定積分中奇偶函數(shù)和周期函數(shù)處理方法

PAGEPAGE1定積分計(jì)算中周期函數(shù)和奇偶函數(shù)的處理方法一、基本方法(一)、奇偶函數(shù)和周期函數(shù)的性質(zhì)在定積分計(jì)算中，根據(jù)定積分的性質(zhì)和被積函數(shù)的奇偶性，及其周期性，我們有如下結(jié)論1、若是奇函數(shù)（即），那么對(duì)于任意 的常數(shù)a，在閉區(qū)間上，。2、若是偶函數(shù)（即），那么對(duì)于任意的常數(shù)a，在閉區(qū)間上。3、若為奇函數(shù)時(shí)，在的全體原函數(shù)均為偶函數(shù)；當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，只有唯一原函數(shù)為奇函數(shù)即.事實(shí)上：設(shè)，其中為任意常數(shù)。當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，為偶函數(shù)，任意常數(shù)也是偶函數(shù)的全體原函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)，任意常數(shù)時(shí)為偶函數(shù)既為非奇函數(shù)又為非偶函數(shù)，的原函數(shù)只有唯一的一個(gè)原函數(shù)即是奇函數(shù)。4、若是以為周期的函數(shù)（即），且在閉區(qū)間上連續(xù)可積，那么。5、若是以為周期的函數(shù)（即），那么以為周期的充要條件是事實(shí)上：，由此可得。(二)、定積分中奇偶函數(shù)的處理方法 1.直接法：若果被積函數(shù)直接是奇函數(shù)或者偶函數(shù)，之間按照奇偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可，但要注意積分區(qū)間。 2.拆項(xiàng)法：觀察被積函數(shù)，在對(duì)稱區(qū)間如果被積函數(shù)復(fù)雜但可以拆成奇偶函數(shù)和的形式，則分開積分會(huì)簡化計(jì)算。 3.拼湊法：被積函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間直接積分比較困難，并且不能拆項(xiàng)，可以按照如下方法處理：設(shè)，，則，從而就轉(zhuǎn)換為了奇函數(shù)和偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的計(jì)算。(三)、定積分中周期函數(shù)的處理方法 對(duì)于周期函數(shù)的定積分，最主要是能夠確定被積函數(shù)的周期（特別是三角函數(shù)與復(fù)合的三角函數(shù)的周期），并熟悉周期函數(shù)的積分性質(zhì)，基本上就能解決周期函數(shù)定積分的問題。二、典型例題例1設(shè)在上連續(xù)可積，證明：(1)若為奇函數(shù)則(2)若為偶函數(shù)，則。證明：(1)因?yàn)?，?對(duì)前一項(xiàng)中令，則所以.(2)因?yàn)?，而，?duì)前一項(xiàng)中令相似的有，所以.例2設(shè)在上連續(xù)，且以T為周期，證。證明：由，在上式右端最后一到奇偶函數(shù)的性質(zhì)，但注意到被積函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，我們可以將其湊成奇偶函數(shù)。按照上一題的結(jié)果我們可以知道為奇函數(shù)，而為偶函數(shù)解：例14求定積分其中。 分析：被積函數(shù)不是周期函數(shù)，無法直接用周期函數(shù)的定積分性質(zhì)計(jì)算，采用分部積分比較繁瑣，可以考慮還原。令則移向得：所以例15求定積分。 解：例16求定積分 解：注意到被積函數(shù)是以為周期的偶函數(shù)，因此可用定積分中相應(yīng)性質(zhì)簡化計(jì)算 例17求定積分。 解：注意到是對(duì)稱區(qū)間，函數(shù)可以應(yīng)用定積分的奇偶性來計(jì)算 例18證是以T為周期的周期函數(shù)，則。證明：因?yàn)楣手恍枳C明由題設(shè)可知現(xiàn)令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且所以有例19設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，證明。分析:等價(jià)于所以=即由題設(shè)可令 證明：令，則例20設(shè)函數(shù)(1) 當(dāng)n為正整數(shù)，且時(shí)，證明； (2)求 證明：(1)因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)榫哂兄芷冢陂L度的積分區(qū)間上積分值相等：，從而同理可得到(2)由(1)有，當(dāng)去極限，由夾逼定理得，例21設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，而且。證明：(1)若為偶函數(shù)，則也是偶函數(shù)；(2)若單調(diào)不減，則單調(diào)不減(1)證明：令，則故為偶函數(shù)。(2) 由于被積函數(shù)連續(xù)，所以可導(dǎo)，且，因此在上單調(diào)不減例22設(shè)在上連續(xù)，以T為周期，令，求證：(1)一定能表成：，其中k為某常數(shù)，是以T為周期的周期函數(shù)；(2)；(3)若有，n為自然數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有。證明:(1)即確定常數(shù)k，使得以T為周期，由于T因此，取，，則是以T為周期的周期函數(shù)。此時(shí)(2).且在上連續(xù)并以T為周期，于是在在有界，在也有界。因此(3)因，所以當(dāng)時(shí)，例23設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，試運(yùn)用周期函數(shù)性質(zhì)證明。證明：因?yàn)?，其中，令，令，則，所以左端，按照周期函數(shù)的性質(zhì)知 所以左端=，，知故例24設(shè)，證明（1）；（2）求出的最大最小值。證明：(1)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則(2)因?yàn)橛叶诉B續(xù)，故可導(dǎo)，，又為周期函數(shù)，故只討論一個(gè)周期內(nèi)即可，現(xiàn)討論當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)取最大值，；當(dāng)時(shí)取最大值，。參考文獻(xiàn)[1]曹繩武，王振中，于遠(yuǎn)許高等數(shù)學(xué)重要習(xí)題集大連理工大學(xué)出版社2001 [2]郝涌，盧士堂考研數(shù)學(xué)精解華中理工大學(xué)出版社1999[3]李永樂，李正元考研復(fù)習(xí)全書 國家行政出版社2012 [4]林益，邵琨，羅德斌等數(shù)學(xué)分析習(xí)題詳解2005課程論文成績考核表學(xué)生姓名專業(yè)班級(jí)題目評(píng)審者考核項(xiàng)目評(píng)分指導(dǎo)教師1平時(shí)態(tài)度與遵守紀(jì)律的情況（滿分20分）2掌握基本理論、專業(yè)知識(shí)、基本技能的程度和水平（滿分20分）3抽簽答題的正確性（滿分20