2019年湖北省武漢市中考數(shù)學試卷（解析版）

2019年湖北省武漢市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）（2019?武漢）實數(shù)2019的相反數(shù)是（）

A.2019B.-2019C.——D.一--

20192019

【考點】14：相反數(shù)；28：實數(shù)的性質(zhì).

【專題】511：實數(shù).

【分析】直接利用相反數(shù)的定義進而得出答案.

【解答】解：實數(shù)2019的相反數(shù)是：-2009.

故選：B.

【點評】此題主要考查了相反數(shù)，正確把握相反數(shù)的定義是解題關鍵.

2.（3分）（2019?武漢）式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則尤的取值范圍是（）

A.x>0B.尤2-1C.D.xWl

【考點】72：二次根式有意義的條件.

【專題】62：符號意識；68：模型思想.

【分析】根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，可得答案.

【解答】解：由題意，得

x-120,

解得

故選：C.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，利用被開方數(shù)是非負數(shù)得出不等式組是解

題關鍵.

3.（3分）（2019?武漢）不透明的袋子中只有4個黑球和2個白球，這些球除顏色外無其他

差別，隨機從袋子中一次摸出3個球，下列事件是不可能事件的是（）

A.3個球都是黑球B.3個球都是白球

C.3個球中有黑球D.3個球中有白球

【考點】XI：隨機事件.

【專題】543：概率及其應用.

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事件的類型.

【解答】解：A、3個球都是黑球是隨機事件；

B、3個球都是白球是不可能事件；

C、3個球中有黑球是必然事件；

。、3個球中有白球是隨機事件；

故選：B.

【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條

件下，一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事

件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

4.（3分）（2019?武漢）現(xiàn)實世界中，對稱現(xiàn)象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對稱

性，下列美術字是軸對稱圖形的是（）

A.誠B.信C.友D.善

【考點】P3：軸對稱圖形.

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】利用軸對稱圖形定義判斷即可.

【解答】解：四個漢字中，可以看作軸對稱圖形的是吉，

故選：D.

【點評】此題考查了軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解本題的關鍵.

5.（3分）（2019?武漢）如圖是由5個相同的小正方體組成的幾何體，該幾何體的左視圖是

（）

【考點】U2：簡單組合體的三視圖.

【專題】55F：投影與視圖.

【分析】找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在主視圖中.

【解答】解：從左面看易得下面一層有2個正方形，上面一層左邊有1個正方形，如圖

所示：I—Li.

故選：A.

【點評】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖.

6.（3分）（2019?武漢）“漏壺”是一種古代計時器，在它內(nèi)部盛一定量的水，不考慮水量

變化對壓力的影響，水從壺底小孔均勻漏出，壺內(nèi)壁有刻度.人們根據(jù)壺中水面的位置

計算時間，用/表示漏水時間，y表示壺底到水面的高度，下列圖象適合表示y與x的對

應關系的是（）

【考點】E6：函數(shù)的圖象.

【專題】53：函數(shù)及其圖象.

【分析】根據(jù)題意，可知y隨的增大而減小，符合一次函數(shù)圖象，從而可以解答本題.

【解答】解：?..不考慮水量變化對壓力的影響，水從壺底小孔均勻漏出，/表示漏水時間,

y表示壺底到水面的高度，

隨/的增大而減小，符合一次函數(shù)圖象，

故選：A.

【點評】本題考查函數(shù)圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答.

7.（3分）（2019?武漢）從1、2、3、4四個數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，分別記為a、c,

則關于x的一元二次方程62+4x+c=0有實數(shù)解的概率為（）

A.1B.LC.LD.2

4323

【考點】AA：根的判別式；X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應用.

【分析】首先畫出樹狀圖即可求得所有等可能的結果與使acW4的情況，然后利用概率

公式求解即可求得答案.

【解答】解：畫樹狀圖得：

由樹形圖可知：一共有12種等可能的結果，其中使acW4的有6種結果，

，關于x的一元二次方程以2+4X+C=0有實數(shù)解的概率為上，

2

故選：C.

【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復

不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩

步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

8.（3分）（2019?武漢）已知反比例函數(shù)y=K的圖象分別位于第二、第四象限，A（卬月）、

x

8（X2,以）兩點在該圖象上，下列命題：①過點A作ACLx軸，C為垂足，連接OA.若

△AC。的面積為3,則左=-6;②若Xl<0<X2，則yi>>2；③若X1+無2=0，則yi+》2=

0,其中真命題個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【考點】01：命題與定理.

