人教A版高中數(shù)學(xué)必修二第六章第1節(jié)《平面向量的概念》解答題 (19)(含答案解析)

必修二第六章第1節(jié)《平面向量的概念》解答題(19)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.已知向量；與芯的夾角為120。，同=3,a+b=V13,求同

2.如圖所示，已知在矩形A8CQ中，|而|=4百，|荏|=8，設(shè)

AB=a>BC=BD=c>求|萬一加一下|

3.己知|方|=4,\b\=8.五與石的夾角是120。.

(1)計算：|五+「|，\4a-2b\i

(2)當(dāng)％為何值時，(日+29)1(k五一區(qū))？

4.已知三棱柱ABC-&B1G中，側(cè)棱4411底面A8C,記萬=甌，6=AB-c=AC.

(1)用五，萬，不表示砥，A^C，BQ；

(2)若4當(dāng)18。1，41clBQ,求證：ABX=ArC.

5.已知向量；,瑞足同=6=1,=V3|ka+K|(fc>0).

(1)試用k表示%%,并求出之?了的最大值及此時；與。的夾角。的值；

(2)當(dāng)取得最大值時，求實數(shù);I,使|方+；1司的值最小，并對這一結(jié)果做出幾何解釋.

6.平面內(nèi)給定三個向量方=(3,2)5=(-1,2),?=(4,1).

(1)求|3五+3一2日；

(2)求滿足蒼=m9+n不的實數(shù)，"和"；

(3)若(3+上？)1(2加一口，求實數(shù)%.

7.已知問=2,@=4，；與方的夾角為60。.

⑴計算蒼.(五+1)的值；

(2)若五.0-1石)=0，求實數(shù)我的值.

8.設(shè)A,B,C,。為平面直角坐標(biāo)系中的四點(diǎn)，且4(2,-2),B(4,l),C(l,3).

(1)若荏=而，求。點(diǎn)的坐標(biāo)及|而

(2)設(shè)向量方=荏，b='BC，若kZ-B與W+3不平行，求實數(shù)%的值.

9.已知向量五=(1,V3),b=(-2,0).

(I)求向量3—9的坐標(biāo)以及五一方與五的夾角;

(口)當(dāng)￡6[-1,1]時,求--高|的取值范圍.

10.平面上有"個向量，其中至少有兩個向量不共線，且任意n-1個向量的和都與剩下的一個向量

平行，求證：這〃個向量的和是零向量.

11.已知兩個非零向量五和方不共線，OA=2a-3b>OB=a+2b>OC=ka+12b.

(1)若2次一3而+元=6，求&的值;

(2)若A、B、C三點(diǎn)共線，求左的值.

12.設(shè)向量3=(4+2,"—Wcos2a),b=(jn,]+sinacosa),其中2,m,a為實數(shù).

⑴若a=V，求|%|的最小值;

(2)若五=2石，求A的取值范圍.

13.已知落石是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量下滿足=0,求的最大

值.

14.已知向量五=(2,3),b-(5,-6)，求:

(1)方方的值；

(2)|方+吊的值;

(3)方與另夾角的余弦值.

15.在四邊形ABCO中，AB=(6,1).坑=(x,y)，CD=(-2,-3).BC//DA.(1)試求x與y滿足

的關(guān)系式；

(2)若前1麗，求孫的值和四邊形A2CZ)的面積.

16.如圖，點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，點(diǎn)。是線段。8的一個靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，設(shè)荏=

a,AO=b-

H

(1)用向量弓與3表示向量方，麗;

4

5-求ilE:

17.已知向量落b,己d以及實數(shù)％y滿足|a|=|b|=1，c=a4-(x2—3)-d——y?五+%?b，若

~a±b,~r±(I且VTO.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=/(%)及其定義域.

(2)若xc(1,6)時，不等式/(%)之mx-16恒成立，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

18.己知向量五=(cosa,sina)范=(cosy?,sin0)，且方與5滿足關(guān)系行+b|=V3|a—kb\{k>

0).

(1)求五與方的數(shù)量積用上表示的解析式/(/C)；

(2)行能否和石垂直？a能否和方平行？若不能，則說明理由；若能，則求出相應(yīng)的上值

(3)求五與方夾角的最大值.

19.已知直角梯形ABC。中，AD1AB.AB=2AD=2CD,過點(diǎn)C作CEJL于點(diǎn)E,M為CE的中

點(diǎn)，證明：

⑴DE〃BC；

(2)D,M,B三點(diǎn)共線.

