分類討論思想在解題中的運用

分類號論文編號本科生畢業(yè)論文分類討論思想在解題中的運用姓名：院系：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院年級專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：年月目錄摘要 IAbstract II第一章 緒論 1第二章對條件是分類給出的問題進行討論 11.1運用在指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的討論及定義域的判斷 11.1.1指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論 21.2集合與不等式及函數(shù)的問題 3第三章對問題的變量及參數(shù)進行分類討論 42.1幾種常見變量及參數(shù)的問題 42.1.1級數(shù)的斂散性、函數(shù)的極值最值、參數(shù)方程所表示的曲線 5第四章對圖形的位置不確定進行分類討論 73.1運用分類思想證明幾何題 73.2運用在函數(shù)與函數(shù)之間是否存在有解 10第五章結(jié)論 11參考文獻 12致謝 13摘要分類討論思想是數(shù)學(xué)重要的思想方法和解題策略、也是教學(xué)的重點和難點.在求解數(shù)學(xué)問題時、采用分類討論思想、可以有效地將數(shù)學(xué)問題解決.分類討論思想在解題過程中會出現(xiàn)多種情形、將這些情形進行綜合、進行歸納、最終使得整個問題得以解決.關(guān)鍵詞：分類討論思想采用數(shù)學(xué)問題AbstractClassificationdiscussionthoughtisanimportantwayofthinking,andmathematicsproblem-solvingstrategies,teachingimportantanddifficult.Insolvingmathematicalproblems,theideaofclassificationdiscussion,caneffectivelytomathematicalproblemsolving.Discussideasintheproblemsolvingprocesswillappearavarietyofsituations,thesecircumstancesmakeacomprehensive,summarized,finallymadetosolvetheproblem.Keywords:Classificationdiscussideasusingmathematicalproblems興義民族師范學(xué)院本科畢業(yè)論文緒論分類討論數(shù)學(xué)思想是一種重要的解題策略，對于培養(yǎng)學(xué)生的思維的嚴密性，嚴謹性和靈活性及提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力無疑具有較大的幫助.分類討論數(shù)學(xué)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要的思想，它在中學(xué)占有重要的位置，也是近幾年中考、高考考查的重點、也是考查的熱點問題之一.參數(shù)問題廣泛地存在于中學(xué)數(shù)學(xué)的各類問題中，含參數(shù)的問題可分為四種類型：首先，對數(shù)學(xué)問題的變量或參數(shù)進行分類討論（數(shù)學(xué)問題中含有參數(shù)，這些參數(shù)不同，討論的結(jié)果也隨之不同，因此要對參數(shù)進行討論）.其次，對條件是分類給出的問題進行討論.例如有些概念、定理、公式、法則本身就包含了分類.如絕對值、直線的斜率、等比數(shù)列的求和公式等等.求解時，需要突破這些條件進行討論、這些范圍或條件為分類提供了理論依據(jù).再次對求解過程不便統(tǒng)一表述的問題進行分類討論.（在求解過程中，由于題目的限制，統(tǒng)一起來表達不方便，必須進行分類討論）.最后，關(guān)于圖行的位置、類型的分類的問題.有關(guān)幾何問題中，由于圖行的位置，形狀的不確定，需要進行分類.通過對以上四種類型題目進行分類討論，我想學(xué)生在中考、高考中，遇到這樣的題目就是小菜一碟.總之，在各個教學(xué)模塊中逐步滲透用分類討論數(shù)學(xué)思想去解決問題.