【模擬測試】高考數(shù)學(xué)試卷及答案

高考模擬測試數(shù)學(xué)試題

滿分150分，時間120分鐘.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|-l<x<3},則AD8=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2,3}C.{-1,0,1,3}D.{-1,0,1,2)

2已知復(fù)數(shù)z滿足iz=l+3i,則z=()

A.3+iB.3—iC.一3一iD.—3+i

3.為了解學(xué)生參加知識競賽的情況，隨機抽樣了甲、乙兩個小組各100名同學(xué)的成績，得到如圖的兩個頻

率分布直方圖，記甲、乙的平均分分別為辱、石，標(biāo)準(zhǔn)差分別為叫、S乙，根據(jù)直方圖值計甲、乙小組的

4.己知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{%}的前3項和為14,4=2,則數(shù)列{a,,}的公比等于()

A.4B.3C.2D.1

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入N=5,則輸出S=()

/輸入A/

1,5=0

S+內(nèi)|每7

J+；?（蠢）

I

6.在AABC中，點。滿足而=3麗，則（）

uun1uur3uir—?2—■1―-

A.CD=-CA+-CBB.CD=-CA+-CB

4433

C.CD=-CA+-CBD.CD=-CA+-CB

4433

7.已知Q4為球。的半徑，M為線段04上的點，且A〃=2M。，過M且垂直于。4的平面截球面得到

圓若圓M的面積為8%,則Q4=（）

A.2A/2B.3C.26D.4

8.拋物線有一條性質(zhì)為：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已

知拋物線C:：/=4x,在拋物線內(nèi)，平行于x軸的光線射向C,交。于點尸，經(jīng)尸反射后與C交于點Q,

則IPQI的最小值為（）

A.]B.2C.4D.8

9.在棱長為2的正方體ABCD-ABCQI中，M是棱A4的中點，G在線段與M上，且

則三棱錐M-AAG的體積為（）

10.2021年10月16日0時23分，長征二號F遙十三運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火升空，582秒后，

神舟十三號載人飛船進入預(yù)定軌道，順利將翟志剛、王亞平、葉光富三名航天員送入太空.在不考慮空氣

阻力的條件下，從發(fā)射開始，火箭的最大飛行速度V滿足公式：v=wlnh+^-^|,其中M為火箭推進劑

質(zhì)量，〃?為去除推進劑后的火箭有效載荷質(zhì)量，W為火箭發(fā)動機噴流相對火箭的速度.當(dāng)M=3加時，

n=5.544千米/秒.在保持卬不變的情況下，若加=25噸，假設(shè)要使丫超過第一宇宙速度達到8千米/秒，

則M至少約為（結(jié)果精確到1，參考數(shù)據(jù)：e2?7,389.In2?0.693）（）

A135噸B.160噸C.185噸D.210噸

11.經(jīng)過雙曲線C:3-今=im＞0/＞0）右焦點R的直線/與C的兩條漸近線4，4分別交于A,B兩點，

a~b-

,umiuu

若/_L/i，且BF=3E4,則該雙曲線的離心率等于（）

A.—B.冬生C.y/2D.2

23

12.若函數(shù)/（刈=/一4%+。111%有兩個極值點，設(shè)這兩個極值點為再，％，且芭＜Z，則（）

A%（G（1,2）B.Xj+x2＜2C.f（x,）＜-3D.f（Xj）＞-3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x＞y

13.已知x,＞滿足＜x+y-2M0,則z=x+2），的最大值為.

y2-1

14.抽獎箱里有大小相同、質(zhì)地均勻的紅球、白球、黑球各2個，抽獎規(guī)則為：每次從中隨機抽取2個小球,

按抽到小球的顏色及個數(shù)發(fā)放獎品，抽到每個紅球獲得價值5元的獎品，每個白球獲得價值1元的獎品，黑

球不能獲得獎品.抽獎一次，所得獎品的價值為6元的概率是.

15已知數(shù)列｛?！埃凉M足q=1,an+an+l=n,貝|]4（）=.

