滬教版九年級數(shù)學(xué)下冊同步練習(xí) 27.1圓的確定（分層練習(xí)）（原卷版+解析）

27.1圓的確定（分層練習(xí)）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）已知點在線段上（點與點不重合），過點的圓記為圓，過點的圓記為圓，過點的圓記為圓，則下列說法中正確的是（

）A．圓可以經(jīng)過點 B．點可以在圓的內(nèi)部C．點可以在圓的內(nèi)部 D．點可以在圓內(nèi)部2．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）在△中，，，，、分別是上的高和中線，如果圓是以點為圓心，半徑長為2的圓，那么下列判斷正確的是（

）A．點、均在圓內(nèi)； B．點、均在圓外；C．點在圓內(nèi)，點在圓外； D．點在圓外，點在圓內(nèi)．3．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A，B，C三點，那么這條圓弧所在圓的圓心是（

）A．點P B．點Q C．點R D．點M4．(2023·上海市民辦新北郊初級中學(xué)九年級期末）如圖，在中，，，，是它的中線，以C為圓心，為半徑作，則點M與的位置關(guān)系為（

）A．點M在上 B．點M在內(nèi)C．點M在外 D．點M不在內(nèi)5．(2023·上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校九年級階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．半圓是弧 B．過圓心的線段是直徑C．弦是直徑 D．長度相等的兩條弧是等弧6．(2023··九年級專題練習(xí)）下列命題是真命題的是(

)A．經(jīng)過平面內(nèi)任意三點可作一個圓B．相等的圓心角所對的弧一定相等C．相交兩圓的公共弦一定垂直于兩圓的連心線D．內(nèi)切兩圓的圓心距等于兩圓的半徑的和7．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）2011年，國際數(shù)學(xué)協(xié)會正式宣布，將每年的3月14日設(shè)為國際數(shù)學(xué)節(jié)，這與圓周率π有關(guān)．下列表述中，不正確的是（）A．π=； B．π是無理數(shù)；C．半徑為1cm的圓的面積等于πcm2； D．圓周率是圓的周長與直徑的比值．8．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）若⊙A的半徑為5，圓心A的坐標(biāo)是（1，2），點P的坐標(biāo)是（5，2），那么點P的位置為（）A．在⊙A內(nèi) B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能確定9．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）在研究圓的有關(guān)性質(zhì)時，我們曾做過這樣的一個操作“將一張圓形紙片沿著它的任意一條直徑翻折，可以看到直徑兩側(cè)的兩個半圓互相重合”．由此說明（）A．圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心B．圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸C．圓的直徑互相平分D．垂直弦的直徑平分弦及弦所對的弧10．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）已知兩個同心圓的圓心為O，半徑分別是2和3，且2＜OP＜3，那么點P在（

）A．小圓內(nèi) B．大圓內(nèi) C．小圓外大圓內(nèi) D．大圓外二、填空題11．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）已知⊙O的半徑為6，A為線段OP的中點，當(dāng)OP的長度為10時，點A與⊙O的位置關(guān)系為_____．12．(2023·上海市楊浦民辦凱慧初級中學(xué)一模）已知圓O的半徑為5，點A在圓O外，如果線段OA的長為d，那么d的取值范圍是____．13．(2023·上海虹口·二模）如果正三角形的邊心距是2，那么它的外接圓半徑是______．14．(2023·上海靜安·二模）如圖，已知矩形的邊，，現(xiàn)以點A為圓心作圓，如果B、C、D至少有一點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，那么半徑r的取值范圍是_________．15．(2023·上海浦東新·模擬預(yù)測）已知點C在線段AB上，且0＜AC＜AB．如果⊙C經(jīng)過點A，那么點B與⊙C的位置關(guān)系是_____．16．(2023··九年級專題練習(xí)）經(jīng)過點A且半徑為3的圓的圓心的軌跡___________________________________17．(2023·上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖所示，CD是圓的直徑，O是圓心，E是圓上一點且∠EOD=45°，A是DC延長線上一點，AE交圓于B，如果AB=OC，則∠EAD=____________三、解答題18．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）已知：如圖，圓O是△ABC的外接圓，AO平分∠BAC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）當(dāng)OA＝4，AB＝6，求邊BC的長．

