高數(shù)多元函數(shù)微分學(xué)教案-第八講-多元函數(shù)的極值及其求法

第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第八講第八講多元函數(shù)的極值及其求法授課題目：§8.8多元函數(shù)的極值及其求法教學(xué)目的與要求：了解方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì)算方法。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)與難點(diǎn)：方向?qū)?shù)的概念及方向?qū)?shù)的計(jì)算講授內(nèi)容：一、多元函數(shù)的極值及其求法回顧一元函數(shù)的極值及最大值、最小值定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0,y0)的點(diǎn)(x,y)，都有f(x,y)<f(x0,y0)(或f(x,y)>f(x0,y0)),則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)有極大值(或極小值)f(x0,y0)極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).例1函數(shù)z=f(x,y)=在點(diǎn)(1,2)處有極小值．因?yàn)楫?dāng)時(shí)z=f(x,y)=當(dāng)(x,y)=(0,0)時(shí),z=0,而當(dāng)(x,y)(0,0)時(shí),z0.因此z=0是函數(shù)的極小值.例2函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處有極大值1/2，因?yàn)槲覀儗?duì)于在（0，0）的去心領(lǐng)域中的一起點(diǎn)（x,y）有z=f(x,y)以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念,可推廣到n元函數(shù).設(shè)n元函數(shù)u=f(P)在點(diǎn)P0的某一鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于P0的點(diǎn)P,都有f(P)<f(P0)(或f(P)>f(P0)),則稱(chēng)函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0有極大值(或極小值)f(P0).與一元函數(shù)一樣，關(guān)于二元函數(shù)極值的判定，我們有定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)(x0,y0)處有極值,則有fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.證明不妨設(shè)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處有極大值依極大值的定義,對(duì)于點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)異于(x0,y0)的點(diǎn)(x,y),都有不等式f(x,y)<f(x0,y0)特殊地,在該鄰域內(nèi)取yy0而xx0的點(diǎn),也應(yīng)有不等式f(x,y0)<f(x0,y0)這表明一元函數(shù)f(x,y0)在xx0處取得極大值,因而必有fx(x0,y0)=0類(lèi)似地可證fy(x0,y0)=0.從幾何上看,這時(shí)如果曲面zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0,z0)處有切平面,則切平面zz0fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)成為平行于xOy坐標(biāo)面的平面zz0這里的極值點(diǎn)與駐點(diǎn)類(lèi)似地可推得,如果三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x0,y0,z0)具有偏導(dǎo)數(shù),則它在點(diǎn)(x0,y0,z0)具有極值的必要條件為fx(x0,y0,z0)=0,fy(x0,y0,z0)=0,fz(x0,y0,z0)=0.使fx(x,y)=0,fy(x,y)=0同時(shí)成立的點(diǎn)(x0,y0)稱(chēng)為函數(shù)z=f(x,y)的駐點(diǎn).這里的極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的定義以及極值的必要條件都不難推廣到二元以上的多元函數(shù)．與一元函數(shù)類(lèi)似，從定理1可知,具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn).但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).例3函數(shù)z=f(x,y)有偏導(dǎo)數(shù)，，點(diǎn)(0,0)是函數(shù)的駐點(diǎn)，但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處既不取得極大值也不取得極小值，因?yàn)閒(0,0)＝0，而在(0,0)的任意鄰域內(nèi)f(x,y)既能取到正值也能取到負(fù)值。.因?yàn)樵邳c(diǎn)(0,0)處的函數(shù)值為零,而在點(diǎn)(0,0)的任一鄰域內(nèi),總有使函數(shù)值為正的點(diǎn),也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn).定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,則f(x,y)在(x0,y0)處是否取得極值的條件如下:(1)AC-B2>0時(shí)具有極值,且當(dāng)A<0時(shí)有極大值,當(dāng)A>0時(shí)有極小值;(2)AC-B2<0時(shí)沒(méi)有極值;(3)AC-B2=0時(shí)可能有極值,也可能沒(méi)有極值.在函數(shù)f(x,y)的駐點(diǎn)處如果fxx×fyy-fxy2>0,則函數(shù)具有極值,且當(dāng)fxx<0時(shí)有極大值,當(dāng)fxx>0時(shí)有極小值.極值的求法：第一步：解方程組fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,求得一切實(shí)數(shù)解,即可得一切駐點(diǎn).第二步：對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0,y0),求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C.第三步：定出AC-B2的符號(hào),按定理2的結(jié)論判定f(x0,y0)是否是極值、是極大值還是極小值．例4求函數(shù)f(x,y)=x3＋y3-3xy的極值.解解方程組,求得x=1，０，y=１，0于是得駐點(diǎn)為(1，1)、(０，０)再求出二階偏導(dǎo)數(shù)fxx(x,y)=6x，fxy(x,y)=-3，fyy(x,y)=6y.在點(diǎn)(1,1)處,AC-B2=66-＝27>0,又A>0,所以函數(shù)在(1,1)處有極小值f(1,1)=-1;在點(diǎn)(0,0)處,AC-B2=-9<0，所以f(0,0)不是極值．