三 函數(shù)綜合問題（一次函數(shù)+反比例函數(shù)）-簡單數(shù)學之2022年中考二輪復習（解析版）（全國適用）

專題三函數(shù)的綜合問題專題三函數(shù)綜合問題（一次函數(shù)+反比例函數(shù)）

一、以一次函數(shù)為背景的綜合問題

例題（2021?黑龍江?哈爾濱市第十七中學校二模）如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，直線y=

3

-m奸3分別交x軸，y軸于點4B.回OBA的外角平分線交x軸于點D.

4

（1）求點。的坐標；

（2）點P是線段8D上的一點（不與B,。重合），過點P作PC0BD交x軸于點C.設點P的橫坐標為t,0BCD

的面積為5,求S與t之間的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，PC的延長線交y軸于點￡,8c的延長線交DE于點F,連AP,若sin團8Ap=嚕，

求線段。下的長.

【解析】

【分析】

（1）利用角平分線的性質(zhì)定理和等面積法解題;

（2）求面積先求底和高，利用三角形相似二次求解：

（3）先根據(jù)NfiAP的正弦值求出點尸的位置，再根據(jù)題目的順序求出點尸的坐標，最后求。尸的長度.

【詳解】

解：（1）過點。作。于點”，

則：DH=DO,BH=BO,

；?當x=0時，y=3；當y=0時，x=4,

A(4,0),8(0,-3),

.-.OA=4,BO=BH=3,

AB=7(M2+OB2=V42+32=5，

AD=DO+OA=DH+4,

S^^ADOB^ABDH,

：.-(DH+4)-3=--5DH,

22

解得：DH=6,

OD=6,

???點。的坐標為《0）.

（2）過點P作PE_LQD于點E,

則：ADPE^/SJDBO,

?丁點。在直線3。上，且點P的橫坐標為

:.DE=t+6,

OD=6,OB=3,

/.BD=>JOD2+OB2=V62+32=345，

也PEs也BO,

.DPDE

"~DB~~OB'

DPr+6

--3^=~，

解得：DP=—(f+6),

2

PC上BD,

:."DCs1soDB,

.PCDP

一~6B~~6DI

...PC_2(6),

--6-

/.PC=￡+6),

4

.?.5=-BDPC=--3>/5—(r+6)=—/.

2248

(3)過點P作？M_LAB于點A7,作PNtOB于點、N,

則：PM=PN,BM=BN,

設直線5。的解析式為：)，=履+伙攵。。)，

把。(-6,0),5(0,3)代入尸H+"得：

仿=3…，伏=0.5

,記解得：,&.

[-6K+o=0[b=3

.,點。在直線3。上，且點P的橫坐標為

.(f,0.5r+3),

PM=—t,BM=3—(0.5/+3)=-0.5z,

:.AM=MB^AB=-O.5t+5,

.MPVio

sinZR4P=----=------,

AP10

.-tVio

"而一記’

AP=-JWt,

AM2+PM2=AP2>

(-z)2+(-0.5/+5)2=(-屈r)2,

解得：乙=一2,j與(舍)，

?.尸(一2,2),

PE工BD,

所在直線的％為-2,

設PE:y=-2x+a,

把點?(-2,2)代入，得：-2x(-2)+a=2,

ci=-2,

PE:y=-2x-2,

當X=0時，y=-2；y=0時，X=-1,

C(-1,O),E(0-2),

設DE:y=mx+n(tn*0),

把點。(-6,0),E(0,-2)代入，得:

1

-6/n+n=0-『m-——

?=-2,解得：3,

n=-2

..OE:y=—$—2①,

設BC:y=fev+c(bwO),

把8(0,3),C(-l,0)代入，得:

c=3b=3

—，解得:

c=3，

/.BC:y=3x+3②,

3

x=——

聯(lián)立①②，解得：:

【點睛】

本題是一個綜合應用題，考查了學生對角平分線的性質(zhì)定理、三角形相似的性質(zhì)與判定、一次函數(shù)的應用、

解直角三角形等知識點的掌握情況，解題的時利用相關(guān)知識求出關(guān)鍵線段和點是解題的關(guān)鍵.

