數(shù)學(xué)（全解全析）新高考新題型專用-2024年高考第三次模擬考試

第第頁2024年高考第三次模擬考試高三數(shù)學(xué)全解全析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，若中有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩集合的元素特征和中只有2個(gè)元素的要求，可得到關(guān)于的不等式組，解之即得.【詳解】因?yàn)椋?，又，中?個(gè)元素，所以中的2個(gè)元素只能是，則，解得.故選：A.2．某統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)共有11個(gè)樣本，它們依次成公差的等差數(shù)列，若第位數(shù)為，則它們的平均數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)分位數(shù)的定義判斷第位數(shù)的位置，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)和平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可.【詳解】由題意可知共有個(gè)樣本，且從小到大依次排列，因?yàn)?，所以，所以，所以這11個(gè)樣本的平均數(shù)為，故選：D3．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，若，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)線面的位置關(guān)系結(jié)合充分條件和必要條件判斷即可.【詳解】若，，，則與的位置關(guān)系不能確定；若，因?yàn)?，所以，又，所以成?所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，為C上一點(diǎn)，且P與F關(guān)于C的一條漸近線對稱，則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)對稱性求得的斜率，從而求得，再求離心率即可.【詳解】雙曲線C的方程可設(shè)為，，，，，左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OP．

因?yàn)殡p曲線上的一點(diǎn)與C的左焦點(diǎn)F關(guān)于C的一條漸近線對稱，所以，則．又直線PF的斜率為，直線PF與漸近線垂直，所以該條漸近線的斜率為，所以，則，所以C的離心率．故選：D．5．現(xiàn)將《西游記》、《紅樓夢》、《水滸傳》、《三國演義》、《史記》、《資治通鑒》6本不同的書籍分發(fā)給甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游記》分發(fā)給了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是（

）A．180 B．150 C．120 D．210【答案】A【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將6本不同的書籍分為3組，每組至少1本，②將《西游記》所在的組分發(fā)給了甲，剩下2組任意分配，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將6本不同的書籍分為3組，每組至少1本，若分為4、1、1的三組，有種分組方法，若分為3，2，1的三組，有種分組方法，若分為2，2，2的三組，有種分組方法，共有種分組方法，②將《西游記》所在的組分發(fā)給了甲，剩下2組任意分配，有2種情況，則有種分發(fā)方式．故選：A．6．過直線上的一點(diǎn)作圓的兩條切線，當(dāng)直線關(guān)于對稱時(shí)，（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合對稱性，即可確定點(diǎn)的位置，即可求解.【詳解】若直線關(guān)于直線對稱，則直線與直線的夾角相等，則與垂直，所以等于圓心到直線的距離，即.故選：D7．在銳角中，角的對邊分別為的面積為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由面積公式與正余弦定理化簡后得出關(guān)系后求解【詳解】由題意，而，所以，由余弦定理得，故，又由正弦定理得，整理得，故或（舍去），得，因?yàn)槭卿J角三角形，故，解得，故，.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是適當(dāng)結(jié)合正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換由此即可順利得解.8．已知是拋物線上不同的兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，且滿足，弦的中點(diǎn)到直線的距離記為，若，則的最小值為（

）A． B．2 C．3 D．【答案】C【分析】求解拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)，由，根據(jù)余弦定理可得，根據(jù)拋物線定義和梯形中位線定理可得，代入，運(yùn)用基本不等式計(jì)算即可求解最小值.【詳解】拋物線，即，則焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)，由，可得，由拋物線定義可得到準(zhǔn)線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，由梯形的中位線定理可得，由，可得，即，得，當(dāng)且僅當(dāng)取最小值.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．在復(fù)平面內(nèi)，下列說法正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．若，則或D．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的集合是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上的橢圓【答案】ABC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念、四則運(yùn)算、幾何意義即可得出結(jié)果【詳解】解：復(fù)數(shù)，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確；設(shè)，若復(fù)數(shù)滿足，則，即，所以，故選項(xiàng)B正確；設(shè)，，則．因?yàn)?，且，所以．若，則，所以或，故選項(xiàng)C正確；由復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的集合是一條線段，故選項(xiàng)D錯誤．故選：ABC10．已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù)B．曲線的對稱中心為C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．在區(qū)間上有一條對稱軸【答案】BD【分析】根據(jù)題意利用三角恒等變換整理得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可得：，對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以為奇函?shù)，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：令，解得，所以曲線的對稱中心為，，故B選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，即，即在?nèi)不是單調(diào)遞減，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，且在內(nèi)有且僅有一條對稱軸，所以在區(qū)間上有且僅有一條對稱軸，故D選項(xiàng)正確；故選：BD．11．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，且，則（

