人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊重點(diǎn)訓(xùn)練：橢圓離心率題型總結(jié)分類

9.橢圓離心率題型

1>|'入：'Li'-卒、dtlj......................................................................................................................1

2.利用橢圓第一定義求離心率.............................................3

3.焦點(diǎn)三角形與余弦定理..................................................4

4.頂角直角三角形型......................................................7

5.焦半徑與第二定義.....................................................10

6.第三定義與中點(diǎn)弦.....................................................12

7.焦點(diǎn)三角形：雙底角型.................................................14

8.焦點(diǎn)三角形：雙余弦定理型.............................................17

9.焦點(diǎn)弦與定比分點(diǎn).....................................................20

10.焦點(diǎn)圓..............................................................23

11.橢圓與圓............................................................25

1.離心率基礎(chǔ)

【典例分析】

如果橢圓工+二=1(1>-8)的離心率為e=1,貝心=()

人+892

544

A.4B.4或-7C.--D.4或-二

455

【答案】B

【分析】分焦點(diǎn)在x軸和在y軸兩種情況，分別得到a乃的表達(dá)式，進(jìn)而求得c的表達(dá)式，然

后根據(jù)離心率得到關(guān)于k的方程，求解即可.

r2v21

【詳解】解：因?yàn)闄E圓」一+匕=1a>-8)的離心率為e=7,

A+892

當(dāng)無+8>9時，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，可得:

1

=-Jk+2>,b=3,c=4a1-b2=解得k=4,

y[k+8~2

當(dāng)0v&+8V9時，橢圓焦點(diǎn)在>軸上，可得:

a=3,b=-Jk+8,c-y/a2—h2=yj\—k,e=—=—~~—=—,解得％=一--.

a324

Z=4或火=-2.故選：B.

4

【變式訓(xùn)練】

1.已知桶圓=1(^>0)的離心率e=半,則，”的值為.

【答案】g或3

【分析】分別對焦點(diǎn)在*軸和)'軸討論，結(jié)合離心率求解，〃即可.

r2V2

【詳解】已知橢圓方程為二+乙=1(%>0且機(jī)工5).當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，即0<〃?<5時，有

5m

a-y/5,b=\/m,

則。=癢正依題意得涔值=巫，解得膽=3.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，即機(jī)>5時，有

V55

a=\[m,b=5/5

貝―而二？，依題意有年=叵解得〃?=學(xué)，即加的值為3或今

\Jm533

22

2.方程」一+上=1表示的曲線是橢圓，則離心率的取值范圍是.

in-3團(tuán)―4

【答案】(0,1);

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.

[m-4>0

【詳解】由題意《)且初一3w/n-4,解得加>4,所以m?3>m-4,故焦點(diǎn)在x軸上。

[w-3>0

"a?=m-3,/?2=m-4

c2=a2-b2=1,e=/3(0,1)

22

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若橢圓氏§+/=1(〃>匕>0)的兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)恰

為正方形的四個頂點(diǎn)，則橢圓E的離心率是.

【答案】顯

2

【分析】由題易得6=。，再利用。2=。2一從計算即可.

【詳解】由己知，h=c,所以a=E^=6c，故離心率為e=￡=蟲.

a2

故答案為：立.

2

2.利用橢圓第一定義求離心率

【典例分析】

已知FK分別是橢圓提+卷=1(a>〃>0)的左、右焦點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，且

若歸用=G|p用，則橢圓的離心率為()

A.指一6B.2-百c.V3-1D.且

2

【答案】C

【分析】利用橢圓定義和勾股定理可構(gòu)造齊次方程求得離心率.

【詳解】設(shè)|P閭=加，則|尸用=6機(jī)，由橢圓定義知：(6+l)m=2a；

尸耳_LPK，.?.附「+忱用2=忻用2,g|j22.,

4m=4C(M=C

.?.(百+l)c=2a,.??橢圓的離心率《=5=高=百_1.故選：C.

【變式訓(xùn)練】

22

1.已知橢圓C:三+營=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為6,K，P為橢圓c上一點(diǎn)，且

7F

N-PK=§,若耳關(guān)于/耳。與平分線的對稱點(diǎn)在橢圓。上，則該橢圓的離心率為

【答案】乎【詳解】因?yàn)榫藐P(guān)于/尸建居的對稱點(diǎn)Q在橢圓。上,則

Pf；=PQ,；/片尸。=6(),.?.A￡P(guān)Q為正三角形，.?.6Q=6P，又

：FiQ+F[Q=Ff+F2P=2a,;.F2Q=F2P,

所以PQLx軸，設(shè)「工="則P耳=2/，6E=Qf,即

2c=gt2c_cVJ

n=—=e=-——,口義.「’不為—.

