2019高考數(shù)學(xué)（浙江）二輪復(fù)習(xí)教師用書第二板塊考前熟悉3大解題技法

第二根抉/考前熟悉3大解題技法

DPERBANKUAI提速度、保高分

(一)小題小做巧妙選擇

高考數(shù)學(xué)選擇題歷來都是兵家必爭之地，因其涵蓋的知識面較寬，既有基礎(chǔ)性，又有

綜合性，解題方法靈活多變，分值又高，既考查了同學(xué)們掌握基礎(chǔ)知識的熟練程度，又考

查了一定的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想，試題區(qū)分度極佳.這就要求同學(xué)們掌握迅速、準(zhǔn)確地解

答選擇題的方法與技巧，為全卷得到高分打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

一般來說，對于運(yùn)算量較小的簡單選擇題，都是采用直接法來解題，即從題干條件出

發(fā)，利用基本定義、性質(zhì)、公式等進(jìn)行簡單分析、推理、運(yùn)算，直接得到結(jié)果，與選項(xiàng)對

比得出正確答案；對于運(yùn)算量較大的較復(fù)雜的選擇題，往往采用間接法來解題，即根據(jù)選

項(xiàng)的特點(diǎn)、求解的要求，靈活選用數(shù)形結(jié)合、驗(yàn)證法、排除法、割補(bǔ)法、極端值法、估值

法等不同方法技巧，通過快速判斷、簡單運(yùn)算即可求解.下面就解選擇題的常見方法分別

舉例說明.

ma直接法

直接從題目條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識，通過嚴(yán)密的

推理和準(zhǔn)確的運(yùn)算，得出正確的結(jié)論.涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡單的題目常用直

接法.

［典例］(2016?浙江高考)已知橢圓G：營+爐=1(m>1)與雙曲線C2：￡—產(chǎn)=1(">0)

的焦點(diǎn)重合，ei,e2分別為G,C2的離心率，貝!!()

A.機(jī)>〃且。迷2>1B.且Cie2Vl

C.m<neie2>lD.〃且e*2Vl

［技法演示］考查了橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)、離心率，抓住焦點(diǎn)相同這個(gè)條件得到〃

之間的關(guān)系，代入離心率的公式即可得解.

/而2-j+1

法一：由題意知i=〃2+i,即，"2=/+2,則m>n,€但=\1加、層=

I(7+1)2//?+2n2+l,

7^+2)=AJ>+亦>1?故選A.

法二：由題意知，1=〃2+］,即,”2=“2+2,則不妨設(shè),小=3,則“2=］,ei

=A/|,e2=y［2,則故選

［答案］A

[應(yīng)用體驗(yàn)]

1.(2016?浙江前考)已知集合P={xCR|lWx<3},Q={xGR|x2^4},貝！|PU(CRQ)=

()

A.[2,3]B.(-2,3]

C.[1,2)D.(-8,-2]U[1,+°o)

解析：選BVQ={xGR|x2^4},

-CRQ={X€R|x2<4}={xeR|-2<X<2}.

VP={xGR|l^x^3),

.,.PU(CRQ)={xeR|-2<x^3}=(-23].

2.(2014?浙江高號)在(l+x)6(l+y)4的展開式中，記廿y項(xiàng)的系數(shù)為八小，")，則43,0)

+八2,1)十八1,2)+人0,3)=()

A.45B.60

C.120D.210

解析：選C由題意知八3,0)=a(X/(2,l)=acj,f(l,2)=cici,/(O,3)=aci,因

此1A3,0)+八2,1)+八1,2)+/(03)=120,選C.

數(shù)形結(jié)合法

根據(jù)題目條件作出所研究問題的有關(guān)圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正確的判斷.

［典例］(2017?浙江高考)如圖，已知平面四邊形A8CD,ABA.BC,

AB=BC=AD=2,CD=3,AC與8。交于點(diǎn)O.記人=示?蘇，12=

~dB:OC,h=~OC：OD,貝！J()

A.Ii<l2<hB./i</j</2

C.h<h<l2D.I2<h<h

［技法演示］如圖所示，四邊形ABCE是正方形，尸為正方形的對角

線的交點(diǎn)，易得40<4尸，而NA尸8=90°,二NA08與NCOO為鈍角，

NAOD與NBOC為銳角.