20.在直角梯形ABC。中，己知4B〃C0,^DAB=90°,AB=6,AD=CD=3,對角線AC交80

于點(diǎn)。，點(diǎn)M在AB上，且0MJ.BD.

(1)求宿?前的值；

(2)若N為線段AC上任意一點(diǎn)，求而?拓7的取值范圍.

21.已知瓦？=(1,1),0B=(0,-1)，OM=(2t,t)(t6R)，。是坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若點(diǎn)4,B,M三點(diǎn)共線，求，的值；

(2)當(dāng)，取何值時，宿.而取到最小值？并求出最小值.

22.已知向量3=(cosa,sina)，b=(cos/J.sin^)1c=(2,0).

(1)求向量M+q的最大值；

(2)設(shè)a=(,且Z_L(b+U),求cos￡

23.已知平面上三個向量*的模均為1,它們相互之間的夾角為120。.

(1)求證:(a-5)1?5

(2)若|點(diǎn)+:+1>l(/ceR)，求憶的取值范圍?

24.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(2a-c)cosB=bcosC.

(1)求角B的大?。?/p>

(2)現(xiàn)給出三個條件：①a=2c；②4c邊上的中線8。長為多③角B的平分線交邊4C于

且=1.從中選出兩個可以確定AABC的條件，寫出您的選擇，并以此為依據(jù)求AABC的面積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

25.如圖，在單位圓中，B是0A的中點(diǎn)，PQHBS.PQ//OX,MP1Ox

于M,NQ_LOx于N.則在向量麗0N，而，而,OP，OB，0A，

的中.

(1)找出相等的向量；

(2)找出所有共線向量；

(3)0M,而的模各是多少？

26.已知乙石是兩個非零向量，判斷下列各命題的真假，并說明理由.

(1)企丘的方向與Z的方向相同，且四五的模是方的模的四倍；

(2)—3日的方向與6方的方向相反，且一3五的模是6五的模的3

(3)-4日與4日是一對相反向量；

(4)a-石與一(石-砂是一對相反向量；

(5)若方，3不共線，則共發(fā)與否不共線.

27.如圖，已知向量X,b，求作向量W+6.

bb

(2)

28.若點(diǎn)”是44BC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足：AM=-AB+-AC.

44

⑴求44BM與44BC的面積之比.

(2)若N為AB中點(diǎn)，4W與CN交于點(diǎn)。，設(shè)前=萬麗+丫麗，求》,y的值.

29.在44BC中,角4、B、C的對邊分別為a,h,c,已知向量記=(cossin號),亢=(cos],sin.),

且滿足師+殖=V3.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若b+c=^a，試判斷△ABC的形狀.

30.已知三個點(diǎn)4(2,1),B(3,2),0(-1,4).

(1)求證：AB1AD-,

(2)若四邊形ABC。為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)及矩形4BCQ兩對角線所夾的銳角的余弦值.

【答案與解析】

—_2

1.答案:解：由a+b=VH可得0+匕)=13,^a2+b2+2a-b=13-

即同之+b+2|a|-bcosl20°=13，

2

因為同=3,所以32+b+2x3xbcosl20°=13,

即b-3b-4=0>所以4)(“+l)=0,

解得：b=4.

解析:本題主要考查了向量的模，向量的數(shù)量積，屬于較易題.由2+1=VH可得滔+且+2之）

T2T|

13,由數(shù)量積公式可得b-36-4=0,從而得出結(jié)果.

2.答案：解：,??矩形ABC。中，|而|=4g，|荏|=8，

AB=a>BC=b，BD=c?

：.\a-b-c\=\^B-~BC-~BD\=\JB-T^D-~BD\=\~DB-'BD\=2\OB\

=2(4百/+82=8V7-

解析：本題考查的知識點(diǎn)是向量的線性運(yùn)算，向量的模，勾股定理，屬于基礎(chǔ)題.

由已知可丘-3-不=2而，結(jié)合矩形A8CD中，|而|=4百，|荏|=8,利用勾股定理可得答案.

3.答案：解：（1）由已知得，a.b=4x8X（―：）=—16.

①因為I為+另|2=片+2五7+片=16+2x（—16）+64=48,

所以|a+匕|=4\/3.

②因為|4五一2石|2=16a2-16a-b+4K

=16x16-16X(-16)+4x64=768.

所以|42一2&=16V3.

(2)因為(a+2b)1(ka—b)，

所以6+2%).腦二)=0.

所以ka?+(2k—l)a-b—2b2=0，

即16k-16(2k-1)-2x64=0.

所以k=-7.

即卜=-7時，與宮二垂直.

