2022屆高中數(shù)學(xué)新人教A版必修第一冊 第5章 簡單的三角恒等變換 學(xué)案

5.5.2簡單的三角恒等變換

學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)

1.能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式，能用兩角和與差的三

角函數(shù)公式導(dǎo)出積化和差、和差化積公式，體會其中的

1.通過公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)

三角恒等變換的基本思想方法，并能夠進(jìn)行簡單的應(yīng)

邏輯推理素養(yǎng).

用.(重點(diǎn))

2.借助三角恒等變換的簡

2.了解三角恒等變換的特點(diǎn)、變換技巧，掌握三角恒等

單應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素

變換的基本思想方法，能利用三角恒等變換對三角函數(shù)

養(yǎng).

式化簡、求值以及三角恒等式的證明和一些簡單的應(yīng)

用.(難點(diǎn)、易錯點(diǎn))

［情境導(dǎo)箜?探新知］情境趣味導(dǎo)學(xué)?預(yù)習(xí)素養(yǎng)感知

畬情境與問題

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二倍角公式，你能用cosa表示sin?今，cos?5及tan?5嗎？

知識點(diǎn)1半角公式

1—cosa

(l)sinT=±""2~

sina

⑷哈-4

a_a1+cosa

COS]cosycos]-----------

.a.a-.a

sinTsinv2sinT

a2221—cosa

sina'

屋堂k半角公式中的符號由誰決定？

［提示1半角公式中的符號由卷所在象限決定.

體驗(yàn)1.思考辨析(正確的畫“，錯誤的畫“X”)

a/1+cosa

(l)cos2=\l-2-1)

(2)存在a￡R,使得cos5=Tcosa.()

(3)對于任意a￡R,sing=gsina都不成立.()

(4)若a是第一象限角，則tan今=\/jC0Sa()

乙\i1Icosa

[答案]⑴*(2)V(3)X(4)7

便驗(yàn)k2.已知cosa=|,(當(dāng)，2兀)，則sin今=,tan.

4

-

又cos。=不sina=一5

.asina__51

?，tan?=l+cosa=775=-2]

1+5

知識點(diǎn)2常見的三角恒等變換

(1)輔助角公式：asinx+bcos阡Psin(x+9)(a%W0),其中tanp所在象

限由。和匕的符號確定.

"宙八#91-cos2x1+cos2x1

(2)降描公式：sinq=----5-------，cos9x=-------------，sinxcosx=]sin2尤.

體驗(yàn)3.（多選）cosa—sina的化簡結(jié)果是（）

C.啦sin(a+；D.6cos(a+：)

y[2J,it1l+cos4II1^2也、

4[2-cos8=2-^—=2-2-2X2=-4

[合作探究-釋疑難]然難問題解惑?學(xué)科素養(yǎng)形成

類型1化簡求值問題

【例1】已知兀＜a等化簡：

_______1+sina______+_______1-sina______

yj1+cosa—yj1—cosay]1+cosa+y]1—cosa

[解]原式=

(s嗎—COS以2

也卜喈I-Isin2y［21cos^|+^/2s譴

../,3兀.兀,3兀.a八.八

.7i<a<~,丁，??cos/V0,sm/>0,

.a.a.aa

sin］十co”sin］—cos］

=-&+6~=fc渡

「............cS思領(lǐng)悟?..........................

i.化簡問題中的“三變”

(1)變角：三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過拆、湊等手段消除角之

間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式.

(2)變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切.

(3)變式：觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩剑缟?、降嘉、配方?/p>

開方等.

2.利用半角公式求值的思路

(1)看角：看已知角與待求角的二倍關(guān)系.

(2)明范圍：求出相應(yīng)半角的范圍為定符號作準(zhǔn)備.

(3)選公式：涉及半角公式的正切值時，常用tan；."」］：”涉及半角公式

21十cosasma

,,_人3、/4一皿yih「a1-cosaw1+cosa._

的正、余弦值時，常利用sin-2=2，cos/=xi十算.

(4)下結(jié)論：結(jié)合(2)求值.

提醒：已知cosa的值可求微的正弦、余弦、正切值，要注意確定其符號.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

3

-

5且180。＜夕＜270。，求tan,

。e

0

［解］法—：???180。<。<270。，.\90°<I<135,-2r

0

n-=-

la2

法二：???180。＜/270。，即。是第三象限角,

類型2三角恒等式的證明

【例2】求證：J—,=/in2a.