：：：

根據(jù)題意，Il-I2=l)AOB-~dBOC=~aBCOA-7)C)=~OBCA

=\OB1-1^4\cosZAOB<0,：.h<h,

同理得，Ii>h,作于G,又A8=A。,

：.OB<BG=GD<OD,而04<4尸=尸。<。。,

：.\OAY\OB\<\OC\-\ODI,

而cosNAOb=cosNCOZ)vO,

即3/3,

**?/3</l</2.

［答案］c

［應(yīng)用體驗(yàn)］

3.(2016?浙江高考)在平面上，過點(diǎn)尸作直線I的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)尸在直線I上

fx-2^0,

的投影.由區(qū)域x+y》0，中的點(diǎn)在直線x+y-2=0上的投影構(gòu)成的線段記為A8,

1x-3y+4》0

則|A5|=()

A.272B.4

C.3巾D.6

解析：選C作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所

示，過點(diǎn)C,Z)分別作直線x+y-2=o的垂線，垂足分別為A,B,

'x=2,

則四邊形ABDC為矩形，由｛,'得CQ,-2),由

x+y=0、

I?+y=0

x—3y+4--0,

''得。(一1,1).所以|48|=|。)|=/(2+1)2+(—2—1)2=3啦.故選C.

x+j=0

4.(2018?浙江高考)已知a,b,e是平面向量，e是單位向量，若非零向量a與e的夾

角為全向量b滿足b2-4e?b+3=0,則|a-b|的最小值是()

A.V§-1B.6+1

C.2D.2一小

解析：選A法一：；b2—4e,b+3=0,

/.(b-2e)2=l,.*.|b-2e|=l.

如圖所示，把a(bǔ),b,e的起點(diǎn)作為公共點(diǎn)0,以。為原點(diǎn)，向量e所在直線為x軸,

則b的終點(diǎn)在以點(diǎn)(2,0)為圓心，半徑為1的圓上，|a-b|就是線段A8的長

度.

要求陰的最小值，就是求圓上動點(diǎn)到定直線的距離的最小值，也就是

圓心M到直線OA的距離減去圓的半徑長，因此|a-b|的最小值為由一1.

法二：設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，a=~OA,b=~OB=(x,y),e=(l,0),由b?一

4e?b+3=0得爐+產(chǎn)-4*+3=0,即(x-2)2+y2=i,所以點(diǎn)8的軌跡是以C(2,0)為圓心，1

為半徑的圓.因?yàn)閍與e的夾角為:，不妨令點(diǎn)A在射線y=45x(x>0)上，如圖，數(shù)形結(jié)合

可知|a-bhm=|CA|一|(78一|=巾一1.故選A.

Era驗(yàn)證法

將選項(xiàng)或特殊值，代入題干逐一去驗(yàn)證是否滿足題目條件，然后選擇符合題目條件的

選項(xiàng)的一種方法.在運(yùn)用驗(yàn)證法解題時(shí)，若能根據(jù)題意確定代入順序，則能提高解題速度.

［典例］(2016?浙江高考)已知實(shí)數(shù)a,b,c,()

A.若|a2+b+c|+|a+廬+c|Wl,則A+"+c2Vl00

222

B.若|?2+力+(;|+|(12+"-awi,JU!)a+b+c<100

C.若|a+b+c2|+|a+〃-CWL則a2+ft2+c2<100

D.若|?2+b+c|+|a+b2-c|Wl,則。2+62+。2Vl00

［技法演示］通過邏輯判斷，借助于舉反例排除A、B、C選項(xiàng)，選項(xiàng)D的證明對于學(xué)

生來說是很高的要求.

法一：對于A,取a=b=10,c=-11(),

顯然|a2+6+c|+|a+Z>2+c|41成立，

但。2+方2+《2>100,即a2+/>2+c2<100不成立.

對于B,取“2=10,6=—10,c=0,

顯然曖+萬+可+爐+6一c|近1成立，

但a2+b2+c2=110,即a2+/>2+c2<100不成立.

對于C,取a=l(),方=—10,c=(),

顯然|a+b+c2|+|a+b—成立，

但a2+b2+c2=200,即a2+Z>2+c2<100不成立.

綜上知，A、B、C均不成立，所以選D.

法二:選項(xiàng)A,取a=瓦c=—(a2+a),則M+b+cl+la+:+cFOWl,

此時(shí)由于a可任取，則c無界，顯然無法得到a2+fe2+c2<100;

選項(xiàng)B,取c=0,b=~a2,JJ'J|a2+*+c|+|a2+*-c|=0<l,

此時(shí)由于。可任取，則/>無界，顯然無法得到/+展+，2<100；

選項(xiàng)C,取c=0,b=~a,則|?+8+回+|4+方一>|=0?1,

此時(shí)由于a可任取，則6無界，顯然無法得到a2+〃2+c2<i00；

選項(xiàng)D,l，|?2+5+c|+|a+b2—c|2|a2+b+a+b2］,

而a2+1,Z>2+一：今一：4層++今a,bG

一畤亞，甘可,CG］苧，然斗則。2+加+。2<100.