解析：本題主要考查向量的應(yīng)用，熟悉向量的數(shù)量積公式是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

(1)利用向量的數(shù)量積求出兩個向量的數(shù)量積；利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模;

(2)利用向量垂直的充要條件列出方程求出”的值.

4.答案：(1)解：AB1=AAi+AB=a+b>A-yC-AC—AA】=c-a，

BCX=ACX—AB=AAi+AC—AB=a4-c—b;

(2)證明：AAr_L底面ABC,???AAr1AC,AAr1AB,

■.ac=0,a-K=0>

vAB11BC],

???(a+d)?(a+c-6)=0?

\a\2-\b\2+a-c+b-c=\a\2-\b\2+b-c=

■■ArCIBCi，.-.(c-a)-(a+c-b)=0^1?.|c|2-|a|2-K-c=0.

|K|2=|c|2.A\b\=|c|.即ABi=&C.

解析：本題考查向量線性運(yùn)算、向量數(shù)量積、向量的模，屬于基礎(chǔ)題.

(1)由向量加減法可得翦=AC7-AB=AA7+AC-AB=a+c-K;

(2)由題意得(為+尤).(五+不一斤)=0，且(？一5)-(2+m一母=0，化簡得

\b\2=|c|2.即可得44=&C

5.答案：解：(1)由題意，向量落E滿足|百|(zhì)=|=1，且|Z—kB|=方+方|(/c>0),

可得位一卜石)2=[y[3(ka+b)]2,

-2ka-b+k2b2=3(/c2a2+2/ca-K+fa2),

即1一2k五?B+Ze2=312+6k五?3+3，

可得五?b=-k+1,

4k

又由五b=—=---(k+-)

4k4kkJ

,1cr~~11

47k2

當(dāng)且僅當(dāng)即k=l時等號成立，

所以心貓最大值為，

又由cos"磊=一抑e[0°,180。]'

所以。=120°.

(2)由(2)知五?B的最大值為-點(diǎn)

所以=J(a+Ab)2

=Jl+2Aa-b+A2=y/A2-A+l

所以當(dāng);I=：時，忖+43取得最小值，最小值為冬

這一結(jié)果的幾何解釋：平行四邊形。ABC中，04=1,N40C=120。,

當(dāng)且僅當(dāng)OC=g時，對角線08最短為日.

解析：本題考查向量的數(shù)量積和向量的模的運(yùn)算，涉及基本不等式及二次函數(shù)求最值，考查運(yùn)算化

簡的能力，屬于中檔題.

(1)由\―kb=V3ka+b(k>0),得到(a—kb)2=[+b)p整理得a,b=—再

結(jié)合基本不等式和向量的夾角公式，即可求解；

⑵由(2)知熱)的最大值為/化簡曰+同=J&+應(yīng)尸=J(A一32+結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),

求得2+取得最小值，再根據(jù)向量的線性運(yùn)算，即可求得幾何解釋.

6.答案：解:(1)根據(jù)題意，向量五=(3,2)范=(一1,2)1=(4,1).

則3五+另-2m=(0,6)，

^L\3a+b-2c\=6：

(2)若Z=mb+nc<

即(3,2)=m(-l,2)+n(4,l),

則有｛之黑：/解可得『=京

'乙—乙〃IT"ILI九—_

I-9

故mn=I；

(3)根據(jù)題意,a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).

若位+1(2b-a)，

則0+4初.(21一.

=(-5)(3+4k)+2(2+k)=0,

解可得k=一^,

lo

li

故k=-

18

解析：本題考查平面向量數(shù)量積的計算，涉及向量的坐標(biāo)和向量模的計算，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)題意，求出3方+石一2m的坐標(biāo)，由向量模的計算公式計算可得答案；

(2)根據(jù)題意，由向量的坐標(biāo)計算公式可得若方=小方+九高必有《二黑;；n,求出相、〃的值,

即可得答案；

(3)根據(jù)題意，求出五+kN與2方的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的計算公式求出k的值，即可得答案.

7.答案:解:(1)|a|=2,\b\=4,Z與石的夾角為60。,

a-(a+b)=a2+a?/?=4+2x4xcos60°=8：

(2)va-(a—fcK)=0，

/.a2—fca-h=4—/cx2x4xcos60°=4—4/c=0，

?‘?k=1.

解析：本題考查了向量的數(shù)量積和運(yùn)算，向量的相互垂直的充要條件，屬于基礎(chǔ)題.

(1)依題意，a.(a+K)=a2+a.K.結(jié)合已知條件，可得出結(jié)果；

(2)根據(jù)向量的相互垂直的充要條件列出等效條件，即可得出實數(shù)k的值.