分類討論思想覆蓋的知識點較多，有利于考查學(xué)生的知識面，分類思想方式多種多樣，具有較高的邏輯性和較強的綜合性，樹立分類討論思想，應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到確定對象的全體、明確分類的標準、分類不重復(fù)、分類不遺漏地分析討論、分級進行階段性結(jié)果，最后進行歸納，綜合得出結(jié)論.第二章對條件是分類給出的問題進行討論1.1運用在指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的討論及定義域的判斷對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)是高考的熱點、也是高考的難點.其主要考其的定義域及單調(diào)性.這里就要討論底數(shù)的問題啦.在書本上指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)看上去簡單、其簡單的原因是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)作為一個獨立部分.然而在高考，并沒有這么簡單、其經(jīng)常和其它函數(shù)復(fù)合來一起來考，這樣不僅要考慮指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)自身限制條件，還要顧及其它函數(shù)自身限制條件，特別是這些函數(shù)含有參數(shù)的話，其難度系數(shù)就上升了，我們要對參數(shù)進行討論，討論時要做到在同一討論中只能按所確定的一個標準進行,分類既不重復(fù)，也不遺漏.1.1.1指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論解析：這是一道比較典型指數(shù)函數(shù)分類討論思想的題目，底數(shù)含有參數(shù)，指數(shù)部分又是二次根號，要討論指數(shù)函數(shù)，就要分底數(shù)大于1與底數(shù)大于零且小于1這兩種情況，指數(shù)部分是二次根號，顯然根號里面的數(shù)要大于等于立零，有根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可知，指數(shù)不等于1（如果等于1，這個函數(shù)就沒有討論的必要了），所以還要討論指數(shù)部分大于零且小于1以及指數(shù)部分大于1.解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義：此題比較接近指數(shù)函數(shù)的定義，如果把底數(shù)換成一個代數(shù)式的話，那題目的難度又上升一個檔次，這就要把這個代數(shù)式看成一個整體，即是化整為零，積零為整，再用上述方法進行分類討論，進行歸納總結(jié)，最后的出結(jié)論.對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們在某些方面既有聯(lián)系也有區(qū)別，比如，指數(shù)函數(shù)恒過點而對數(shù)函數(shù)恒過.它們的聯(lián)系是指數(shù)函數(shù)的定義域是對數(shù)函數(shù)的值域，對數(shù)函數(shù)的定義域是指數(shù)函數(shù)的值域.然而要討論對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，則要看對數(shù)函數(shù)的底數(shù)的兩種情況，即底數(shù)大于零且小于1或者是底數(shù)大于1這兩種情況.例如求對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解析：1.2集合與不等式及函數(shù)的問題在中學(xué)階段，集合是一些元素組成的的總體叫做集合，然而在近世代數(shù)里，集合不再是簡單的元素了，它們可以是我們?nèi)粘Ｉ钪械木唧w的實物，但是在這里，我們只討論的是元素；不等式可以分為絕對值不等式和分式不等式，其中在不等式中含有參數(shù)或者是絕對值的話，我們要對參數(shù)及絕對值做討論；函數(shù)是不等式進一步的升華，其原因是吧不等式的大于或小于改成等于并添加一個因變量，其的討論和不等式的思想差不多，在這里不再著述了..1.2.1集合與不等式之間的解集例如；已知集合，求分別滿足下列條件的的取值范圍：集合是集合的真子集集合與集合的交集是空集解：因為=恒成立所以=；即是=若m，則又因為集合是集合的真子集，所以解得所以若，則集合是空集，滿足集合是集合的真子集所以，則，要使集合與集合的交集是空集，則只需要或者，解得這與相矛盾.