【專項(xiàng)】中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)幾何旋轉(zhuǎn)解答題專題練習(xí)(含解析)

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)幾何旋轉(zhuǎn)解答題專題練習(xí)1．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°能與△DEC重合，點(diǎn)F是邊AC中點(diǎn)．（1）求證：△CFD≌△ABC；（2）連接BE，求證：四邊形BEDF是平行四邊形．2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，將△ABC繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△FBE，點(diǎn)C，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．點(diǎn)E落在BA上，連接AF．（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度數(shù)；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的長(zhǎng)．3．如圖①，△ABC和△ECD都是等邊三角形．（1）若B、C、E在同一條直線上，AC與BD相交于點(diǎn)N，AE與CD相交于點(diǎn)M，BD與AE相交于點(diǎn)O，試判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系為；∠AOB度數(shù)為；（2）將△ECD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，B、C、E不在一條直線上時(shí)，如圖②，則（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α得到△DEC，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E恰好在AC邊上時(shí)，連接AD，求∠ADE的度數(shù)；（2）如圖②，當(dāng)α＝60°時(shí)，若點(diǎn)F為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBC為何值時(shí)，四邊形BFDE為平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)出你的結(jié)論并加以證明．5．如圖，在△ABC中，AB＝，BC＝3，∠B＝45°，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE．當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí)，求CD的長(zhǎng)．6．如圖，矩形ABCD中，BC＝4，將矩形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形A'B'C'D'．當(dāng)點(diǎn)B'恰好落在邊AD上時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB'．若∠AB'B＝75°，求旋轉(zhuǎn)角α及AB的長(zhǎng)．7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝32°，如果△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△EBD，使點(diǎn)D落在AB邊上，連接AE，求∠EAB的度數(shù)．8．如圖，在正方形ABCD中，射線AE與邊CD交于點(diǎn)E，將射線AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，BF＝DE，連接FE．（1）求證：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接寫出△AEF的面積．9．如圖，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB'C′的位置，使得CC′∥AB，求∠CC'A的度數(shù)．10．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△AB′C′，且B′，C′兩點(diǎn)分別與B，C兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)，延長(zhǎng)BC與B′C′邊交于點(diǎn)E，求∠CEC′的度數(shù)．11．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AED，且點(diǎn)D在邊BC上．（1）若∠DAC＝50°，則∠ABE＝度；（2）求證：BE⊥BC；（3）若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AC＝2，求BE的值．12．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，連接對(duì)角線AC，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，將線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段AF，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在邊CD上，過(guò)F作FM⊥AC于點(diǎn)M．（1）求證：BE＝FM；（2）求BE的長(zhǎng)度．13．如圖，正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接BP，將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BQ，連接QP，CQ，求證：AP＝CQ．14．正方形ABCD中，點(diǎn)F為正方形ABCD內(nèi)的點(diǎn)，△BFC繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后與△BEA重合．（1）如圖①，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BE＝1，F(xiàn)C＝，求證：AE∥BF．（2）如圖②，若點(diǎn)F為正方形ABCD對(duì)角線AC上的點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)A、C重合），試探究AE、AF、BF之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．15．如圖，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DBE，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB的延長(zhǎng)線上，連接AD，AC，DE相交于點(diǎn)P．（1）求證：△ADB是等邊三角形；（2）直接寫出∠APD的度數(shù)．16．已知：如圖1，∠AOB＝30°，∠BOC＝∠AOC．