2a=3t2aa3t33

2..已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為耳，的，直線AB過耳與該橢圓交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)尸“8

為正三角形時，該橢圓的離心率為（）

A.立B.立C.—D.—

4332

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合余弦定理、橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)正三角形RAB的邊長為加，

22

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：「+4=1（。>8>0）,設(shè)左、右焦點(diǎn)分別為邛-。,0），瑪（c,0）,

a~b~

設(shè)3耳=工，則有4耳=加一工，由橢圓的定義可知：BFi+BF2=2a=>x+m=2af

■rr

在，中，由余弦定理可知：F^=BF；+BF^-2BFt-BF2cos-,

24,162c2。4。1.2Cy/3ri、上

4Ac-=—H---a~-2---------=>礦=3c'~=>e=—=—故選：BD

99332a3

22

3.已知橢圓C：=+==1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為B,尸2,點(diǎn)尸為C上一點(diǎn)，若線

ah

段尸石的中點(diǎn)在y軸上，且NPEK=30。，則橢圓C的離心率為（）

A.-B.3C.1D.叵

6（）33

【答案】D

【分析】由線段"的中點(diǎn)在y軸上，得尸用上》軸，由通徑長得|P聞，由直角三角形得仍同，

然后由橢圓定義得。力,關(guān)系，轉(zhuǎn)化可得離心率.

【詳解】由已知可得軸，附|=與，又々和=30",則附|=2颶=手，

2a=\PF]+\PF^—,:.3b2=2a2,e=￡=Jl—與=立.故選：D.

aa\a~3

3.焦點(diǎn)三角形與余弦定理

【典例分析】

22

己知尸是橢圓5+3=l（a>b>0）的一個焦點(diǎn)，若直線y=H與橢圓相交于A,8兩點(diǎn)，且

a2b，

ZAFB=60°,則橢圓離心率的取值范圍是（）

A.（弓,1）B.（0,奉C.（0,1）D.（；，1）

【答案】A

【分析】將A，8與橢圓的左、右焦點(diǎn)連接起來，由橢圓的對稱性得到一個平行四邊形，利用

橢圓的定義和余弦定理，結(jié)合重要不等式可得離心率的范圍.

【詳解】如圖設(shè)耳尸分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)直線卜=區(qū)與橢圓相交于4,8,連接

AF1,AF,BFt,BF.

根據(jù)橢圓的對稱性可得：四邊形為平行四邊形.

由橢圓的定義有：|A周+|AF|=2a,|即|=2c,4；AF=120。

由余弦定理有：目2_2|AKHAF|cosl20。

即4c2=（同+|何2一的.陰鄧用+陰）2一（同；1凹]

所以4c2訓(xùn)A用+1AF|fJ包出竺1]=4a2-a2=3/

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又、=丘的斜率存在，故43不可能在y軸上.

所以等號不能成立，即即￡>3,所以l>e>走故選:

a242

【變式訓(xùn)練】

22

1.已知產(chǎn)是橢圓E：￡+}=l（a>6>0）的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)。的直線/與橢圓E交于尸，Q

兩點(diǎn)，若仍?|=3依尸且NPfQ=120。，則橢圓E的離心率為（）

A.—B.；C.立D.立

4242

【答案】A

【分析】根據(jù)題意設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，根據(jù)正弦定理即可求得。和c的關(guān)系，即可求得橢圓的

離心率.

【詳解】解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)F'，連接PF',QF',根據(jù)橢圓對稱性可知四邊形Pb'Q為平

行四邊形，

則|QF|=|PF|，且由NPFQ=120。，可得/尸尸尸=60。，

1a

所以曰+|PFl=4|Pk|=2a,貝iJ|PF[=：a,|PF|=ja

由余弦定理可得

2

/耳尸片=§兀，則該橢圓離心率的取值范圍是.

【答案】pg,l）

【分析】根據(jù)橢圓定義，結(jié)合余弦定理得到耳小入尸=4從，再由基本不等式得到464a,

轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的不等式，求出取值范圍.