【專題】534：反比例函數(shù)及其應用.

【分析】利用反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義、反比例函數(shù)的增減性、對稱性分別回

答即可.

【解答】解：過點A作軸，C為垂足，連接04.

「△AC。的面積為3,

.?.因=6,

:反比例函數(shù)>=上的圖象分別位于第二、第四象限,

X

:.k=-6,正確，是真命題;

②...反比例函數(shù)y=K的圖象分別位于第二、第四象限，

x

，在所在的每一個象限y隨著x的增大而增大，

若Xl<0<%2，則月>0>》2，正確，是真命題；

③當A、8兩點關于原點對稱時，xi+尤2=。，貝1Jyi+y2=。，正確，是真命題，

真命題有3個，

故選：D.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)及命題與定理的知識，解題的關鍵是了解反比例

函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義等知識，難度不大.

9.（3分）（2019?武漢）如圖，是。。的直徑，M,N是窟（異于A、B）上兩點，C是

誦上一動點，/ACB的角平分線交。。于點。，NBAC的平分線交CD于點E.當點C

從點M運動到點N時，則C、E兩點的運動路徑長的比是（）

A.A/2B.—C.3D.返

222

【考點】M5：圓周角定理；04：軌跡.

【專題】55C：與圓有關的計算.

【分析】如圖，連接班.設。4=心易知點E在以。為圓心D4為半徑的圓上，運動軌

跡是衣，點C的運動軌跡是誦，由題意/MON=2NGOF,設/GZ）F=a,則/MON=

2a,利用弧長公式計算即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接E8.設OA=r.

,：AB是直徑，

/.ZACB=90°,

是△ACB的內(nèi)心，

ZA￡B=135°,

NACD=NBCD,

AD=DB，

：.AD=DB=42r,

：.ZADB=90°,

易知點E在以。為圓心D4為半徑的圓上，運動軌跡是百，點C的運動軌跡是誦，

VZMON^2ZGDF,設NGZ>F=a,則NA/ON=2a

2a:兀.

.MN的長180rz

180

故選：A.

【點評】本題考查弧長公式，圓周角定理，三角形的內(nèi)心等知識，解題的關鍵是理解題

意，正確尋找點的運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.

10.（3分）（2019?武漢）觀察等式：2+22=2^-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2-

505

已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2>2\252、…、299、2100_若250=小用含a的式子

表示這組數(shù)的和是（）

A.2a2-2aB.2（z2-2a-2C.la-aD.la'+a

【考點】32：列代數(shù)式；37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

【專題】2A：規(guī)律型.

【分析】由等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2,得出規(guī)律：

2+22+23+--+2n=2n+1-2,那么250+251+252+—+299+2100=(2+22+23+???+2100)-

(2+22+23+-+249),將規(guī)律代入計算即可.

【解答】解：：2+22=23-2；

2+22+23=24-2；

2+22+23+24=25-2；

/.2+22+23+-+2n^2n+1-2,

50515299100

...2+2+2+-+2+2

=(2+22+23+--+2100)-(2+22+23+--+249)

=(2101-2)-(250-2)

=2ioi_250

V250=a,

.,.2101=(250)2-2=2a,

，原式=2＜？-a.

故選：C.

【點評】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，

并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題.解決本題的難點在于得出規(guī)律：2+2?+23+…+2"=2"1-2.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11.(3分)(2019?武漢)計算SW的結果是4.

【考點】73：二次根式的性質(zhì)與化簡.

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出即可.

【解答】解：衛(wèi)=4,

故答案為：4.

【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡，能熟練地運用二次根式的性質(zhì)進行化簡是

解此題的關鍵.

12.(3分)(2019?武漢)武漢市某氣象觀測點記錄了5天的平均氣溫(單位：。C),分別是

25、20、18、23、27,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是23℃.

【考點】W4：中位數(shù).

【專題】542：統(tǒng)計的應用.

【分析】根據(jù)中位數(shù)的概念求解可得.

【解答】解：將數(shù)據(jù)重新排列為18、20、23、25、27,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為23℃,

故答案為:23℃.

【點評】此題考查了中位數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如

果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).如果這組數(shù)據(jù)的個

數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

13.（3分）（2019?武漢）計算.2a-，的結果是

a2-16aY

【考點】6B：分式的加減法.