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）如圖2，若射線OP從OA開始繞點(diǎn)O以每秒旋轉(zhuǎn)10的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線OQ從OB開始繞點(diǎn)O以每秒旋轉(zhuǎn)6°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；其中射線OP到達(dá)OC后立即改變運(yùn)動(dòng)方向，以相同速度繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OQ到達(dá)OC時(shí)，射線OP，OQ同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒，當(dāng)∠POQ＝10°時(shí)，試求t的值；（3）如圖3，若射線OP從OA開始繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP，試求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠MON的度數(shù)是多少？（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）17．將兩塊全等的三角板按如圖1所示擺放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°．（1）將圖1中的△ABC按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得圖2，A1C與AB交于點(diǎn)P1，A1B1與BC交于點(diǎn)Q，求證：CP1＝CQ；（2）在圖2中，若AP1＝2，求CQ的長(zhǎng)．18．如圖，將Rt△AOB繞直角頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到Rt△COD，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在AB邊上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：∠BCO＝∠E．19．如圖①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四邊形EFGH是正方形，EH與BD重合，將圖①中的正方形EFGH繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，使點(diǎn)G落在BC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于點(diǎn)L．已知旋轉(zhuǎn)開始時(shí)，即圖①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH從圖①位置旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．（2）旋轉(zhuǎn)至如圖③位置，DE交BC于點(diǎn)L．延長(zhǎng)BC交FG于點(diǎn)M，延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)N．試判斷DL、EN、GM之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．20．將正方形ABCD的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB1，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB1，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于直線BB1，垂足為點(diǎn)E，連接DB1，CE．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，△DEB1的形狀為，連接BD，可求出的值為；（2）當(dāng)0°＜α＜360°且α≠90°時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．如圖，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，將△ADC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AEF（A，B，E在同一直線上），連接CF，求CF的大?。?2．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBF的位置，連接EF，若AE＝1，BE＝．（1）求EF的長(zhǎng)；（2）當(dāng)EC＝時(shí)，求∠AEB的度數(shù)．23．如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)100°，得到△DBE，連接AD，CE交于點(diǎn)F．（1）求證：△ABD≌△CBE；（2）求∠AFC的度數(shù)．24．如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接BE、CD，點(diǎn)M、N、P分別是BE、CD、BC的中點(diǎn)，連接DE、PM、PN、MN．（1）觀察猜想：圖①中△PMN是三角形（填“等腰”或“等邊”）；（2）探究證明：如圖②，△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其他條件不變，則△PMN的形狀是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由．25．如圖，將矩形ABCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到矩形FECG，點(diǎn)B與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E恰好落在AD邊上，BH⊥CE交于點(diǎn)H，求證：CG＝BH．26．如圖，等邊三角形ABC的外部有一點(diǎn)P，且∠BPA＝30°，將AP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CQ，連接BQ．（1）求證：△ABP≌△CBQ；（2）若AP＝4，BP＝3，求P，C兩點(diǎn)之間的距離．27．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)C和點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的長(zhǎng)．28．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．（1）求證：GE＝FE；（2）若DF＝3，求BE的長(zhǎng)為．29．如圖，△ABC是等腰三角形，其中AB＝BC，將△ABC繞頂點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°到△A1BC1的位置，AB與A1C1相交于點(diǎn)D，AC與A1C1，BC1分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：△BCF≌△BA1D；（2）當(dāng)∠C＝50°時(shí)，判斷四邊形A1BCE的形狀并說(shuō)明理由．30．