【詳解】由橢圓的定義可知：PFt+PF2=2a,

在居中，由余弦定理得：

cn，ppF_F^+F^-F^_^P+F2P^-2FxPF2P-F^_^-2F,PF2P_1

2F\PF2P2F1PF2P2F]PF?P2

所以々P?用P=4/,又耳p.匿尸4（6P；.尸）=4,即劭202,當(dāng)且僅當(dāng)K尸=^P時等號

成立，

故4/-4C24a2,所以3a244c2,e2＞|,解得：/[乎」）.故答案為：[等』）

22

3.已知橢圓方程為千■+￡=1（。＞人＞0）,左、右焦點(diǎn)分別為A、F”尸為橢圓上的動點(diǎn)，若

2片尸鳥的最大值為年，則橢圓的離心率為.

【答案】3

2

【分析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理可求得，，再利用公式e=可求得該橢圓的離

心率的值.

【詳解】由橢圓的定義可得|p6|+|「段=2%

|P用2+附2平周2（冏|+歸周丫一忻樓-2附|.|明

由余弦定理可得cos/月產(chǎn)鳥=

2|利?尸圖2附”尸身

4a2-4c21、4/4力22b2

，—[-------------------------]—------]—

2|尸用尸身~2J|Pf；|+|Pf；|V2//

因?yàn)镹耳尸鳥的最大值為則與一l=cos型=-,，可得與=J.,

3a232a24

因此，該橢圓的圖心率為e=￡=1—?1=J1一冬=-

4.頂角直角三角形型

【典例分析】

22

已知橢圓,+}=l（a>b>0）上一點(diǎn)A,它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為8,點(diǎn)尸為橢圓右焦點(diǎn)，且

滿足AFLBF,設(shè)立48尸=口,且aw—,yL則該橢圓的離心率。的取值范圍是（）

【答案】B

【分析】設(shè)橢圓得左焦點(diǎn)為F'，連接AF',8F,則四邊形AMU為矩形，從而有

\AB\=\FF'\=2c,由NABF=a,可得|瓶|=|明sina,|即|=|Afi|cosa,再根據(jù)橢圓的定義計

算即可得解.

【詳解】解：如圖所示，設(shè)橢圓得左焦點(diǎn)為尸'，連接AF'IF',

則四邊形A必尸為矩形，則|陰=|Wl=2c,|AF|=|M[,所以忸耳+怛F[=|BF]+|AF|=2a,

在RtaARF中,FlIZABF=a,W|-4^1=|sinar=2csina,|BF\-\AB\COSa-2ccosa,

c_]]「、

所以2rsina+2ccosa=2a,所以〃sina+cosa&sin（a+工），因?yàn)閍w—,所以

itit7兀]

a+—wmJ

4

所以0sin（a+jw

【變式訓(xùn)練】

1.設(shè)橢圓C:二+1?=l(“>b>())的右焦點(diǎn)為F，橢圓C上的兩點(diǎn)A,8關(guān)于原點(diǎn)對你，且滿

ab

足E4-F8=0，|FB|<|FA|<V3|FB|,則橢圓C的離心率的取值范圍為()

A.［制B.［冬gC.［73-1,1)D.性用

【答案】B

【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)尸'，由已知條件知四邊形AFBF'為矩形，利用橢圓的定義和勾股定

理化簡得到再根據(jù)網(wǎng)引附4陰雨，得到畫的范圍，然后利用對勾函數(shù)的值

nmb~〃

域得到，?的范圍，然后由e=

求解.

【詳解】如圖所示:

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)尸'，由橢圓的對稱性可知，四邊形

A反/為平行四邊形，

又FAFB=U，即必，必，所以四邊形AFBk為矩形，陰二|ET|=2c,

設(shè)|AF[=〃，|人目=機(jī)，在直角心43/中，6+〃=2々，W+〃2=4（?,得加2=2從，所以

mn2c2人加，殂12c2

—+—=—?令一"得「+-=1-，

nmb-ntZr

J（.\FB\<\FA\<\/3\FB\,得所以，，所以%￡

即匕￡126-3，!],所以二』工,4-26]所以橢圓C的離心率的取值范圍為

aL2Ja\_2_

e=*e[#，道-1,故選：B

22

2.設(shè)橢圓*+方=1S>QO）的左、右焦點(diǎn)分別為小尸”P是橢圓上一點(diǎn)，|尸耳|=川尸國,

IJT

（-<A<2）,NKPE=5,則橢圓離心率的取值范圍為（）

兒（。當(dāng)B.吟與C.[|/D.爭）

【答案】B

氏+1

【解析】設(shè)6（-。，0）,片（c,0）,運(yùn)用橢圓的定義和勾股定理，求得e2=令和=4十1,

可得2=%-1,即有薪=2（5-；）2+；，運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法，解不等式可得所求

范圍.