【能力提升】一、單選題1．(2023·上海市徐匯中學(xué)九年級期中）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，圓A的半徑為2．下列說法中不正確的是（

）A．當(dāng)時，點B在圓A上 B．當(dāng)時，點B在圓A內(nèi)C．當(dāng)時，點B在圓A外 D．當(dāng)時，點B在圓A內(nèi)二、填空題2．(2023·上海黃浦·二模）已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，，如果頂點C在⊙B內(nèi)，頂點A在⊙B外，那么⊙B的半徑r的取值范圍是________．3．(2023·上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校九年級期中）正三角形的邊長為a，那么它的外接圓半徑是______.三、解答題4．(2023·上海靜安·二模）如圖，已知外接圓的圓心O在高AD上，點E在BC延長線上，．(1)求證：；(2)當(dāng)，時，求的長．5．(2023·上海市婁山中學(xué)九年級期中）已知：如圖，E是菱形ABCD內(nèi)一點，，垂足為點F，且，聯(lián)結(jié)AE．(1)求證：菱形ABCD是正方形；(2)當(dāng)F是線段CE的中點時，求證：點F在以AB為半徑的上．6．(2023·上?！とA東師范大學(xué)松江實驗中學(xué)三模）如圖，在梯形中，動點在邊上，過點作，與邊交于點，過點作，與邊交于點，設(shè)線段．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(2)當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，求的值；(3)如圖，作的外接圓，當(dāng)點在運(yùn)動過程中，外接圓的圓心落在的內(nèi)部不包括邊上時，求出的取值范圍．7．(2023·上海閔行·九年級期末）已知四邊形是菱形，，點在射線上，點在射線上，且．(1)如圖，如果，求證：；(2)如圖，當(dāng)點在的延長線上時，如果，設(shè)，試建立與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍(3)聯(lián)結(jié)，當(dāng)是等腰三角形時，請直接寫出的長．27.1圓的確定（分層練習(xí)）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）已知點在線段上（點與點不重合），過點的圓記為圓，過點的圓記為圓，過點的圓記為圓，則下列說法中正確的是（

）A．圓可以經(jīng)過點 B．點可以在圓的內(nèi)部C．點可以在圓的內(nèi)部 D．點可以在圓內(nèi)部答案:B分析：根據(jù)題意，畫出符合題意的示意圖，然后求解．【詳解】解：∵點在線段上（點與點不重合），過點的圓記為圓，∴點可以在圓的內(nèi)部，故A錯誤，B正確；∵過點的圓記為圓，∴點可以在圓的外部，故C錯誤；∵過點的圓記為圓，∴點可以在圓的外部，故D錯誤．故選B．【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系，畫出適當(dāng)?shù)妮o助圖形，采用數(shù)形結(jié)合的方法，更有助于解題.2．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）在△中，，，，、分別是上的高和中線，如果圓是以點為圓心，半徑長為2的圓，那么下列判斷正確的是（

）A．點、均在圓內(nèi)； B．點、均在圓外；C．點在圓內(nèi)，點在圓外； D．點在圓外，點在圓內(nèi)．答案:C分析：先利用勾股定理求得AB的長，再根據(jù)面積公式求出CP的長，根據(jù)勾股定理求出AP的長，根據(jù)中線的定義求出AM的長，然后由點P、M到A點的距離判斷點P、M與圓A的位置關(guān)系即可．【詳解】解：如圖，∵在Rt△ABC中，

∴∵分別是AB上的高和中線，∴∵AP=1.8＜2，AM=2.5＞2，∴點P在圓A內(nèi)、點M在圓A外．所以都不符合題意，符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，點與圓的位置關(guān)系的判定，掌握根據(jù)點與圓心之間的距離和圓的半徑的大小關(guān)系作出判斷是解題的關(guān)鍵．3．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A，B，C三點，那么這條圓弧所在圓的圓心是（