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P為線段CA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）如圖2，當(dāng)α＝120°時(shí)，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．31．如圖1，直角三角形DEF與直角三角形ABC的斜邊在同一直線上，∠EDF＝36°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，將△DEF繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記∠ADF為α（0＜α＜180°），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：（1）如圖2，當(dāng)∠α＝時(shí)，DE∥BC，當(dāng)∠α＝時(shí)，DE⊥BC；（2）如圖3，當(dāng)頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時(shí)，邊DF、DE分別交BC、AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M、N．①此時(shí)∠α的度數(shù)范圍是；②∠1與∠2度數(shù)的和是否變化？若不變，求出∠1與∠2度數(shù)和；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度數(shù)范圍．32．如圖1，將三角板ABC與三角板ADE擺放在一起；如圖2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，將三角板ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．操作發(fā)現(xiàn)：（1）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)α為度時(shí)，AD∥BC，當(dāng)α為度時(shí)，AD⊥BC；（2）當(dāng)△ADE的一邊與△ABC的某一邊平行（不共線）時(shí)，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的所有可能的度數(shù)；拓展應(yīng)用：當(dāng)0°＜α＜45°時(shí)，連接BD，利用圖3探究∠BDE+∠CAE+∠DBC值的大小變化情況，并說(shuō)明理由．33．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α后得到△DBE，點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E．（1）如圖1，若點(diǎn)D恰好落在邊BC的延長(zhǎng)線上，連接CE，求∠DEC的度數(shù)．（2）如圖2，若α＝60°，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，連接CD，CF，EF，請(qǐng)判斷四邊形CDEF是什么特殊的四邊形，并說(shuō)明理由．34．如圖，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BOC＝150°，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度，得到△ADC，連接OD，OA．（1）求∠ODC的度數(shù)；（2）試判斷AD與OD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的長(zhǎng)（直接寫出結(jié)果）．

參考答案1．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°能與△DEC重合，點(diǎn)F是邊AC中點(diǎn)．（1）求證：△CFD≌△ABC；（2）連接BE，求證：四邊形BEDF是平行四邊形．【解答】證明：（1）∵點(diǎn)F是邊AC中點(diǎn)，∴CF＝AC，∵∠BCA＝30°，∴BA＝AC，∠A＝60°，∴AB＝CF，∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，∴AC＝CD，∠ACD＝60°，∴∠ACB＝∠DCE，在△CFD和△ABC中，，∴△CFD≌△ABC（SAS）；（2）延長(zhǎng)BF交CE于點(diǎn)G，由（1）得，F(xiàn)C＝BF，∴∠BCF＝∠FBC＝30°，∵∠BCE＝60°，∴∠BCE+∠CBG＝∠BGE＝90°，∵∠DEC＝∠ABC＝90°∴∠BGE＝∠DEC，∴BF∥ED，∵BF＝AC＝AB，AB＝DE，∴BF＝DE，∴四邊形BEDF是平行四邊形．2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，將△ABC繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△FBE，點(diǎn)C，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．點(diǎn)E落在BA上，連接AF．（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度數(shù)；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的長(zhǎng)．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝50°，∵將△ABC繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△FBE，∴∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，∴∠BAF＝∠BFA＝（180°﹣50°）＝65°；（2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∵將△ABC繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△FBE，∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，∴AF＝＝＝4．3．如圖①，△ABC和△ECD都是等邊三角形．（1）若B、C、E在同一條直線上，AC與BD相交于點(diǎn)N，AE與CD相交于點(diǎn)M，BD與AE相交于點(diǎn)O，試判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系為AE＝BD；∠AOB度數(shù)為60°；（2）將△ECD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，B、C、E不在一條直線上時(shí)，如圖②，則（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等邊三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABO）＝180°﹣（∠BAO+∠CBO+∠ABC）＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，∴∠AOB＝60°，故答案為：AE＝BD，60°；（2）成立．