注：與一元函數(shù)類(lèi)似，不是駐點(diǎn)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn),例如,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處有極大值,但(0,0)不是函數(shù)的駐點(diǎn).因此,在考慮函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí),除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外,如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮．二、多元函數(shù)的最大值、最小值及其求法如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.這種使函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)既可能在D的內(nèi)部,也可能在D的邊界上.我們假定,函數(shù)在D上連續(xù)、在D內(nèi)可微分且只有有限個(gè)駐點(diǎn),這時(shí)如果函數(shù)在D的內(nèi)部取得最大值(最小值),那么這個(gè)最大值(最小值)也是函數(shù)的極大值(極小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是:將函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值．例５求函數(shù)f(x,y)=xy-在閉區(qū)域B：【0，1；0，1】的最大、最小值．解fx(x,y)=y-2x,fy(x,y)=x,令fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,得駐點(diǎn)（0，0），它恰好在閉區(qū)域B的邊界上，所以函數(shù)的最大、最小值只能在B的邊界上取得．邊界由四條直線段組成．在：x＝0,上，由于f(0,y)＝0，因此f(x,y)在上的值都是0；在：y＝0,上，f(x,0)＝,因此，f(x,y)在的最大值為0，最小值為-1；在：x=1,上，f(1,y)＝,因此f(x,y)在上的最大值為0；最小值為-1；在：y＝1,上,f(x,1)＝x,f(x,y)在上的最大值為1/4,最小值為0.綜上所述，函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域B上的最大值為f(1/2,1)＝1/4,最小值為f(1,0)＝-1．在通常遇到的實(shí)際問(wèn)題中,如果根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì),知道函數(shù)f(x,y)的最大值(最小值)一定在D的內(nèi)部取得,而函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),那么可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x,y)在D上的最大值(最小值).例６有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板,把它兩邊折起來(lái)做成一斷面為等腰梯形的水槽.問(wèn)怎樣折法才能使斷面的面積最大解設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為xcm,傾角為,那末梯形斷面的下底長(zhǎng)為24-2x,上底長(zhǎng)為24-2x×cos,高為x×sin,所以斷面面積A,即A=24x×sin-2x2sin+x2sincos(0<x<12,090).這就是目標(biāo)函數(shù),要求使這函數(shù)取得最大值的點(diǎn)(x,)．令A(yù)x=24sin-4xsin+2xsincos=0,A=24xcos-2x2cos+x2(cos2-sin2)=0,由于sin0,x0,上述方程組可化為解這方程組,得=60,x=8cm.根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在,并且在D{(xy)|0<x<12,090}內(nèi)取得,通過(guò)計(jì)算得知=90時(shí)的函數(shù)值比=60,x=8(cm)時(shí)的函數(shù)值為小.又函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),因此可以斷定,當(dāng)x=8cm,=60時(shí),就能使斷面的面積最大.三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法對(duì)自變量有附加條件的極值稱(chēng)為條件極值．例如,求表面積為a2而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積問(wèn)題.設(shè)長(zhǎng)方體的三棱的長(zhǎng)為x,y,z,則體積V=xyz.又因假定表面積為a2,所以自變量x,y,z還必須滿足附加條件2(xy+yz+xz)=a2.這個(gè)問(wèn)題就是求函數(shù)V=xyz在條件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值問(wèn)題,這是一個(gè)條件極值問(wèn)題.對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題,可以把條件極值問(wèn)題化為無(wú)條件極值問(wèn)題.例如上述問(wèn)題,由條件,解得,于是得V.只需求V的無(wú)條件極值問(wèn)題.在很多情形下,將條件極值化為無(wú)條件極值并不容易.需要另一種求條件極值的專(zhuān)用方法,這就是拉格朗日乘數(shù)法.現(xiàn)在我們來(lái)尋求函數(shù)z=f(x,y)在條件(x,y)=0下取得極值的必要條件.如果函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)取得所求的極值,那么有(x0,y0)=0.假定在(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)f(x,y)與(x,y)均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),而y(x0,y0)0.由隱函數(shù)存在定理,由方程(x,y)=0確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=(x),將其代入目標(biāo)函數(shù)z=f(x,y),得一元函數(shù)z=f[x,(x)].于是x=x0是一元函數(shù)z=f[x,(x)]的極值點(diǎn),由取得極值的必要條件,有,即.從而函數(shù)z=f(x,y)在條件(x,y)=0下在(x0,y0)取得極值的必要條件是與(x0,y0)=0同時(shí)成立.設(shè),上述必要條件變?yōu)?拉格朗日乘數(shù)法:要找函數(shù)z=f(x,y)在條件(x,y)=0下的可能極值點(diǎn),可以先構(gòu)成輔助函數(shù)F(x,y)=f(x,y)+(x,y),其中為某一常數(shù).然后解方程組.由這方程組解出x,y及,則其中(x,y)就是所要求的可能的極值點(diǎn).這種方法可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形.至于如何確定所求的點(diǎn)是否是極值點(diǎn),在實(shí)際問(wèn)