［答案］D

［應(yīng)用體驗(yàn)］

5.（2016?浙江高考）已知a,5>0且aWl,b^l,若1。即方>1,貝!1（）

A.（a-1）（6—l）V0B.（a—1）（。一〃）>0

C.（力一1）（8一”）V0D.（萬一1）（。一a）>0

解析：選D法一:log/>l=loga。，當(dāng)a>\時(shí)，b>a,即b>a>\,則（a—1）（6—1）>0,

（a—1）（。一b）v0,（A—1）（6-。）>0,選D.再驗(yàn)證：當(dāng)Ovavl時(shí)，b<a9即OvAvavl,則（力一l）（b

一〃）>（）,正確.（說明：作為選擇題，“Ovavl”是不用驗(yàn)證的）

法二：取〃=2,b=3,代入選項(xiàng)，選D.

E2I3排除法

排除法也叫篩選法或淘汰法，使用排除法的前提是答案唯一，具體的做法是從條件出

發(fā)，運(yùn)用定理、性質(zhì)、公式推演，根據(jù)“四選一”的指令，對各個(gè)備選答案進(jìn)行“篩選”，

將其中與題干相矛盾的干擾項(xiàng)逐一排除，從而獲得正確結(jié)論.

erex

［典例］（2018?全國卷II）函數(shù)人工）=且三一的圖象大致為（）

ABCD

［技法演示］先根據(jù)奇偶性排除一個(gè)選項(xiàng)，再根據(jù)特值排除另外兩個(gè)選項(xiàng)，最后剩余的

一個(gè)即為正確答案.

?.?y=ex—e.”是奇函數(shù)，丁=必是偶函數(shù)，

—e、

?v/u）=r—是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A選項(xiàng)?

e-e?1

當(dāng)x=l時(shí)，｛1）=-=e-/0,排除D選項(xiàng).

又e>2,排除C選項(xiàng).故選B.

［答案］B

［應(yīng)用體驗(yàn)］

6.（2017?浙江高考）函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)yfx）的

圖象可能是（）

解析：選D由/'(x)的圖象知，/'(x)的圖象有三個(gè)零點(diǎn)，故八x)在這三個(gè)零點(diǎn)處取

得極值，排除A、B；記導(dǎo)函數(shù)，(X)的零點(diǎn)從左到右分別為Xi,X2,X3,又在(-8,X1)

上/'(x)<0,在(Xi,X2)上/'(幻>0,所以函數(shù)_/lx)在(-8,X1)上單調(diào)遞減，排除C,故選

D.

7.(2014?浙江高考)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)八》)=爐(*》0),g(x)=l08ax的圖象可能

是()

解析：選D當(dāng)4>1時(shí)，函數(shù),Ax)=X0(X>0)單調(diào)遞增，函數(shù)g(X)=logflX單調(diào)遞增，且

過點(diǎn)(1,0),由薪函數(shù)的圖象性質(zhì)可知C錯(cuò)；當(dāng)0<a<l時(shí)，函數(shù)人工)=f(工>0)單調(diào)遞增，函

數(shù)g(x)=lo8ax單調(diào)遞減，且過點(diǎn)(1,0),排除A,又由卷函數(shù)的圖象性質(zhì)可知B錯(cuò)，因此選

D.

rm割補(bǔ)法

“能割善補(bǔ)”是解決幾何問題常用的方法，巧妙地利用割補(bǔ)法，可以將不規(guī)則的圖形

轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，這樣可以使問題得到簡化，從而縮短解題時(shí)間.

［典例］(2018?全國卷II)在長方體ABCD-A181G01中，AB=BC=1,44=小，則異

面直線ADt與DBt所成角的余弦值為()

A.1B.乎

3o

［技法演示］用補(bǔ)形法，再補(bǔ)上一個(gè)相同的長方體，構(gòu)造出一個(gè)三角形,使三角形一個(gè)

內(nèi)角為所求角或其補(bǔ)角，然后解三角形得解.

如圖，在長方體ABB-AiBiGDi的一側(cè)補(bǔ)上一個(gè)相同的長方體

EFBA-EiB&Ai.連接明尸，由長方體性質(zhì)可知，BxF//ADi,所以NOaf

為異面直線Ad與081所成的角或其補(bǔ)角.連接。F,由題意，得。尸=

、#+(i+i)2=黃,FBi=q#+昨y=2,DBI='#+#+(巾)2=下.

在△ORBi中，由余弦定理，得

DF2=FBf+DBi-2FBi-Z)BrcosZDBtF,

即5=4+5—2X2X小XcosZDBtF,

.J5

所以cosZDB|F=-V.