【詳解】解：設(shè)耳（-c,0）,K（c,O）,由橢圓的定義可得，|「耳|+|尸馬|=2°,可設(shè)|尸乙|=八

可得|「￡|=力，

即有。+)=2°,①由/￡尸鳥=],可得|PA『+|PEF=4C2,即為(萬+1)r=4/,②

—->A~+1.

由②+①2,可得e-=75~八？，令〃?='+1可得4=加-1,即有

(A+l)2

224-1m~-2/w+2.11->1

「r-=2(-v+5,

。+1)2

由:馳2,可得到3,即判|.則當(dāng)…2時，取得最小值卜當(dāng)加卷或3時,

取得最大值

9

即有g(shù)教好|?解得：自領(lǐng)力g,所以橢圓離心率的取值范圍為[孝，當(dāng)1.故選：B.

22

3.設(shè)橢圓C:=+[=l（a>b>0）的兩焦點(diǎn)為片，匕若橢圓C上有一點(diǎn)尸滿足NF\PF[=90°,

a-b-

則橢圓C的離心率的最小值為（）

A.旦B.且C.-D."

2333

【答案】A

【分析】由橢圓的幾何性質(zhì)求解

【詳解】由橢圓的幾何性質(zhì)知當(dāng)點(diǎn)P在短軸頂點(diǎn)時，/耳尸用最大，設(shè)短軸頂點(diǎn)為B,則

ZF,BF>90°,M->sin45°=—，

2a2

故選：A

5.焦半徑與第二定義

【典例分析】

已知橢圓C：￡+工=13>6>0）的左，右焦點(diǎn)匕，居，過原點(diǎn)的直線/與橢圓C相交于M,

a-b-

N兩點(diǎn).其中M在第一象限.可用，熙,則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A.（0,-^^—JB.（0,^6—2]

C.（0,6-11D.（馬6_11

【答案】D

【分析】由題設(shè)易知四邊形叫叫為矩形，可得2alM6|+2/=0,結(jié)合已知條件

有上>|華12,6-1）4即可求橢圓c的離心率的取值范圍.

【詳解】由桶圓的對稱性知：|N￡|=|gl，而ISI+I用耳1=2”,

又|剛=忻閭,即四邊形岫然為矩形,

所以|MK『+|M￡『=4C2,則21M居『-4a|M6|+4]=布且M在第一象限，整理得

222

\MF2^-2a\MF2\+2b=0,A=a-2b>0

所以|外|=?！?，片-?2,又?jǐn)[=需=碧露之手即〃>|“月[2（6-1%,

2

附用附用2a-\MF2\3/

二2尸整理得K'/jG所以冬

綜上，,

【變式訓(xùn)練】

222

1.設(shè)K，K分別為橢圓二+4=1（。＞人＞0）的左、右焦點(diǎn)，若在直線x=-2（c為半焦距）上

cTb"c

存在點(diǎn)尸，使伊耳I的長度恰好為橢圓的焦距，則橢圓離心率的取值范圍為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得到I"6|22c,得到《-“42c,求得￡士且，進(jìn)而求得橢圓離心率的范

ca3

圍.

【詳解】如圖所示，橢圓5+4=1,可得焦距忖凰=2c,

因?yàn)樵谝司€x=-三上存在力:P,使|尸耳|的長度恰好為橢圓的焦距，

C

可得|M耳區(qū)2c,即《_c42c,可得a2M3c之，即421，解得且

ca3a3

是底角為30。的等腰三角形，則E的離心率為（）

A1R百C3D1

A.-4D.2C.-4D.-2

【答案】C

【分析】由△尸2/用是底角為30。的等腰三角形，把仍園=忻用用表示出來后可求得離心

率.

a

【詳解】由題意可得|P閭=|月段，^（c-,0）,\PF2\=2\EF2\=2（^a-c）,如圖，

NP耳瑪=/丹尸舄=30。，則/尸乙￡=60。，NgPE=30。所以2§a-c）=2c,3a=4c,

3

e=：.故選：C.