練習題

1.(2021?吉林雙陽?二模)如圖，在平面直角坐標系中，兩條直線分別為y=2x,y=kx,且點A在直線y=

2x上，點8在直線y=kx上，48取軸，AD取軸，8C0X軸垂足分別為D和C,若四邊形A8CD為正方形時,

112

A.-B.-C.-D.2

423

【答案】C

【解析】

【分析】

設A（x,2x）,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得B（3x,2x）,將8（3x,2x）代入y=6中，即可求出k的值.

【詳解】

解：設A（x,2x）

回四邊形A8CD為正方形

團AD=BC,AB=CD

8（3x,2x）

將B（3x,2x）代入y=日中

2x=3kx

2

解得

故選：C.

【點睛】

此題考查了一次函數(shù)的幾何問題，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的解析式以及性質(zhì)、正方形的性質(zhì).

2.（2021?山東槐蔭?二模）如圖，點B,C分別在直線y=2x和直線y=kx上，A、。是x軸上兩點，若四邊

形A8C。是長方形，且A8：AD=1：3,則k的值是（）

4A=2X

2

9-

【答案】C

【解析】

【分析】

設點B的坐標為（m,2m）,結(jié)合矩形的性質(zhì)可得出。A,AB,CD的長，由AB：AD=1：3可得出AD的長，

結(jié)合OD=OA+AD可求出。。的長，進而可得出點C的坐標，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出

k值.

【詳解】

解：設點8的坐標為（m,2m）,CD—AB—2m,OA=m

04B：AD=1：3,

04。=3/48=6m,

國0D=0A+AD=7m,

團點C的坐標為（7m,2m）.

團點C在直線y=kx上，

團2m=7km,

?2

0k=-.

7

故選：c.

【點睛】

本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式，用字母表示出點c的坐標是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?山東廣饒?二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形。ABC滿足點。在原點，點A坐標為（2,

0）,MOC=60。，直線y=-3x+b與菱形0ABe有交點，則b的取值范圍是—.

【答案】0<b<9+^tttt0<b<y/3+9

【解析】

【分析】

作C/VOOA于點M,8崛。A于點N,求出8的坐標，然后代入一次函數(shù)解析式中，求出b的最大值，再將原

點代入一次函數(shù)解析式中求出b的最小值即可.

【詳解】

解：作CMBOA于點M,BN^OA于點N,

回。M=g0C,

團在菱形。A8c中，A（2,0）,

⑦OC=OA=2=CB,

S1OM=1,

0C/W=y/（）C2-OM2=A/22-12=73-

0C（1,⑹，

06的橫坐標為3,

^OABCB,

0B/V=CM=G,

團B的縱坐標也為G，即8（3,G）,

當y=-3x+b過。（0,0）時，b最小，最小值為0,

當片-3x+b過8（3,⑹時,b最大,

把8（3,73）代入y=-3x+b,

解得：b=6+9,

Elb的取值范圍為：0《b4G+9,

故答案為：04b（白+9.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)和待定系數(shù)法，關(guān)鍵是求出點8的坐標.

4.（2021?湖北陽新?模擬預測）如圖，直線AB的解析式為y=-x+b分別與x,y軸交于A,B兩點，點A的

坐標為（3,0）,過點8的直線交x軸負半軸于點C,且08：OC=3：1,在x軸上方存在點D,使以點A,8,

D為頂點的三角形與AABC全等，則點D的坐標為

y

7^

【答案】(4,3)或(3,4)

【解析】

【分析】

求出8、C的坐標，分BO平行》軸，8。不平行x軸兩種情況，求解計算即可.

【詳解】

解：將點A的坐標代入函數(shù)表達式得：0=-3+b,

解得：b=3

13直線AB的表達式為：y=-x+3,

回點B(0,3)

HOB：0C=3：1

0OC=1,

回點C(-1,0)；

①如圖，當8。平行x軸時，以點A、B、。為頂點的三角形與AABC全等，則四邊形BZMC為平行四邊形

貝lj8D=AC=l+3=4,則點D(4,3)；

設直線D。'的表達式為：y=-x+n,

將點D的坐標代入y=-x+n中解得：n=7,

團直線D。'的表達式為：y=-x+7,

設點D'(m,7-m),

她，B,D'為頂點的三角形與E1ABC全等，

則8O=BC=5/i+F=^w2+(7-m-3)2,

解得：m—3,

故點D'(3,4)；

故答案為：(4,3)或(3,4).

