09-幾何與多元微積分

09幾何與多元微積分（下）復(fù)習(xí)題06級(jí)(2007.6.27)填空題（每小題5分，共30分）：1、當(dāng)時(shí)，的值等于。2、若函數(shù)在取得極值，則常數(shù)。3、設(shè)區(qū)域，則。4、設(shè)D為圓域：，則。5、在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)為。6、曲線在點(diǎn)處的切線方程為。試解下列各題（每小題6分，共30分）：1、設(shè)是由確定的函數(shù)，求，。2、通過(guò)交換積分次序計(jì)算積分。3、是由及所圍成的區(qū)域D的正向邊界，計(jì)算。4、設(shè)為拋物線上介于與之間的一段弧，計(jì)算。5、試證曲面上任一點(diǎn)處的切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的平方和等于常數(shù)。三、（10分）用鐵板做成一個(gè)體積為2m3四、（10分）求旋轉(zhuǎn)拋物面位于之間的那一部分的面積。五、（10分）利用球面坐標(biāo)計(jì)算積分，其中是由與所圍成的閉區(qū)域。六、（5分）計(jì)算，其中是錐面被平面所截的有限部分的下側(cè)。七、（5分）圓錐面底的半徑為a，高為h，質(zhì)量均勻分布，試求其重心的位置（不包括底面）。07級(jí)(2008.6.25)填空題（每小題4分，共28分）：1、設(shè)函數(shù)由方程所確定，則。2、函數(shù)的駐點(diǎn)是。3、根據(jù)二重積分的幾何意義，其中。4、。5、柱面以平面上的線段為準(zhǔn)線，母線平行于軸，則介于平面及曲面之間的部分的面積可用曲線積分表示為。6、設(shè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，是單連通域上任意簡(jiǎn)單閉曲線，且。則。7、設(shè)是面上的閉區(qū)域的上側(cè)，則。試解下列各題（每小題7分，共28分）：1、求曲面在點(diǎn)處的切平面和法線方程。2、計(jì)算二重積分，其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域。3、利用球面坐標(biāo)計(jì)算積分，為球體。、計(jì)算積分，其中是擺線自點(diǎn)到點(diǎn)的一段，為正的常數(shù)。三、（10分）求在圓域上的最大值和最小值。四、（10分）設(shè)圓形薄片的面密度函數(shù)為，試求薄片質(zhì)量。五、（10分）計(jì)算，其中是半錐面的介于及之間的那部分錐面。六、（10分）計(jì)算曲面積分，其中是旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面及之間的部分的下側(cè)。七、（4分）設(shè)在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，試證：。08級(jí)(2009.6.17)一、填空題（每小題4分，共40分）：1、函數(shù)在點(diǎn)處取得極值。2、函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)是。3、曲面在點(diǎn)處的切平面方程為。4、交換積分次序：。5、。6、設(shè)，則。7、設(shè)橢圓的周長(zhǎng)為，則曲面積分。8、設(shè)曲面，則曲面積分。9、設(shè)均勻螺旋形彈簧的方程為，它的線密度為，則它關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。10、設(shè)為正向圓周，則。二、試解下列各題（每小題8分，共24分）：1、設(shè)由方程所確定，求。2、設(shè)是由及所圍的有界閉區(qū)域，求。3、求，其中為平面被柱面所截得的部分。三、（10分）求從原點(diǎn)到曲面上的最短