8.答案：解：(1)設(shè)D(x,y),則而=(x-l,y-3)，且同=(2,3)，AB=CD>

???(2,3)=(x-Ly-3),

?-?(j-3：3-解得:聶，

???0(3,6),AD=(1,8).

|AD|=V65:

(2)五=(2,3)1=(一3,2)，

ka-b=(2k+3,3k.-2)>五+3b=(—7,9)，且k方一方與五+33平行，

9(2fc+3)+7(3k-2)=0,解得k=

解析：⑴可設(shè)D(x,y),然后根據(jù)荏=而即可得出D(3,6),進(jìn)而可得出向量力的坐標(biāo),進(jìn)而求出|力|

的值；

(2)可求出4日一石=(2k+3,3k-2)，五+3石=(一7,9)，然后根據(jù)k五一方與3+3石平行即可求出A

的值.

本題考查了根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)的方法，相等向量的坐標(biāo)關(guān)系，向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)

乘運(yùn)算，平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.答案：解：(I)為一行=(1,b)一(一2,0)=(3,V3).設(shè)立一加與五的夾角為仇

則cos<a-b，a>=w^}=^===--.

根據(jù)題意得OWOWn???。=斗.

(H)當(dāng)te時，a-t.石=(l+2t,遮),

■.\a-t-6|=J(1+2t4+3=V4t24-4t+4在［—1,—芻上單調(diào)遞減，在［―1］單調(diào)遞增，

t=-:時，|方一t不|有最小值百，t=l時，|五一t有最大值2百，

故|k-t的取值范圍［75,2何.

解析：(I)求出三一方的坐標(biāo)，設(shè)乙一石與日的夾角為心則由cos<方一科五>=第1求出。

\a-b\-\a\

的值.

(n)Ste［-l,l］0't,a-t-b=(1+2t,V3).得|N-t-b\=7(1+2t)2+3=V4t2+4t+4

在［-1,-號上單調(diào)遞減，在［-單調(diào)遞增，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得|五-ti|的取值范圍.

本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，向量的模

的定義和求法，

函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，準(zhǔn)確運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

10.答案：證明：不妨設(shè)碼，記不平行，

由題意得，石+石d----1"藐=2/，且石*+碼d------1■石=4記，

所以訪+布+詬+???+疏=X~a1+武,且石+西+^H-----1??匹=(〃+1)記，

從而(1+入)設(shè)=Q+1)石,

因為右，石不平行，

根據(jù)向量共線定理得，1+2=〃+1=0,

所以入=〃=-1,aj+H----1■布=2宙=一宙，

則方+五+…+薪=6.

解析：不妨設(shè)石，石不平行，由題意得，五+可+…+布=24，且/+而+…+薪=〃可，變

形可得(1+Q瓦?=(〃+1)石，從而可求;I,”，可證.

本題主要考查了平面向量共線定理的應(yīng)用，還考查了考生分析，解決問題的能力，邏輯推理的核心

素養(yǎng).

11.答案：解：(1)：2瓦？-3而+而=壬

2(2a-3K)-3(a+2b)+/ca+12b=(l+k)a=0;

VkH6;

Ak+1=0；

k=-1；

(2)???4B,C三點(diǎn)共線；

:.BC=AAB;

OC-OB=A(OB-04);

?**(k-1)五+10b=-AH+5Ab;

v五了不共線;

由平面向量基本定理得，'；

解得k=-1.

解析：考查向量的加減運(yùn)算，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，平面向量基本定理.

(1)根據(jù)2瓦5—3萬+元=6即可得出，(1+幻五=6，由五*6即可得出1+k=0,從而求出走的

值；

(2)根據(jù)A,B,C三點(diǎn)共線即可得出元=4同，從而可得出(/￡-1)1+1。3=-；1五+5；1石，根據(jù)平

面向量基本定理即可得出｛：:二￡-',解出么即可.

12.答案：解：(1)當(dāng)a=棕寸，石=(m弓+；),

|K|2=-m2+—+—=-(m2+-m)+—=-(m+—)2+—,

1144164、57164k10720

-V5

'Ib|min=—

(2)1/a=2by向量為=(A+2,下一百cos2a),b=(mf^+sinacosa)f

???2+2=2m,A2-痘cos2a=m+sin2a

2

A4m-9m4-4=sin2a+V3cos2a=2sin(2a+-),

v—2<2sm(2a4-^)<2,

???-2<4m2-9m+4<2,

解得;W皿W2

而一=2-----,

mm

A

G[一6,1].

m

解析：本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了三角恒等變換的應(yīng)用問題，還考查了求函數(shù)的最

值問題，是綜合題.