［答案］C

［應(yīng)用體驗(yàn)］

8.已知在正四面體A-BC。中，E為BC中點(diǎn),尸為直線80上一點(diǎn)，則平面AEF與

平面ACZ）所成二面角的正弦值的取值范圍是（）

A席IB.修1］

C惇當(dāng)D.停用

解析：選A如圖，將正四面體A-3CD放入正方體中，體對角線

3K_L平面ACD,所以平面AEF與平面ACZ）所成二面角的平面角的正

弦值等于直線8K與平面AE尸所成角的余弦值.由最小角定理，直線

3K與平面AE尸所成角不大于直線8K與AE所成角.當(dāng)BK〃平面AEF

時(shí)，直線8K與平面AE廠所成角為0。8爪與AE所成角的余弦值為坐，

惇

故平面AE尸與平面ACO所成二面角的平面角的正弦值的取值范圍是

E極端值法

選擇運(yùn)動變化中的極端值，往往是動靜轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵點(diǎn)，可以起到降低解題難度的作用，

因此是一種較高層次的思維方法.

從有限到無限，從近似到精確，從量變到質(zhì)變，運(yùn)用極端值法解決某些問題，可以避

開抽象、復(fù)雜的運(yùn)算，降低難度，優(yōu)化解題過程.

［典例］（2016?全國卷川）在封閉的直三棱柱ABC-A^iCt內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若

AB1BC,AB=6,BC=8,AA］=3,則V的最大值是（）

A.47rB.岑

C.67rD.

［技法演示］根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)找出最大球的半徑，再求球的體積.

設(shè)球的半徑為R,一△ABC的內(nèi)切圓半徑為"’=2,...RWRW3,

4

--

3972T故選B.

［答案］B

［應(yīng)用體驗(yàn)］

9.雙曲線》2一爐=1的左焦點(diǎn)為3點(diǎn)p為左支下半支異于頂點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，則直

線尸產(chǎn)斜率的變化范圍是（）

A.(-8,—1)U(1,4-°°)

B.(一8,0)

C.(—8,O)U(1,+<?)

D.(1,+8)

解析：選C如圖所示，當(dāng)尸-A時(shí)，PF的斜率h-0.

當(dāng)PF_Lx軸時(shí)，P/的斜率不存在，即b*±8.

當(dāng)尸在無窮遠(yuǎn)處時(shí)，尸產(chǎn)的斜率A-H.

結(jié)合四個(gè)備選項(xiàng)得，選C.

估值法

由于選擇題提供了唯一正確的選擇項(xiàng)，解答又無需過程，因此可通過猜測、合情推理、

估算而獲得答案，這樣往往可以減少運(yùn)算量，避免“小題大做”.

［典例］（2017?浙江高考）如圖，已知正四面體O-A5c（所有棱長均相

BQ_CR

等的三棱錐），P,Q,/?分別為48,BC,C4上的點(diǎn)，AP=PB,

QCRA

=2,分別記二面角O-PR-Q,D-Pq-R,O-QR-尸的平面角為a,fi,y,貝1（）

A.y<a<flB.a<y<p

C.a<fi<yD.fl<y<a

［技法演示］設(shè)o為△ABC的中心，則0到PQ距離最小，0到PR

距離最大，0到QR距離居中，而高相等，因此tana<tany<tanp,故a<y<fl,

選B.

［答案］B

［應(yīng)用體驗(yàn)］

10.（2017?全國心口）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的

三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）

A.907rB.637r

C.427rD.367r

解析：選B法一：由題意知，

又Vam=7rX32X10=9（hr,

.,.457r<Vn.?*<90rt.

觀察選項(xiàng)可知只有637r符合.故選B.

法二：由題意知，該幾何體由底面半徑為3,高為10的圓柱截去底面半徑為3,高為6

的圓柱的一半所得，其體積等價(jià)于底面半徑為3,高為7的圓柱的體積，所以它的體積丫=

nX32X7=63n.

（二）快細(xì)穩(wěn)活填空穩(wěn)奪

絕大多數(shù)的填空題都是依據(jù)公式推理計(jì)算型和依

據(jù)定義、定理等進(jìn)行分析判斷型，解答時(shí)必須按規(guī)則

填空題解答“五字訣”

進(jìn)行切實(shí)的計(jì)算或者合乎邏輯的推理和判斷.求解填

快一運(yùn)算要快，力戒小題大做

空題的基本策略是要在“準(zhǔn)”“巧”“快”上下功

細(xì)——審題要細(xì)，不能粗心大意

夫.常用的方法有直接法、特殊值法、數(shù)形結(jié)合法、

穩(wěn)——變形要穩(wěn)，不可操之過急

等價(jià)轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造法等.

活——解題要活，不要生搬硬套

解答填空題時(shí)，由于不反映過程，只要求結(jié)果，

全——答案要全，避免殘缺不齊

故對正確性的要求更高、更嚴(yán)格.解答時(shí)應(yīng)遵循

“快”“細(xì)”“穩(wěn)”“活”“全”5個(gè)原則.