）A．點P B．點Q C．點R D．點M答案:B分析：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，分別作AB，BC的垂直平分線即可得到答案．【詳解】解：作AB的垂直平分線，作BC的垂直平分線，如圖，它們都經(jīng)過Q，所以點Q為這條圓弧所在圓的圓心．故選：B．【點睛】本題考查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心．這也常用來確定圓心的方法．4．(2023·上海市民辦新北郊初級中學(xué)九年級期末）如圖，在中，，，，是它的中線，以C為圓心，為半徑作，則點M與的位置關(guān)系為（

）A．點M在上 B．點M在內(nèi)C．點M在外 D．點M不在內(nèi)答案:A分析：根據(jù)題意可求得CM的長，再根據(jù)點和圓的位置關(guān)系判斷即可．【詳解】∵由勾股定理得∵CM是AB的中線，∴CM=5cm，∴d=r所以點M在OC上，故選：A．【點睛】本題考查了點和圓的位置關(guān)系，解決的根據(jù)是點在圓上圓心到點的距離=圓的半徑．5．(2023·上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校九年級階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．半圓是弧 B．過圓心的線段是直徑C．弦是直徑 D．長度相等的兩條弧是等弧答案:A分析：利用圓的有關(guān)定義分別判斷即可．【詳解】解：A、半圓是弧，正確，符合題意；B、過圓心的弦是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；C、直徑是弦，但弦不一定是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；D、在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，故原命題錯誤，不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了圓的認(rèn)識，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義及性質(zhì)．6．(2023··九年級專題練習(xí)）下列命題是真命題的是(

)A．經(jīng)過平面內(nèi)任意三點可作一個圓B．相等的圓心角所對的弧一定相等C．相交兩圓的公共弦一定垂直于兩圓的連心線D．內(nèi)切兩圓的圓心距等于兩圓的半徑的和答案:C分析：利用經(jīng)過不在同一直線上的三點才可以確定一個圓；在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧一定相等；相交圓的公共線垂直于連心線；內(nèi)切兩圓的圓心距等于兩圓半徑的和或差判斷求解.【詳解】A選項，經(jīng)過平面上在同一直線上的三點不能確定一個圓，錯誤；B選項，需在同圓中才成立，錯誤；C選項，相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，正確；D選項，不對，應(yīng)為兩圓半徑之差；故答案為C.【點睛】此題主要考查了與圓有關(guān)的定理和推論，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確記憶有關(guān)定理和推論.7．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）2011年，國際數(shù)學(xué)協(xié)會正式宣布，將每年的3月14日設(shè)為國際數(shù)學(xué)節(jié)，這與圓周率π有關(guān)．下列表述中，不正確的是（）A．π=； B．π是無理數(shù)；C．半徑為1cm的圓的面積等于πcm2； D．圓周率是圓的周長與直徑的比值．答案:A分析：根據(jù)圓周率的定義即可求出答案．【詳解】解：（A）π≈3.14，故A錯誤；故選A．【點睛】本題考查無理數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確理解π，本題屬于基礎(chǔ)題型．8．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）若⊙A的半徑為5，圓心A的坐標(biāo)是（1，2），點P的坐標(biāo)是（5，2），那么點P的位置為（）A．在⊙A內(nèi) B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能確定答案:A分析：先根據(jù)兩點間的距離公式計算出PA的長，然后比較PA與半徑的大小，再根據(jù)點與圓的關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】∵圓心A的坐標(biāo)是（1，2），點P的坐標(biāo)是（5，2），∴AP==4＜5，∴點P在⊙A內(nèi)，故選A．【點睛】本題考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時，點在圓外；當(dāng)d=r時，點在圓上，當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．9．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）在研究圓的有關(guān)性質(zhì)時，我們曾做過這樣的一個操作“將一張圓形紙片沿著它的任意一條直徑翻折，可以看到直徑兩側(cè)的兩個半圓互相重合”．由此說明（）A．圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心B．圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸C．圓的直徑互相平分D．垂直弦的直徑平分弦及弦所對的弧答案:B【詳解】將一張圓形紙片沿著它的任意一條直徑翻折，可以看到直徑兩側(cè)的兩個半圓互相重合，由此說明圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，故選：B．10．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）已知兩個同心圓的圓心為O，半徑分別是2和3，且2＜OP＜3，那么點P在（