(1)根據(jù)向量的模的定義和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出;

(2)根據(jù)k=23,結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換，求出相的取值范圍，再求A的取值范圍即可.

13.答案：解：如圖示：設(shè)。4=1，OB=b，0C=c>

M|^4|=\0B\=1，

設(shè)OB的中點(diǎn)為。，連接A。，CD,CA,

v(a-c)-(K-2c)=0.

???(a-c)?(16—c)=0.

則五一=方，^b-c=CD,

CA?CD=0，

故C在以AD為直徑的圓M上.

：.。在圓M上，

???|有的最大值即為圓M的直徑|ADI=I|O7|2+|OD|2=日.

解析：本題考查向量平面向量的數(shù)量積，垂直，模長以及集合表示，屬于中檔題.

利用平面向量的數(shù)量積以及向量垂直的充要條件數(shù)形結(jié)合滿足題意的向量的終點(diǎn)C在以AO為直徑

的圓周上，故容易得到|了|的最大值.

14.答案：解：(l)a-K=2x5+3x(-6)=-8;

(2)因為|a|=V4+9=VT3>\b\=，25+36=y/61

故|五+方|=+石)2=Ja2+b2+2a^b=聞；

(3)設(shè)力與方的夾角為氏則cos。=磊=一零.

解析：本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的模及向量的夾角，屬于基礎(chǔ)

題.

(1)直接利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，計算即可：

(2)先求出|初，|h|,進(jìn)而由|方+"=］位+方)2運(yùn)算即可;

(3)設(shè)式與方的夾角為。，由cos。=磊可得答案.

15.答案：解：BC={x,y)DA=-AD=-(AB+fiC+CD)=-(x+4,y-2)=(-x-4,-y+2)

(1)■■■BC//DA

■■■x-(~y+2)-y-(-x-4)=0,

化簡得：x+2y=0；

(2)4C=AB+BC=(x4-6,y+1)-

ED=^C+CD=(x-2,y-3)

■：ACi.~BD

???(x+6)?(x—2)+(y+1)-(y—3)=0

化簡有：x2+y2+4x-2y-15=0,

鹿力x+2y=0

膚7/+y2+?-2y-15=o

H；=36＜：-1

■：~BC//~DA~AC1前

則四邊形ABCD為對角線互相垂直的梯形

當(dāng)后二6正=(o,4)BD=(-8,0)

此時S4BCD=gI而II/1=16

當(dāng)「二而=(8,0)前=(0,-4),

此時?BCD=?I前II前I=16.

解析：(1)根據(jù)所給的三個向量的坐標(biāo)，寫出要用的五5的坐標(biāo)，根據(jù)兩個向量平行的充要條件寫出

關(guān)系式，整理成最簡形式.

(2)寫出前向量的坐標(biāo),根據(jù)兩個向量垂直的充要條件寫出關(guān)系式，結(jié)合上一問的結(jié)果，聯(lián)立解方程，

針對于解答的兩種情況，得到四邊形的面積.

本題考查向量垂直和平行的充要條件，結(jié)合向量的加減運(yùn)算，利用方程思想，是一個綜合問題，運(yùn)

算量比較大，注意運(yùn)算過程不要出錯，可以培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和應(yīng)用意識，體會向量的工具作用.

16.答案：解：(1)=方,^5=b,

***OC=OA4-AC=-Q—b,

而=既+麗=彘+回=而+3函+砌=2a+1(-a4-K)+

(2)CE=OE-OC=^(-b)+a+b=a+^b=^CD,

港與由平行，

又,:4r與前有公共點(diǎn)C,

:CD、E三點(diǎn)共線.

解析：本題考查的知識點(diǎn)是向量加減法的三角形法則和向量的共線定理，后者是難點(diǎn)，在利用向量

法證明三點(diǎn)共線時，我們可利用三點(diǎn)構(gòu)造出兩個向量，先證明這兩個向量共線，再說明它們有公共

點(diǎn)，進(jìn)而得到三點(diǎn)共線.

(1)由點(diǎn)C是點(diǎn)8關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，則A為BC的中點(diǎn)，由于靈=OA+AC，CD='CB+~BD=CB+

IBO=CB+1(BA+AO),結(jié)合已知條件，及向量加減法的三角形法則，我們易得結(jié)論.

(2)要證明C、。、E三點(diǎn)共線，我們可以證明存在一個實數(shù)九使方=4而成立即可.