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形全等，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識.解題的關(guān)鍵與

難點在于分情況求解.

5.(2021?廣東深圳?三模)定義：如圖1,已知銳角m。8內(nèi)有定點P,過點P任意作一條直線分別交

射線。4。8于點M,N.若P是線段MN的中點時，則稱直線/WN是MOB的中點直線.如圖2,射線。Q

的表達式為y=2x(x>0),射線。Q與x軸正半軸的夾角為回a,P(3,1),若MN為回a的中點直線，則直

線MN的表達式為.

【答案】y=-^-x+|

【解析】

【分析】

作MDBlx軸于D,PEHx軸于E,則PE〃皿，設M(m,2m),由題意得PE=m,由P(3,1)求得m=l,

即可求得N(5,0),然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線MN的解析式.

【詳解】

解：如圖，作MDfflx軸于。，PEHx軸于E,則PE〃州D.

DEMP?

團——=——=1

ENPN

MN=EN,即E為DN中點,

E)PE是△"/)可中位線

^PE=^MD,

0M是射線0Q上的點,

團設M(m,2m),

團MD=2m,

團P￡=^MO=m,

團P(3,1),

^m=l,0E=3

團M(1,2)

0OD=1,則DE=OE-OD=2

^EN=DE=2

^0N=0E+EN=5

國N(5,0),

設直線MN的解析式為y=kx+b,

3%+b=1

把P(3,1),N(5,0)代入得

5k+b=0

k=--

2

解得

b=-

2

回直線MN的解析式為y=-yx+|,

故答案為：y--gx+5.

【點睛】

本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形中位線定理，求得N

的坐標是解題的關(guān)鍵.

6.(2021?山東?濟寧學院附屬中學一模)如圖，在平面直角坐標系xQy中，MC。的頂點A,8的坐標分

別是A(6,0),8(0,4).直線/經(jīng)過坐標原點，并與AB相交于點。.

⑴直接寫出C點的坐標.

(2)若ZZXM=ZBOC,試確定點。的坐標及直線/的解析式.

⑶在(2)的條件下，動點P在直線/上運動，以點尸為圓心，P8的長為半徑的.P隨點尸運動，當P與

A8C0的邊相切時，求出的半徑.

【答案】(1)(-6,4)

(2)。點坐標為(得，號)，直線/的解析式為y=|x

⑶4或口叵或9-3行或9+3石

3

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和A點坐標推出線段8c長度，求解：

(2)先證△DOA與一8OC相似，求出A。長度，再由與.8OC相似，求出AMHD長度，進而求出

。點坐標，代入直線/的解析式即可；

(3)分P與BC、OC、OA.AB相切四種情況討論，畫出圖形逐個求解.

(1)

解：四邊形ABCD是平行四邊形，A點坐標為(6,0)

???OA=BC=6

B點坐標為(。，4)

??.C點坐標為(-6,4)

⑵

OC=y]OB2+BC2=742+62=2萬

四邊形ABCD是平行四邊形

ZA=ZC

;ZDOA=ZBOC

△004/XBOC

.ADOAnnAD_4

"~BC~'OC''6-2M

1Q

解得A。=方

y/lJ

NCBO=/BOA=90,ZDHA=90,ZA=ZC

/\AHD△CBO

18

?AHHDAD即AHHD二旅

~BC~OB~OC

6-4-29

解得AH=值，HD=—

/.OH=OA-AH=—

13

「?。點坐標為(1,需)

設直線/的解析式為>=區(qū)，代入。點坐標得意=魯女

解得女后3

直線/的解析式為y=13x

⑶

山(2)知△ZXMABOC

^ODA=ZCBO=9Q.BPZ1AB

OPLAB

又AB//OC

OPLOC

設PCxgx)

，P與。點重合，此時圓心P到BC的距離為。8

P的半徑是4；

②當OP與0C相切時，作軸于E,如圖3

圖3

P的半徑是P8

OP=PB,AOPB是等腰三角形

EB=OE

，P點的縱坐標為gx4=2

34

在中令y=2,解得工=]

4

.J點坐標為(§,2)

。戶的半徑是當1：

PF=PB

-'-|x=J(jx_4)2+彳2

解得x=6+26或6—2石，代入至=

得P點的坐標為(6+2百,9+36)或(6-26,9-36)

