2019年高考理科數(shù)學全國卷Ⅲ理數(shù)(附參考答案和詳解)

第頁）絕密★啟用前6月7日15:00-17:002019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷Ⅲ）數(shù)學（理工農(nóng)醫(yī)類）總分：150分考試時間：120分鐘★?？荚図樌镒⒁馐马棧罕驹嚲矸值贗卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證條形碼粘貼在答題卡的指定位置。選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。寫在試題卷、草稿紙、答題卡上的非答題區(qū)域均無效。填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙、答題卡上的非答題區(qū)域均無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并上交。第I卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.（2019全國卷Ⅲ·理）已知集合，，則（） A. B. C. D.【解析】因為，又，所以.故選A.【答案】A2.（2019全國卷Ⅲ·理）若，則（） A. B. C. D.【解析】由，得.故選D【答案】D3.（2019全國卷Ⅲ·理）《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著．某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為（） A. B. C. D.【解析】設(shè)調(diào)查的100位學生中閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為x，則，解得，所以該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校總?cè)藬?shù)的比值的估計值為，故選C.【答案】C4.（2019全國卷Ⅲ·理）的展開式中的系數(shù)為（） A. B. C. D.【解析】的展開式中的系數(shù)為.故選A.【答案】A5.（2019全國卷Ⅲ·理）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為且，則（） A. B. C. D.【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，則解得所以．故選C.【答案】C6.（2019全國卷Ⅲ·理）已知曲線在點處的切線方程為，則（） A.， B.， C.， D.，【解析】，，所以切線方程為，即.又因為切線方程為，所以即，.故選D.【答案】D7.（2019全國卷Ⅲ·理）函數(shù)在的圖象大致為（） A. B. C. D.【解析】因為，所以，所以是奇函數(shù)，排除選項C.當時，，排除選項A，D.故選B.【答案】B8.（2019全國卷Ⅲ·理）如圖，點為正方形的中心，為正三角形，平面，是線段的中點，則（） A.，且直線，是相交直線 B.，且直線，是相交直線 C.，且直線，是異面直線 D.，且直線，是異面直線【解析】取CD的中點O，連接EO，ON.由是正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，知EO⊥平面ABCD，所以EO⊥CD，EO⊥ON.又N是正方形ABCD的中心，所以O(shè)N⊥CD.以CD的中點O為原點，方向為x正方向建立空間直角坐標系，如圖所示.不妨設(shè)，則，，，，所以，，所以.連接BD，BE，因為點N是正方形ABCD的中心，所以點N在BD上，且，所以BM，EN是的中位線，所以BM，EN必相交.故選B.【答案】B9.（2019全國卷Ⅲ·理）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的為，則輸出的值等于（） A. B. C. D.【解析】，不成立；不成立；不成立；不成立；不成立；不成立；成立，此時輸出，故選C.【答案】C10.（2019全國卷Ⅲ·理）雙曲線：的右焦點為，點在的一條漸近線上，為坐標原點，若，則的面積為（） A. B. C. D.【解析】雙曲線的右焦點坐標為坐標為，一條漸近線的方程為，不妨設(shè)點P在第一象限，由于，則點P的橫坐標為，縱坐標為，即△PFO的底邊長為，高為，所以它的面積為.故選A.【答案】A11.（2019全國卷Ⅲ·理）設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則（） A. B. C. D.【解析】因為是定義域為R的偶函數(shù)，所以，又因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞增減，所以，故選C.【答案】C12.（2019全國卷Ⅲ·理）設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有個零點，下述四個結(jié)論：①在有且僅有個極大值點；②在有且僅有個極小值點；③在單調(diào)遞增；④的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的編號是（） A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④【解析】已知在上有且僅有個零點，如圖，其圖像的右端點的橫坐標在區(qū)間上，此時在上有且僅有3個極大值點，在上可能有2或3個極小值點，所以①正確，②不正確；當時，，由在上有且僅有個零點可得，解得的取值范圍是，所以④正確；當時，，所以在單調(diào)遞增，所以③正確.