16.已知函數(shù)/（%）=sin（ox+-0（。＞0）在區(qū)間[°，方）上有且僅有4個零點，則3的取值范圍是

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.如圖，四棱錐尸一ABCD的底面是平行四邊形，平面ABC。，ADLBD＞M是P4的中點.

(1)證明：PC〃平面瓦加；

⑵若PD=AD=BD，求直線AB與平面BDM所成角的大小.

18.在能源和環(huán)保的壓力下，新能源汽車無疑將成為未來汽車的發(fā)展方向.2016年4月，為促進新能源汽車

發(fā)展，實施差異化交通管理政策，公安部啟用新能源汽車專用號牌.2020年11月，國務(wù)院辦公廳印發(fā)《新

能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃(2021-2035年)》，要求深入實施發(fā)展新能源汽車國家戰(zhàn)略，推動中國新能源汽車產(chǎn)

業(yè)高質(zhì)量可持續(xù)發(fā)展.下表是2016年至2020年新能源汽車年銷量(單位：十萬輛)情況：

年份20162017201820192020

年份編號X12345

年銷量y57121214

(1)完成下表;

年份編號x12345

Xj-X

y-9

(2)試建立年銷量》關(guān)于年份編號x的線性回歸方程y^bx+a.

(3)根據(jù)(2)中的線性回歸方程預(yù)測2023年新能源汽車的年銷量.

°可(y-9)

參考公式：右=上—------------，a=y-bx.

可2

1=1

19.已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,。，且滿足①C=2B；@bcosA^acosB；

③〃-c2=a2--Jlac-

(1)從①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立；

(2)若。為線段AB上一點，且NBCD=L/B,CD=4,求△BCD的面積.

2

20.已知橢圓C:9+y2=i左、右頂點分別為4、4,下、上頂點分別為用、B2.記四邊形A田兒與

的內(nèi)切圓為E.

(1)求E的方程；

⑵過點加(加,0)(加>0)作E的切線/交C于4、8兩點，求|A8|的最大值.

21.設(shè)函數(shù)/,(X)=/-orlnx,oeR.

(1)若a=1,求曲線y=fW在點(1,7(D)處的切線方程；

(2)若存在％使得/(與)<一6(“+6)成立，求”的取值范圍.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.并用鉛筆在答題卡選考題區(qū)域

內(nèi)把所選的題號涂黑.如果多做，則按所做的第一題計分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

,、{x-tcosa

22.已知圓C的方程為(x—+(y—1)2=9,直線/的參數(shù)方程為《.為參數(shù)，0WQ<%).以

y=rsina

原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)/與C交于A,B兩點,當(dāng)|。4|+|08|=2近時，求/的極坐標(biāo)方程.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知/(X)=|x-21+1x—31.

⑴解不等式/(元)之3；

12

(2)記/(幻的最小值為加，若〃，Z?都是正數(shù)，且一+一=加，證明：a^2h>9.

ab

答案與解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合人={—2,T,0,l,2},B={x|-l<x<3},則ADB=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2,3}C.{-1,0,1,3}D.{-1,0,1,2)

［答案］D

［解析］

［分析］由交集的定義直接求解即可

［詳解］因為A={-2,-1,0,1,2},B={%|-1<%<3),

所以408={-1,0,1,2},

故選：D

2.已知復(fù)數(shù)z滿足iz=l+3i,則z=()

A.3+iB.3—iC.—3—iD.—3+i

［答案］B

［解析］

［分析］直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算即可得出答案.

［詳解］解：因為iz=l+3i,

所以z=1*°'=-i(l+3i)=3-i.

故選：B.

3.為了解學(xué)生參加知識競賽的情況，隨機抽樣了甲、乙兩個小組各100名同學(xué)的成績，得到如圖的兩個頻

率分布直方圖，記甲、乙的平均分分別為膈、石，標(biāo)準(zhǔn)差分別為s甲、壇，根據(jù)直方圖值號甲、乙小組的

平均分及標(biāo)準(zhǔn)差，下列描述正確的是()

［答案］A

［解析］

［分析］先由頻率分布直方圖計算平均數(shù)，再由集中程度比較標(biāo)準(zhǔn)差的大小.