）A．小圓內(nèi) B．大圓內(nèi) C．小圓外大圓內(nèi) D．大圓外答案:C【詳解】∵兩個同心圓的圓心為O，半徑分別是2和3，且2＜OP＜3，∴r＜OP＜R，∴點P在小圓外大圓內(nèi)，故選：C．二、填空題11．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）已知⊙O的半徑為6，A為線段OP的中點，當(dāng)OP的長度為10時，點A與⊙O的位置關(guān)系為_____．答案:點A在圓內(nèi)．分析：知道OP的長，由點A是OP的中點，可得到OA的長與半徑的關(guān)系，即可判斷點A與圓的位置關(guān)系．【詳解】解：∵OP＝10，A是線段OP的中點，∴OA＝5，小于圓的半徑6，∴點A在圓內(nèi)．故答案為點A在圓內(nèi)．【點睛】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，熟知判斷點與圓的位置關(guān)系的方法是解題關(guān)鍵．12．(2023·上海市楊浦民辦凱慧初級中學(xué)一模）已知圓O的半徑為5，點A在圓O外，如果線段OA的長為d，那么d的取值范圍是____．答案:d＞5分析：設(shè)點到圓心的距離為d，圓的半徑為r，則d＞r時，點在圓外；當(dāng)d=r時，點在圓上；當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)．【詳解】解：點A在圓O外，則點到圓心的距離大于圓的半徑，d＞5．故答案為d＞5．【點睛】本題考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷．熟記點與圓位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的對應(yīng)是解題的關(guān)鍵，由位置關(guān)系可推得數(shù)量關(guān)系，同樣由數(shù)量關(guān)系也可推得位置關(guān)系．13．(2023·上海虹口·二模）如果正三角形的邊心距是2，那么它的外接圓半徑是______．答案:4分析：利用解直角三角形的知識即可求解．【詳解】根據(jù)題意作圖如下，根據(jù)題意有：在正△ABC中，邊心距OD=2，OB為正△ABC外接圓半徑，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知∠OBD=∠ABD=，且∠ODB=90°，∴在Rt△ABC中，，即其外接圓半徑r為4，故答案為：4．【點睛】本題考查了邊心距的含義、解直角三角形、正三角形的性質(zhì)等知識，理解邊心距的含義是解答本題的關(guān)鍵．14．(2023·上海靜安·二模）如圖，已知矩形的邊，，現(xiàn)以點A為圓心作圓，如果B、C、D至少有一點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，那么半徑r的取值范圍是_________．答案:6<r<10分析：先求出矩形對角線的長，然后由B、C、D至少有一點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，即可確定半徑r的取值范圍．【詳解】解：連接AC，如圖，∵，，由勾股定理可得：，∵，，AC=10，又∵B、C、D至少有一點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，∴點B在內(nèi)，點C在外，∴6<r<10．故答案為：6<r<10．【點睛】本題主要考查的是勾股定理、點與圓的位置關(guān)系．15．(2023·上海浦東新·模擬預(yù)測）已知點C在線段AB上，且0＜AC＜AB．如果⊙C經(jīng)過點A，那么點B與⊙C的位置關(guān)系是_____．答案:點B在⊙C外分析：直接根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵點C在線段AB上，且0＜AC＜AB，∴BC＞AC，∴點B在⊙C外，故答案為：點B在⊙C外．【點睛】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，熟知設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，當(dāng)d＞r時點P在圓外；當(dāng)d＜r時點P在圓內(nèi)是解答此題的關(guān)鍵．16．(2023··九年級專題練習(xí)）經(jīng)過點A且半徑為3的圓的圓心的軌跡___________________________________答案:以A為圓心3為半徑的圓分析：求圓心的軌跡實際上是求距A點3能畫一個什么圖形．【詳解】所求圓心的軌跡，就是到A點的距離等于3厘米的點的集合，因此是一個以A為圓心，半徑為3的圓．故答案為：以A為圓心3為半徑的圓．【點睛】此題所求圓心的軌跡，就是到頂點的距離等于定長的點的集合，因此應(yīng)該是一個圓．17．(2023·上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖所示，CD是圓的直徑，O是圓心，E是圓上一點且∠EOD=45°，A是DC延長線上一點，AE交圓于B，如果AB=OC，則∠EAD=____________答案:15°##15度【詳解】解：如圖，連接∵AB=OC，OB=OC，∴AB=BO，∴∠EAD=，∴∠1=∠EAD+∠2=2∠EAD，又∵OE=OB，∴∠1=∠E，∴∠E=2∠EAD，∴∠EOD=3∠EAD=45°，所以∠A=15°.故答案為：三、解答題18．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）已知：如圖，圓O是△ABC的外接圓，AO平分∠BAC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）當(dāng)OA＝4，AB＝6，求邊BC的長．答案:（1）見解析；（2）3分析：（1）連接OB、OC，先證明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再證明△OAB≌△OAC得AB＝AC，問題得證；（2）延長AO交BC于點H，先證明AH⊥BC，BH＝CH，設(shè)OH＝b，BH＝CH＝a，根據(jù)OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程組，解得a、b，便可得BC．【詳解】解：（1）連接OB、OC，∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，在△OAB和△OAC中，，∴△OAB≌△OAC（AAS），∴AB＝AC即△ABC是等腰三角形；（2）延長AO交BC于點H，∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH，設(shè)OH＝b，BH＝CH＝a，∵BH2+OH2＝OB2，OA＝4，AB＝6，則①BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，則②②－①得：把代入①得：（舍）∴BC＝2a＝3．【點睛】本題考查了三角形的全等，等腰三角形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，勾股定理，方程組的思想，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一、單選題1．(2023·上海市徐匯中學(xué)九年級期中）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，圓A的半徑為2．下列說法中不正確的是（