I.填空題一五招速解

|an直接法|

直接法就是從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定義、定理、公式、性質(zhì)、法則等知識，通過變形、

推理、計(jì)算等得出正確的結(jié)論.

［典例］（2018?浙江高考）在△A3C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,3若（1=木,

b=2,A=60。，貝（JsinB=,c=?

［技法演示］由正弦定理就磊，得sin"、in4=場X^=卑.

由余弦定理a2=b2+c2~2bccos

得7=4+C2-4CXCOS600,

即c2—2c—3=0,解得c=3或c=—1（舍去）.

［答案］卑3

［應(yīng)用體驗(yàn)］

1.若等差數(shù)列｛呢｝和等比數(shù)列｛瓦｝滿足。1=加=-1,內(nèi)=d=8,則胃=.

解析：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,等比數(shù)列｛瓦｝的公比為q,則a4=-l+3d=8,解得

d=3;b4=-l-q3=8,解得的=-1+3=2,岳=-1X（—2）=2,所以發(fā)=1.

答案：1

2.（2016?浙江高考）已知aGR,方程a2x2+（a+2）/2+4x+8y+5a=0表示圓，則圓心坐

標(biāo)是,半徑是,

解析：由二元二次方程表示圓的條件可得出="+2,解得“a=2時(shí)，方程為4爐+4產(chǎn)

+4x+8j+10=0,即x2+y2+x+2y+?=o,配方得（*+32+。+1）2=—*0,不表示圓；

當(dāng)。=一1時(shí)，方程為爐+爐+4*+89-5=0,配方得（*+2）2+6+4）2=25,則圓心坐

標(biāo)為（-2,-4）,半徑是5.

答案：（-2,-4）5

OS特殊值法

當(dāng)填空結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，我們只需把題材中

的參變量用特殊值代替即可得到結(jié)論.

［典例］已知等差數(shù)列｛%｝的公差為d,等比數(shù)列｛瓦,｝的公比為q,設(shè)｛a“｝,｛瓦｝的前n

項(xiàng)和分別為S“，T?,若〃2（7“+I）=2"S"，"GN",則〃=;q=.

［技法演示］法一：特殊化思想，取S“="2,T?=2"-l,則瓢=2〃-1,"滿

足條件，故d=2,q=2.

法二：若g=l,則/（〃仇+1）=2｛"為+%二%,這是不可能的，所以gWl,

故〃1］_q十—2"J，所以q—2.

于是于［61（2"-1）+1］=2｛.+"（”2%,

比較兩邊系數(shù)得A=bi,ai=z,-6i+l=0,解得｛仇=1,d=2,a\=l.

綜上，d=2,q=2.

［答案］22

［應(yīng)用體驗(yàn)］

3.在等差數(shù)列｛斯｝中，若。3+"4+。5+。6+。7=25,則。2+a8=.

解析：法一：（特殊值法）

等差數(shù)列｛%｝為常數(shù)列，則43+44+45+46+47=25=545今45=5,。2+。8=2。5=10.

法二：（直接法）

因?yàn)閿?shù)列｛4“｝是等差數(shù)列，由下標(biāo)和性質(zhì)知。3+。4+。5+”6+。7=25=545今痣=5,?2+

。8=2語=10.

答案：10

已知雙曲線E：=l(a>0,Z?0).矩形A5C。的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB,C。的

中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|A8|=3|8C|,則E的離心率是

解析：法一：(特殊值法)

2b2

如圖，由題意知|AB|=-屐，|5C|=2c,又21ABi=3|〃C|,

.??設(shè)|A6|=6,13cl=4,

則|APi|=3,|尸i尸21=4,

A|AF2|=5.

由雙曲線的定義可知，a=l9c=2,.\e=~=2.

法二：(直接法)

2b2

如圖，由題意知|4陰=/，|3C|=2c.

又2|A8|=3|BC|,

2b2

A2X—=3X2c,即2b2=3ac,

,*.2(c2—a2)=3ac,兩邊同除以標(biāo)并整理，得2e?—3e—2=0,解得e=2(負(fù)值舍去).

答案：2

|數(shù)形結(jié)合法

根據(jù)題目條件，畫出符合題意的圖形，以形助數(shù)，通過對圖形的直觀分析、判斷，往

往可以快速簡捷地得出正確的結(jié)果，它既是方法，也是技巧，更是基本的數(shù)學(xué)思想.

f3x-1?xWO,

［典例］已知函數(shù)yu)=11在區(qū)間［-1,，川上的最大值是2,則"?

lx2,x>0

的取值范圍是.

3'—1,xWO,

［技法演示］yu)=<1作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因?yàn)楹瘮?shù)八工)在

,x>0

［-1,何上的最大值為2,又八一1)=八4)=2,所以一lv/〃W4,即/"￡(一1,4］.