【專題】513：分式.

【分析】異分母分式相加減，先通分變?yōu)橥帜阜质?，然后再加減.

【解答】解:，序式=2a__________a+4

(a+4)(a-4)(a+4)(a-4)

2a-a-4

(a+4)(a-4)

a-4

(a+4)(a-4)

_1

a+4

故答案為：---

a+4

【點評】此題考查了分式的加減運算，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最

簡公分母.

14.（3分）（2019?武漢）如圖，在口428中，E、尸是對角線AC上兩點，AE=EF=CD,

ZADF=90°,ZBCD=63°,則NAZJE的大小為21°

【考點】L5：平行四邊形的性質(zhì).

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；555：多邊形與平行四邊形.

【分析】設NAOE=尤，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形得出DE

=LAF=AE=EF,得出。石=CD,證出NZ)CE=N0EC=2X,由平行四邊形的性質(zhì)得出

2

ZDCE=ZBCD-ZBCA=63°-x,得出方程，解方程即可.

【解答】解：設NADE=x,

?：AE=EF,ZADF=90°,

NDAE=ZADE=x,DE=LAF=AE=EF,

2

?；AE=EF=CD,

：.DE=CD,

：.ZDCE=/DEC=2x,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,

：.ZDAE=ZBCA=x,

：.ZDCE=ZBCD-ZBCA=63°-x,

：.2x=63°-x,

解得:x—21°,

即/AOE=21°；

故答案為：21°.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識;

根據(jù)角的關系得出方程是解題的關鍵.

15.(3分)(2019?武漢)拋物線y=o?+bx+c經(jīng)過點A(-3,0)、B(4,0)兩點，則關于

x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx的解是xj_=-2,x2=5.

【考點】H5：二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；HA：拋物線與x軸的交點.

【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】由于拋物線>="2+公+。沿無軸向右平移1個單位得到y(tǒng)=a(x-1)2+b(x-1)

+c,從而得到拋物線y=a(x-1)2+ft(x-1)+c與無軸的兩交點坐標為(-2,0),(5,

0),然后根據(jù)拋物線與無軸的交點問題得到一元二方程a(x-1)-+b(x-1)+c=0的

解.

【解答】解：關于尤的一元二次方程a(x-1)2+c—b-bx變形為a(x-1)2+b(x-1)

+c=0,

把拋物線〉=辦2+區(qū)+。沿X軸向右平移1個單位得到y(tǒng)=a(x-1)2+b(X-1)+C,

因為拋物線y=a,+6x+c經(jīng)過點A(-3,0)、B(4,0),

所以拋物線y=a(x-1)-+b(x-1)+c與x軸的兩交點坐標為(-2,0),(5,0),

所以一元二方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0的解為xi=-2,也=5.

故答案為了i=-2,M=5.

【點評】本題考查了拋物線與無軸的交點：把求二次函數(shù)y=a^+bx+c(a,b,c是常數(shù)，

aWO)與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關于尤的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性

質(zhì).

16.(3分)(2019?武漢)問題背景：如圖1,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△">￡,

DE與BC交于點P,可推出結論：PA+PC^PE.

問題解決：如圖2,在△MNG中，MN=6,NM=75°,MG=4匹.點。是△MNG內(nèi)

一點，則點0到△MNG三個頂點的距離和的最小值是」叵

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】(1)在8C上截取BG=PC,通過三角形求得證得AG=AP,得出△AGP是等邊

三角形，得出NAGC=60°=ZAPG,即可求得/APE=60°,連接EC,延長BC到R

使CB=B4,連接ER證得△ACE是等邊三角形，得出AE=EC=AC,然后通過證得△

APE當LECF(SAS),得出PE=PF,即可證得結論；

(2)以MG為邊作等邊三角形△MG。，以OM為邊作等邊△OME.連接NZ),可證△

GMO^ADME,可得GO=OE,貝!IMO+NO+GO=NO+OE+DE,即當。、E、。、N四點

共線時，MO+NO+G。值最小，最小值為ND的長度，根據(jù)勾股定理先求得板、DF,然

后求ND的長度，即可求MO+NO+G。的最小值.