［解］法一：用正弦、余弦公式.

cos2a

cos工一sin工

.aa

cos9asin^cos^

越?必

cos5-sin/

.aa

cos9~asin2cos/

.aa

—sinTcosTcosa

cosa

=gsinacosa=^sin2a=右邊,

???原式成豆■.

法二：用正切公式.

a

9ac

cos-Qtan]],2tan2i,ii

左邊■=-、一1=呼。)s2a.----------=2cos2a-tana=/cosasina=^sin2a=右邊,

1-tan-^,1-tan2^

???原式成工.

成思領(lǐng)悟

三角恒等式證明的常用方法

(1)執(zhí)因索果法：證明的形式一般化繁為簡.

(2)左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個式子.

(3)拼湊法：針對題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對性地變形，以消除它們之間的差異，

簡言之，即化異求同.

(4)比較法：設(shè)法證明“左邊一右邊=0"或“左邊/右邊=1”.

(5)分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明

顯的事實(shí)為止，就可以斷定原等式成立.

I跟進(jìn)訓(xùn)練I

2.求證：

__________2sinxcosx___________1+cosx

(sinx+cos%—l)(sin%—cosx+1)___sinx

I證明I左邊=

2sinxcosx

cos^—2sin2^Y2sin^cos^+2sin1)

.cosz2cos二；,1

sinx______2_______2___1+cosx

====：=右邊,

?.xc.犬xsinx

2sm?sin/2smzcos/

所以原等式成立.

類型3恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合

【例3】(對接教材P227例題)已知函數(shù)./U)=2sinxcosx—2小cos?x+小.

⑴求的最小正周期和對稱中心；

(2)求人x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

兀

(3)當(dāng)了兀時，求函數(shù)?r)的最大值及取得最大值時x的值.

嘗試與發(fā)現(xiàn)/

(

對于表達(dá)式中的正(余)弦函數(shù)是如何組合的？要分別借助哪些公式才能將兀V)統(tǒng)一化成

/(x)=asincox+bcoscox+k的形式，然后再怎么化成y(x)=Asin(①x+p)+Z的形式？

(l)/(x)=2sinxcosx-2小cos2；i+^=sin2x一小cos2x=2sin

?\/(x)的最小正周期為爹=兀.

7T47TIT

由2x—1=kn(keZ),可得工=5+1(攵￡Z),

?，?函數(shù)於)的對稱中心為(竽+*,0)(攵￡Z).

(2)由2X一強(qiáng)［2也+5，2E+/(Z￡Z),

可得犬右［左兀+雪，而十茬^(kGZ),

?7/U)的單調(diào)遞減區(qū)間為也+含E+窄^(左￡Z).

⑶當(dāng)xwg,兀］時，2X-|Gy,y,

.??2%一m=與，即x=,時，函數(shù)./)取得最大值，最大值為5.

廠........成思領(lǐng)悟..........................

應(yīng)用公式解決三角函數(shù)綜合問題的步驟

(1)降早將解析式化為?r)=asincox+Z?cosa)x+k的形式：如將sinxcosx運(yùn)用二倍角公

I1—CQQ9r1+ccq9r

式化為京in2x,利用降嘉公式sirxJy\以輸」二羅T將解析式化為一次式.

(2)利用輔助角公式asina+6cosa=d^fPsin(a+9)化兀0成?r)=4sin(3x+p)+A的形

式.

(3)將“(Dx+<p”看作一個整體研究函數(shù)的性質(zhì).

tJ

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

3.已知函數(shù)危)=4cos①ksin(①x+g)(①>0)的最小正周期為兀

(1)求①的值；

(2)討論兀0在區(qū)間［o,3上的單調(diào)性.

【解1(1VU)=4coscovsin(o)x+/)

=2陋sincoxcos①x+2啦cos?①x

=*\/2(sin2cox+cos2cox)+y［2

=2sin(2cux+：)+啦.

因?yàn)?U)的最小正周期為兀，且co>0,

從而有善=兀，故8=1.

2co9

⑵由⑴知，於)=2sin

若（X芍，則#2x+卜苧

當(dāng)產(chǎn)2%+產(chǎn)

JT

即時，_/u）單調(diào)遞增；

1,?！?兀）5兀

當(dāng)產(chǎn)2%+產(chǎn)彳，

IT7T

即gW九時，段）單調(diào)遞減.

綜上可知，以X）在區(qū)間［o,|上單調(diào)遞增，在區(qū)間?上單調(diào)遞減.