［答案］(-1,4］

［應(yīng)用體驗(yàn)］

X—4,

5.(2018?浙江高考)已知2GR,函數(shù)｛x)=J,,當(dāng)2=2時(shí)，不等式/(x)<0

4x+3,x<2.

的解集是.若函數(shù)式x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則2的取值范圍是

X—4,x22,

解析:當(dāng)z=2時(shí)，於)=

X2—4x+3,x<2,

其圖象如圖①所示.

由圖知y(x)<o的解集為(1,4).

4,

大幻=,’.’恰有2個(gè)零點(diǎn)有兩種情況:

X2-4x+3,x<2

①二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，一次函數(shù)無零點(diǎn)；

②二次函數(shù)與一次函數(shù)各有一個(gè)零點(diǎn).

在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出j=x—4與j=x2—4x+3的圖象如圖②所示，平移直線

x=A,可得2G(1,3］U(4,+?>).

答案：(1,4)d,3］U(4,+~)

E等價(jià)轉(zhuǎn)化法

通過“化復(fù)雜為簡單，化陌生為熟悉”將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為便于解決的問題，從而得到

正確的結(jié)果.

［典例］(2018?浙江高考)已知點(diǎn)尸(0,1),橢圓5+了2=機(jī)(心1)上兩點(diǎn)A,B滿足/=

2PB,則當(dāng)機(jī)=時(shí)，點(diǎn)8橫坐標(biāo)的絕對值最大.

［技法演示］設(shè)4(xi,ji),8(X2,J2),由方'=2前,

—X1=2X2,

得,“，、即X1=-2X2，yi=3-

1—Ji=2(>2—1),

學(xué)+(3-2y2)2=，",

因?yàn)辄c(diǎn)A,5在橢圓上，所以《

131591

得>2=中》+4，所以與=機(jī)一（3—ZyzAn—w/nZ+i”?一不=一丁小一5A+4W4,

所以當(dāng),〃=5時(shí)，點(diǎn)〃橫坐標(biāo)的絕對值最大.

［答案］5

［應(yīng)用體驗(yàn)］

6.（2016?浙江高考）如圖，在△/!5c中，AB=BC=2,ZABC=120°.

若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)O,滿足尸PB=BA,貝!I

四面體PBCD的體積的最大值是.4上絲

解析：在△A8C中，AB=BC=2,NA5C=120°,

：.AC=Y22+22-2X222x（-3=2小.

設(shè)CZ）=x,則AO=2［3-X,

工PD=2小一x,

:.Vp-Bcr）=^S^ncD'h

當(dāng)且僅當(dāng)x=2小一x,即》=布時(shí)取“=”，

此時(shí)P〃=S，BD=l,PB=2,滿足題意.

故四面體PBCD的體積的最大值為;.

答案G

7.設(shè)X，y為實(shí)數(shù)，若4]2+72+盯=1,則2x+y的最大值是______.

解析:V4x2+j2+xy=1,A(2X+J)2=3XJ+1=^X2xj+1,A(2x+

、2<8c,、2V10

J)2^5，(2x+j)max==-?

答案：申

tm構(gòu)造法

根據(jù)題設(shè)條件與結(jié)論的特殊性，構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式，并借助它來認(rèn)識和解決問

題.

［典例］（2016?浙江高考）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,.若S2=4,即+I=2S“+L"WN*,

則?=,Ss=.

［技法演示］先構(gòu)造等比數(shù)列，再進(jìn)一步利用通項(xiàng)公式求解.

,:%+I=2S"+1,/.Sn+l—Sn=2Sn+1,

:.S"+1=3S"+1,,S"+1+g=3（S"+￡）,

???數(shù)列卜”+多是公比為3的等比數(shù)列，

S2+5

：?r=3.

SI+5

又Sz=4,Si=1,7?==1,

Ss+；=（S1+；）X34=,X3,=竽，

.,.$5=121.

［答案］1121

［應(yīng)用體驗(yàn)］

8.（2016?浙江海學(xué)）已知向量a,b,|a|=L|be,均有|a-e|+|b-e|W#,則a?b的最

大值是.

a+b

解析：由于e是任意單位向量，可設(shè)e=u，

|a+b|

a-(a+b)b(a+b)

則|a-e|+|b-e|=+

|a+b||a+b|

a-(a+b)b-(a+b)

/|a+b||a+b|

(a+b)-(a+b)

=------------------=|a+b|.

|a+b|

T|a-e|+|b-eW不，

.?.|a+b|W祈，；.(a+b)2W6,

...|aF+|bF+2a-bW6.

7|a|=i,|b|=2,

；?l+4+2a?bW6,

Aab^|,Aab的最大值為;.