【解答】(1)證明：如圖1,在BC上截取BG=P。，

在△ABG和△ADP中

'AB=AD

</B=/D，

tBG=PD

Z.AABG^^ADP(SAS),

C.AG^AP,/BAG=NDAP,

,：ZGAP=ZBAD=60°,

.?.△AGP是等邊三角形，

/.ZAGC=6Q°=ZAPG,

：.ZAPE=6Q°,

：.ZEPC^60°,

連接EC,延長BC到R使CF=B4,連接EE

?；將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△的)￡,

：.ZEAC=6Q°,ZEPC=60°,

'：AE^AC,

.?.△ACE是等邊三角形，

；.AE=EC=AC,

VZ.PAE+ZAPE+ZAEP=l?,0o,ZECF+ZACE+ZACS=1800,ZACE=ZAPE=

60°,ZAED=ZACB,

：.ZPAE=ZECF,

在AAPE和△ECE中

fAE=EC

<ZEAP=ZECF

、PA=CF

AAPE^AECF(SAS),

:.PE=PF,

：.PA+PC^PE-,

(2)解：如圖2：以MG為邊作等邊三角形△MG。，以。M為邊作等邊連接

ND,作。F_LMW,交MW的延長線于E

叢MGD和△OME是等邊三角形

：.OE=OM=ME,ZDMG^ZOME^60°,MG=MD,

：.ZGMO=ZDME

在△GMO和中

OM=ME

<ZGMO=ZDME

kMG=MD

:.AGMO沿ADME(SAS),

OG=DE

：.NO+GO+MO=DE+OE+NO

當。、E、0、M四點共線時，NO+GO+M。值最小,

■:/NMG=15°,/GATO=60°,

:.NNMD=135°,

.?.ZDMF=45°,

；MG=472.

；.MF=DF=4,

:.NF=MN+MF=6+4=10,

，

..^O=AyNF2+DF2=^102+42=2V29,

C.MO+NO+GO最小值為2A/29-

D

圖1

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問題，構造

等邊三角形是解答本題的關鍵.

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）（2019?武漢）計算：（2/）3-x'xt

【考點】46：同底數(shù)塞的乘法；47：幕的乘方與積的乘方.

【專題】11：計算題；512：整式.

【分析】先算乘方與乘法，再合并同類項即可.

【解答】解：（2x2）3_x2.x4

=8x6-x

=7x6.

【點評】本題考查了整式的混合運算，掌握運算性質(zhì)和法則是解題的關鍵.

18.（8分）（2019?武漢）如圖，點A、B、C、。在一條直線上，CE與8尸交于點G,ZA

=Z1,CE//DF,求證：/E=/F.

【考點】JA：平行線的性質(zhì).

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得又NA=N1,利用三角形內(nèi)角和定理及等

式的性質(zhì)即可得出

【解答】1￥：,JCE//DF,

NACE=/D,

'：ZA=Z1,

A180°-ZACE-ZA=180°-ZD-Zl,

又：/E=180°-ZACE-ZA,ZF=180°-ZD-Zl,

：.ZE=ZF.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角

互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等.也考查了三角形內(nèi)角和定理.

19.（8分）（2019?武漢）為弘揚中華傳統(tǒng)文化，某校開展“雙劇進課堂”的活動，該校童

威隨機抽取部分學生，按四個類別：A表示“很喜歡”，B表示“喜歡”，C表示“一般”,

。表示“不喜歡”，調(diào)查他們對漢劇的喜愛情況，將結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，

根據(jù)圖中提供的信息，解決下列問題：

（1）這次共抽取3—名學生進行統(tǒng)計調(diào)查，扇形統(tǒng)計圖中，。類所對應的扇形圓心角

的大小為72°；

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整;

（3）該校共有1500名學生，估計該校表示“喜歡”的8類的學生大約有多少人？

【考點】V5：用樣本估計總體；VB：扇形統(tǒng)計圖；VC：條形統(tǒng)計圖.

【專題】541：數(shù)據(jù)的收集與整理.

【分析】（1）這次共抽?。?2+24%=50（人），D類所對應的扇形圓心角的大小360°

X12,=72°；

50

（2）A類學生：50-23-12-10=5（人），據(jù)此補充條形統(tǒng)計圖；

（3）該校表示“喜歡”的8類的學生大約有1500義空=690（人）.