［詳解］因為=0.12x1.5+0.64x2.5+0.12x3.5+0.08x4.5+0.04x5.5=2.78

%乙=0.15x1.5+0.2x2.5+0.27x3.5+0.23x4.5+0.15x5.5=3.53,所以無日<&.

又甲組的數(shù)據(jù)比乙組更集中，所以s甲<s乙.

故選：A

4.己知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的前3項和為14，6=2,則數(shù)列｛q｝的公比等于()

A.4B.3C.2D.1

［答案］C

［解析］

［分析］根據(jù)等比數(shù)列的前"項和公式進行求解即可.

［詳解］設(shè)數(shù)列｛q｝的公比為儀4>0),因為等比數(shù)列(??｝的前3項和為14，

而4=2,顯然qN1,

所以14=—ng3-7<7+6=0ng3—g—6q+6=0

i-q

=>q(q+l)(q-1)-6(q—1)=0=>(g-1)(4?+-6)=0,

解得4=1,或q=2,或夕=一3,而qwl,<7>0,所以q=2,

故選：c

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入N=5,則輸出S=()

［答案］B

［解析1

［分析］模擬執(zhí)行如圖所示的程序框圖，即可求出程序運行后輸出的S的值.

［詳解］解：當(dāng)左=1時，滿足進行循環(huán)的條件，s=o+—L=L,

1x22

當(dāng)&=2時，滿足進行循環(huán)的條件，S=-+—=-

22x33

213

當(dāng)左=3時，滿足進行循環(huán)的條件，S=—+——=-

33x44

314

當(dāng)我=4EI寸，滿足進行循環(huán)的條件，S=-+——=-

44x55

當(dāng)k=5時，不滿足進行循環(huán)的條件,

…4

故輸出；"二S=—.

5

故選：B.

6.在中，點。滿足4b=3。巨，則()

uun]uir3111r

A.CD=-CA+-CBB.CD=-CA+-CB

4433

―-3—1—

C.CD=-CA+-CBD.CD=-CA+-CB

4433

［答案］A

［解析］

［分析］根據(jù)平面向量的線性運算及平面向量基本定理即可得出答案.

已詳解］解：CD=CA+AD=CA+^AB=CA+^(CB-CA)=-CA+^CB.

故選：A.

7.已知Q4為球。的半徑，M為線段04上的點，且A〃=2M。，過M且垂直于。4的平面截球面得到

圓若圓M的面積為8%,則Q4=()

A.2A/2B.3C.26D.4

［答案］B

［解析］

［分析］如圖所示，由題得設(shè)球的半徑為R，解方程六=1六+(2&)2即得解.

9

［詳解］解：如圖所示，由題得乃xBA/2=84,3加=20.

設(shè)球即半徑為R,則M0=』R,0B=R,

3

所以A?=！R2+(20)2,.R=3=QA.

9

故選：B

8.拋物線有一條性質(zhì)為：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已

知拋物線C：V=4x,在拋物線內(nèi)，平行于x軸的光線射向C,交。于點p,經(jīng)P反射后與C交于點。，

則IPQI的最小值為（）

A.1B.2C.4D.8

［答案］C

［解析］

［分析］根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知，反射線PQ必過拋物線的焦點F,可設(shè)直線PQ的方程為X=my+1,

P（N，X），Q（X2，%），聯(lián)立，消》,利用韋達定理求得x+%，X%，再根據(jù)弦長公式結(jié)合二

次函數(shù)得性質(zhì)即可得出答案.

［詳解］解：根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知，反射線PQ必過拋物線的焦點尸，

由拋物線。：丁=4%，得焦點尸（1,0）,

可設(shè)直線PQ即方程為x=my+\,P（再,y）,Q（W，%），

2

y=4x2

聯(lián)立〈，消X整理得y2—4my—4=0,

x=my+1

則M+%=4m,yty2=-4,

所以|=V1+w2,+yj-4）,］%=+16）=41+〃/）,

所以當(dāng)小2=0,即加=0時，|PQ|取得最小值，最小值為4.

故選：C.