答案：\

n.多空題——辨式解答

并列式——兩空并落"

此種類型多空題的特點(diǎn)是：根據(jù)題設(shè)條件，利用同一解題思路和過程，可以一次性得

出兩個(gè)空的答案，兩空并答，題目比較簡單，會便全會，這類題目在高考中一般涉及較少，

?？疾橐恍┗玖康那蠼猓话闶嵌嗫疹}的第一個(gè)題目.

［例1］(2016?浙江高考)已知2cos2x+sin2x=Asin((yx+°)+8(A>0),則A=,

b=.

［解析］V2cos2x+sin2x=l+cos2x+sin2x=l+V2sin^2x+^,l+A/isin(2x+§

=Asin(?xr+p)+6,:.A=地,b=l.

［答案］啦1

［點(diǎn)評］例1中根據(jù)題設(shè)條件把2cos2*+sin2x化成l+qisin(2x+§后，對比原條件

恒等式兩邊可直接得出兩空的結(jié)果，A=r,b=l.

［應(yīng)用體驗(yàn)］

I.(2015?浙江高考)雙曲線日一步=1的焦距是,漸近線方程是.

2222

解析：由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，知雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，且〃2=2,b=l,*.c=a+b=3f

即c=<3,，焦距2c=2、/5,漸近線方程為丁=玲，即7=±乎%.

答案：2小y=±坐r

ma分列式---一空一答

此種類型多空題的特點(diǎn)是：兩空的設(shè)問相當(dāng)于一個(gè)題目背景下的兩道小填空題，兩問

之間沒什么具體聯(lián)系，各自成題，是對于多個(gè)知識點(diǎn)或某知識點(diǎn)的多個(gè)角度的考查；兩問

之間互不干擾，不會其中一問，照樣可以答出另一問.

［例2］(1)(2016?浙江高考謀幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的表面

積是cm2,體積是cm3.

2.22,2

2

f2

(2)(2015?浙江高考)已知函數(shù)_Ax)=Jx"'則HA-3))=________,f(x)

UgC^+l),X<1,

的最小值是.

［解析］(1)由三視圖知該幾何體是一個(gè)組合體，左邊是一個(gè)長方體，

交于一點(diǎn)的三條棱的長分別為2cm,4cm,2cm,右邊也是一個(gè)長方體，/

交于一點(diǎn)的三條棱的長分別為2cm,2cm,4cm.二產(chǎn)黃沙

幾何體的表面積為(2X2+2X4+2X4)X2X2-2X2X2=72(cm2),

體積為2X2X4X2=32(cm3).

(2)vy(-3)=lg［(-3)2+1］=lg10=1,

?\AA-3))=/U)=l+2-3=0.

2/~~52

當(dāng)xNl時(shí)，x+—3^2A/x--3=2A/2-3,當(dāng)且僅當(dāng)X=-,即時(shí)等號成立，

xXX

此時(shí)八X)min=2也-3V0；

當(dāng)X<1時(shí)，^+1)^18(02+1)=0,

此時(shí)於)min=o.

所以#x)的最小值為2g一3.

［答案］(1)7232(2)02&-3

［點(diǎn)評］例2(1)中根據(jù)題設(shè)條件三視圖得出其幾何體的直觀圖后，由面積的相關(guān)公式求

出幾何體的面積，由體積的相關(guān)公式求出其體積；例2(2)中，兩空都是在已知一分段函數(shù)

的解析式，考查兩方面的知識，分別求出函數(shù)的值和函數(shù)的最值.

［應(yīng)用體驗(yàn)］

2.(2015?浙江高考)函數(shù)八x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是,單調(diào)遞

減區(qū)間是.

解析：=sin2x+sinxcosx+1

1—cos2x,1

=-----2-----+尹。2x+l

1?.1-3

=］sin2x-2C0S

=^sin（2x-j）+1,

，函數(shù)人x）的最小正周期T=n.

令冷+2?”W2》—手+2E,（AGZ）,

解之可得函數(shù)八幻的單調(diào)遞減區(qū)間為

.3?r,.7n-|_

AJT+至，An+w」（AGZ）.

答案：n［癡+尊An+資（AGZ）

遞進(jìn)式——逐空解答

此種類型多空題的特點(diǎn)是：兩空之間有著一定聯(lián)系，一般是第二空需要借助第一空的

結(jié)果再進(jìn)行作答，第一空是解題的關(guān)鍵也是難點(diǎn)，只要第一空會做做對，第二空便可順勢

解答.

［例3］（2018?蕭山中學(xué)模擬）設(shè)等比數(shù)列他“｝的首項(xiàng)“1=1,且4內(nèi),2a2,方成等差數(shù)列，

則公比q=;數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和Sn=.

［解析］因?yàn)椋紌i=l,且44i,2a2,43成等差數(shù)列，所以4a2=4ai+“3,即4g=4+d，解

1—2"

得4=2,所以S"=7==2"-l.