17.答案:ft?：(l),.,aib，.-.ab=O>X|a|=|6|=1?

|c|2=|a+(x2-3)b|2=1+(x2—3)2=%4-6x2+10<10>

得一爬<x<V6.

又近％，：.Z?%=()，

即口+(x2-3)b]?(—ya+xb)=—y+x(x2—3)=0，

所以y=/(%)=/一3%,定義域為［一遍，河；

(2)xG(1,通)時，不等式f(x)>mx-16恒成立,

即%3-3%>mx-16恒成立，也就是mx<x3-3%4-16對于％6(1,遍)恒成立,

即m<弓!竺對于％G(1,乃)恒成立，

令9。)=立片，則g，Q)=窄2,

???當(dāng)％=2時，g(x)有最小值為g(2)=9.

m<9.

故m的范圍為(一8,9］.

解析：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了函數(shù)解析式的求解及不等式恒成立問題的求解方法，

考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于綜合題.

(1)由wVTU求得x的范圍，再由求得函數(shù)解析式；

(2)把/")代入/(x)2mx-16,分離參數(shù)加，構(gòu)造函數(shù)g(x)=±=土3,利用導(dǎo)數(shù)求其最小值得答

案.

18.答案：解：(1)由己知得|@|=|匕|=1.

v\ka+b\=V3|a-fcK|>

(ka+b)2=30_k/

???k2\a\2+2ka-b+\b\2=3Qa\2-2ka-b+k2\b\2)，

——>1>2i

：?8k五?b=2k2+2，?t-a-b=——(fc>0).

(2)由(1)知五.石〉0，

N與］不可能垂直.

若方〃5，由14>0知五，方同向,

于是有方?b=|a||/)|cos0°—|a||b|=1>

即一廠=1,解得k=2土次,

4k

???當(dāng)k=2土次時，a//b.

(3)設(shè)小與另的夾角為。,

a*-b

則0=7??了=()

Rl|t|(*>),

.?.COS0=*+L[(4)2+G)]=j[(Vfc-^)+2],

二當(dāng)迎=加即k=1時，cos。取得最小值

又0。W8W180°,五與石夾角8的最大值為60。.

解析：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算，向量的垂直與平行的判定與證明以及求夾角的問題；

(l)|fca+b|=五-+石|等式兩邊平方化簡求解.

(2)由⑴得五7>0,所以萬不可能能否和石垂直，所以利用平行的等價條件同=同間求解.

(3)用人表示?1)，利用二次函數(shù)求最值.

19.答案：解：(1)如圖所示，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，取|48|=2,

???直角梯形ABC。，ADLAB,AB=2AD=2CD,過點(diǎn)C作CE14B于E,

?-■8(2,0),E(l,0),0(0,1),C(l,l).

DE=(1,0)-(0,1)=(1,-1)>

CB=(2,0)-(1,1)=(1,-1).

:.DE=CB，

??,點(diǎn)C不在DE±,

???DE//CB.

(2);“為0后的中點(diǎn)，；.時(1，3.

.?.DM=(1,0-(0,1)=(1,-0-

MB=(2,0)-(1,|)=

ADM=麗，

又：而與而有公共點(diǎn).

???D,M,8三點(diǎn)共線.

解析：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和共線定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

(1)建立如圖所示的坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和共線定理即可得出；

(2)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和向量共線定理即可得出.

20.答案：解：(1)因為NDAB=90°,

所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、A。分別為X、)，軸，建立平面直角坐標(biāo)系如下圖:

因為力B//CD,AB=6,AD=CD=3,

所以4(0,0),8(6,0),C(3,3),D(0,3).

又因為對角線AC交BD于點(diǎn)O,

所以由而=t而得而=(3t,3t)，即。(3t,3t),

因此前=(3t,3t-3)，DB=(6,-3).

而前〃麗,所以一3x3t-6x(3t-3)=0,解得t=|,

因此。(2,2).

又因為點(diǎn)“在AB上，所以設(shè)

因此而r=(m-2,—2)，~BD=(-6,3).

而0MJ.80,所以旃?前=-6(m-2)-6=0，

解得m=l,即

因此宿=(1,0).而前=(-6,3).