4

6.第三定義與中點(diǎn)弦

【典例分析】

若橢圓,nr?+犯2=1（加>0,〃>0）與直線丫=1_》交于人，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段A3中點(diǎn)的連

線的斜率為則橢圓的離心率為（）

A.|B.—C.BD.—

2222

【答案】B

【分析】把y=i—x代入橢圓出?+〃y2=i得加/+〃。_*）2=1,由根與系數(shù)的關(guān)系可以推出

線段A8中點(diǎn)坐標(biāo)為（』一，』一］，再由原點(diǎn)與線段A3中點(diǎn)的連線的斜率為J，能夠算出

\m+nm+nJ2

生=:，進(jìn)而利用離心率的計算公式求出即可.

n2

【詳解】解：把y=1-X代入橢圓加t：2+〃y2=］得如+〃。一力2=i,

整理得（加+〃）12-2%+〃-1=0.設(shè)A（%,yJ,3（方,%），則為+M=----,弘+必=2------.

一m+nm+n

線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（'一,1一］,???原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的連線的斜率

〈加+〃m+nJ

tn

k=一+〃="=J_

nn2,

m4-n

人__,J_11111

由橢圓了了一，可知/=上，b2=~,則。2=“2-62=_1-_1.則橢圓的離心率

mntnn

mn

故選：B.

【變式訓(xùn)練】

22

1..已知橢圓C:「+4=l（a>〃>0）上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)為4,8,點(diǎn)M為橢圓C上異于4,

CTb-

8的一點(diǎn)，直線AM和直線8M的斜率之積為-!，則橢圓C的離心率為（）

A.-B.；C.走D.叵

4224

【答案】C

【分析】設(shè)“（X。/。），代入橢圓的方程，表示出"，由原M?&.=-!即可得據(jù)此即可

4a

求出離心率.

【詳解】由已知可設(shè)A（-a,0）,8（”,0）.

設(shè)〃（4,幾），由題設(shè)可得,與+*=1,所以巾再（a?_X：）.

aba''

因?yàn)?-k:%%B/（“FL1，

xQ+axQ-axQ-axQ-aa4

所以4=L則02=￡=七生=1一上=3,所以”也.

a24a2a2a242

2.已知直線x+〉-l=0與橢圓C：b2x2+a2y2=a2b2（a>b>0）相交于A,B兩點(diǎn)，且線段

AB的中點(diǎn)M在直線/：x-2y=O上，則橢圓C的離心率為（）

A.—B.BC.72D.；

222

【答案】A

【分析】將直線x+y-l=0代入橢圓方程整理得關(guān)于x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求出中點(diǎn)坐

標(biāo)，再由條件得到6=力2,再由“，hc的關(guān)系和離心率公式，即可求出離心率.

【詳解】解：將直線x+y—1=0代入橢圓方程得，

b2x2+a2（\-x）2=a2b2,即（從+a2）x2-2a2x+a2-a2b2=0,

設(shè)4%,y）,8*2，%），貝1」大+%=^~~7，

a-+h-

2?2

即A3中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是=J,縱坐標(biāo)是一J,

a~+ha-+b~

由于線段A3的中點(diǎn)在直線/：x-2y=（）上，則/=處2,又從="一02,

則〃=2/,e=-=—,即橢圓的離心率為".

a22

2

3.若A,B分別是橢圓E:f+匕v=1,（機(jī)＞1）短軸上的兩個頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上異于A,8的

m

4

任意一點(diǎn)，若直線A尸與5P的斜率之積為-一，則橢圓的離心率為.

m

【答案】立

2

4v~

（分析】點(diǎn)PCxo,y0）,利用直線4P與直線的斜率之積為，結(jié)合點(diǎn)P在橢圓E:V+工=1

mm

上，求出〃?，利用離心率公式即得解.

【詳解】設(shè)直線AP、2尸的方程為歹=&的（》—1）,y=&「（x+l）,點(diǎn)以），kAP=

臉=上

%+1

則&/=缶=4①'

,22

又點(diǎn)P在橢圓E:Y+匕=1上，x（）2-l=-迎②,

min

由①②得，m2=4,,■?加.?.zn=2.即離心率6=￡=2=也

aV22

7.焦點(diǎn)三角形：雙底角型

【典例分析】設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且NPK6=30。,/?g片=45。，其中K，瑪為橢圓的兩個

焦點(diǎn)，則橢圓的離心率e的值等于（）

A.（2+偽。+aB,（2-夜）（1+如

22

C（2+夜）（百-1）D（2-⑶回1）

*2,2

【答案】B

【分析】設(shè)|尸耳|=聞「用=〃，利用正弦定理，求得辦“與。的關(guān)系，進(jìn)而求得橢圓的離心率,

得到答案.