9.在棱長為2的正方體ABC。-A萬GA中，A/是棱AA的中點，G在線段與M上，且"GJ?旦M,

則三棱錐M-AAG的體積為()

4121

A.—B.-C.—D.—

1551515

［答案］C

［解析］

［分析1如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)前=2月M，然后根據(jù)列方程求出4的值，從而可

確定出點G的位置，進而可求出三棱錐M-4AG的體積

［詳解］如圖，以4為原點，分別以A耳,AA，4A所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

B,(2,0,0),D］(0,2,0),M(0,0,1),所以府=(-2,0,1),

設(shè)配=2印W,則郎=(-240,4),所以G(2—240,九)，

所以床=(2—2/1,—2"),

UllUIULIU1U

因為所以2G-gM=0，

4

所以一2(2—2/l)+0x(—2)+幾=0,解得

所以G(|,0,￡|,

2

所以點G到平面A的距離為4=:,

所以^M-\DXG~二，d

=1X1X2XU=2

32515

故選：c

10.2021年10月16日0時23分，長征二號F遙十三運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火升空，582秒后，

神舟十三號載人飛船進入預(yù)定軌道，順利將翟志剛、王亞平、葉光富三名航天員送入太空.在不考慮空氣

阻力的條件下，從發(fā)射開始，火箭的最大飛行速度v滿足公式:,其中M為火箭推進劑

質(zhì)量，加為去除推進劑后的火箭有效載荷質(zhì)量，卬為火箭發(fā)動機噴流相對火箭的速度.當(dāng)朋=3加時，

丫=5.544千米/秒.在保持卬不變的情況下，若加=25噸，假設(shè)要使v超過第一宇宙速度達到8千米/秒,

則M至少約為(結(jié)果精確到1，參考數(shù)據(jù)：e?37.389，In2ao.693)()

A.135噸B.160噸C.185噸D.210噸

［答案］B

［解析］

［分析］根據(jù)所給條件先求出卬，再由v=8千米/秒列方程求解即可.

［詳解煙為當(dāng)M=3帆時，u=5.544,

5.5445.544

所以卬=

In421n2

由v=winI1+—j=純m（i+竺）=8,

Im）21n225

得in1+葛

?2,

所以l+—Mze2,=7.389,

25

解得"=159.725a160（噸），

即M至少約為160噸.

故選：B

22

11.經(jīng)過雙曲線C邑-4=1（。>0/>0）右焦點廠的直線/與c的兩條漸近線4，，2分別交于A,8兩點,

ab~

UUUUli

若/_L/「且3尸=3必，則該雙曲線的離心率等于（）

A.旦B.馬色C.^2D,2

23

［答案］A

［解析］

［分析］求雙曲線的漸近線，并求直線/與漸近線交點坐標(biāo)，再由向量方程可得解.

22

［詳解］雙曲線C:二一［=1漸近線為：y=±-x,焦點廠（c,o），

ab-b

設(shè)直線/方程：x="+j

h

y=-xbe

則由列方程組《a可得以

a-bt

x=ty+c

同理可得丁8=一一”一

a+bt

be3bc

因為礪=3百，所以

a+bta-bt

/FIa]2bhib

但'=-9'*=一"’而/=￡

222

因為/_L/］,所以砥尸?&,==一1,...c-a+h

所以e=逅.

2

故選：A.

12.若函數(shù)/(乃=/一4九+alnx有兩個極值點，設(shè)這兩個極值點為王，馬，且西<々，則()

A.x,G(1,2)B.xt+x2<2C.D./(%))>-3

［答案］D

［解析］

［分析］求導(dǎo)分析出函數(shù)/(%)的極大值點即可.

［詳解］Qf(x)=x2-4x+alnx,

八/a2x2-4x+a

r(x)=2x-4+—=

XX

令/'(x)=0,則方程2x2-4x+a=0兩根為X1,x2,且0<石</，

所以△=42-4x2a>0，a<2,

xt+x2=2,玉?尤2=；<1，所以0<玉<1,\<x2<2

%為/(x)的極大值點，即/(％)>/⑴=-3.

故選:D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x>y

13.已知x,>滿足，x+y-2W0,則z=x+2.y的最大值為

y>-1

［答案］3

［解析］

［分析］作出可行域，根據(jù)直線截距的意義，數(shù)形結(jié)合求解即可.