若，則集合是空集，滿足集合與集合的交集是空集所以總結(jié)對于此題，我們必須對討論，比且還要考慮集合是空集的時候，不然會出現(xiàn)分類遺漏.例如:,求滿足的值組成的集合.解：由集合，又因為所以，即可能是若，則，即，所以；若，則，解得；若，則，方程組無解.若，則，解得綜上所述：實數(shù)的取值集合.總結(jié)，在遇到求子集，真子集的個數(shù)，或兩個集合之間的關(guān)系問題時，一定要優(yōu)先考慮空集以免分類遺漏而導(dǎo)致錯誤.第三章對問題的變量及參數(shù)進行分類討論2.1幾種常見變量及參數(shù)的問題變量及參數(shù)問題廣泛存在數(shù)學(xué)中，它們以各種各樣的方式出現(xiàn)，其難易程度有各自的側(cè)重點，但不管怎么樣，它們大多數(shù)都以函數(shù)的方式出現(xiàn).例如，級數(shù)的斂散性、求含有參數(shù)極值、最值得問題以及討論含有參數(shù)方程所表示的曲線，像這樣的問題，它們會隨變量或者參數(shù)取值的大小不同，它們的結(jié)果隨之而改變，所以我們在做這些題目時，一定要注意分類的合理性、科學(xué)性、、明確分類的標準、分級進行分類、最后進行歸納，綜合得出結(jié)論.2.1.1級數(shù)的斂散性、函數(shù)的極值最值、參數(shù)方程所表示的曲線（款的標題）級數(shù)是指給定一個數(shù)列，對它的各項依次用“+”號連接起來的表達式叫做常數(shù)項無窮級數(shù)或數(shù)項級數(shù)，也簡稱級數(shù)，其中稱為數(shù)項級數(shù)的通項或一般項.數(shù)項級數(shù)的前和，記為=.然而極值、最值問題，要涉及導(dǎo)數(shù)，在求極值、最值，導(dǎo)數(shù)是有效的工具，但也有其它的辦法來求，那就要看針對什么樣的題目了，比如，在求二次函數(shù)的最值時，有些題目可以用均值不等式來做等等.我們也可以根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來求.參數(shù)所表示的曲線，那就看參數(shù)取值的范圍了，這里就不再論述了.下面會以例題來講解.2.1.1.1級數(shù)的斂散性（項的標題）若數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列收斂于則稱數(shù)項級數(shù)收斂，稱是為數(shù)項級數(shù)的和.記作=，若數(shù)項級數(shù)發(fā)散的，則稱數(shù)項級數(shù)發(fā)散.在這里順便提一下幾個級數(shù)；等比級數(shù)、調(diào)和級數(shù)（是發(fā)散的）.例題，討論幾何級數(shù)的斂散性（其中）解：當時，級數(shù)的第個部分和，因此，當時，，此時級數(shù)收斂，其和為當時，，所以級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)發(fā)散.綜上所述，當時，，此時級數(shù)收斂當時，此時級數(shù)收斂2.1.1.2函數(shù)的極值、最值函數(shù)的極值、最值是高考的熱點，也是難點，高考一般把這一題放在最后，我們一般把這一題叫做壓軸題，此題很少有同學(xué)得滿分，因為此題考的知識面很廣，涉及的知識點有多.下面來看一個例題例題，已知求的單調(diào)區(qū)間；若在上遞增函數(shù)，求的取值范圍.分析：要求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，我們第一要想到是，確定函數(shù)的定義域，馬上進行求導(dǎo)，找出極值點，最后判斷單調(diào)性，然而此題含有參數(shù)，求導(dǎo)之后我們要對參數(shù)進行討論.解：由題可知，函數(shù)的定義域是一切實數(shù).所以的導(dǎo)數(shù)為a,當時，函數(shù)在是增函數(shù):b,當時，函數(shù)在是增函數(shù)，函數(shù)在是減函數(shù).有（1）可知在是增函數(shù)，所以，即是，所以我例如，討論所表示的曲線.解：這是以為參數(shù)的曲線，給不同值，可以得到不同的二次曲線.