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2024屆上海市長(zhǎng)寧區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)是雙曲線上與不重合的動(dòng)點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為()A. B. C.4 D.22.中,,為的中點(diǎn),,,則()A. B. C. D.23.已知P是雙曲線漸近線上一點(diǎn),,是雙曲線的左、右焦點(diǎn),,記,PO,的斜率為,k,,若,-2k,成等差數(shù)列,則此雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.5.將函數(shù)的圖象分別向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度與向左平移(>0)個(gè)單位長(zhǎng)度,若所得到的兩個(gè)圖象重合,則的最小值為()A. B. C. D.6.已知雙曲線的一條漸近線方程為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.7.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),是的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上,為等腰三角形,,則的漸近線方程為()A. B. C. D.8.直線x-3y+3=0經(jīng)過(guò)橢圓x2a2+y2bA.3-1 B.3-12 C.9.下圖是來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊,已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為,記,則()A. B. C.1 D.10.一個(gè)由兩個(gè)圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體,小圓柱底面半徑為,大圓柱底面半徑為,如圖1放置容器時(shí),液面以上空余部分的高為,如圖2放置容器時(shí),液面以上空余部分的高為,則()A. B. C. D.11.在中,,,,點(diǎn),分別在線段,上,且,,則().A. B. C.4 D.912.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后,所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱,則的最小正值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.為了抗擊新型冠狀病毒肺炎,某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑,據(jù)實(shí)驗(yàn)表明,該藥物釋放量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為(如圖所示),實(shí)驗(yàn)表明,當(dāng)藥物釋放量對(duì)人體無(wú)害.(1)______;(2)為了不使人身體受到藥物傷害,若使用該消毒劑對(duì)房間進(jìn)行消毒,則在消毒后至少經(jīng)過(guò)______分鐘人方可進(jìn)入房間.14.已知,,且,則的最小值是______.15.已知,分別是橢圓:()的左、右焦點(diǎn),過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),且,,則橢圓的離心率為__________.16.已知函數(shù)在上僅有2個(gè)零點(diǎn),設(shè),則在區(qū)間上的取值范圍為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐,側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形,為棱上的動(dòng)點(diǎn),且.(I)求證:為直角三角形;(II)試確定的值,使得二面角的平面角余弦值為.18.(12分)已知a>0,證明:1.19.(12分)已知函數(shù),記不等式的解集為.(1)求;(2)設(shè),證明:.20.(12分)如圖,已知橢圓C:x24+y2=1,F(xiàn)為其右焦點(diǎn),直線l:y=kx+m(km<0)與橢圓交于P(x1(I)試用x1表示|PF|(II)證明:原點(diǎn)O到直線l的距離為定值.21.(12分)誠(chéng)信是立身之本,道德之基,我校學(xué)生會(huì)創(chuàng)設(shè)了“誠(chéng)信水站”,既便于學(xué)生用水,又推進(jìn)誠(chéng)信教育,并用“”表示每周“水站誠(chéng)信度”,為了便于數(shù)據(jù)分析,以四周為一周期,如表為該水站連續(xù)十二周(共三個(gè)周期)的誠(chéng)信數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì):第一周第二周第三周第四周第一周期第二周期第三周期(Ⅰ)計(jì)算表中十二周“水站誠(chéng)信度”的平均數(shù);(Ⅱ)若定義水站誠(chéng)信度高于的為“高誠(chéng)信度”,以下為“一般信度”則從每個(gè)周期的前兩周中隨機(jī)抽取兩周進(jìn)行調(diào)研,計(jì)算恰有兩周是“高誠(chéng)信度”的概率;(Ⅲ)已知學(xué)生會(huì)分別在第一個(gè)周期的第四周末和第二個(gè)周期的第四周末各舉行了一次“以誠(chéng)信為本”的主題教育活動(dòng),根據(jù)已有數(shù)據(jù),說(shuō)明兩次主題教育活動(dòng)的宣傳效果,并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由.22.(10分)已知在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,的面積為.(1)求證:;(2)若,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