50

【解答】解：（1）這次共抽?。?2+24%=50（人），

D類所對應的扇形圓心角的大小360°X”>=72°,

50

故答案為50,72°；

（2）A類學生：50-23-12-10=5（人），

條形統(tǒng)計圖補充如下

各美學生人數(shù)條形統(tǒng)計圖

該校表示“喜歡”的8類的學生大約有1500X^1=690（人），

50

答：該校表示“喜歡”的8類的學生大約有690人；

【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用.讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)

計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù);

扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

20.（8分）（2019?武漢）如圖是由邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點

叫做格點.四邊形ABC。的頂點在格點上，點E是邊DC與網(wǎng)格線的交點.請選擇適當

的格點，用無刻度的直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖，保留連線的痕跡，不要求說明理由.

(1)如圖1,過點A畫線段AR使A尸〃。C,S.AF^DC.

(2)如圖1,在邊上畫一點G,使NAGZ)=/BGC.

(3)如圖2,過點E畫線段EM,使且EM=AB.

【考點】JB：平行線的判定與性質(zhì)；N4：作圖一應用與設計作圖.

【專題】13：作圖題.

【分析】(1)作平行四邊形即可得到結論；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和對頂角的性質(zhì)即可得到結論；

(3)作平行四邊形即可得到結論.

【解答】解：(1)如圖所示，線段AP即為所求；

(2)如圖所示，點G即為所求；

(3)如圖所示，線段EM即為所求.

【點評】本題考查了作圖-應用與設計作圖，平行線四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形

的判定和性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關鍵.

21.(8分)(2019?武漢)已知AB是O。的直徑，AM和BN是。。的兩條切線，OC與

相切于點E,分別交AM、BN于D、C兩點.

(1)如圖1,求證：AB2^4AD'BC；

(2)如圖2,連接OE并延長交AM于點R連接CE若/ADE=2NOFC,AD=1,求

圖中陰影部分的面積.

【考點】M5：圓周角定理；MC：切線的性質(zhì)；MO：扇形面積的計算；S9：相似三角形

的判定與性質(zhì).

【專題】553：圖形的全等；554：等腰三角形與直角三角形；55A：與圓有關的位置關系；

55D：圖形的相似.

【分析】（1）連接。C、0D,證明△AOOS^BC。，得出挺1=處，即可得出結論；

BOBC

（2）連接?！?gt;,OC,證明△C。。g△CFO得出NC￡>O=/C。尸，求出N8OE=120°,

由直角三角形的性質(zhì)得出8C=3,OB=y/s，圖中陰影部分的面積=2S^OBC-S扇形OBE，

即可得出結果.

【解答】（1）證明：連接OC、OD,如圖1所示：

TAM和是它的兩條切線，

：.AM±AB,BNLAB,

：.ZADE+ZBCE=1SO°

TOC切OO于E,

ZODE=^-ZADEf/OCE=L/BCE,

22

：.ZODE+ZOCE=90°,

：.ZDOC=90°,

ZAOD+ZCOB=90°,

VZAOD+ZADO=90°,

ZAOD=ZOCB.

9：ZOAD=ZOBC=90°,

AAOD^ABCO,

.AD=OA

"BOBC,

：.OA=AD9BC,

(Lw)2^AD'BC,

2

：.AB1=4AD-BC；

(2)解：連接。D,OC,如圖2所示：

NADE=2/0FC,

：.ZADO=ZOFC,

,：ZADO^ZBOC,/BOC=ZFOC,

：.ZOFC=ZFOC,

:.CF=OC,

.?.CD垂直平分OR

：.OD=DF,

rOC=CF

在ACOD和△CED中,，OD=DF，

CD=CD

：.ACOD^/\CFDCSSS),

：.ZCDO^ZCDF,

,：ZODA+ZCDO+ZCDF=180°,

：.ZODA=6Q°=ZBOC,

：.ZBOE^120°,

在RtADA。，4D=返。A,

3

RtZaOC中，BC=MOB,

.,.AD：BC=1：3,

'：AD=1,

：.BC^3,OB=a，

2

；?圖中陰影部分的面積=2&OBC-S扇形2X—X^X3.120%X(V3)=3^

2360

-JT.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、

扇形面積公式、直角三角形的性質(zhì)等知識；證明三角形相似和三角形全等是解題的關鍵.

22.（10分）（2019?武漢）某商店銷售一種商品，童威經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的周銷售量

y（件）是售價無（元/件）的一次函數(shù)，其售價、周銷售量、周銷售利潤卬（元）的三組

對應值如表：

售價X（元/件）506080

周銷售量y（件）1008040

周銷售利潤w（元）100016001600

注：周銷售利潤=周銷售量X（售價-進價）

（1）①求y關于尤的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

②該商品進價是40元/件;當售價是70元/件時,周銷售利潤最大，最大利潤是

1800元.