證明：∵△ABC和△ECD都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，又∵∠ANO＝∠BNC，∴180°﹣∠CAE﹣∠ANO＝180°﹣∠CBD﹣∠BNC，∴∠AOB＝∠ACB＝60°．4．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α得到△DEC，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E恰好在AC邊上時(shí)，連接AD，求∠ADE的度數(shù)；（2）如圖②，當(dāng)α＝60°時(shí)，若點(diǎn)F為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBC為何值時(shí)，四邊形BFDE為平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)出你的結(jié)論并加以證明．【解答】解：（1）∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α得到△DEC，E點(diǎn)在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∴∠CAD＝∠CDA＝＝75°，又∵∠DEC＝∠ABC＝90°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；（2）∠FBC＝30°時(shí)，四邊形BFDE為平行四邊形，∴∠FBC＝∠ACB＝30°，∴∠ABF＝∠A＝60°，∴BF＝CF＝AF，∴△ABF是等邊三角形，∴BF＝AB，∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，∴DE＝AB，△BCE是等邊三角形，∠DEC＝∠ABC＝90°，∴∠CBE＝∠BEC＝60°，∴∠EBF＝∠EBC﹣∠FBC＝30°，∴∠DEB+∠EBF＝180°，∴DE＝BF，DE∥BF，∴四邊形BFDE為平行四邊形．5．如圖，在△ABC中，AB＝，BC＝3，∠B＝45°，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE．當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí)，求CD的長(zhǎng)．【解答】解：∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AD＝AB＝，∴∠B＝∠BDA＝45°．∴∠DAB＝90°．∴DB＝＝2．∴CD＝BC﹣DB＝3﹣2＝1，故DC的長(zhǎng)為1．6．如圖，矩形ABCD中，BC＝4，將矩形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形A'B'C'D'．當(dāng)點(diǎn)B'恰好落在邊AD上時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB'．若∠AB'B＝75°，求旋轉(zhuǎn)角α及AB的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CBB'＝∠AB'B＝75°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CB＝CB'，∴∠CB'B＝∠CBB'＝75°，∴∠BCB'＝180°﹣75°﹣75°＝30°，即旋轉(zhuǎn)角α為30°；作B'E⊥BC于E，如圖所示：則AB＝B'E＝CB'＝2．7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝32°，如果△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△EBD，使點(diǎn)D落在AB邊上，連接AE，求∠EAB的度數(shù)．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)可知：∠EBA＝∠CBA＝32°，AB＝EB，∴∠EAB＝∠AEB＝（180°﹣32°）＝74°．8．如圖，在正方形ABCD中，射線AE與邊CD交于點(diǎn)E，將射線AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，BF＝DE，連接FE．（1）求證：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接寫出△AEF的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＝90°，在△ABF與△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（SAS），∴AF＝AE；（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，∴∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠FAE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，∴AE＝2DE＝4，∴△AEF的面積＝×4×4＝8．9．如圖，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB'C′的位置，使得CC′∥AB，求∠CC'A的度數(shù)．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′＝∠BAC＝70°，∵△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB'C′的位置，∴AC′＝AC，∴∠CC′A＝∠ACC′＝70°，10．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△AB′C′，且B′，C′兩點(diǎn)分別與B，C兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)，延長(zhǎng)BC與B′C′邊交于點(diǎn)E，求∠CEC′的度數(shù)．【解答】解：設(shè)BE與AB′交于F，∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△AB′C′，∴∠B′＝∠B，∠BAB′＝30°，∵∠AFB＝∠B′FE，∴∠BEB′＝∠BAB′＝30°，∴∠CEC′＝180°﹣∠BEB′＝150°．11．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AED，且點(diǎn)D在邊BC上．（1）若∠DAC＝50°，則∠ABE＝65度；（2）求證：BE⊥BC；（3）若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AC＝2，求BE的值．