拋物線的簡單幾何性質(zhì)一

關(guān)于拋物線的簡單幾何性質(zhì)一定義：在平面內(nèi),與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫拋物線.拋物線的定義及標準方程準線方程焦點坐標標準方程圖形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)y2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)一、溫故知新第2頁,共23頁，2024年2月25日，星期天范圍1、由拋物線y2=2px（p>0）有所以拋物線的范圍為二、探索新知如何研究拋物線y2=2px（p>0）的幾何性質(zhì)?拋物線在y軸的右側(cè)，當x的值增大時，︱y︱也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。第3頁,共23頁，2024年2月25日，星期天對稱性2、關(guān)于x軸對稱即點(x,-y)

也在拋物線上,故拋物線y2=2px(p>0)關(guān)于x軸對稱.則(-y)2=2px若點(x,y)在拋物線上,即滿足y2=2px，第4頁,共23頁，2024年2月25日，星期天頂點3、定義：拋物線與它的對稱軸的交點叫做拋物線的頂點。在y2=2px(p>0)中，令y=0,則x=0.即：拋物線y2=2px(p>0)的頂點（0，0）.只有一個注:這與橢圓有四個頂點,雙曲線有兩個頂點不同。第5頁,共23頁，2024年2月25日，星期天離心率4、P(x,y)拋物線上的點與焦點的距離和它到準線的距離之比，叫做拋物線的離心率。由定義知，拋物線y2=2px(p>0)的離心率為e=1.

下面請大家得出其余三種標準方程拋物線的幾何性質(zhì)。第6頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

歸納：拋物線的幾何性質(zhì)圖形方程焦點準線范圍頂點對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x軸y軸1第7頁,共23頁，2024年2月25日，星期天特點：1.拋物線只位于半個坐標平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;3.拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線;4.拋物線的離心率是確定的,為1;思考：拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響.P(x,y)P越大,開口越開闊第8頁,共23頁，2024年2月25日，星期天y2=2pxxyo·FlAB過焦點且垂直于對稱軸的直線被拋物線截得的線段AB叫做拋物線的通徑，長度為2pP越大，開口越闊補充（1）通徑：（標準方程中2p的幾何意義）利用拋物線的頂點、通徑的兩個端點可較準確畫出反映拋物線基本特征的草圖。第9頁,共23頁，2024年2月25日，星期天補充（1）通徑：|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長度：2PP越大,開口越開闊（2）焦半徑：連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的焦半徑。焦半徑公式：（標準方程中2p的幾何意義）第10頁,共23頁，2024年2月25日，星期天總結(jié)拋物線只位于半個坐標平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;拋物線的離心率是確定的，等于１；拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準線；拋物線的通徑為2P,2p越大，拋物線的張口越大.1、范圍：2、對稱性：3、頂點：4、離心率：5、通徑：第11頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

因為拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點M（２，），解:所以設(shè)方程為：又因為點M在拋物線上：所以：因此所求拋物線標準方程為：

例１：已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點M（２，），求它的標準方程.三、典例精析坐標軸當焦點在x(y)軸上,開口方向不定時,設(shè)為y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免討論第12頁,共23頁，2024年2月25日，星期天變式：求頂點在坐標原點，對稱軸

為坐標軸，并且經(jīng)過點M（２，）

的拋物線的標準方程?；虻?3頁,共23頁，2024年2月25日，星期天練習１：頂點在坐標原點，焦點在y軸上，并且經(jīng)過點M（4,２)的拋物線的標準方程為()第14頁,共23頁，2024年2月25日，星期天練習2：頂點在坐標原點，對稱軸是X軸，點M（-5,)到焦點距離為6,則拋物線的標準方程為()或D第15頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例2、斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長。第16頁,共23頁，2024年2月25日，星期天xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點,求線段AB的長.y2=4x解法一:由已知得拋物線的焦點為F(1,0),所以直線AB的方程為y=x-1設(shè)則第17頁,共23頁，2024年2月25日，星期天xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點,求線段AB的長.y2=4x解法二:由題意可知,第18頁,共23頁，2024年2月25日，星期天分析：運用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷．變式：過拋物線y2=2px的焦點F任作一條直線m，交這拋物線于A、B兩點，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準線相切．第19頁,共23頁，2024年2月25日，星期天證明：如圖．

所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，因而圓E和準線l相切．設(shè)AB的中點為E，過A、E、B分別向準線l引垂線AD，EH，BC，垂足為D、H、C，則｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜

=2｜EH｜第20頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

練習:1.已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長是______________.2.過拋物線的焦點,作傾斜角為的直線,則被拋物線截得的弦長為_________3.垂直于x軸的直線交拋物線y2=4x于A、B,且|AB|=,求直線AB的方程y2=8xX=3第21頁,共23頁，2024年2月25日，星期天四、歸納總結(jié)拋物線只位于半個坐標平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；拋物線只有一條對稱軸,