（2）由于某種原因，該商品進價提高了初元/件（相＞0）,物價部門規(guī)定該商品售價不得

超過65元/件，該商店在今后的銷售中，周銷售量與售價仍然滿足（1）中的函數(shù)關系.若

周銷售最大利潤是1400元，求m的值.

【考點】HE：二次函數(shù)的應用.

【專題】536：二次函數(shù)的應用.

【分析】（1）①依題意設y=fcc+6,解方程組即可得到結論；

②該商品進價是50-1000+100=40,設每周獲得利潤w=o?+6x+c：解方程組即可得到

結論；

(2)根據(jù)題意得，w=(x-40-m')(-2x+200)=-2x+(280+2機)x-800-200/77,

由于對稱軸是》=型也，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結論.

2

【解答】解：(1)①依題意設y=Ax+。，

則有(50k+b=100

'l60k+b=80

解得：『二-2

lb=200

所以y關于x的函數(shù)解析式為>=-2x+200；

②該商品進價是50-1000+100=40,

設每周獲得利潤w=ax'+bx+c：

，2500a+50b+c=1000

則有，3600a+60b+c=1600，

6400a+80b+c=1600

'a=-2

解得一b=280，

kc=-8000

；.w=-2『+280尤-8000=-2(x-70)2+1800,

...當售價是70元/件時，周銷售利潤最大，最大利潤是1800元；

故答案為：40,70,1800；

(2)根據(jù)題意得，w=(尤-40-加(-2x+200)=-2x+(280+2加x-8000-200m,

:對稱軸x=14°+m,

2

①當嗎+m<65時(舍)，②當12+m三65時,x=65時，卬求最大值1400,

解得：m—5.

【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際生活中的應用，重點是掌握求最值的問題.注意：

數(shù)學應用題來源于實踐，用于實踐，在當今社會市場經(jīng)濟的環(huán)境下，應掌握一些有關商

品價格和利潤的知識，總利潤等于總收入減去總成本，然后再利用二次函數(shù)求最值.

23.(10分)(2019?武漢)在△ABC中，ZABC=90°,膽=〃，Af是BC上一點，連接AM.

BC

(1)如圖1,若力=1,N是AB延長線上一點，CN與AM垂直，求證：BM=BN.

(2)過點8作BP,AM,尸為垂足，連接CP并延長交42于點。.

①如圖2,若"=1,求證:CP=BM

PQBQ

②如圖3,若/是的中點，直接寫出tan/BP。的值.（用含〃的式子表示）

【考點】SO：相似形綜合題.

【專題】152：幾何綜合題.

【分析】（1）如圖1中，延長AM交CN于點X.想辦法證明△ABM0aCBN（ASA）即

可.

（2）①如圖2中，作CH//AB交BP的延長線于H.利用全等三角形的性質(zhì)證明CH=

BM,再利用平行線分線段成比例定理解決問題即可.

②如圖3中，作CH//AB交BP的延長線于H,作CNLBH于N.不妨設BC=2m,則

AB=2mn.想辦法求出CN,PN（用機，〃表示），即可解決問題.

【解答】（1）證明：如圖1中，延長AM交CN于點

AZAHC=90°,

VZABC=90°,

：.ZBAM+ZAMB=90°,NBCN+NCMH=90°,

ZAMB=ZCMH,

：.ZBAM=ZBCN,

'：BA=BC,/ABM=/CBN=90°,

:.八ABM"/\CBN(ASA),

：.BM=BN.

(2)①證明：如圖2中，作交8P的延長線于H.

圖2

：.ZBPM=ZABM=90°,

ZBAM+ZAMB=90°,ZCBH+ZBMP=90°,

：.ZBAM=ZCBH,

'：CH//AB,

：.ZHCB-^ZABC=90°,

VZABC=90°,

AZABM=ZBCH=90°,

VAB=BC,

:.△ABMQ/\BCH(ASA),

；?BM=CH,

■:CH//BQ,

.PC=CH=BM

**PQBQBQ*

②解：如圖3中，作C"〃45交BP的延長線于"，作CNLBH于N.不妨設8C=2如

則AB=2mn.