類型4三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

【例4】（對接教材P227例題）在扇形OPQ中，OP=R，圓心角/尸。。=:，若將此木

料截成如圖所示的矩形，試求此矩形面積的最大值.

［解|如圖，作NPOQ的平分線分別交EF,G”于點(diǎn)M,N,連接OE,

設(shè)NMO￡=a,aG（O,*），在

RtAMOE中，ME=Rs\nafOM=Rcosaf

在RtAONH中，^=ta哈，

得ON=4NH=y^Rsma,

則MN=OM-ON

=/?(cosa—y[3s\na).

設(shè)矩形EFGH的面積為S,

則S=2MEMN=2R2sina(cosa—小sina)

=7?2(sin2a+小cos2a一小)

=2R2sin(2a+；)一小R2,

由Q￡（0,*）,則,V2a+^V號,

所以當(dāng)2a+j=^,

即時，Smax=(2-巾)及2.

所以矩形面積的最大值為(2一小)

1.......辰思領(lǐng)悟........................

應(yīng)用三角函數(shù)解實(shí)際問題的方法及注意事項(xiàng)

(1)方法：解答此類問題，關(guān)鍵是合理引入輔助角，確定各量之間的關(guān)系，將實(shí)際問題

轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識求解.

(2)注意：在求解過程中，要注意三點(diǎn)：①充分借助平面幾何性質(zhì)，尋找數(shù)量關(guān)系.②

注意實(shí)際問題中變量的范圍.③重視三角函數(shù)有界性的影響.

提醒：在利用三角變換解決實(shí)際問題時，常因忽視角的范圍而致誤.

［J

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

4.如圖所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長方形，應(yīng)怎樣截取，才能使△OAB的

周長最大？

O

0B

［解］設(shè)NA03=a,△048的周長為/,則A3=Rsina,

O

0B

OB=Reosaf.\l=OA+AB+OB

=R+Rs\na+Rcosa

=R(sina+cosa)+R

=y［2Rsin^a+^+R.

V0＜c?^,??譚＜Q+g＜竽，：./的最大值為也H+R=(/+1)R,此時，［+：=$即a=

n

4-

7T

所以當(dāng)乙408=4時，△0A8的周長最大.

［當(dāng)堂達(dá)標(biāo)?夯基礎(chǔ)］課堂知識檢測?小結(jié)問題點(diǎn)評

1.設(shè)5兀％<6兀，cos2=tz,則sin不等于()

A.2D-2

c.

8

D[若5兀<*6兀，則苧號號，則sin一4

2.化簡A/2+COS2—sin」的結(jié)果是()

A.—cos1B.cos1

C.小cos1D.一小cos1

C[原式=^2+1—2sin2l-sin2l=13-3sii?l=^3(1-sin2l)=-\/3cos2l=y[3cos1.]

3.函數(shù)兀0=cos2(x+*,XGR,則Ax)()

A.是奇函數(shù)

B.是偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)

D.既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

D[原式=]1+cos

=2(1-sin2x)

=2-2s^n2%，

此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).]

4.函數(shù)?r)=sin2x的最小正周期為.

兀[因?yàn)槲Ｊ?%=匕磬，

2兀

所以/(X)的最小正周期T=~^=7l.]

5.己知M5sinx+3cosx=245sina+3),g￡(一兀，兀)，則sin2g=.

W[V§sinx+3cosx=2小(sinxcos^+cosxsin§

=2巾sinQ+W).

2

兀

或

一-V32

9-工273T-29=

?-7T<69<7T,33

（----------------目QQ窗?--------------------

回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：

i.三角函數(shù)式的化簡常從哪些角度切入？

［提示］一般從“角”、“名”、“形”三個角度切入，即“統(tǒng)一角”、“統(tǒng)一函數(shù)名”、

“統(tǒng)一次數(shù)（降薪）”.

2.試總結(jié)解決三角函數(shù)綜合問題的步驟.

［提示］應(yīng)用公式解決三角函數(shù)綜合問題的三個步豚

運(yùn)用和、差、倍角公式化簡

統(tǒng)一化^/(x)=〃sinGX+〃COS①x+攵的形式

利用輔助角公式化為?x）=Asin（Gx+8）+k

的形式，研究其性質(zhì)

3.用三角函數(shù)解決實(shí)際問題時，通常選什么作為自變量？求定義域時應(yīng)注意什么？

［提示］通常選角作為自變量，求定義域時要注意實(shí)際意義和正弦、余弦函數(shù)有界性的

影響