設(shè),,,根據(jù)可得①,再根據(jù)又②,由①②可得,化簡(jiǎn)可得,即可求出離心率.【詳解】解:設(shè),,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),考查了斜率的計(jì)算,離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題.2、D【解析】
在中,由正弦定理得;進(jìn)而得,在中,由余弦定理可得.【詳解】在中,由正弦定理得,得,又,所以為銳角,所以,,在中,由余弦定理可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.3、B【解析】
求得雙曲線的一條漸近線方程,設(shè)出的坐標(biāo),由題意求得,運(yùn)用直線的斜率公式可得,,,再由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和離心率公式,計(jì)算可得所求值.【詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為,且,由,可得以為圓心,為半徑的圓與漸近線交于,可得,可取,則,設(shè),,則,,,由,,成等差數(shù)列,可得,化為,即,可得,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),主要是漸近線方程和離心率,考查方程思想和運(yùn)算能力,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.5、B【解析】
首先根據(jù)函數(shù)的圖象分別向左與向右平移m,n個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得的兩個(gè)圖像重合,那么,利用的最小正周期為,從而求得結(jié)果.【詳解】的最小正周期為,那么(∈),于是,于是當(dāng)時(shí),最小值為,故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的周期與函數(shù)圖象平移之間的關(guān)系,屬于簡(jiǎn)單題目.6、B【解析】
由題意得出的值,進(jìn)而利用離心率公式可求得該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由題意可得,因此,該雙曲線的離心率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率,利用公式計(jì)算較為方便,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
根據(jù)為等腰三角形,可求出點(diǎn)P的坐標(biāo),又由的斜率為可得出關(guān)系,即可求出漸近線斜率得解.【詳解】如圖,因?yàn)闉榈妊切?,,所以?,又,,解得,所以雙曲線的漸近線方程為,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于中檔題.8、A【解析】
由直線x-3y+3=0過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,得到左焦點(diǎn)為再由FC=2CA,求得A3【詳解】由題意,直線x-3y+3=0經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,令所以c=3,即橢圓的左焦點(diǎn)為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1),所以,OF=因?yàn)镕C=2CA,所以FA=3又由點(diǎn)A在橢圓上,得3a由①②,可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解,其中求橢圓的離心率(或范圍),常見有兩種方法:①求出a,c,代入公式e=ca;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式,轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程,即可得9、D【解析】
根據(jù)以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得,即的值,由此求得和的值,進(jìn)而求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為,所以,即,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,考查二倍角公式,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
根據(jù)空余部分體積相等列出等式即可求解.【詳解】在圖1中,液面以上空余部分的體積為;在圖2中,液面以上空余部分的體積為.因?yàn)?,所?故選:B【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
根據(jù)題意,分析可得,由余弦定理求得的值,由可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,則在中,又,則則則則故選:B【點(diǎn)睛】此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運(yùn)算,掌握基本概念和公式即可解決,屬于簡(jiǎn)單題目.12、D【解析】
由函數(shù)的圖象平移變換公式求出變換后的函數(shù)解析式,再利用誘導(dǎo)公式得到關(guān)于的方程,對(duì)賦值即可求解.【詳解】由題意知,函數(shù)的最小正周期為,即,由函數(shù)的圖象平移變換公式可得,將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后的解析式為,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,所以,即,所以當(dāng)時(shí),有最小正值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象平移變換公式和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及正余弦函數(shù)的性質(zhì);熟練掌握誘導(dǎo)公式和正余弦函數(shù)的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、240【解析】