22

:.PB=I210rl,

Vl+4n2

:LBH?CN=LCH?BC,

22

:.CN=I2m,

■:CNLBH,PM±BH,

C.MP//CN,,:CM=BM,

:.PN=BP=,21m,

?：NBPQ=/CPN,

2m

：.tanZBPQ=tanZCPN=—

PN

【點評】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定

和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解

決問題，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題.

2

24.（12分）（2019?武漢）已知拋物線Ci：y=（尤-1）-4C2：

（1）如何將拋物線Ci平移得到拋物線C2?

（2）如圖1,拋物線G與x軸正半軸交于點A,直線y=-經(jīng)過點A,交拋物線

3

Q于另一點艮請你在線段上取點尸，過點尸作直線尸?！▂軸交拋物線G于點。，

連接AQ.

①若AP=A0,求點P的橫坐標；

②若必=尸。，直接寫出點尸的橫坐標.

（3）如圖2,△〃、燈的頂點M、N在拋物線。2上，點M在點N右邊，兩條直線ME、

NE與拋物線C2均有唯一公共點，ME、NE均與y軸不平行.若4MNE的面積為2,設

M、N兩點的橫坐標分別為機、n,求機與w的數(shù)量關系.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】(l)y=(尤-1)2-4向左評移1個單位長度，再向上平移4個單位長度即可得

至Uy=F

(2)易求點A(3,0),b~4,聯(lián)立方程—-x+4—(尤-1)?-4,可得B(-―,

339

設P(t,~—f+4),QG,廣-2f-3),

3

①當時，則有-4+務=F-2L3,求得f==；

33

②當AP=PQ時，PQ=「+2f+7,E4="(3-f),則有上+工什7=8(3-力，求得f=

3333

__2?

3

(3)設經(jīng)過M與N的直線解析式為y=Z(x-m)+m2,

f2

X,貝！J可知△=%?-4切計4病=(k-2m)2=0,求得左=2如

y=k(x-m)+in2

求出直線ME的解析式為y=2mx-m,直線NE的解析式為y=2nx-n,則可求雙號L

mri),

再由面積工[(/-mn)+(m2-mn)]X(m-n)--(n2-mn)X-〃)-上(加？

2222

-mn)X(m-/")=2,可得(m-幾)3=8,即可求解；

2

【解答】解：(l)y=(冗-1)2一4向左評移1個單位長度，再向上平移4個單位長度即

可得到y(tǒng)=xx

(2)y=(x-1)2-4與x軸正半軸的交點A(3,0),

:直線y=-經(jīng)過點A,

.*.Z?=4,

4

???尸--x+4,

3

y=--x+4與y=(x-1)2-4的交點為-&+4=(x-1)2-4的解,

33

?，?x=3或％=--,

3

設p(r,-里什4),且-工《3,

33

：PQ〃y軸，

?,?Q(f,廣-2f-3),

①當AP=A。時,

2

14-Af|=|f-2r-3|,

3

則有-4+生=『-2t-3,

3

3

???P點橫坐標為工；

3

②當AP=PQ時，

PQ=-p+Zr+7,B4="(3-f),

33

f+—t+T——(3-f),

33

???t，-———2;

3

點橫坐標為-2；

3

(3)設經(jīng)過M與N的直線解析式為y=k(x-777)+m,

1-2

.y=x

廠k(XF)+ir|2

/22

則有x-kx+km-m=0,

△=后-4h7?+4"F=(k-2m)2—Q,

??k^~2m,

直線ME的解析式為y—1mx-m,直線NE的解析式為y—2nx-n2,

：.E(型2,nrn),

2

"122-12IT-IT.-12

f(n-mn)+(m-mn)1X(m-n)--(九-mn)X(__--〃)--(m-mn)

2222

X(m-"")=2,

2

(m-n)3-(EL%

2

(m-n)3=8,

.*.m-〃=2；

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握直線與二次

函數(shù)的交點求法，借助三角形面積列出等量關系是解決加與幾的關系的關鍵.

考點卡片

1.相反數(shù)

(1)相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).

(2)相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，從數(shù)軸上看，除0外，互

為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等.

(3)多重符號的化簡：與“+”個數(shù)無關，有奇數(shù)個“-”號結果為負，有偶數(shù)個“-”

號，結果為正.

(4)規(guī)律方法總結：求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“-如。的相反

數(shù)是-a,的相反數(shù)是-(機+"),這時機+〃是一個整體，在整體前面添負號時，要用

小括號.