PF=9-3石或9+36

。尸的半徑是9-3后或9+36：

④當〈P與A8相切時，如圖5

由直線/_LAB知，PD”B，即不存在以P8的長為半行的(P與。4相切

,此種情況的P不存在；

綜上所述，滿足條件的尸的半徑為4或空3或9-36或9+3石

3

【點睛】

本題考查平行四邊形性質(zhì)、一次函數(shù)性質(zhì)、相似三角形判定與性質(zhì)、圓與直線相切等知識點，屬于綜合型

題目，難度較大，熟悉掌握并運用基本知識點，分情況討論圓與平行四邊形相切是解題關(guān)鍵，考慮不全時

容易出現(xiàn)漏解.

2Q

7.(2022?遼寧?東北育才實驗學校模擬預測)如圖，已知直線Zy=]X+§與直線匕：y=-2x+16相交于

點C,鼠〃分別交x軸于4B兩點.矩形DEFG的頂點D、E分別在直線/八〃上，頂點F、G都在x軸上，

且點G與點8重合.

⑴求MBC的面積;

(2)求矩形DEFG的邊D￡與EF的長；

⑶若矩形DEFG從原地出發(fā)，沿X軸的反方向以每秒1個單位長度的速度平移，設移動時間為t(04412)

秒，矩形DEFG與13ABe重疊部分的面積為S,直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應的t的取值范圍.

【答案】⑴36

（2）DE=4,EF=8

（3）當0St<3時，S=--t2+—t+—■當34t<8時，S=--t+—；當8VHi2時，S=-H-8t+48

333333

【解析】

【分析】

（1）把y=o代入乙解析式求出x的值便可求出點A的坐標.令x=0代入/2的解析式求出點8的坐標.然

后可求出AB的長.聯(lián)立方程組可求出交點C的坐標，繼而求出三角形ABC的面積.

（2）已知xD=x8=8易求D點坐標.又已知yE=yD=8可求出E點坐標.故可求出DE,EF的長.

（3）作CM2MB于M,證明RtHRG8團Rti3cMB利用線段比求出RG=2t.又知道S=5JBC-SjBRG-SJFH,根

據(jù)三角形面積公式可求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.

⑴

28

解：由彳犬+彳=0,得x=-4.

33

她點坐標為（-4,0）,

由-2x+16=0,

得x=8.

團8點坐標為（8,0）,

048=8-（-4）=12,

_28（

V=_XH—IX_5

由,33,解得<,

y=-2x+16［）'=6

團C點的坐標為（5,6）,

回5zABC=gAB?yC=；xl2x6=36.

⑵

回點D在〃上且xD=xB=8,

2,8

□yD=-x8+-=8,

團。點坐標為（8,8）,

又回點E在匕上且yE=yD=8,

團-2xE+16=8,

取E=4,

EIE點坐標為（4,8）,

0DE=8-4=4,EF=8.

⑶

①當04V3時，如圖1,矩形DEFG與E1ABC重疊部分為五邊形CHFGR（t=0時，為四邊形C”FG）.

過C作C/WEM8于M,則RtSRGBSRt^CMB,

0RG=2t,

同理RtS\AFH&Rt^AMC,

AFHF

0---=----

AMCM

由⑴知C（5,6）,4（T,0）,

^AM=\-4-5\=9,CM=6,

I?2

^1S=SAABC-S^BRG-SAAFH=36--xfx2t--(8-t)x—(8-t)>

/，3

②當34<8時，如圖2所示，矩形DEFG與蜘8C重疊部分為梯形HFGR,由①知，HF=|(8-t),

^Rt^AGR^Rt^AMC,

RGAGRG\2-t

0——=——,HPn一=-------,

CMAM69

2

(12-t),

1i22

05=—(HF+RG)XFG=JX[[(8-t)+—(12-t)]x4.

③當8s仁12時，如圖3所示，矩形DEFG與MBC重疊部分為財GR,

由②知，AG=12-t,RG=|(12-t),

ii21

ZS=-AG?RG=-(12-f)x-(12-t)即S=§(12-t)2,

0S=-y-8t+48.