）A．當(dāng)時，點B在圓A上 B．當(dāng)時，點B在圓A內(nèi)C．當(dāng)時，點B在圓A外 D．當(dāng)時，點B在圓A內(nèi)答案:B分析：畫出圖形，根據(jù)A的坐標(biāo)和圓A的半徑求出圓與x軸的交點坐標(biāo)，根據(jù)已知和交點坐標(biāo)即可求出答案．【詳解】如圖：∵A(1,0)，A的半徑是2，∴AC=AE=2，∴OE=1，OC=3，A.當(dāng)a=?1時，點B在E上，即B在圓A上，正確，故本選項不合題意；B.當(dāng)a=?3時，B在A外，即說當(dāng)a<1時，點B在圓A內(nèi)錯誤，故本選項符合題意；C.當(dāng)a<?1時，AB>2，即說點B在圓A外正確，故本選項不合題意；D.當(dāng)?1<a<3時，B在A內(nèi)正確，故本選項不合題意；故選:B.【點睛】考查點與圓的位置關(guān)系,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.二、填空題2．(2023·上海黃浦·二模）已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，，如果頂點C在⊙B內(nèi)，頂點A在⊙B外，那么⊙B的半徑r的取值范圍是________．答案:##分析：過點A作AD⊥BC于D，則BD=BC==5，解Rt△ABD，求出AD長，從而求出AB長，再根據(jù)點與圓的位置關(guān)系求解即可．【詳解】解：如圖，過點A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=BC==5，∠ADB=90°，∵cotB=，即∴AD=12，由勾股定理，得AB==13，∵頂點C在⊙B內(nèi)，頂點A在⊙B外，∴．故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，點與圓的位置關(guān)系，過點A作AD⊥BC于D，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．(2023·上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校九年級期中）正三角形的邊長為a，那么它的外接圓半徑是______.答案:分析：根據(jù)題意做出相應(yīng)的圖形，利用正三角形的外接圓的圓心是正三角形各邊垂直平分線的交點也是角平分線的交點，繼而即可求解．【詳解】由題意，得：，，∵⊙O是等邊△ABC的外接圓，∴，，AD⊥BC，∴在Rt△BOD中，故答案為：．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)．三、解答題4．(2023·上海靜安·二模）如圖，已知外接圓的圓心O在高AD上，點E在BC延長線上，．(1)求證：；(2)當(dāng)，時，求的長．答案:(1)見解析(2)分析：（1）先根據(jù)題意得到AD垂直平分BC，得到AB=AC，則∠B=∠ACB，再證明EC=AC，得到∠AEC=∠CAE，即可利用三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）先求出∠BAO=30°，從而求出∠BOD=60°，然后解直角三角形求出BD，AB的長即可得到答案．(1)解：∵△ABC的外接圓圓心在高AD上，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵EC=AB，∴EC=AC，∴∠AEC=∠CAE，∵∠ACB=∠AEC+∠CAE，∴∠B=∠AEC+∠CAE=2∠AEC；(2)解：連接OB，∵，∴∠BAO=30°，∵OB=OA，∴∠OAB=∠OAB=30°，∴∠BOD=∠OBA+∠OAB=60°，∴，∴，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∴．