）A．為偶函數(shù)B．C．D．【答案】BD【分析】已知抽象函數(shù)滿足的條件，利用賦值法求相關(guān)性質(zhì)和函數(shù)值．【詳解】因?yàn)椋?，得，即，所以函?shù)為奇函數(shù)，故選項(xiàng)A不正確；用替換，令，得，即，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，所以，故選項(xiàng)B正確；令，得，即，即，所以，所以函數(shù)的周期為2，再由，令，可得，由函數(shù)的周期性可知，，，所以，故選項(xiàng)C不正確；由，令，得，即①．由，令，得，即，可得②．由①+②整理后可得，即，故選項(xiàng)D正確.故選：BD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答抽象函數(shù)問題，用賦值法進(jìn)行解答就是一種行之有效的方法.賦值主要從以下方面考慮：①

令等特殊值求抽象函數(shù)的函數(shù)值；②

令或，且，判定抽象函數(shù)的單調(diào)性；③

令，判定抽象函數(shù)的奇偶性；④

換為，確定抽象函數(shù)的周期；⑤

用或換x為等來解答有關(guān)抽象函數(shù)的其它一些問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，則的最大值為.【答案】64【分析】根據(jù)題意，列出方程求得，代入公式計(jì)算，即可得到，從而得到結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得，解得，所以，于是當(dāng)或4時(shí)，取得最大值.故答案為：13．已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為M，底面直徑．圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合于一點(diǎn)O，則該圓錐的全面積為．【答案】【分析】畫出圓錐的截面，由圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合于一點(diǎn)O，可得為等邊三角形，借助圓錐的表面積公式計(jì)算即可得.【詳解】畫出圓錐的軸截面如圖所示，由O為圓錐的內(nèi)切球球心，則有為的角平分線，由O為圓錐的外接球球心，則，故，故，又，故為等邊三角形，故，，則.故答案為：.14．已知，則使不等式能成立的正整數(shù)的最大值為．【答案】【分析】先研究的單調(diào)性，故可得，從而可求正整數(shù)的最大值.【詳解】設(shè)，故，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，因?yàn)?，故即，故，故，所以即，而，，故正整?shù)的最大值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下多變量的不等式問題，可根據(jù)題設(shè)中的不等式的形式構(gòu)建新函數(shù)，從而得到各參數(shù)的取值范圍.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）如圖，在三棱柱中，，為的中點(diǎn)，平面.

(1)求證：；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理證得，再利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.（2）由（1）的信息以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即可.【詳解】（1）在三棱柱中，，則，由，得，在中，，由余弦定理，得，，于是，由平面平面，得，而平面，因此平面，又平面，所以，6分（2）由（1）知，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，則，于是，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取，得，顯然為平面的一個(gè)法向量，因此，顯然二面角的大小為銳角，所以二面角的余弦值為13分