故選D.【答案】D第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分。13.（2019全國卷Ⅲ·理）已知，為單位向量，且，若，則．【解析】由題意得.【答案】14.（2019全國卷Ⅲ·理）記為等差數(shù)列的前項和，，，則．【解析】由，，可得，所以，，所以.【答案】415.（2019全國卷Ⅲ·理）設(shè)，為橢圓：的兩個焦點，為上一點且在第一象限．若為等腰三角形，則的坐標為．【解析】設(shè)為橢圓的左焦點，分析可知點M在以為圓心，焦距為半徑的圓上，即在圓上.因為點M在橢圓上，所以聯(lián)立方程可得解得又因為點M在第一象限，所以點M的坐標為.【答案】16.（2019全國卷Ⅲ·理）學生到工廠勞動實踐，利用打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，，，，分別為所在棱的中點，，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為． 【解析】由題知，挖去的四棱錐的是一個菱形，對角線長分別是6cm和4cm，故.又，所以模型的體積為，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為.【答案】三、解答題：本題共70分。17.（2019全國卷Ⅲ·理）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將只小鼠隨機分成A，B兩組，每組只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計值為．（1）求乙離子殘留百分比直方圖中，的值；（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）．【解析】（1）由題得解得由解得（2）由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為：乙離子殘留百分比的平均值為：18.（2019全國卷Ⅲ·理）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【解析】（1）由題設(shè)及正弦定理得．因為，所以．由，可得，故．因為，故，因此．（2）由題設(shè)及（）知的面積．由正弦定理得．由于為銳角三角形，故，，由（）知，所以，故，從而．因此，面積的取值范圍是．19.（2019全國卷Ⅲ·理）圖是由矩形，和菱形組成的一個平面圖形，其中，，．將其沿，折起使得與重合，連接，如圖． （1）證明：圖中的，，，四點共面，且；（2）求圖中的二面角的大?。窘馕觥浚?）由已知得，，所以，故，確定一個平面，從而，，，四點共面．由已知得，，故．又因為，所以．（2）作，垂足為．因為，，所以．由已知，菱形的邊長為，，可求得，．以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，．設(shè)平面的法向量為，則即所以可?。制矫娴姆ㄏ蛄靠扇?，所以．因此二面角的大小為．20.（2019全國卷Ⅲ·理）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為?若存在，求出，的所有值；若不存在，說明理由．（1），令，得或，若，則當時，；當時，，故在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；若，在單調(diào)遞增；若，則當時，；當時，，故在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）滿足題設(shè)條件的，存在．（）當時，由（）知，在單調(diào)遞增，所以在區(qū)間的最小值為，最大值為．此時，滿足題設(shè)條件當且僅當，，即，．（）當時，由（）知，在單調(diào)遞減，所以在區(qū)間的最大值為，最小值為．此時，滿足題設(shè)條件當且僅當，，即，．（）當時，由（）知，在的最小值為，最大值為或．若，，則，與矛盾．若，，則或或，與矛盾．綜上，當且僅當，或，時，在的最小值為，最大值為．21.（2019全國卷Ⅲ·理）已知曲線：，為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別為，．（1）證明：直線過定點；（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求四邊形的面積．【解析】（1）設(shè)，，則．由于，所以切線的斜率為，故．整理得．設(shè)，同理可得．故直線的方程為．所以直線過定點．（2）由（）得直線的方程為．由可得．于是，，，．設(shè)，分別為點，到直線的距離，則，．因此，四邊形的面積．設(shè)為線段的中點，則．由于，而，與向量平行，所以，解得或．當時，；當時，．因此，四邊形的面積為或．22.（2019全國卷Ⅲ·理）如圖，在極坐標系中，，，，，弧，，所在圓的圓心分別是，，，曲線是弧，曲線是弧，曲線是?。?（1）分別寫出，，的極坐標方程；（2）曲線由，，構(gòu)成，若點在上，且，求的極坐標．【解析】（1）由題設(shè)可得，弧