所以福?麗=-6,

即前?前的值為-6；

(2)因為N為線段AC上任意一點(diǎn)，

所以由(1)知：可設(shè)N(n,?i)(O<n<3)(包括端點(diǎn))，

因此而Z=(九,兀)，MN=(n—l,n)>

所以前?MN=n(n-1)+n2=2n2—n-

因為函數(shù)y=2M一九的圖象開口上，對稱軸為九=%

而0<n<3,

所以函數(shù)y=2/一〃的值域為15],

即彳N-祈瓦的取值范圍是[一15卜

解析：本題考查了二次函數(shù)，向量的數(shù)量積，相等向量的概念，向量垂直的判斷與證明，平面向量

的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量共線的充要條件和向量的幾何運(yùn)用，屬于中檔題.

(1)根據(jù)題目條件，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AO分別為X、)，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用相等向量

的概念的坐標(biāo)運(yùn)算得而=(3t,3t)，從而得O(3t,3t),再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得前=(3t,3t-3)和

麗=(6,-3),再利用平面向量共線的充要條件得得￡=|,從而得。(2,2),設(shè)叭科0),從而得麗=

(m-2,-2),前=(-6,3),再利用向量垂直的判斷的坐標(biāo)運(yùn)算得僧=1,從而得M(1,O),再利用向

量的坐標(biāo)運(yùn)算得祠=(1,0),再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，計算得結(jié)論；

(2)利用(1)的結(jié)論，結(jié)合題目條件設(shè)N(n,n)(04n43)(包括端點(diǎn))，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得而=

(n,n)和而7=(n—1,n)>再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得RY-MN=2n2—n<最后利用二次函數(shù)，

計算得結(jié)論.

21.答案：解：(1)因為瓦(=(1,1),OB=(0,-1)>OM=eR)?

所以荏=OB-OA=(-1,-2).AM=OM-OA=

又因為A,B,M三點(diǎn)共線，所以南與加7共線，

因此—(t—1)+2(2t—1)=0,解得t=

(2)因為討=MB=-t).

所以就?MB=-2t(l-2t)-(1-t2)=5t2-2t-l>

而t€R,因此當(dāng)t=2時，稔?而取得最小值一|.

解析：本題考查了二次函數(shù)，共線向量的概念，向量的數(shù)量積，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量共

線的充要條件，屬于中檔題.

(1)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得荏與就的坐標(biāo)，再利用共線向量的概念得荏與加共線，再利用平

面向量共線的充要條件，計算得結(jié)論；

(2)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得就與海的坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得利.麗=5t2_

2t-l,最后利用二次函數(shù)的最值，計算得結(jié)論.

22.答案：解：(1)b=(cos/3,sin^)>c=(2,0),

■-b+c=(2+cos/?,sin/?)?

|b+c|=J(2+cos.尸+siM：

=55+4cos^,

當(dāng)cos￡=l時，上式取最大值為3,

\b+工|的最大值為3；

(2)由(1)知，b+c=(2+cos/?,sin^S)>

當(dāng)a嗎則。=G凈,

一TT1V3

a?(b+c)=(-,—)?(cos0+2,sin0)

=|cos夕+jsin/?+1=sin(/?+：)+1,

va1(b4-c)，

???a?(b+c)=0，即sin(￡+§=-1,

解得夕+合2時冶，可得夕=2"一拳

???cos/?=—1.

解析：本題考查平面向量和三角函數(shù)的綜合，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握先關(guān)的結(jié)論，屬于中檔題.

(1)由已知可得了+下坐標(biāo)，可得|3+不|,由三角函數(shù)最值可得答案；

(2)由(1)可得向量坐標(biāo)，由垂直可得數(shù)量積為0,由等式和三角函數(shù)可得sin(/?+g=-l,然后求

解0的值，最后求解cos/?即可.

23.答案：解:(1)證明:0々=蒼々一I?。

=|a|-|c|-cosl20°—|K|-|c|-cosl20°=0，

???(a-b)1c-

(2)解生五+方+小>1Q(ka+b+c)2>1.

即爐a2+b2+c2+2ka-b+2ka-c+2b-c>1-

■■\a\=\b\=\c\=l^且五花片相互之間的夾角均為120。，

H2=b2=c2=1>a-b=b-c=a-c=-^,

Ie?+1?-2k>1,即Ze?—2k>0?

k>2或k<0.

解析：(1)利用向量的分配律及向量的數(shù)量積公式求出0-3).A利用向量的數(shù)量積為0向量垂直

得證.

(2)利用向量模的平方等于向量的平方及向量的數(shù)量積公式將已知等式平方得到關(guān)于k的不等式求出

失的范圍.

本題考查向量垂直的充要條件、向量模的平方等于向量的平方、向量的數(shù)量積公式.