［詳解］作出可行域，如圖，

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x+2y過點A時，z取得最大值，

x-y=0/、

聯(lián)立〈-c八，解得x=y=l,即41,1),

x+y-2=0

所以z=x+2y的最大值為Zmax=l+2xl=3.

故答案為:3.

14.抽獎箱里有大小相同、質(zhì)地均勻的紅球、白球、黑球各2個，抽獎規(guī)則為：每次從中隨機抽取2個小球,

按抽到小球的顏色及個數(shù)發(fā)放獎品，抽到每個紅球獲得價值5元的獎品，每個白球獲得價值1元的獎品，黑

球不能獲得獎品.抽獎一次，所得獎品的價值為6元的概率是.

…4

［答案不

［解析］

［分析］根據(jù)所得獎品的價值為6元可以確定紅球、白球的個數(shù)，結(jié)合古典概型計算公式進行求解即可.

［詳解］因為抽到每個紅球獲得價值5元的獎品，每個白球獲得價值1元的獎品，

所以當(dāng)所得獎品的價值為6元時，必有一紅一白，

r1C14

因此所得獎品的價值為6元的概率為：十產(chǎn)=工，

_4

故答案為：一

15

15.已知數(shù)列｛%｝滿足％=1,an+an+i=n,則%。=.

［答案］9

［解析］

a,+%=〃，、

［分析］根據(jù)題意可得《n+,，兩式相減可得數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是以1為公差的等差

14+2+。向=〃+1

數(shù)列，求出。2,從而可得出答案.

a.+a=n

［詳解］解：因為?！?。用=〃，所以《nx，，

［4+2=〃+1

兩式相減得%+2-%=1，

所以數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是以1為公差的等差數(shù)列，

又生=1T=0，

所以&o=O+lx(10_l)=9.

故答案為：9.

16.已知函數(shù)/(x)=sin(/x+>0)在區(qū)間(0,葛)上有且僅有4個零點，則3的取值范圍是

［答案］(三,1)

［解析］

［分析］根據(jù)函數(shù)零點定義，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.

［詳解］令/(x)=sin(④r+5)一0=()n3=sin(刃％+，顯然有0<⑦W1,

設(shè)g(x)=sin((yx+?］,

令啰x+?=f,因為xe(0,g5),所以re］?，?)

原問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)三《"J時，函數(shù)y=sin/,y=口有四個交點，

因為sin巳=sin也=立，所以有且〈/〈I,而0<0工1,因此且

33222

故答案為:,1)

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.如圖，四棱錐P—ABCD的底面是平行四邊形，平面438,AD1BD，M是Q4的中點.

(1)證明：PC〃平面以加；

(2)若=AD=89，求直線AB與平面BDM所成角的大小.

［答案1(1)證明見解析；

⑵30.

［解析］

［分析］(1)證明MO//PC.原題即得證；

(2)證明ZABM就是直線AB與平面BDM所成的角，再解三角形得解.

［小問1詳解］

證明：連接AC交3。于點0,連接

因為AM=PM,AO=OC,所以MO〃PC.

又MOu平面BDM，PCZ平面BDM,

所以PC〃平面RW.

［小問2詳解］

解：設(shè)？￡>=45=80=1，

因為P￡>_L平面A3C。，所以PDLBD,;.PB=6.

因為4)_LB。，所以A8=J5.

因為AM=PM,:.MBVAM.

因為PD=AD,AM=PM,:.AM=—,AM±DM,

2

又AMn=M,AM,BMu平面BDM,

所以AM,平面期

所以ZABM就是直線AB與平面BDM所成的角，

交

由題得sinZABMZABM=30

=4及2

所以直線A8與平面BDW所成的角為30.