【解答】解：（1）∵將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AED，∴AB＝AE，∠DAE＝∠CAB，∴∠AEB＝∠ABE，∠EAB＝∠CAD＝50°，∴∠ABE＝＝65°，故答案為：65；（2）證明：∵將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AED，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠C＝x，∴∠DAC＝180°﹣2x，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EAB＝∠DAC＝180°﹣2x，AE＝AB，∴∠EBA＝，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＝90°﹣x，∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝x+（90°﹣x）＝90°，即BE⊥BC；（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD＝AC＝2，∵∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝DC＝AD＝2，∴BC＝4，∵DE＝BC＝4，∴BE＝＝2．12．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，連接對(duì)角線AC，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，將線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段AF，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在邊CD上，過(guò)F作FM⊥AC于點(diǎn)M．（1）求證：BE＝FM；（2）求BE的長(zhǎng)度．【解答】（1）證明：∵將線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段AF，∴AE＝AF，∠EAF＝∠CAB＝45°，∴∠FAC＝∠EAB，在△ABE和△AMF中，∴△ABE≌△AMF（AAS），∴BE＝FM；（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC＝AB＝4，∠ACD＝45°，∵將線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段AF，∴AM＝AB＝4，∴CM＝4﹣4，∵FM⊥AC，∠ACD＝45°，∴∠ACD＝∠CFM，∴FM＝CM＝4﹣4，∴BE＝4﹣4．13．如圖，正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接BP，將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BQ，連接QP，CQ，求證：AP＝CQ．【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BQ，∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°，∴∠PBQ＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBQ，在△ABP和△CBQ中，，∴△ABP≌△CBQ（SAS），∴AP＝CQ．14．正方形ABCD中，點(diǎn)F為正方形ABCD內(nèi)的點(diǎn)，△BFC繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后與△BEA重合．（1）如圖①，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BE＝1，F(xiàn)C＝，求證：AE∥BF．（2）如圖②，若點(diǎn)F為正方形ABCD對(duì)角線AC上的點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)A、C重合），試探究AE、AF、BF之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【解答】（1）證明：∵△BFC繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后與△BEA重合，∴△BFC≌△BEA，∴BE＝BF＝1，∠EBF＝∠ABC＝90°，∠AEB＝∠BFC，∵，BC2＝22＝4，∴BF2+FC2＝BC2，∴∠BFC＝90°＝∠AEB，∴∠AEB+∠EBF＝180°，∴AE∥BF；（2）解：AE2+AF2＝2BF2，理由如下：∵AC是正方形ABCD的角平分線，∴∠BCA＝∠BAC＝45°，∴∠EAF＝45°+45°＝90°，∴AE2+AF2＝EF2，∵△BFC繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后與△BEA重合，∴BE＝BF，∠EBF＝90°，∴2BF2＝EF2，∴AE2+AF2＝2BF2．15．如圖，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DBE，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB的延長(zhǎng)線上，連接AD，AC，DE相交于點(diǎn)P．（1）求證：△ADB是等邊三角形；（2）直接寫出∠APD的度數(shù)60°．【解答】解：（1）∵將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DBE，∴AB＝DB，∠ABD＝60°，∴△ADB是等邊三角形；（2）如圖：∵點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB的延長(zhǎng)線上，∴∠ABD＝∠BDE+∠E，由（1）知△ADB是等邊三角形，∴∠BDE+∠E＝∠ABD＝60°，∵將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DBE，∴∠BDE＝∠BAP，∴∠BAP+∠E＝60°，∴∠APD＝∠BAP+∠E＝60°；故答案為：60°．16．已知：如圖1，∠AOB＝30°，∠BOC＝∠AOC．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）如圖2，若射線OP從OA開始繞點(diǎn)O以每秒旋轉(zhuǎn)10的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線OQ從OB開始繞點(diǎn)O以每秒旋轉(zhuǎn)6°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；其中射線OP到達(dá)OC后立即改變運(yùn)動(dòng)方向，以相同速度繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OQ到達(dá)OC時(shí)，射線OP，OQ同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒，當(dāng)∠POQ＝10°時(shí)，試求t的值；（3）如圖3，若射線OP從OA開始繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP，試求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠MON的度數(shù)是多少？