入循環(huán)體，然后對(duì)條件進(jìn)行判斷,

如果條件不滿足，就繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，直到條件滿足時(shí)終止循環(huán).

當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)是在每次執(zhí)行循環(huán)體前，先對(duì)條件進(jìn)行判斷，當(dāng)條件滿足時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體,

否則終止循環(huán).

兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)的相同點(diǎn)：兩種不同形式的循環(huán)結(jié)構(gòu)可以看出，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件

結(jié)構(gòu)，用于確定何時(shí)終止執(zhí)行循環(huán)體.

應(yīng)用示例

思路1

例1設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算1+2+……+100的值的算法，并畫(huà)出程序框圖.

算法分析：通常,我們按照下列過(guò)程計(jì)算1+2+……+1法的值.

第1步,0+1=1.

第2步，1+2=3.

第3步,3+3=6.

第4步，6+4=10.

第100步，4950+100=5050.

顯然，這個(gè)過(guò)程中包含重復(fù)操作的步驟，可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示.分析上述計(jì)算過(guò)程，可

以發(fā)現(xiàn)每一步都可以表示為第（i-l）步的結(jié)果+1=第i步的結(jié)果.

為了方便、有效地表示上述過(guò)程，我們用一個(gè)累加變量S來(lái)表示第一步的計(jì)算結(jié)果，

即把S+i的結(jié)果仍記為S,從而把第i步表示為S=S+i,

其中S的初始值為0,i依次取1,2，…，100,由于i同時(shí)記錄了循環(huán)的次數(shù)，所以也

稱為計(jì)數(shù)變量.

解決這一問(wèn)題的算法是：

第一步，令i=l,S=0.

第二步，若區(qū)100成立，則執(zhí)行第三步；否則，輸出S,結(jié)束算法.

第三步，S=S+i.

第四步，i=i+l,返回第二步.

程序框圖如右：

上述程序框圖用的是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如果用直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)表示，則程序框圖如下:

點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)典型的用循環(huán)結(jié)構(gòu)解決求和的問(wèn)題，有典型的代表意義，可把它作為一個(gè)范

例，仔細(xì)體會(huì)三種邏輯結(jié)構(gòu)在程序框圖中的作用，學(xué)會(huì)畫(huà)程序框圖.

變式訓(xùn)練

已知有一列數(shù)』,2」,一J,設(shè)計(jì)框圖實(shí)現(xiàn)求該列數(shù)前2。項(xiàng)的和.

234n+1

分析：該列數(shù)中每一項(xiàng)的分母是分子數(shù)加1,單獨(dú)觀察分子，恰好是1,2,3,4,....n

因此可用循環(huán)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，設(shè)計(jì)數(shù)器i,用14+1實(shí)現(xiàn)分子，設(shè)累加器S,用5=5+——，可

/+1

實(shí)現(xiàn)累加，注意i只能加到20.

解：程序框圖如下：

方法一：方法二:

點(diǎn)評(píng)：在數(shù)學(xué)計(jì)算中，i=i+l不成立,S=S+i只有在i=0時(shí)才能成立.在計(jì)算機(jī)程序中，它

們被賦予了其他的功能，不再是數(shù)學(xué)中的“相等”關(guān)系，而是賦值關(guān)系.變量i用來(lái)作計(jì)數(shù)器,

i=i+l的含義是：將變量i的值加1,然后把計(jì)算結(jié)果再存貯到變量i中，即計(jì)數(shù)器i在原值

的基礎(chǔ)上又增加了1.

變量S作為累加器，來(lái)計(jì)算所求數(shù)據(jù)之和.如累加器的初值為0,當(dāng)?shù)谝粋€(gè)數(shù)據(jù)送到變

量i中時(shí)，累加的動(dòng)作為S=S+i,即把S的值與變量i的值相加，結(jié)果再送到累加器S中，

如此循環(huán)，則可實(shí)現(xiàn)數(shù)的累加求和.

例2某廠2005年的年生產(chǎn)總值為200萬(wàn)元，技術(shù)革新后預(yù)計(jì)以后每年的年生產(chǎn)總值都比

上一年增長(zhǎng)5%,設(shè)計(jì)一個(gè)程序框圖，輸出預(yù)計(jì)年生產(chǎn)總值超過(guò)300萬(wàn)元的最早年份.

算法分析：先寫(xiě)出解決本例的算法步驟：

第一步，輸入2005年的年生產(chǎn)總值.

第二步，計(jì)算下一年的年生產(chǎn)總值.

第三步，判斷所得的結(jié)果是否大于300,若是，則輸出該年的年份，算法結(jié)束；否則，返回

第二步.

由于“第二步”是重復(fù)操作的步驟，所以本例可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn).我們按照“確定循環(huán)

體”“初始化變量”“設(shè)定循環(huán)控制條件'’的順序來(lái)構(gòu)造循環(huán)結(jié)構(gòu).

(1)確定循環(huán)體：設(shè)a為某年的年生產(chǎn)總值，t為年生產(chǎn)總值的年增長(zhǎng)量，n為年份，則循

環(huán)體為t=0.05a,a=a+t,n=n+l.

(2)初始化變