【詳解】設(shè)|P耳卜閭尸聞="國閭=2c,

在△「"之中’由正弦定理得磊n_2c

sin30sin105

./口m+n2c

可\j'=

sin45+sin30sin105

2c

又由IMI+I根卜小〃=2d所以再Ef

sin105

G01血

c_sin105_sin(60+45)_2X2+2%2

asin45+sin30sin45+sin30-Jl1

T+2

瓜+應(yīng)(2-夜)(1+揚(yáng)

2(>/2+1)-2

【變式訓(xùn)練】

22

1.設(shè)橢圓*■+/=1（“>力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為「、鳥，且|￡?=2c,若橢圓上存在點(diǎn)

M使得在中，列上"匹=包工絲過，則該橢圓離心率的取值范圍為.

ac

【答案】>/2-1<e<\

【分析】設(shè)/MK6=a,\MF]\=m.\MF2\=n9根據(jù)題意由正弦定理化簡可

得"=關(guān)，再根據(jù)a-c<|g|<a+c列式，結(jié)合離心率公式求解即可.

【詳解】設(shè)/M￡g=a,/M8耳=夕，|岬|=6，|M同=〃.

?八”廠廠??「A.…E+mnsinZMFRsinZ.MF.F,cm2a-n

在△MF罔中，由正弦定理有二二—，且-------」=-------」，n則il一=一=-----,

sin/sinaacann

解得〃=----.由于〃一C<|M居|<a+C,即（a+c）（a—c）v2〃2<（Q+C）~.

a+c

又儲—c2V2以2恒成立,則有缶<〃+c，得血-l<e<l.

故答案為：>/2-1<e<1

2.已知橢圓E的兩個焦點(diǎn)分別為工，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且tanP/譙=§,tanP/記=-3,

則橢圓E的離心率為一.

【答案】

4

【分析】由題意得到tanPFtF2tan尸尸/=一1,即3_LPF2,進(jìn)而求得歸用=黑，歸周=蕓,

V10M（）

8c

結(jié)合|P制+|P聞=2%得至IJF=2"，即可求得橢圓的離心率.

【詳解】因?yàn)閠anP6K=；,tanP^耳=-3,則tan2石名tan2乙6=-1,所以尸耳，尸鳥,

31

且cosPKK=sinPf；居=y,所以

|明|=舊用cosNP/第=不二,歸周=舊居卜出/2/笆=不

\!\\）5/10

乂由閥|+仍同=2"，即券+條■=？〃,即靠二凡所以”］乎.故答案為：f

vV1U

22

3.設(shè)P為橢圓5+力1C”＞。）上一點(diǎn),兩焦點(diǎn)分別為A,6，如果NPKK=75。,

/尸入K=15。，則橢圓的離心率為（）

「代D.B

B.—

A-T322

【答案】A

【分析】利用正弦定理可求萼然回的值，此值即為橢圓的離心率的倒數(shù)，故可求橢圓的

I耳引

離心率.

【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為半則忻q=2c.

在AP6居”」，由止弦定理有一因一=—膽一=忸聞,

sinNP巴耳sinZPF^sinZFtPF2

所以把1=幽_=上囿故閥I+-I幽

sin15°sin75°sin900'sin150+sin75°sin900'

整理得到粵華1=sin=°+sin75。=應(yīng)疝（15。+45。）=逅,

歸圖sin900''2

故網(wǎng)=立即《=亞故選:A.

2c23

8.焦點(diǎn)三角形：雙余弦定理型

【典例分析】

已知橢圓C的焦點(diǎn)為%F”過"的直線與C交于A,B兩點(diǎn)，若M用=忻引=京％|,則

C的離心率為（）

A.—B.@C.yD.-

2323

【答案】C

【解析】由題意可表示出A片、BF、、叫，在在AA耳巴和△明耳中利用余弦定理，再根據(jù)

cosNA7M+cosNMg=0,得到方程，解得.