16．（15分）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）由，可得為的一個(gè)根，所以有兩個(gè)不同于的實(shí)根，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，從而得到當(dāng)時(shí)且，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，令得或當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．7分（2），所以為的一個(gè)根，故有兩個(gè)不同于的實(shí)根，令，則，8分①當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，不符合題意；10分②當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，并且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以若要滿足題意，只需且，13分因?yàn)?，所以，又，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為15分17．（15分）紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一，能對柚子樹造成嚴(yán)重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）和平均溫度x（℃）有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（其中…為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）關(guān)于平均溫度x（℃）的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)由（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程.（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）附：回歸方程中，，參考數(shù)據(jù)（）5215177137142781.33.6(3)根據(jù)以往每年平均氣溫以及對果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計(jì)，得到以下數(shù)據(jù)：平均氣溫在22℃以下的年數(shù)占60%，對柚子產(chǎn)量影響不大，不需要采取防蟲措施；平均氣溫在22℃至28℃的年數(shù)占30%，柚子產(chǎn)量會下降20%；平均氣溫在28℃以上的年數(shù)占10%，柚子產(chǎn)量會下降50%.為了更好的防治紅蜘蛛蟲害，農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇.在每年價(jià)格不變，無蟲害的情況下，某果園年產(chǎn)值為200萬元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，以得到最高收益（收益＝產(chǎn)值－防害費(fèi)用）為目標(biāo)，請為果農(nóng)從以下幾個(gè)方案中推薦最佳防害方案，并說明理由.方案1：選擇防害措施A，可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲害不減產(chǎn)，費(fèi)用是18萬；方案2：選擇防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛蟲害，但無法防治28℃以上的紅蜘蛛蟲害，費(fèi)用是10萬；方案3：不采取防蟲害措施.【答案】(1)更適宜(2)(3)選擇方案1最佳，理由見解析【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀，可判斷更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型；（2）將兩邊同時(shí)取自然對數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，即可得到答案；（3）求出三種方案的收益的均值，根據(jù)均值越大作為判斷標(biāo)準(zhǔn).【詳解】（1）由散點(diǎn)圖可以判斷，更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型2分（2）將兩邊同時(shí)取自然對數(shù)，可得，由題中的數(shù)據(jù)可得，，，所以，則，所以z關(guān)于x的線性回歸方程為，故y關(guān)于x的回歸方程為；8分（3）用，和分別表示選擇三種方案的收益.采用第1種方案，無論氣溫如何，產(chǎn)值不受影響，收益為萬，即采用第2種方案，不發(fā)生28℃以上的紅蜘蛛蟲害，收益為萬，如果發(fā)生，則收益為萬，即，同樣，采用第3種方案，有所以，，，.顯然，最大，所以選擇方案1最佳15分18．（17分）已知橢圓的上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B、F都在直線上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；(2)設(shè)直線與橢圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，不過原點(diǎn)且平行于的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為．記直線的斜率為，直線的斜率為，求的值．【答案】(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率；(2)【分析】（1）由條件列方程求，由此確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）根據(jù)直線與橢圓相切，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線的斜率；根據(jù)，設(shè)出的方程，表示出、的坐標(biāo)，得到的斜率，再探索的值.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)B、F都在直線上，所以，，又，所以，，，所以橢圓的方程為：，4分橢圓的離心率，5分（2）由消去并整理得：①由.此時(shí)方程①可化為：，解得：（由條件可知：、異號）8分設(shè)，則，.即，所以10分因?yàn)?，所以可設(shè)直線：（，）.由消去并整理得：，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根.設(shè)，，則，12分因?yàn)?，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，所以：.所以17分【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求的斜率時(shí)，還可以把看成直線與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)弦公式：，得到.19．（17分）定義兩個(gè)維向量，的數(shù)量積，，記為的第k個(gè)分量（且）.如三維向量，其中的第2分量.若由維向量組成的集合A滿足以下三個(gè)條件：①集合中含有n個(gè)n維向量作為元素；②集合中每個(gè)元素的所有分量取0或1；③集合中任意兩個(gè)元素，，滿足（T為常數(shù)）且.則稱A為T的完美n維向量集.(1)求2的完美3維向量集；(2)判斷是否存在完美4維向量集，并說明理由；(3)若存在A為T的完美n維向量集，求證：A的所有元素的第k分量和.【答案】(1)(2)不存在完美4維向量集，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用的完美維向量集定義求解即可.（2）分別研究，，，，時(shí)，結(jié)合新定義及集合中元素的互異性即可判斷.（3）依題意可得，運(yùn)用反證法，假設(shè)存在，使得，不妨設(shè)，分別從及兩方面證得矛盾即可得，進(jìn)而可證得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，集合中含有3個(gè)元素（