(1)由時(shí),,即可得出的值;(2)解不等式組,即可得出答案.【詳解】(1)由圖可知,當(dāng)時(shí),,即(2)由題意可得,解得則為了不使人身體受到藥物傷害,若使用該消毒劑對(duì)房間進(jìn)行消毒,則在消毒后至少經(jīng)過(guò)分鐘人方可進(jìn)入房間.故答案為:(1)2;(2)40【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.14、8【解析】
由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為8,故答案為:8.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求和的最小值,整體代入法,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
設(shè),則,,由知,,,作,垂足為C,則C為的中點(diǎn),在和中分別求出,進(jìn)而求出的關(guān)系式,即可求出橢圓的離心率.【詳解】如圖,設(shè),則,,由橢圓定義知,,因?yàn)?所以,,作,垂足為C,則C為的中點(diǎn),在中,因?yàn)?所以,在中,由余弦定理可得,,即,解得,所以橢圓的離心率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率和直線與橢圓的位置關(guān)系;利用橢圓的定義,結(jié)合焦點(diǎn)三角形和余弦定理是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.16、【解析】
先根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解出的值,然后得到的解析式,采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)零點(diǎn),所以,所以,所以且,所以,所以,所以,令,所以,所以,因?yàn)?,所以,所以,所以,所以,,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合,其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題,難度較難.對(duì)形如的函數(shù)的值域求解,關(guān)鍵是采用換元法令,然后根據(jù),將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域,同時(shí)要注意新元的范圍.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見解析;(II).【解析】
試題分析:(1)取中點(diǎn),連結(jié),以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明為直角三角形;(2)設(shè),由,得,求出平面的法向量和平面的法向量,,根據(jù)空間向量夾角余弦公式能求出結(jié)果.試題解析:(I)取中點(diǎn),連結(jié),依題意可知均為正三角形,所以,又平面平面,所以平面,又平面,所以,因?yàn)?所以,即,從而為直角三角形.(II)法一:由(I)可知,又平面平面,平面平面,平面,所以平面.以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,由可得點(diǎn)的坐標(biāo)所以,設(shè)平面的法向量為,則,即解得,令,得,顯然平面的一個(gè)法向量為,依題意,解得或(舍去),所以,當(dāng)時(shí),二面角的余弦值為.法二:由(I)可知平面,所以,所以為二面角的平面角,即,在中,,所以,由正弦定理可得,即解得,又,所以,所以,當(dāng)時(shí),二面角的余弦值為.18、證明見解析【解析】
利用分析法,證明a即可.【詳解】證明:∵a>0,∴a1,∴a1≥0,∴要證明1,只要證明a1(a)1﹣4(a)+4,只要證明:a,∵a1,∴原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明,著重考查分析法的運(yùn)用,考查推理論證能力,屬于中檔題.19、(1);(2)證明見解析【解析】
(1)利用零點(diǎn)分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此解不等式求得不等式的解集.(2)將不等式坐標(biāo)因式分解,結(jié)合(1)的結(jié)論證得不等式成立.【詳解】(1)解:,由,解得,故.(2)證明:因?yàn)椋?,,所以,所?【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值不等式的解法,考查不等式的證明,屬于基礎(chǔ)題.20、(I)|FP|=2-32x【解析】
(I)直接利用兩點(diǎn)間距離公式化簡(jiǎn)得到答案.(II)設(shè)Ax3,y3,Bx4【詳解】(I)橢圓C:x24|FP|=x(II)設(shè)Ax3,y3,B4k2+1x2OA=OB,故y3PA=PF,故1+k由已知得:x3<x故1+k即1+k2?故原點(diǎn)O到直線l的距離為d=m【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)的線段長(zhǎng)度,定值問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.21、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)兩次活動(dòng)效果均好,理由詳見解析.【解析】
(Ⅰ)結(jié)合表中的數(shù)據(jù),代入平均數(shù)公式求解即可;(Ⅱ)設(shè)抽到“高誠(chéng)信度”的事件為,則抽到“一般信度”的事件為,則隨機(jī)抽取兩周,則有兩周為“高誠(chéng)信度”事件為,利用列舉法列出所有的基本事件和事件所包含的基本事件,利用古典概型概率計(jì)算公式求解即可;(Ⅲ)結(jié)合表中的數(shù)據(jù)判斷即可.【詳解】(Ⅰ)表中十二周“水站誠(chéng)信度”的平均數(shù).(Ⅱ)設(shè)抽到“高誠(chéng)信度”的事件為,則抽到“一般信度”的事件為,則隨機(jī)抽取兩周均為“高誠(chéng)信度”事件為,總的基本事件為共15種,
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