當時，=0，即是，當時，，即是，當時，原方程可以化為；如果時，則曲線是以焦點為的橢圓.如果時，則曲線是以焦點為的雙曲線.第四章對圖形的位置不確定進行分類討論（標題）3.1運用分類思想證明幾何題運用分類思想證明幾何體是比較常見的，但是又是同學(xué)們很少想到的，這里要強調(diào)的是只要是數(shù)學(xué)，其在一定程度上都會用到分類思想.比如某個人把撒落在地上，問你怎樣找才能把針全部撿完，這個問題其實在我們?nèi)粘Ｉ钪须S時遇到，只是我們把它們忽視罷了，這個題目有效的方法就是把地面分成若干個小區(qū)域，依次把小區(qū)域里的針找完就可以了，其實這就是運用了分類思想解決實際生活中的問題了.例如，證明：五點中必有四點是一個凸四邊形的四個頂點.證明：我們可以按五點的凸包分三種情況：五點的凸包為凸五邊形，顯然，必有四點是四邊形的頂點；五點的凸包為凸四邊形，顯然，也必有四點是一個凸四變形的四個頂點；對于情況三，因為任意三點不共線，直線DE必與三角形的線段相交而與第三邊永不相交.設(shè)直線DE與線段BC不相交，則四邊形EDBC為凸四邊形.所以，原命題成立.AABCDE注意：對于同一個較復(fù)雜的問題，如果取用的分類標準不同，那么解決問題的繁簡程度上往往差別很大.如上述例題中，我們以其中三點為頂點作一個三角形，再按其余兩點關(guān)于這個三角形的位置的不同的情況分類進行討論就顯得異常的復(fù)雜，大大增加解題的難度，因此，進行分類、討論之前，應(yīng)當對題目先作一番深入的分析，并將幾種分類標準作適當比較，選擇適當?shù)姆诸悩藴?，盡量簡化分類過繁的現(xiàn)象.其次，對某些數(shù)學(xué)問題，如果先利用已知的條件，限制題目中涉及的量的范圍，再進行分類討論，常常能是問題簡化.例如，平面外有兩點A,B,它們到平面的距離分別為a，b，線段AB上有一點P，已知AP/PB=0.5，求點P到平面M的距離 .解：（1）當點A,B在平面M的同側(cè)時（如圖1），設(shè)則，所以.若平行平面，則，此時，.當點A,B在平面M的異側(cè)時，若點位于點的同側(cè)(如圖2)，則則，從而，若點位于點的同一側(cè)（如圖3），則，從而，。圖1圖2圖33.2運用在函數(shù)與函數(shù)之間是否存在有解求函數(shù)的零點的個數(shù).分析：此題我們可以構(gòu)造兩個函數(shù)與，再利用導(dǎo)數(shù)來解決，因為現(xiàn)在這兩個函數(shù)圖像我們是不知道，我們可以導(dǎo)函數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間大致畫出原函數(shù)的圖形，再用這個函數(shù)的圖像去與其相交的交點的個數(shù)即可.解：令，所以，令，即是或者，再令，所以當或者時，函數(shù)是增函數(shù)，當時，函數(shù)是減函數(shù)，函數(shù)在處取得極大值，函數(shù)在處取得極小值.當時，函數(shù)與函數(shù)有兩個交點；當時，函數(shù)與函數(shù)有兩個交點；當時，函數(shù)與函數(shù)有一個交點；當時，函數(shù)與函數(shù)有一個交點；當時，函數(shù)與函數(shù)有三個交點第五章結(jié)論運用分類討論思想能夠有效的指導(dǎo)我們的學(xué)習，操作程序是化整為零，積零為整，把對總體的探究轉(zhuǎn)到對討論各個個體，這兩者的效果是一樣的分類討論思想的精髓是分類既不重復(fù)，也不遺漏、漸進性分類，不要越級、在同一討論中只能按所確定的一個標準進行.分類討論思想的優(yōu)勢，表現(xiàn)在可以迅速的找出解決問題的切入點，以解決開頭難的問題，使我們的數(shù)學(xué)探究活動有一個良好的開局.注意，分類討論某個數(shù)學(xué)問題，必須在同一個標準下進行，切記用兩個或兩個以上的標準對數(shù)學(xué)對象實施進行分類，這和我們平時的為人處世也是一樣的對他人和自己，無論從哪個角度來評價，不可采用多從標準，分類討論也是如此.參考文獻主要參考資料：[1]歐陽維誠編著.初等數(shù)學(xué)思想方法選講[M].長沙市：湖南教育出版社,2000.[2]陸書環(huán)，馮振舉編著.初中數(shù)學(xué)方程[M].北京市：金盾出版社,2004.04[3]沈文選著.中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法[M].長沙市：湖南師范大學(xué)出版