高中數(shù)學(xué)第七章不等式第一節(jié)不等式的性質(zhì)及一元二次不等式

第一節(jié)不等式的性質(zhì)及一元二次不等式[考綱要求]1．了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系．2．了解不等式(組)的實(shí)際背景．3．掌握不等式的性質(zhì)及應(yīng)用．4．會(huì)從實(shí)際問題情境中抽象出一元二次不等式模型．5．通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系．6．會(huì)解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖．突破點(diǎn)一不等式的性質(zhì)eq\a\vs4\al([基本知識])1．比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>ba，b∈R，,a－b＝0?a＝ba，b∈R，,a－b<0?a<ba，b∈R.))(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1?a>ba∈R，b>0，,\f(a,b)＝1?a＝ba∈R，b>0，,\f(a,b)<1?a<ba∈R，b>0.))2．不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對稱性a>b?b<a?傳遞性a>b，b>c?a>c?可加性a>b?a＋c>b＋c?可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bc注意c的符號eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d?同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd>0?可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)可開方性a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)a，b同為正數(shù)3.不等式的一些常用性質(zhì)(1)倒數(shù)的性質(zhì)①a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).②a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).③a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).④0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若a>b>0，m>0，則：①eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．②eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．eq\a\vs4\al([基本能力])一、判斷題(對的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則eq\f(1,a+b)<eq\f(1,ab).()(2)若eq\f(a,c)>eq\f(b,c)，則a>b.()(3)若a>b，c>d，則ac>bd.()答案：(1)√(2)×(3)×二、填空題1．若a<b<0，則eq\f(1,a－b)與eq\f(1,a)大小關(guān)系是__________．答案：eq\f(1,a－b)<eq\f(1,a)2．已知存在實(shí)數(shù)a滿足ab2>a>ab，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________．答案：(－∞，－1)eq\a\vs4\al([典例感悟])1．設(shè)M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，則有()A．M>N B．M≥NC．M<N D．M≤N解析：選A因?yàn)镸－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N，故選A.2．(2018·吉安一中二模)已知下列四個(gè)關(guān)系式：①a>b?ac>bc；②a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③a>b>0，c>d>0?eq\f(a,d)>eq\f(b,c)；④a>b>1，c<0?ac<bc.其中正確的有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：選B當(dāng)c＝0時(shí)，①不正確．當(dāng)a>0>b時(shí)，②不正確．由于c>d>0，所以eq\f(1,d)>eq\f(1,c)>0，又a>b>0，所以eq\f(a,d)>eq\f(b,c)>0，③正確．由于a>b>1，當(dāng)x<0時(shí)，ax<bx，故ac<bc，④正確．故選B.3．若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，則a____b(填“＞”或“＜”)．解析：易知a，b都是正數(shù)，eq\f(b,a)＝eq\f(2ln3,3ln2)＝log89＞1，所以b＞a.答案：＜4．已知－eq\f(1,2)≤2x＋y≤eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)≤3x＋y≤eq\f(1,2)，則9x＋y的取值范圍是________．解析：設(shè)9x＋y＝a(2x＋y)＋b(3x＋y)，則9x＋y＝(2a＋3b)x＋(a＋b)y，于是比較兩邊系數(shù)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋3b＝9，,a＋b＝1，))得a＝－6，b＝7.由已知不等式得－3≤－6(2x＋y)≤3，－eq\f(7,2)≤7(3x＋y)≤eq\f(7,2)，所以－eq\f(13,2)≤9x＋y≤eq\f(13,2).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(13,2)，\f(13,2)))eq\a\vs4\al([方法技巧])1．比較兩個(gè)數(shù)(式)大小的兩種方法2．不等式性質(zhì)應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)利用不等式性質(zhì)比較大小．熟記不等式性質(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件．(2)與充要條件相結(jié)合的問題．用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用．