3

【點睛】

本題屬于大綜合題目，主要考查的知識點有一次函數(shù)、二次函數(shù)、方程組與平移、三角形的面積、三角形

的相似等知識點.解決本題的關(guān)鍵是理順各知識點間的關(guān)系，還要善于分解，化整為零，各個擊破.

4

8.（2021?浙江?諸暨市暨陽初級中學一模）如圖，直線y=-§x+8分別與x軸，y軸相交于點A,點8,作

矩形A8CD,其中點C,點。在第一象限，且滿足A8回BC=2如.連接BD.

（1）求點A,點B的坐標.

（2）若點E是線段AB（與端點A不重合）上的一個動點，過E作E甩AD,交BD于點F,作直線AF.

①過點8作8G班F,垂足為G,當BE=8G時，求線段AE的長度.

②若點P是線段AD上的一個動點，連結(jié)PF,將回DFP沿PF所在直線翻折，使得點。的對應點小落在線段

B?；蚓€段AB上.直接寫出線段AE長的取值范圍.

備用圖

【答案】（1）A（6,0）,B（0,8）；（2）①4；②0<AEW2或二<AE<5

2

【解析】

【分析】

4

（1）分別令y=-qx+8中x=0、y=0,求出與之對應的y、x值,由此即可得出點4點8的坐標;

(2)①由題意證=得出AF=AD,設BE=x,EF=0.5x,AE^W-x,即可求出線段AE

的長度；②N在線段A8上時：（考慮以F為圓心的圓與A8相交的情況）,分情況討論即可.

【詳解】

4

(1)令y=-§x+8中x=0,則y=8,

???8(0,8)；

4

令y=-§x+8中y=0,則x=6,

.?.A（6,0）；

(2)①由BE=BG,

.BF=BF,

：.\BEF=\BGF{HL),

^\BDA=^BFE=^BFG=^AFD,可得：AF^AD,

04=6,08=8,

/.AB=ylo^c+OB-=>/62+82=10-

又.4B0BC=2131,

BC=AD=51

.\AF=5,

設8E=x,EF=0?5x,AE=10-xf

在Rt^AEF中：(10-4+(0.5x)2=52,

可得x=6,AE=4；

②當次在BD上時，

當P與A重合時，AE最長，

即A尸！,3。時，AE最長，

AAFDABFAABAD,

DEAFAD1

DF1

---=—,

BF4

EF//AD,

AEDF1

---=---=-9

EBFB4

AE=（A3,

.?.當0<AEW2時，可把D0翻折到BD上;

當D0在線段A8上時：

當DP=￡）0P時，M與A重合，

PF為AD中垂線，PF為ABAD中位線，

AE=5,

（若此時E再上移，以F為圓心，F(xiàn)D為半徑作圓，與AB不會有交點，所以AE地火=5）；

當FE=F。時：以與E重合,

設EF=FD=x,則BE=2x,

BF=&,AE=\Q-2x,

由8F+尸￡)=5石，得：y/5x+x=5y/5,

5625-5^5

X=——=-----，

x/5+l4

c25-5石575-5575-5

AE=lO-2x=——-——,n?|nJAE最小=——-——，

，當以在AB上時，§癢54A

2

綜上，0<A￡^2Bg5^-5<AE<5.

2

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)圖像上點的坐標特征、全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理，解題關(guān)鍵是理解題意,

熟練掌握相關(guān)性質(zhì).

9.（2021遼寧沈陽?中考真題）如圖,平面直角坐標系中,。是坐標原點,直線）=履+15（%*0）經(jīng)過點。（3,6）,

3

與X軸交于點4與y軸交于點B.線段8平行于x軸，交直線y=于點D,連接。C,AD.

4

（1）填空：k=.點A的坐標是（,）；

（2）求證：四邊形0Aoe是平行四邊形;

(3)動點P從點。出發(fā)，沿對角線以每秒1個單位長度的速度向點D運動，直到點。為止；動點Q

同時從點。出發(fā)，沿對角線。。以每秒1個單位長度的速度向點。運動，直到點。為止.設兩個點的運動

時間均為t秒.

①當r=l時，一CPQ的面積是.

②當點P,Q運動至四邊形CP4Q為矩形時，請直接寫出此時t的值.

【答案】(1)-3,5,0；(2)見解析；⑶①12；②5-9或5+布.