24.答案：解:(1)由正弦定理得2sin4cosB—sinCcosB=sinBcosC,即2sinAcosB=sin(B+C),

2sinAcosB=sin4,,在△ABC中，sinA0,

-ITT

ACQSB=由于B€(0,7T),故3=］；

(2)若選①②,

依題意有Q=2c,則由余弦定理得，

b2=d2,+c2-2accosB=4c2+c2-2c2=3c2,

得匕=V5c，??/=5，=——9

42

前=3畫+硝，???|甌2=R甌2+20?元+|比產(chǎn))，

即：=^C2,AC2=1,

44

若選①③，

依題意有Q=2c,B=^則由余弦定理得，

b2=a2+c2-2accosB=4c2+c2-2c2=3c2,

得b=V3c，f

42

??^ABM=3BM=1,c=AB=立，-SA4Br遺c[=;

若選②③，

前=3商+硝，???|麗『=1(網(wǎng)/+2函?能+|殖2),

：=:(/+2accos4-c2),a2+ac+c2=7,

又BM為角平分線，s4ABe=B=S△皿/+S.”.”=：「.1-sii；+J.1.sin；,

22b2o

.-.^ac=a+c,平方得3a2cz=7+ac,解得砒=5竺，

6

口1.Jrs/3-l-\/255

???S^ABC=50csm5=----------

解析：本題考查正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，涉及向量的運(yùn)算，考查運(yùn)算化簡的

能力，屬于中檔題.

⑴利用正弦定理及兩角和的正弦公式可得cosB=p由于Be(0,7r),故B=p

(2)若選①②，利用余弦定理求得b=V3c,可得4=會再由向量的運(yùn)算求得c2=1,利用三角形

面積公式可得；

若選①③，利用余弦定理求得匕=V3c,可得4=會再由a8M=1,可得c=AB=^,

利用三角形面積公式可得；

若選②③，由向量的運(yùn)算求得。2+四+。2=7,又為角平分線，利用三角形面積公式可得

V3ac=a+c，平方解得ac=為竺，利用三角形面積公式可得.

6

25.答案：解：(1)根據(jù)題意，相等向量指大小相等，方向相同的向量，

則圖中相等的向量有：MP=0B=NQ.

(2)根據(jù)題意，OM//ON,^]MP//OB//OA//NQ,

則麗與而；而與赤，07，而互為共線向量.

(3)8是04的中點(diǎn)，則。B=｝貝iJ0M=0N=^,則|而|=|麗|=冬

解析：(1)根據(jù)題意，由相等向量的定義可得結(jié)論，

(2)根據(jù)題意，在圖形中尋找平行關(guān)系，可得結(jié)論，

(3)根據(jù)題意，求出線段0M、0N的長，計算可得答案.

本題考查向量相等、共線的定義，涉及向量模的計算，屬于基礎(chǔ)題.

26.答案：解：(1)真命題，因為魚>0,所以近日與方同向.

因為|或劃=或|五|，所以近五的模是五的模的四倍，所以是真命題.

(2)真命題，因為一3<0,所以一3日與日方向相反且|一3中=3|詞.

又因為6>0,所以62與五方向相同且|6五|=6|五

所以-3蒼與6日方向相反且模是6方的模的也所以是真命題.

(3)真命題，由數(shù)乘定義和相反向量定義可知，所以是真命題.

(4)假命題，因為Q—方與另一日是相反向量，所以五-B與—(石-砂是相等向量，所以是假命題.

(5)假命題，因為0=0,所以0?日與方共線，所以是假命題.

解析：利用向量共線與向量的模的關(guān)系判斷(1)(2),利用向量的方向與共線向量判斷(3)(4)(5)的真

假即可.

本題考查命題的真假的判斷，向量的模以及向量的共線的判斷與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

27.答案：解：(1)作訶=日，AB=b^則前即為所求向量為+石，

如圖示：

OA

(2)作況=五,希=石，則和即為所求/+了，

如圖所示：

OB

(3)作函=區(qū)荏=&，則而即為所求向量力+方,

如圖所示:

解析：根據(jù)向量加法的三角形法則作圖.

本題考查了平面向量加法的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

28.答案：解：(1)因為宿=；同+；前,且:+；=1,

4444

所以“、B、C三點(diǎn)共線.

令麗=2南

則AM=AB+BM=AB+ABC

=AB+A(AC-AB)=(1-A)AB+AAC.

又因為麗7=2宿+工近，

44

所以I1。解得；l=g

4

因此而=(灰，即|BM|=[|8C|.

設(shè)點(diǎn)M到AB的距離為八”，點(diǎn)C到AB的距離為生，

<=?因此SAAB."X

Sw-hfixhc

即AABM與AABC的面積之比為1：