(3)與命題真假判斷相結(jié)合的問題．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法．突破點(diǎn)二一元二次不等式eq\a\vs4\al([基本知識])1．三個(gè)“二次”之間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩個(gè)相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩個(gè)相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??2.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的條件(1)不等式ax2＋bx＋c>0對任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))(2)不等式ax2＋bx＋c<0對任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))eq\a\vs4\al([基本能力])一、判斷題(對的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0.()(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為空集．()(3)若不等式ax2＋bx＋c≥0對x∈R恒成立，則其判別式Δ≤0.()答案：(1)√(2)×(3)×二、填空題1．不等式eq\f(1,x－1)≥－1的解集是________________．解析：原不等式可化為eq\f(x,x－1)≥0，即x(x－1)≥0，且x－1≠0，解得x>1或x≤0.答案：(－∞，0]∪(1，＋∞)2．設(shè)a<－1，則關(guān)于x的不等式a(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))<0的解集是________________．答案：(－∞，a)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))3．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))，則a＋b的值是________．答案：－144．若不等式ax2－ax＋1<0的解集為?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．答案：[0,4]eq\a\vs4\al([全析考法])考法一一元二次不等式的解法解一元二次不等式的方法和步驟[例1](1)(2019·衡陽月考)不等式2x＋3－x2>0的解集是()A．{x|－1<x<3} B．{x|x>3或x<－1}C．{x|－3<x<1} D．{x|x>1或x<－3}(2)(2019·深圳月考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≥0，,2x－x2，x<0.))若f(2－a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－1,1)C．(－2,1) D．(－1,2)[解析](1)原不等式變形為x2－2x－3<0，即(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3.故選A.(2)∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≥0，,2x－x2，x<0，))∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，∴f(2－a2)>f(a)等價(jià)于2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－2<a<1，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－2,1)，故選C.[答案](1)A(2)C[例2](2019·六安階段性考試)已知常數(shù)a∈R，解關(guān)于x的不等式12x2－ax>a2.[解]∵12x2－ax>a2，∴12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－eq\f(a,4)，x2＝eq\f(a,3).①當(dāng)a>0時(shí)，－eq\f(a,4)<eq\f(a,3)，解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))xeq\a\vs4\al(|)x<－eq\f(a,4)，或x>eq\f(a,3)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,,))；②當(dāng)a＝0時(shí)，x2>0，解集為{x|x∈R，且x≠0}；③當(dāng)a<0時(shí)，－eq\f(a,4)>eq\f(a,3)，解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))xeq\a\vs4\al(|)x<eq\f(a,3)，或x>－eq\f(a,4)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,,)).綜上所述：當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))xeq\a\vs4\al(|)x<－eq\f(a,4)，或x>eq\f(a,3)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,,))；當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x∈R，且x≠0}；當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(a,3)，或x>－\f(a,4))).eq\a\vs4\al([方法技巧])解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的依據(jù)(1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．(2)當(dāng)不等式對應(yīng)方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式Δ與0的關(guān)系．(3)確定無實(shí)根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，要討論兩實(shí)根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．