【解析】

【分析】

(1)代入C點坐標即可得出及值確定直線的解析式，進而求出A點坐標即可；

(2)求出A￡>點坐標，根據(jù)8=。4,CD//OA,即可證四邊形QLDC是平行四邊形；

(3)①作C，_LOD了設出”點的坐標，根據(jù)勾股定理計算出的長度，根據(jù)運動時間求出PQ的長

度即可確定ACPQ的面積；

②根據(jù)對角線相等確定尸。的長度，再根據(jù)尸、。的位置分情況計算出，值即可.

【詳解】

解：(1)?直線>="+15(丘0)經(jīng)過點C(3,6),

3%+15=6,

解得Z=—3,

即直線的解析式為y=-3x+15,

當y=。時，犬=5,

A(5.0),

(2).線段CD平行于x軸，

點的縱坐標與C點一樣，

又QO點在直線y=；x匕

當y=6時，無=8,

即0(8,6),

:.8=8-3=5,

OA=5,

OA=CD,

又iOA//CD,

???四邊形QWC是平行四邊豚

(3)①作C〃_LOD于H,

3

二設//點的坐標為(以了⑼，

4

.-.CW2=(m-3)2+(1/n-6)2,D//2=(??-8)2+(1/n-6)2,

由勾股定理，得CH'DH'CD：

B|1(/n-3)2+(-w-6)2+(w-8)2+(-m-6)2=52,

44

24

整理得機?或8(舍去)，

..C"=3,

OD=y/82+62=10-

.?.當f=l時，PQ=OD-t-t=10-l-l=8,

:.S&CPQ=^PQ-CH=^x8x3=12,

(2),OD=10,

當晦出5時，PQ=10-2t,

當5利10時,PQ=21-10,

當點尸，Q運動至四邊形CD4Q為矩形時，PQ=AC,

.AC=7(5-3)2+62=2A/10,

當魄小5時，10-2f=2而，

解得

當5剜10時，2r-10=2Vl(),

解得/=5+JS,

綜上，當點P,。運動至四邊形CP4Q為矩形時f的值為5-JiU或5+Jid.

【點睛】

本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

10.（2021?黑龍江?哈爾濱市虹橋初級中學校模擬預測）直線丁=h+&與x軸交于4與y軸交于C點，直

線8c的解析式為y=-：x+&,與x軸交于8.

K

（1）如圖1,求點A的橫坐標；

（2）如圖2,D為8c延長線上一點，過D作x軸垂線于點E,連接C￡,若CD=C4,設ACE的面積為5,

求S與k的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接。。交AC于點F,將.C"沿CF翻折得到△FCG,直線FG交CE于

點K,若3ZACE-NS9=45。，求點K的坐標.

圖1圖2圖3

【答案】（1）-1;（2）S=g公-gk伏w0）；（3）（一1,得）.

【解析】

【分析】

（1）令y=0,求x；

（2）過點。作y軸的垂線，先證明NACB=90°,再由K型全等，得E點坐標，即可求出5與k的函數(shù)關(guān)系

式；

（3）由等腰直角三角形和四點共圓把已知條件轉(zhuǎn)化為簡單的等量關(guān)系，得出ZDOE=2ZADE,再利用垂直

平分線性質(zhì)構(gòu)造2N4DE=NWE,通過解直角三角形求出求出k的值，再求點K的坐標.

【詳解】

解：（1）0直線y=丘+々與x軸交于A,與y軸交于C點，

田當x=0時，y=k；當y=0時，kx+k=0,得：x--l,12c（0,%）,A（-l,0）,

團點A的橫坐標為-1.

（2）過點。作軸于點”,

00/710//,COLAO.