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求度數(shù)，解直角三角形，三角形外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等等，確定AB=AC是解題的關(guān)鍵．5．(2023·上海市婁山中學(xué)九年級期中）已知：如圖，E是菱形ABCD內(nèi)一點，，垂足為點F，且，聯(lián)結(jié)AE．(1)求證：菱形ABCD是正方形；(2)當(dāng)F是線段CE的中點時，求證：點F在以AB為半徑的上．答案:(1)證明見解析(2)證明見解析分析：（1）由菱形的性質(zhì)得到BC=CD，根據(jù)HL定理證明Rt△BEC≌Rt△CFD得到∠BCE=∠CDF，進(jìn)而證明∠BCD=90°即可得證；（2）連結(jié)AF、DE，先利用線段垂直平分線的性質(zhì)證得CD=DE=DA，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證得∠AEB=∠AEF=135°，證明△AEB≌△AEF（SAS）得到AB=AF即可．（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA，∵，∴∠BEC=∠CFD=90°，在Rt△BEC和Rt△CFD中，，∴Rt△BEC≌Rt△CFD（HL），∴∠BCE=∠CDF，∵∠CDF+∠DCF=90°，∴∠BCE+∠DCF=90°，即∠BCD=90°，∵四邊形ABCD是菱形，∴四邊形ABCD是正方形；（2）證明：連結(jié)AF、DE，∵F為CE的中點，DF⊥CE，∴DF垂直平分CE，∴CD=DE=DA，∴∠AED=（180°-∠ADE）=90°-∠ADE，∠DEC=（180°-∠EDC）=90°-∠EDC，∴∠AEF=∠AED+∠DEC=90°-∠ADE+90°-∠EDC=180°-（∠ADE+∠EDC）=180°-×90°=135°，∵∠BEC=90°，∴∠AEB=360°-90°-135°=135°，∴∠AEB=∠AEF，∵Rt△BEC≌Rt△CFD，∴BE=CF=EF，在△AEB和△AEF中，，∴△AEB≌△AEF（SAS），∴AB=AF，∴點F在以AB為半徑的上．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、正方形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、圓的定義等知識，綜合性強(qiáng)，難度適中，解答的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用．6．(2023·上?！とA東師范大學(xué)松江實驗中學(xué)三模）如圖，在梯形中，動點在邊上，過點作，與邊交于點，過點作，與邊交于點，設(shè)線段．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(2)當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，求的值；(3)如圖，作的外接圓，當(dāng)點在運(yùn)動過程中，外接圓的圓心落在的內(nèi)部不包括邊上時，求出的取值范圍．答案:(1)，(2)或(3)分析：（1）由題中條件、可知四邊形是平行四邊形，故CE；過點作垂線交于點，交于點，可得相似的和，用含、的表達(dá)式表示它們的邊長，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得關(guān)于的解析式；下一步即為求得和的各自邊長，過點作垂線交延長線于點，由且可得四邊形為矩形，則；在中，由勾股定理可算得的長度；在中，，則可由勾股定理求得的長度，，至此已求得所有所需邊長，根據(jù)相似三角形邊長比例關(guān)系：，代入各邊長表達(dá)式即可得關(guān)于的解析式，再根據(jù)題中要求寫出定義域即可；（2）因為是以為腰的等腰三角形，，由勾股定理知，過點作交于點，則四邊形是矩形，；在直角三角形中，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計算即可得解；（