考法二由一元二次不等式恒成立求參數(shù)范圍考向一在實(shí)數(shù)集R上恒成立[例3](2019·大慶期中)對于任意實(shí)數(shù)x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．(－2,2] D．(－2,2)[解析]當(dāng)a－2＝0，即a＝2時(shí)，－4<0恒成立；當(dāng)a－2≠0時(shí)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,4a－22＋16a－2<0，))解得－2<a<2，∴－2<a≤2，故選C.[答案]C考向二在某區(qū)間上恒成立[例4](2019·忻州第一中學(xué)模擬)已知關(guān)于x的不等式x2－4x≥m對任意的x∈(0,1]恒成立，則有()A．m≤－3 B．m≥－3C．－3≤m<0 D．m≥－4[解析]令f(x)＝x2－4x，x∈(0,1]，∵f(x)圖象的對稱軸為直線x＝2，∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝1時(shí)f(x)取得最小值，為－3，∴m≤－3，故選A.[答案]Aeq\a\vs4\al([方法技巧])解決一元二次不等式在某區(qū)間恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題或用分離參數(shù)法求最值問題．eq\a\vs4\al([集訓(xùn)沖關(guān)])1.eq\a\vs4\al([考法一])如果關(guān)于x的不等式x2<ax＋b的解集是{x|1<x<3}，那么ba等于()A．－81 B．81C．－64 D．64解析：選B不等式x2<ax＋b可化為x2－ax－b<0，其解集是{x|1<x<3}，那么，由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3＝a，,1×3＝－b，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－3，))所以ba＝(－3)4＝81.故選B.2.eq\a\vs4\al([考法二·考向一])已知關(guān)于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0對任意實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．(－∞，－3]∪[1，＋∞) B．(－∞，1]∪[3，＋∞)C．[－1,3] D．[－3,1]解析：選D關(guān)于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0對任意實(shí)數(shù)x都成立，則Δ＝(k－1)2＋4(k－1)≤0，解得－3≤k≤1，故選D.3.eq\a\vs4\al([考法二·考向二])若不等式x2＋mx－1<0對于任意x∈[m，m＋1]都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：由題意，得函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又拋物線f(x)＝x2＋mx－1開口向上，所以只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＝m2＋m2－1<0，,fm＋1＝m＋12＋mm＋1－1<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2－1<0，,2m2＋3m<0，))解得－eq\f(\r(2),2)<m<0.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))[課時(shí)跟蹤檢測][A級基礎(chǔ)題——基穩(wěn)才能樓高]1．下列結(jié)論正確的是()A．若a>b，則ac2>bc2B．若a2>b2，則a>bC．若a>b，c<0，則a＋c<b＋cD．若eq\r(a)<eq\r(b)，則a<b解析：選D選項(xiàng)A中，當(dāng)c＝0時(shí)不滿足ac2>bc2，所以A錯(cuò)；選項(xiàng)B中，當(dāng)a＝－2，b＝－1時(shí)，滿足a2>b2，不滿足a>b，所以B錯(cuò)；選項(xiàng)C中，a＋c>b＋c，所以C錯(cuò)；選項(xiàng)D中，因?yàn)?≤eq\r(a)<eq\r(b)，所以a<b，所以D正確．故選D.2．(2019·鄭州模擬)“x>1”是“x2＋2x>0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要條件，故選A.3．(2019·武漢武昌區(qū)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2ax－a＋3，若?x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)C．(－3,1) D．(1，＋∞)解析：選A依題意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1，故選A.4．(2019·江淮十校聯(lián)考)|x|·(1－2x)>0的解集為()A．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：選A原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2x>0，,x≠0，))解不等式組可得實(shí)數(shù)x的取值范圍是(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).5．(2019·遂寧診斷)若a>b>0，則下列不等式中一定成立的是()A．a(chǎn)＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) B．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1)C．a(chǎn)－eq\f(1,b)>b－eq\f(1,a) D．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)解析：選A不妨取a＝2，b＝1，排除B和D；另外，函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)，但函數(shù)g(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0,1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a>b>0時(shí)，f(a)>f(b)必定成立，但g(a)>g(b)不一定成立，因此a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)?a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)，故選A.