JL乙

［答案］22?-1

［點(diǎn)評］例3中根據(jù)題設(shè)條件求出g=2后，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求出S,,.第二空

的解答是建立在第一空解答的基礎(chǔ)上的，只有求出第一空才能求得第二空.

［應(yīng)用體驗(yàn)］

3.（2017?浙江名校協(xié)作體聯(lián)考）已知在△A5C中，AB=3,BC=幣,AC=2,且。是

△A8C的外心，則就?元=,~AO^BC=.

解析：因?yàn)?。是△ABC的外心，所以向量4。在向量AC上的投影箕￡匕=1,向量A。

IACI

-A-A-AA9>—Aw>

在向量方'上的投影所以AO?AC=2,AOAB=y所以BC=40。AC

答案：2

（三）有舍有得壓軸大題——多搶分

高考是選拔性的考試，試卷中必然要有綜合考查數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想的能力型試題,

即拉分題（亦即壓軸題）.對大部分考生來說，如何從拿不下的題目（壓軸題）中分段得分，是

考生高考數(shù)學(xué)能否取得圓滿成功的重要標(biāo)志，是使考生能否達(dá)到“名牌大學(xué)任我挑”的關(guān)

鍵.對此可采用如下三個(gè)策略達(dá)到高分的目的.

策略一缺步解答（能做多少就做務(wù)少）

如遇到一個(gè)不會做的問題，將它們分解為一系列的步驟，或者是一個(gè)個(gè)小問題，先解

決問題的一部分，能解決多少就解決多少，能寫幾步就寫幾步.特別是那些解題層次明顯

的題目，每一步演算到得分點(diǎn)時(shí)都可以得分，最后結(jié)論雖然未得出，但分?jǐn)?shù)卻已過半.如

下例：

［典例1］（本小瓶滿分15分）如圖，設(shè)橢圓C：5+/=1（＞。＞0）,動直線I與橢圓C

只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且點(diǎn)尸在第一象限.

（1）已知直線/的斜率為A,用a,b,A表示點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（2）若過原點(diǎn)0的直線人與/垂直，證明：點(diǎn)P到直線6的距離最大值為。一瓦

［規(guī)范解答及評分細(xì)則］

⑴設(shè)直線I的方程為y=Ax+/n（&vO）,

消去y得（從+。2々2戊2+2424/〃工+〃2/九2一〃242=0

由于/與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，故/=0,

即b2—m2+a2k2=0,

解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一次舞，帚后）

又點(diǎn)尸在第一象限，

（—a2kb2

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（赤用標(biāo)'d小+“2A2）脩分）

⑵由于直線過原點(diǎn)。且與/垂直，故直線人的方程為丫+心=0,（8分）

所以點(diǎn)尸到直線/i的距離

-a"kb2A

yjb2+a2k2y]b2+a2k2

（10分）

yll+k2

層一萬2

整理得d=i（13分）

A/b2+a2+a2k2+~j^

因?yàn)閍2k2+T2^2ab

K9

**d一護(hù)一通一心

以~//＞，-!_2_|_2^4昕飛方+。2+2而ab，

A/b"~i~a2~i~a2k2~v"'

當(dāng)且僅當(dāng)#2=］時(shí)等號成立.

所以點(diǎn)P到直線A的距離的最大值為“一尻（15分）

［搶分有招］

得滿分不容易，得大部分分?jǐn)?shù)還是很輕松的.第一小題中只要有直線方程與橢圓聯(lián)立

方程的意識就給2分，尸點(diǎn)橫縱坐標(biāo)各2分，即第一小題6分；第二小題中只要設(shè)A直線方

程就給2分，至于直線方程有沒有設(shè)對無所謂；有點(diǎn)到直線的方程公式給2分；把點(diǎn)的坐

標(biāo)代入正確給3分；最后有標(biāo)=/的結(jié)果或等價(jià)形式都給2分；第一小題是突破口，如果能

解出尸點(diǎn)坐標(biāo)，順勢寫出P到/i的距離，拿13分是非常輕松的.

策略二'逆向解答（此路不通用想法）

對一個(gè)問題正面思考發(fā)生思維受阻時(shí)，用逆向思維的方法去探求新的解題途徑，往往

能得到突破性的進(jìn)展.順向推有困難就逆推，直接證有困難就反證.

［典例2］（2017?臺州郵研?滿分15分）已知數(shù)列｛%｝滿足：%＞0,a"+i+；〈2（”eN*）.

(1)求證：alt+2<an+\<2(nGNi)；

(2)求證：斯>1(〃WN*).

［規(guī)范解答及評分細(xì)則］

⑴由斯＞0,即+i+；＜2,

得??+i<2—7"<2.(3分)

因?yàn)?＞斯+2+」一＞2、慳望