2.實數(shù)的性質(zhì)

(1)在實數(shù)范圍內(nèi)絕對值的概念與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣.實數(shù)。的絕對值就是在數(shù)軸上這

個數(shù)對應的點與原點的距離.

(2)實數(shù)的絕對值：正實數(shù)a的絕對值是它本身，負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕

對值是0.

(3)實數(shù)。的絕對值可表示為間={a(a20)-a(a<0),就是說實數(shù)。的絕對值一定是

一個非負數(shù)，即|a|20.并且有若|x|=a(a20),則x=±a.

實數(shù)的倒數(shù)

乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)，即若a與6互為倒數(shù)，則浦=1;反之，若漏=1,則。與

?；榈箶?shù)，這里應特別注意的是。沒有倒數(shù).

3.列代數(shù)式

(1)定義：把問題中與數(shù)量有關的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，

就是列代數(shù)式.

(2)列代數(shù)式五點注意：①仔細辨別詞義.列代數(shù)式時，要先認真審題，抓住關鍵詞語,

仔細辯析詞義.如“除”與“除以”，“平方的差(或平方差)”與“差的平方”的詞義區(qū)分.@

分清數(shù)量關系.要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關系.③注意運算順序.列代數(shù)式

時，一般應在語言敘述的數(shù)量關系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低

級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起來.④規(guī)范書寫格式.列代數(shù)時要按要

求規(guī)范地書寫.像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；

除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱什么時不加

括號，什么時要加括號.注意代數(shù)式括號的適當運用.⑤正確進行代換.列代數(shù)式時，有

時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換.

【規(guī)律方法】列代數(shù)式應該注意的四個問題

1.在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量.

2.要注意書寫的規(guī)范性.用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“X”

簡寫作“；’或者省略不寫.

3.在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分數(shù)要把它化成

假分數(shù).

4.含有字母的除法，一般不用“小”（除號），而是寫成分數(shù)的形式.

4.規(guī)律型：數(shù)字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數(shù)列有關的命題更是層出不窮，形式多樣，它要

求在已有知識的基礎上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法.

（2）利用方程解決問題.當問題中有多個未知數(shù)時，可先設出其中一個為x,再利用它們

之間的關系，設出其他未知數(shù)，然后列方程.

5.同底數(shù)塞的乘法

（1）同底數(shù)基的乘法法則：同底數(shù)暴相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

am,an—am+"（m,"是正整數(shù)）

（2）推廣：am'dl*cf=an+n+p（m,p都是正整數(shù)）

在應用同底數(shù)第的乘法法則時，應注意：①底數(shù)必須相同，如23與25,（aV）3與（J戶）

4,（x-y）2與（尤-了）3等；②0可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質(zhì)，只

有相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)相加.

（3）概括整合：同底數(shù)幕的乘法，是學習整式乘除運算的基礎，是學好整式運算的關鍵.在

運用時要抓住“同底數(shù)”這一關鍵點，同時注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時可以適當變

形為同底數(shù)塞.

6.毒的乘方與積的乘方

（1）累的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（屋）餐儀（m,〃是正整數(shù)）

注意：①塞的乘方的底數(shù)指的是塞的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是幕的指數(shù)與乘方

的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)哥的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的早相乘.

（"）是正整數(shù)）

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應根據(jù)

乘方的意義，計算出最后的結果.

7.分式的加減法

（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.

（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，

經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減.

說明：

①分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是

多項式時，要把分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘.

②通分是和約分是相反的一種變換.約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為

較簡單的形式；通分是分別把每一個分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個較簡單的分

式變成分母相同的較復雜的形式.約分是對一個分式而言的；通分則是對兩個或兩個以上的

分式來說的.

8.二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

（1）二次根式的概念.形如、（a>0）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù).

（3）二次根式具有非負性.4（°20）是一個非負數(shù).

學習要求：

能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利

用二次根式的非負性解決相關問題.

【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件

1.如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開

方數(shù)都必須是非負數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零.

9.二次根式的性質(zhì)與化簡

（1）二次根式的基本性質(zhì)：①心0；（雙重非負性）.②（a）2=。（a^O）（任何

一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）.③。2=。（°20）（算術平方根的意義）

（2）二次根式的化簡：①利用二次根式的基本性質(zhì)進行化簡；②利用積的算術平方根的性

質(zhì)和商的算術平方根的性質(zhì)進行化簡.ab=a-bab=ab

（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式