[B級保分題——準(zhǔn)做快做達(dá)標(biāo)]1．(2019·鄭州模擬)已知p：eq\f(1,a)>eq\f(1,4)，q：?x∈R，ax2＋ax＋1>0，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A由eq\f(1,a)>eq\f(1,4)得0<a<4.?x∈R，ax2＋ax＋1>0，必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,1>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a2－4a<0，))則0≤a<4，所以p是q的充分不必要條件，故選A.2．(2019·青島三地名校聯(lián)考)已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3)))，則不等式x2－bx－a<0的解集是()A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：選A∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3)))，∴a<0，方程ax2－bx－1＝0的兩個(gè)根為－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，∴－eq\f(－b,a)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，eq\f(－1,a)＝eq\f(1,6)，∴a＝－6，b＝5，又x2－bx－a<0，∴x2－5x＋6<0，∴(x－2)(x－3)<0，∴不等式的解集為(2,3)．3．(2019·深圳中學(xué)模擬)已知a>b>0，c<0，下列不等關(guān)系中正確的是()A．a(chǎn)c>bc B．a(chǎn)c>bcC．loga(a－c)>logb(b－c) D．eq\f(a,a－c)>eq\f(b,b－c)解析：選D因?yàn)閏<0，a>b，所以ac<bc，故A錯(cuò)；當(dāng)c<0時(shí)，冪函數(shù)y＝xc在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以ac<bc，故B錯(cuò)；若a＝4，b＝2，c＝－4，則loga(a－c)＝log48<2<logb(b－c)＝log26，故C錯(cuò)；eq\f(a,a－c)－eq\f(b,b－c)＝eq\f(ab－ac－ab＋bc,a－cb－c)＝eq\f(b－ac,a－cb－c)>0，所以eq\f(a,a－c)>eq\f(b,b－c)成立，故D正確．選D.4．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，則a的取值范圍是()A．[－4,1] B．[－4,3]C．[1,3] D．[－1,3]解析：選B原不等式為(x－a)(x－1)≤0，當(dāng)a<1時(shí)，不等式的解集為[a,1]，此時(shí)只要a≥－4即可，即－4≤a<1；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解為x＝1，此時(shí)符合要求；當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為[1，a]，此時(shí)只要a≤3即可，即1<a≤3.綜上可得－4≤a≤3.5．(2019·包頭模擬)若不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集為{x|－2<x<1}，則函數(shù)y＝f(－x)的大致圖象為()解析：選C由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,－2＋1＝\f(1,a)，,－2×1＝－\f(c,a)，))解得a＝－1，c＝－2.則函數(shù)y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，由二次函數(shù)的圖象可知選C.6．(2019·綿陽診斷)國慶節(jié)期間，綿陽市某大型商場舉行“購物送券”活動(dòng)．一名顧客計(jì)劃到該商場購物，他有三張商場的優(yōu)惠券，商場規(guī)定每購買一件商品只能使用一張優(yōu)惠券．根據(jù)購買商品的標(biāo)價(jià)，三張優(yōu)惠券的優(yōu)惠方式不同，具體如下：優(yōu)惠券A：若商品的標(biāo)價(jià)超過100元，則付款時(shí)減免標(biāo)價(jià)的10%；優(yōu)惠券B：若商品的標(biāo)價(jià)超過200元，則付款時(shí)減免30元；優(yōu)惠券C：若商品的標(biāo)價(jià)超過200元，則付款時(shí)減免超過200元部分的20%.若顧客想使用優(yōu)惠券C，并希望比使用優(yōu)惠券A或B減免的錢款都多，則他購買的商品的標(biāo)價(jià)應(yīng)高于()A．300元 B．400元C．500元 D．600元解析：選B設(shè)購買的商品的標(biāo)價(jià)為x元，則(x－200)×20%>x·10%，且(x－200)×20%>30，解得x>400，選B.7．(2019·南昌重點(diǎn)校聯(lián)考)如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于－1，另一個(gè)大于1，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(0,1) B．(－2,1)C．(－2,0) D．(－eq\r(2)，eq\r(2))解析：選A記f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1<0，,f1<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m－1＋m2－2<0，,1＋m－1＋m2－2<0，))解得0<m<1.選A.8．規(guī)定符號“⊙”表示一種運(yùn)算，定義a⊙b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b為非負(fù)實(shí)數(shù))，若1⊙k2<3，則k的取值范圍是()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0) D．(0,2)解析：選A因?yàn)槎xa⊙b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b為非負(fù)實(shí)數(shù))，1⊙k2<3，所以eq\r(k2)＋1＋k2<3，化為(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，所以－1<k<1.9．