（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）【解答】解：（1）∠BOC＝∠AOC，∠BOC+∠AOB＝∠AOC，∴∠AOB＝∠AOC，∵∠AOB＝30°，∴∠AOC＝120°；（2）由（1）知，∠AOC＝120°，∠BOC＝90°，①OP逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤t≤12時(shí)，由OP，OQ的運(yùn)動(dòng)可知，∠AOP＝10°t，∠BOQ＝6°t，OP，OQ相遇前，如圖2（1），∠AOQ＝∠AOP+∠POQ＝∠AOB+∠BOQ，即10°t+10°＝30°+6°t，解得t＝5，OP，OQ相遇后，如圖2（2），∠AOP＝∠AOB+∠BOQ+∠POQ，即10°t＝30°+6°t+10°，解得t＝10；②OP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，∠COP＝10°t﹣120°，∠BOQ＝6°t，OP，OQ相遇前，如圖（3），∠BOC＝∠COP+∠BOQ+∠POQ，即90°＝10°t﹣120°+6°t+10°，解得t＝12.5，OP，OQ相遇后，如圖（4），∠BOC＝∠COP+∠BOQ﹣∠POQ，即90°＝10°t﹣120°+6°t﹣10°，解得t＝13.75，綜上，當(dāng)t的值為5，10，12.5或13.75時(shí)，∠POQ＝10°．（3）由（1）知∠AOC＝120°，根據(jù)射線OP的運(yùn)動(dòng)，需要分四種情況，①當(dāng)射線OP與OA重合前，如圖3（1），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP，∴∠MON＝∠POM+∠PON＝∠AOP+∠COP＝∠AOC＝60°；②當(dāng)射線OP與OA重合后，∠AOP＝180°前，如圖3（2），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP，∴∠MON＝∠POM﹣∠PON＝∠AOP﹣∠COP＝∠AOC＝60°；③∠CON＝180°前，如圖3（3），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP，∴∠MON＝∠POM+∠PON＝∠AOP+∠COP＝（360°﹣∠AOC）＝120°；④OP與OQ重合前，如圖3（4），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP，∴∠MON＝∠PON﹣∠POM＝∠COP+∠AOP＝∠AOC＝60°；綜上，∠MON的度數(shù)為60°或120°．17．將兩塊全等的三角板按如圖1所示擺放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°．（1）將圖1中的△ABC按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得圖2，A1C與AB交于點(diǎn)P1，A1B1與BC交于點(diǎn)Q，求證：CP1＝CQ；（2）在圖2中，若AP1＝2，求CQ的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵∠B1CB＝45°，∠B1CA1＝90°，∴∠B1CQ＝∠BCP1＝45°；又B1C＝BC，∠B1＝∠B，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA），∴CQ＝CP1；（2）解：如圖：作P1D⊥AC于D，∵∠A＝30°，∴P1D＝AP1；∵∠P1CD＝45°，∴＝sin45°＝，∴CP1＝P1D＝AP1；又AP1＝2，CQ＝CP1，∴CQ＝．18．如圖，將Rt△AOB繞直角頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到Rt△COD，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在AB邊上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：∠BCO＝∠E．【解答】證明：∵將Rt△AOB繞直角頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到Rt△COD，∴AO＝CO，∴∠A＝∠ACO，∵AB∥DE，∴∠A+∠E＝180°，又∵∠ACO+∠BCO＝180°，∴∠BCO＝∠E．19．如圖①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四邊形EFGH是正方形，EH與BD重合，將圖①中的正方形EFGH繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，使點(diǎn)G落在BC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于點(diǎn)L．已知旋轉(zhuǎn)開始時(shí)，即圖①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH從圖①位置旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．（2）旋轉(zhuǎn)至如圖③位置，DE交BC于點(diǎn)L．延長(zhǎng)BC交FG于點(diǎn)M，延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)N．試判斷DL、EN、GM之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【解答】解：（1）由圖①知，∠ADB＝∠DBC＝37°，如圖②，連接BD，則BD＝DG，∴∠DGB＝∠DBG＝37°，∴∠CDG＝90°﹣∠DGC＝90°﹣37°＝53°，∴旋轉(zhuǎn)角為：53°﹣37°＝16°；（2）DL＝EN+GM，理由如下：過(guò)點(diǎn)G作GK∥BM，交DE于K，∵四邊形EFGD是正方形，∴∠DEF＝∠GDE，DE＝DG，∴∠EDN＝∠DGK，∴△DKG≌△END（ASA），∴EN＝DK，∵GK∥ML，KL∥GM，∴四邊形KLMG是平行四邊形，∴GM＝KL，∴DL＝EN+GM．20．將正方形ABCD的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB1，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB1，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于直線BB1，垂足為點(diǎn)E，連接DB1，CE．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，△DEB1的形狀為等腰直角三角形，連接BD，可求出的值為；（2）當(dāng)0°＜α＜360°且α≠90°時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）如圖1，∵AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB′，∴AB＝AB'，∠BAB'＝α＝60°，∴△ABB'是等邊三角形，∴∠BB'A＝60°，∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°，∵AB'＝AB＝AD，∴∠AB'D＝∠ADB'，∴∠AB'D＝＝75°，∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵DE⊥B'E，∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形；連接BD，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∴，同理，∴，∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°，∴∠BDB'＝∠EDC，∴△BDB'∽△CDE，∴＝＝，故答案為：等腰直角三角形，；（3）（1）中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立．