18.在能源和環(huán)保的壓力下，新能源汽車無疑將成為未來汽車的發(fā)展方向.2016年4月，為促進新能源汽車

發(fā)展，實施差異化交通管理政策，公安部啟用新能源汽車專用號牌.2020年11月，國務(wù)院辦公廳印發(fā)《新

能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃(2021-2035年)》，要求深入實施發(fā)展新能源汽車國家戰(zhàn)略，推動中國新能源汽車產(chǎn)

業(yè)高質(zhì)量可持續(xù)發(fā)展.下表是2016年至2020年新能源汽車年銷量(單位：十萬輛)情況：

年份20162017201820192020

年份編號X12345

年銷量》57121214

(1)完成下表;

年份編號X12345

X-7

(2)試建立年銷量丁關(guān)于年份編號工的線性回歸方程y=bx+a-,

(3)根據(jù)(2)中的線性回歸方程預(yù)測2023年新能源汽車的年銷量.

,S(x,.-x)(y,-y)

參考公式：方=上―------------，a=y-bx.

f--可2

/=1

［答案］(1)見解析(2)》=2.3x+3.1

⑶21.5

［解析］

［分析］(1)分別求出年份編號和年銷量的平均數(shù)，完成表格即可;

(2)根據(jù)公式分別求出R。，即可得出答案；

(3)2023年的年份編號為8,將x=8代入回歸方程即可的解.

［小問1詳解］

--1+2+3+4+55+7+12+12+14,八

解:x=--------------=3,y=------------------=10,

55

填表如下：

年份編號x12345

xi-X-2-1012

x-y-5-3224

XJX

E(--)(-7)10+3+0+2+8ci

［小問2詳解］解：g=上1F---------------------------=2,5

fa-元y4+1+0+1+4

i=\

a=y—bx=10—2.3x3=3.1,

所以年銷量y關(guān)于年份編號X的線性回歸方程為y=2.3X+3.1；

［小問3詳解］

解：2023年的年份編號為8,

當(dāng)x=8時，y=2L5，

所以預(yù)測2023年新能源汽車的年銷量為21.5十萬輛.

19.已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足①。=2B：②匕cosA=acosB；

@b2-c2-a2—yflac-

(D從①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立；

(2)若。為線段A8上一點，且=CD=4,求△3C0的面積.

2

［答案］(1)見詳解；

(2)4.

［解析］

［分析］根據(jù)所給條件構(gòu)造命題，用正弦定理或余弦定理證明；

用正弦定理及面積公式求解.

［小問1詳解］

“由①②=>③”

證明：因為〃cosA=QCOS5,由正弦定理：2Rsin3cosA=2RsinAcosB,

所以sin(A—5)=。，A=B

71

因為C=2B,A+5+C=;r,所以A=—,

4

由余弦定理得：b2-c2=a2-y/2ac

“由②③二①“

jr

因為。2_02=/一缶c，由余弦定理得4=:，

4

因為力cosA=QCOSB,由正弦定理：2Rsin/cosA=2RsinAcosB，

■jrrr

所以sin（A-3）=0,A=B=-,所以。=彳，C=2B

“由①③=>②"

jr

因為從_<?=/一缶,,由余弦定理得4=一，

4

乃4

又C=23,A+B+C=TU,所以3=—，C=-

42

所以三角形ABC為等腰直角三角形，a=b

故，bcosA=acosB

［小問2詳解］

由已知設(shè)AC=x，則3C=x,AB=V^x,ZA=ZB=—,ZACB=—,

42

IJI3兀

因為N3CD=—NB=上,所以NAC￡>=NADC=",

288

所以08=（正—l）x,根據(jù)正弦定理得:CDBC

sin/BsinZCDB

4x

則.冗~7~~x=4^2sin—,

sinsin7t——

4I8J8

SyJBCD=-CBCDsmZBCD=2xsin-=872sin—sin-

2888

=8夜sin—cos—=4>/2sin—=4.

884

2

20.已知橢圓c：，+>2=1的左、右頂點分別為4、4,下、上頂點分別為用、記四邊形4耳4與

B2.

的內(nèi)切圓為E.

(1)求E的方程；

⑵過點〃。幾0)(加>0)作E的切線/交C于48兩點，求|AB|的最大值.

