2021屆新高考數(shù)學(xué)藝考生百日沖刺專題32拋物線的方程及幾何性質(zhì)(解析版)

專題32拋物線的方程及幾何性質(zhì)拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑公式：設(shè)拋物線的焦點為，，則焦點弦長：設(shè)過拋物線焦點的直線與拋物線交于，則（，再由焦半徑公式即可得到）題型一、拋物線的定義與性質(zhì)例1、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得.故選：C．.變式1、【2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)為坐標原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標為A． B． C． D．【答案】B【解析】因為直線與拋物線交于兩點，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標為，故選：B．變式2、【2020年高考北京】設(shè)拋物線的頂點為，焦點為，準線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線A．經(jīng)過點 B．經(jīng)過點C．平行于直線 D．垂直于直線【答案】B【解析】如圖所示：．因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點.故選：B．變式3、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知拋物線的焦點為，直線的斜率為且經(jīng)過點，直線與拋物線交于點、兩點（點在第一象限），與拋物線的準線交于點，若，則以下結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】如下圖所示：分別過點、作拋物線的準線的垂線，垂足分別為點、.拋物線的準線交軸于點，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，軸，，由拋物線的定義可知，，則為等邊三角形，，則，，得，A選項正確；，又，為的中點，則，B選項正確；，，（拋物線定義），C選項正確；，，D選項錯誤.故選：ABC.題型二、直線與拋物線的關(guān)系例2、【2020年新高考全國Ⅰ卷】斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則=________．【答案】【解析】∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點F坐標為，又∵直線AB過焦點F且斜率為，∴直線AB的方程為：代入拋物線方程消去y并化簡得，解法一：解得所以解法二：設(shè)，則,過分別作準線的垂線，設(shè)垂足分別為如圖所示.故答案為：變式1、【2018年高考全國Ⅲ理數(shù)】已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于，兩點．若，則________．【答案】2【解析】設(shè)，則，所以，所以.取AB中點,分別過點A,B作拋物線準線的垂線，垂足分別為，設(shè)F為的焦點.因為,所以.因為為AB中點，所以平行于x軸.因為M(?1,1)，所以，則，即.故答案為2.變式2、（2020屆山東省臨沂市高三上期末）如圖，已知點F為拋物線C：（）的焦點，過點F的動直線l與拋物線C交于M，N兩點，且當(dāng)直線l的傾斜角為45°時，.（1）求拋物線C的方程.（2）試確定在x軸上是否存在點P，使得直線PM，PN關(guān)于x軸對稱？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在唯一的點，使直線PM，PN關(guān)于x軸對稱【解析】（1）當(dāng)直線l的傾斜角為45°，則的斜率為1，，的方程為.由得.設(shè)，，則，∴，，∴拋物線C的方程為.（2）假設(shè)滿足條件的點P存在，設(shè)，由（1）知，①當(dāng)直線l不與x軸垂直時，設(shè)l的方程為（），由得，，，.∵直線PM，PN關(guān)于x軸對稱，∴，，.∴時，此時.②當(dāng)直線l與x軸垂直時，由拋物線的對稱性，易知PM，PN關(guān)于x軸對稱，此時只需P與焦點F不重合即可.綜上，存在唯一的點，使直線PM，PN關(guān)于x軸對稱.題型三、拋物線的綜合運用例3、（2020屆山東省煙臺市高三上期末）已知拋物線的焦點為、準線為，過點的直線與拋物線交于兩點，，點在上的射影為，則（）A．若，則B．以為直徑的圓與準線相切C．設(shè)，則D．過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線至多有2條【答案】ABC【解析】對于選項A,因為,所以,則,故A正確；對于選項B,設(shè)為中點,設(shè)點在上的射影為,點在上的射影為,則由梯形性質(zhì)可得,故B正確；對于選項C,因為,所以,故C正確；對于選項D,顯然直線,與拋物線只有一個公共點,設(shè)過的直線為,聯(lián)立,可得,令,則,所以直線與拋物線也只有一個公共點,此時有三條直線符合題意,故D錯誤；故選：ABC變式1、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點，為線段的中點，則（）A．以線段為直徑的圓與直線相離 B．以線段為直徑的圓與軸相切C．當(dāng)時， D．的最小值為4【答案】ACD【解析】對于選項A，點到準線的距離為，于是以線段為直徑的圓與直線一定相切，進而與直線一定相離：對于選項B，顯然中點的橫坐標與不一定相等，因此命題錯誤.對于選項C，D，設(shè)，，直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，，，若設(shè)，則，于是，最小值為4；當(dāng)可得，，所，.故選:ACD.變式2、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）在平面直角坐標系xOy中，拋物線的焦點為F，準線為l.設(shè)l與x軸的交點為K，P為C上異于O的任意一點，P在l上的射影為E，的外角平分線交x軸于點Q，過Q作交的延長線于，作交線段于點，則（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由拋物線的定義，，A正確；∵，是的平分線，∴，∴，B正確；若，由是外角平分線，，得，從而有，于是有，這樣就有，為等邊三角形，，也即有，這只是在特殊位置才有可能，因此C錯誤；連接，由A、B知，又，是平行四邊形，∴，顯然，∴，D正確．1、【2018年高考全國I理數(shù)】設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則=A．5 B．6C．7 D．8【答案】D【解析】根據(jù)題意，過點（–2，0）且斜率為的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，消元整理得：，解得，又，所以，從而可以求得，故選D.2、（2020·山東省淄博實驗中學(xué)高三上期末）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則的周長為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】拋物線方程中：令可得，即，結(jié)合拋物線的光學(xué)性質(zhì)，AB經(jīng)過焦點F，設(shè)執(zhí)行AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：，據(jù)此可得：，且：，將代入可得，故，故,故△ABM的周長為,本題選擇D選項.9．（2020屆山東省濱州市高三上期末）已知拋物線的焦點為F，準線為l，P為該拋物線上一點，，A為垂足.若直線AF的斜率為，則的面積為()A． B． C．8 D．【答案】B【解析】由題意，拋物線的焦點為，設(shè)拋物線的準線與軸交點為，則，又直線AF的斜率為，所以，因此，；由拋物線的定義可得：，所以是邊長為的等邊三角形，所以的面積為.故選：B.3、【江蘇省南通市海安市2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期3月月考】在平面直角坐標系中，已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，則的值為_______.【答案】【解析】雙曲線,即右焦點為.即拋物線的焦點為所以,解得.故答案為:.4、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）已知是拋物線上的動點，點在軸上的射影是，點的坐標為，則的最小值是__________．【答案】【解析】設(shè)拋物線的焦點是，根據(jù)拋物線的定義可知，，當(dāng)三點共線時，等號成立，的最小值是，，的最小值是.故答案為：5、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知拋物線的焦點為F(4，0)，過F作直線l交拋物線于M，N兩點，則p=_______，的最小值為______．【答案】【解析】∵拋物