理由如下：連接BD，∵AB＝AB'，∠BAB'＝α，∴∠AB'B＝90°﹣，∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，∴∠AB'D＝135°﹣，∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°﹣﹣（90°﹣）＝45°，∵DE⊥BB'，∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形；∴＝，∵四邊形ABCD是正方形，∴，∠BDC＝45°，∴，∵∠EDB'＝∠BDC，∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB，即∠B'DB＝∠EDC，∴△B'DB∽△EDC，∴＝＝，21．如圖，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，將△ADC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AEF（A，B，E在同一直線上），連接CF，求CF的大?。窘獯稹拷猓骸逜D＝8，AB＝6，∠D＝90°，∴AC＝＝＝10，∵△ADC按逆時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AEF，∴∠EAF＝∠DAC，AF＝AC＝10，∴∠EAF+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，∴∠FAC＝∠BAD，又∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，∴∠FAC＝90°，∴△FAC是等腰直角三角形，∴CF＝AC＝10．22．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBF的位置，連接EF，若AE＝1，BE＝．（1）求EF的長(zhǎng)；（2）當(dāng)EC＝時(shí)，求∠AEB的度數(shù)．【解答】解：（1）∵△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBF，∴△ABE≌△CBF，∴BE＝BF＝，AE＝CF＝1，∠EBF＝90°，∠AEB＝∠BFC，∴△BEF為等腰直角三角形，∴EF＝BE＝2；（2）在△CEF中，CE＝，CF＝1，EF＝2，∵CF2+EF2＝12+22＝5，CE2＝5，∴CF2+EF2＝CE2，∴△CEF為直角三角形，∴∠EFC＝90°，∴∠BFC＝∠BFE+∠CFE＝135°，∴∠AEB＝135°．23．如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)100°，得到△DBE，連接AD，CE交于點(diǎn)F．（1）求證：△ABD≌△CBE；（2）求∠AFC的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)100°，∴∠ABC＝∠DBE＝40°，∴∠ABD＝∠CBE＝100°，又∵BA＝BC，∴AB＝BC＝BD＝BE，在△ABD與△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS）．（2）解：∵∠ABD＝∠CBE＝100°，BA＝BC＝BD＝BE，∴∠BAD＝∠ADB＝∠BCE＝∠BEC＝40°．∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝140°，∴∠AFE＝360°﹣∠ABE﹣∠BAD﹣∠BEC＝140°，∴∠AFC＝180°﹣∠AFE＝40°．24．如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接BE、CD，點(diǎn)M、N、P分別是BE、CD、BC的中點(diǎn)，連接DE、PM、PN、MN．（1）觀察猜想：圖①中△PMN是等邊三角形（填“等腰”或“等邊”）；（2）探究證明：如圖②，△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其他條件不變，則△PMN的形狀是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）結(jié)論：△PMN是等邊三角形．理由：如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵PB＝PC，CN＝ND，BM＝EM，∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝EC，∴PM＝PN，∠NPC＝∠ABC＝60°，∠MPB＝∠ACB＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等邊三角形，故答案為等邊．（2）△PMN的形狀不發(fā)生改變，仍為等邊三角形，理由如下：如圖2中，連接BD，CE．由旋轉(zhuǎn)可得∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°又∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵M(jìn)是BE的中點(diǎn)，P是BC的中點(diǎn)，∴PM是△BCE的中位線，∴PM＝CE，且PM∥CE．同理可證PN＝BD且PN∥BD，∴PM＝PN，∠MPB＝∠ECB，∠NPC＝∠DBC，∴∠MPB+∠NPC＝∠ECB+∠DBC＝（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC﹣∠ABD）＝∠ACB+∠ABC＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等邊三角形．25．如圖，將矩形ABCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到矩形FECG，點(diǎn)B與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E恰好落在AD邊上，BH⊥CE交于點(diǎn)H，求證：CG＝BH．【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠DEC＝∠BCH，∵∠D＝90°，BH⊥AC，∴∠D＝∠BHC，由旋轉(zhuǎn)得，CE＝CB，CD＝CG，在△EDC和△CHB中，，∴△EDC≌△CHB（AAS），∴BH＝CD＝CG．26．如圖，等邊三角形ABC的外部有一點(diǎn)P，且∠BPA＝30°，將AP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CQ，連接BQ．（1）求證：△ABP≌△CBQ；（2）若AP＝4，BP＝3，求P，C兩點(diǎn)之間的距離．【解答】解：（1）設(shè)CQ與AP交于D點(diǎn)，AB與CQ交于E點(diǎn)，∵將AP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CQ，∴AP＝CQ，∠ADC＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝∠ABC，∵∠AED＝∠BEC，∴∠BAP＝∠BCQ，在△ABP與△CBQ中，∴△ABP≌△CBQ（SAS），（2）連接PQ，PC，由△ABP≌△CBQ得：PB＝BQ，∠PBA＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC＝30°，QC＝AP＝4，∴∠QBP＝∠ABC＝60°，∴△PBQ為等邊三角形，∴∠PQB＝60°，PQ＝BQ＝3，∴∠PQC＝∠PQB+∠BQC＝60°+30°＝90°，∴PC2＝PQ2+QC2，∴PC＝＝＝5．