3

［答案］(1)/+、2=

4

(2)2

［解析］

［分析］⑴根據(jù)橢圓方程求出A2,打得坐標(biāo)，從而可求得直線的方程，再利用點到直線得距離公式求出

原點到直線4&的距離，即為圓E的半徑，從而可得出答案；

(2)由題意知：>—,可設(shè)直線/的方程為*="+機，根據(jù)直線/與圓E相切，可得=則

m2，產(chǎn)+12

2/22.&______Ip2/_1

有“2=3=，設(shè)A(x，yJ,B(w，y2)，聯(lián)立《石一，消工，利用韋達定理求得X+%，%%，再

［x=ty+m

利用弦長公式結(jié)合基本不等式即可得出答案.

［小問1詳解］

解：因為演為分別為橢圓的右頂點和上頂點，則為(0,0),生(0,1),

可得直線4員的方程為國+y=l，即X+0y—0=0,

則原點到直線4B,的距離d二昱,

2

則圓E的半徑r=d=Y3，

2

所以圓E的方程為/+/==；

［小問2詳解］

解：由題意知：m>?

2

可設(shè)直線/的方程為x=)+m,

帆石而223產(chǎn)+3

則-7」!==—，所以m-=--------

7^7124

設(shè)4(不凹),8(9,必)，

2

X?2_j

聯(lián)立《,消x整理得（產(chǎn)+3）/+2加9+加2—3=0,

x=ty+m

A=4rm2-4（/+3）（〃，-3）=12（r-m2+3）=3（r+9）>0,

2tmm2-3

則y+%

|A5|=J1+產(chǎn)-+4?必

2tmjm2-3

=Ji+產(chǎn)?I一F

r+3

同2+9)

Ji+7?

於+3

3〉》

S卜+――

V廠+下+6

<V3-1+-^=—=2

\、FI+6

Q

當(dāng)且僅當(dāng)『=5，即時，取等號,

所以|A8|的最大值為2.

21.設(shè)函數(shù)/（x）=j?-,awR.

(1)若a=l,求曲線y=/(%)在點(1,/(D)處的切線方程;

(2)若存在/eU，e］,使得/(不)<-6(。+6)成立，求”的取值范圍.

［答案］a)y=x

,1、

(2)(-oo,-e——)

e

［解析］

［分析］(1)令a=l,分別求出了⑴=1，/(1)=1,從而得到答案；

22

(2)化簡得x—0nx+三墳<0,設(shè)g(x)=x—alnx+hC,對g(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的思想分類討

XX

論最終求出答案.

［小問1詳解］

令a=l,得/(x)=x2-x］nx,尤>0

/.f'(x)-2x-\nx—l

.?./⑴=1,/⑴=1

...y=x曲線y=/(x)在點(1,/(I))處的切線方程.

［小問2詳解］

/(x)<-e(?+e)

，X2-axlnx<-e(a+e)

化簡得x-alnx+^^<0,

X

2

設(shè)g(x)=x-。Inx+e+"C

x

222

mil，/、，ae+tzex-ax-(e+ae)(尤一e-a)(x+e)

則g0)=1-------------=------------$----------=-----------2---------，

XXXX

Vxe［l,e］,Ax+e>(),令g'(%)=0,得到x=e+a

若e+Q<l,即。Wl—e時，g'(尤)NO,g。)在x￡［l,e］上單調(diào)遞增，

?-1-e21

只需g⑴=l+e2+“e<0即可，解得〃=—e—±；

ee

若e+aNe,即。40時,g'(x)<0,g(x)在xe［l,e］上單調(diào)遞減，

只需g(e)=e-a+e+a=2e<0,此時不成立；

若l<e+a<e,即1一e<a<0時，

當(dāng)xe［1,e+a)時g'(x)<0,此時g(x)是單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(e+a,e］時g'(x)>0,此時g(x)是單調(diào)遞增,

g(x)在xe［1,e］上的最小值為g(e+a)=2e+a-aIn(e+a)

只需2e+a—aln(e+a)<0,即“+〉in(e+a)

Vl-e<a<0><o,0<ln(e+a)<l,則“+為>g(e+a)不成立,

aa

綜上所述：。的取值范圍為

e

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.并用鉛筆在答題卡選考題區(qū)域

內(nèi)把所選的題號涂黑.如果多做，則按所做的第一題計分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］