(2019·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬)已知a>b>1，c<0，在不等式①eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；②ln(a＋c)>ln(b＋c)；③(a－c)c<(b－c)c；④bea>aeb中，所有正確命題的序號是()A．①②③ B．①③④C．②③④ D．①②④解析：選B∵a>b>1，∴0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，又c<0，∴eq\f(c,a)>eq\f(c,b)，∴①正確；∵a>b>1，c<0，∴不妨取a＝3，b＝2，c＝－4，此時(shí)ln(a＋c)>ln(b＋c)不成立，∴②錯(cuò)誤；易知函數(shù)y＝xα(α<0)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∵a－c>b－c>0，c<0，∴(a－c)c<(b－c)c，∴③正確；令y＝eq\f(ex,x)(x≠0)，則y′＝eq\f(x－1ex,x2)，令y′＝0，得x＝1，令y′>0，得x>1，故函數(shù)y＝eq\f(ex,x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∵a>b>1，∴eq\f(ea,a)>eq\f(eb,b)，即bea>aeb，∴④正確，故選B.10．(2019·啟東中學(xué)調(diào)研)已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且滿足b＋c≤3a，則eq\f(c,a)的取值范圍為________．解析：由已知及三角形的三邊關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<b＋c≤3a，,a＋b>c，,a＋c>b，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<\f(b,a)＋\f(c,a)≤3，,1＋\f(b,a)>\f(c,a)，,1＋\f(c,a)>\f(b,a)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<\f(b,a)＋\f(c,a)≤3，,－1<\f(c,a)－\f(b,a)<1，))兩式相加得，0<2×eq\f(c,a)<4，∴eq\f(c,a)的取值范圍為(0,2)．答案：(0,2)11．(2019·青島模擬)設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，現(xiàn)有下列命題：①若a2－b2＝1，則a－b<1；②若eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，則a－b<1；③若|eq\r(a)－eq\r(b)|＝1，則|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，則|a－b|<1.其中的真命題有____________．(寫出所有真命題的序號)解析：對于①，由條件可得a>1，b>0，則a＋b>1，又a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，所以a－b<1，故①正確．對于②，令a＝2，b＝eq\f(2,3)，則eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，但a－b＝eq\f(4,3)>1，故②錯(cuò)．對于③，令a＝4，b＝1，則|eq\r(a)－eq\r(b)|＝1，但|a－b|＝3>1，故③錯(cuò)．對于④，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝1，由條件可得，a，b中至少有一個(gè)大于等于1，則a2＋ab＋b2>1，則|a－b|<1，故④正確．綜上，真命題有①④.答案：①④12．(2019·江蘇海安高級中學(xué)月考)已知對于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：設(shè)f(x)＝x2－2(a－2)x＋a.因?yàn)閷τ谌我獾膞∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f(x)＝x2－2(a－2)x＋a>0，所以令f(x)＝0，有Δ<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,1≤a－2≤5，,f1≥0，,f5≥0，))解得1<a<4或4≤a≤5，即1<a≤5.答案：(1,5]13．(2019·重慶鳳鳴山中學(xué)月考)若不存在整數(shù)x滿足不等式(kx－k2－4)(x－4)<0，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．解析：容易判斷k＝0或k<0時(shí)，均不符合題意，所以k>0.所以原不等式即為keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(k2＋4,k)))(x－4)<0，等價(jià)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(k2＋4,k)))(x－4)<0，依題意應(yīng)有3≤eq\f(k2＋4,k)≤5且k>0，所以1≤k≤4.答案：[1,4]14．(2019·南昌模擬)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝2f(x)，當(dāng)x∈[－1,2)時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x∈[－1，0，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|，x∈[0，2，))若存在x∈[－4，－1)，使得不等式t2－3t≥4f(x)成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是___________．解析：由題意知f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋3)．當(dāng)x∈[－1,0)時(shí)，f(x)＝x2＋x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))；當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).所以當(dāng)x∈[－1,2)時(shí)，f(x)min＝－1.故當(dāng)x∈[－4，－1)時(shí)，x＋3∈[－1,2)，所以f(x＋3)min＝－1，此時(shí)f(x)min＝eq\f(1,2)×(－1)＝－eq\f(1,2).由存在x∈[－4，－1