2cAFt=2a-2c,%=?c,BF2=2a—^c

在反耳6和片中利用余弦定理可得

AF^=AF；+F.F.；-2AFt-FtF2cosZAF,F2oBF^=BF'+-2BF,-F,F2COSZB^/S

即（Ze?=（2?-2c丫+（2cp-2（2a-2c）-2ccosZAFtF2

-2—C-2C-COSZ/1FF,

m=（沙㈤5-

2

（2c）2-ha-|c

.cosNA-F+cosZAFF=0（2"2c）+（2c）—（2c）

2t2=0

2（2a-2c）?2c

2--c-2c

5

化簡可得2c°+9ac-5a2=0同除/得：2e?+9e-5=0解得e=1或e=-5（舍去）故選：C

2

【變式訓(xùn)練】

1.已知橢圓C:]+/=l（a>6>0）的上頂點(diǎn)A（（U）,左右焦點(diǎn)分別為耳，尸2連接做，并延

長交橢圓于另一點(diǎn)P,若|融|=|尸聞，則橢圓C的離心率為（）

-B.-C.昱D.逅

3636

【答案】C

【分析】根據(jù)題意及橢圓的定義，可求得|「耳|、歸月|的長，根據(jù)三角函數(shù)定義，求得

8$4耳。=￡根據(jù)余弦定理，可求得COSNPKE，根據(jù)兩角的關(guān)系，列出方程，代入離心率

a

公式，即可得答案.

【詳解】由題意得|。制=。,|。4|=匕,所以卜用=a,則|4"=|A娼+歸用=a+|P制，

由橢圓的定義可得|PK|+|P&=2a,所以|P段=2a-|P娟，因?yàn)閨網(wǎng)=|尸閭,

所以4+歸用=24-爐周，解得|「用=￡,|尸周=半，在RfA。月中，cosNA耳0=2,

在△「空中，cosNP.」時:呷「手、回”'信）一空￡因?yàn)?/p>

2忖用歸用2x@x2c加

2

NA《O+N尸耳鳥二；r,

所以cosNA4O=-cos/PKK，即J//",所以片=3^2所以^=9=￡.=@.故選:

aaca\a-3

C

r22

2.楠圓。:]+方v=1（a>6>0）的左焦點(diǎn)為點(diǎn)F,過原點(diǎn)。的直線與橢圓交于尸，。兩點(diǎn)，若

NP『0=12O。，|OF|=6,|。尸|=近，則橢圓C的離心率為（）

A73Rx/3「26門R

2333

【答案】B

（分析】設(shè)F'為橢圓的右焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓的對稱性,得到|PF|=|QF'|=叫尸尸|=|QF|=2所加,

分別在△打?尸和aFQF,利用余弦定理列出方程組，求得。=3,結(jié)合離心率的定義，即可

求解.

【詳解】解：設(shè)尸為橢圓的右焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓的對稱性可知，四邊形P/^QF'為平行四邊形，

^\PF\=\QF'\=/n,|PF'|=\QF\=2a-m,在△PQ尸中，歸@=2|0“=2*夕=2夕，

則|+1尸Q「-21PF||FQ|cosNPFQ=|=28,即加+(2a-x)2+x(2a-x)=28

在“F0F中，ZFPF'=180-NPFQ=60，貝ij|PF「+|PF『-2|PF||PF1COSNFPF'=|"'「=12,

即川+(2a-x)2-x(2a-x)=12,聯(lián)立方程組2工小\一，.，解得a=3,

m2+C2ax)2-x(2a-x)=12

22

3.已知F2,B分別是橢圓C:^+}=l(a>"0)的左焦點(diǎn)、右焦點(diǎn)、上頂點(diǎn)，連接B乙并

延長交C于點(diǎn)尸，若△尸［8為等腰三角形，則C的離心率為()

A.-B.yC.立D.—

3232

【答案】C

【分析】根據(jù)題意和橢圓的定義可得|即=|P制，進(jìn)而求出|「用=5,忸尸|=戶用=,

,利用余弦定理求出cosNBF?F、cosZPF2F,結(jié)合NB/^F+ZPF2F=》列出關(guān)于“與。的方程，

解方程即可.

【詳解】由橢圓的定義，得怛制+|%|=2%由橢圓的對稱性，^\BFt\=\BF2\=a,

設(shè)|尸閭=加，則|叫=°+旭，乂|P￡|+|P閭=2%所以歸耳|=2?-帆，因?yàn)?，尸?為等腰三