27．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)C和點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的長(zhǎng)．【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的到△ADE，點(diǎn)C和點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∴AB＝AD＝1，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴BD＝＝．∴BD的長(zhǎng)為．28．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．（1）求證：GE＝FE；（2）若DF＝3，求BE的長(zhǎng)為2．【解答】（1）證明：∵將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，（2）解：設(shè)BE＝x，則GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，即BE＝2，29．如圖，△ABC是等腰三角形，其中AB＝BC，將△ABC繞頂點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°到△A1BC1的位置，AB與A1C1相交于點(diǎn)D，AC與A1C1，BC1分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：△BCF≌△BA1D；（2）當(dāng)∠C＝50°時(shí)，判斷四邊形A1BCE的形狀并說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵△A1BC1是由△ABC繞頂點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得，∴∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，AB＝A1B，在△BCF和△BA1D中，，∴△BCF≌△BA1D（ASA）；（2）解：四邊形A1BCE是菱形．∵△ABC是等腰三角形，∠C＝50°，∴∠A＝∠C1＝∠C＝50°，又∵△BCF≌△BA1D，∴∠CBF＝∠A1BD＝50°，∴∠C1＝∠CBF，∠A＝∠A1BD，∴A1E∥BC，A1B∥EC，即四邊形A1BCE是平行四邊形，又∵A1B＝BC，∴四邊形A1BCE是菱形．30．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P為線段CA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）如圖2，當(dāng)α＝120°時(shí)，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【解答】（1）解：PA＝DC，理由如下：如圖1中，∵將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，∴PB＝PD，∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°，∴△ABC，△PBD是等邊三角形，∴∠ABC＝∠PBD＝60°，∴∠PBA＝∠DBC，在△PBA和△DBC中，，∴△PBA≌△DBC（SAS），∴PA＝DC；（2）解：CD＝PA；理由如下：如圖2中，∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°，∴BC＝2BA?cos30°＝BA，BD＝2BP?cos30°＝BP，∴，∵∠ABC＝∠PBD＝30°，∴∠ABP＝∠CBD，∴△CBD∽△ABP，∴＝，∴CD＝PA．31．如圖1，直角三角形DEF與直角三角形ABC的斜邊在同一直線上，∠EDF＝36°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，將△DEF繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記∠ADF為α（0＜α＜180°），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：（1）如圖2，當(dāng)∠α＝4°時(shí)，DE∥BC，當(dāng)∠α＝94°時(shí)，DE⊥BC；（2）如圖3，當(dāng)頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時(shí)，邊DF、DE分別交BC、AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M、N．①此時(shí)∠α的度數(shù)范圍是49°＜α＜85°；②∠1與∠2度數(shù)的和是否變化？若不變，求出∠1與∠2度數(shù)和；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度數(shù)范圍．【解答】解：（1）當(dāng)DE∥BC時(shí)，如圖（1），∵DE∥BC，∴∠EDA＝∠B＝40°，∵∠FDE＝36°，∴∠α＝∠EDA﹣∠FDE＝40°﹣36°＝4°，∴∠α＝4°時(shí)，DE∥BC．當(dāng)DE⊥BC時(shí)，如圖（2），∵DE⊥BC，∴∠BGD＝90°，∵∠B＝40°，∠GDA是△GDB的一個(gè)外角，∴∠GDA＝∠B+∠BGD＝40°+90°＝130°，∵∠EDF＝36°，∴∠α＝∠GDA﹣∠FDE＝130°﹣36°＝94°，∴∠α＝94°時(shí)，DE⊥BC．故答案為：4°；94°．（2）①∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝40°+45°＝85°，當(dāng)ED經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，∠α＝∠ADC﹣∠EDF＝85°﹣36°＝49°，當(dāng)FD經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，∠α＝∠ADC＝85°，∴頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時(shí)，49°＜α＜85°．∠1與∠2度數(shù)的和不發(fā)生變化，理由如下：延長(zhǎng)DC至點(diǎn)H，∵∠NCH、∠MCH分別是△NCD和△MCD的外角，∴∠NCH＝∠2+∠NDC，∠MCH＝∠1+∠MDC，∴∠NCH+∠MCH＝∠2+∠1+∠NDC+∠MDC，∴∠NCM＝∠1+∠2+∠NDM，∵∠NCM＝∠ACB＝90°，∠NDM＝∠FDE＝36°，∴90°＝∠1+∠2+36°，∴∠1+∠2＝54°．③∵∠ABC＝40°，∠ACB﹣90°，∴∠A＝180°﹣40°﹣90°＝50°，∵∠ADF是△MBD的外角∴∠α＝∠ABC+∠1＝40°+∠1，∵∠2≥2∠1，∠1+∠2＝54°，∴54°﹣∠1≥2∠1，∴∠1≤18°，∴α≤58°，又∵49°＜α＜85