?/DHC=NCOA,

?NHDC+NDCH=90。,

2

對直線8C：當x=0時，y=k,當y=0時，x=k

ElB(V,0),

團03=公，

「OA1OCk1

0=—,-—-二-1

OCkOBk2k

又團ZAOC=NCOB=90。，

回△AOCs/\c,

?NOAC=NOCB,

0ZO4C+ZOG4=9O°,

目？OCB2OCA90?,即：ZACB=90°,

^AC±BD,Z￡)C4=90o,

0ZDCW+ZACO=9O°,

a/HDC=NOCA,

又團0C=C4,

回ADHC絲ACOA(AAS),

?DH=OC,CH=AO,

團4T0),C(O^),

團C”=OA=1,DH=CO=k,

回石(一4,0),D(—k,l+k),

^AE=-l-(-k)=-l+kf

0S=--E4CO=--(Jl-l)-A:=-A:2--)ia^O),

2222

(3)連接AD,過AD的中點N作NMJ_A。交。E于點/W,連接AM,

(3)連接A￡>，過AO的中點N作/W_LA。交￡>E于點M,連接AW，

DCLAC,DELOA,

:.ZDEA=ZDCA=90°,

???在四邊形AEDC中，ZDE4+Z￡>C4=180o,ZEAC+ZEDC=180°,

點A、0、E、C四點共圓，AD為圓的直徑，點N為圓心，

:.ZACE=ZADE,

MN是AO的中垂線，

:.DM=AM,

:.ZADE=ZDAM,

:.ZAME=2ZADE,

DC=AC,

ZADC=45°,

NCDO=45°-ZADO,

X3ZL4CE-ZCZX>=45°,

.-.3Z4DE-(45°-ZADO)=45°,

即：3ZADE+ZADO=90°,

在AEDO中，ZADE+ZADO+ZDOE=90°,

zLDOE=2ZADE=ZAME,

設?1M=￡>M=x,則：ME=DE-DM=\+k-x,

AE2+ME2=AM2,

2

(-1+k)"+(1+上一x)~=xf

1+攵2

解得:X=

\+k

...ME=I+"11C=2L

l+k1+Z

/DOE=ZAME,

/.tanZDOE=tanZAME,

1+&-l+k

器噴，即:

1+Z

解得：k=3,

.?.C(0,3),0(—3,4),E(-3,0),

4

直線0￡>的解析式為：y=--x,

直線AC的解析式為：y=3x+3,

直線EC的解析式為：y=x+3,

9

4x=----

y-x13

由?3,解得：，

12

y=3x+3y=一

13

'點總，

點。和點G關(guān)于點C對稱,

???G(3⑵，

7Q

???直線G/的解析式為：

45

y=x+3x------

17

由，79,解得：,

y=—x+—9

248y——

17

4s9

點K的坐標為(-有，萬).

【點睛】

本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標的求法、K型全等的應用和四點共圓的判定、以及利用圓周角定理

進行角的轉(zhuǎn)化等知識，是一個代數(shù)幾何綜合題.對于比較復雜的條件，需要學生學會將復雜的條件轉(zhuǎn)化為

簡單直接的條件，可以從等量關(guān)系，倍數(shù)關(guān)系入手.

二、反比例函數(shù)的綜合問題

例題(2021?廣東?珠海市紫荊中學三模)如圖1,在平面直角坐標系xOy中，線段AB在x軸的正半軸上移動,

13

且人8二1,過點A、8作y軸的平行線分別交函數(shù)9=一(x>0)與”=一(x>0)的圖象于C、E和。、F,

xx

設點A的橫坐標為07(?7/>0).

(2)連接C。、EF,判斷四邊形CQFE能否是平行四邊形，并說明理由；

⑶如圖2,經(jīng)過點3和點G(0,6)的直線交直線AC于點4,若點H的縱坐標為正整數(shù)，請求出整數(shù)相

的值.

13

【答案】⑴(w+1,----),Cm+1,-----)>1；

m+lm+l

(2)不能，理由見詳解；

⑶1或2或5.

【解析】

【分析】

(1)表示出D,尸的坐標，再用三角形面積公式即可得出結(jié)論；

(2)再表示出C,E的坐標，求出CE,ZJF的長度，判定出CEwOF,因為CE//DF,從而四邊形CCFE不

是平行四邊形；

(3)先用m表示出BG的解析式，進而表示出H的坐標，最后根據(jù)一、是正整數(shù)，建立方程即可得出結(jié)

論.

⑴解：??,設點A的橫坐標為如且

13

:?D("7+1,----),F(加+1,-----),

m+\加+1

312

：.DF=---------=-----,

m+1+1m+l

/.S^ODF-x(m+l)x---=1,

2m+l

13

故答案為：(加+1,----),(〃7+1,-----)>1；

+1m+\

⑵解：不能，理由如下:

??,設點A的橫坐標為加，

AC(/n,上)，E—),

mtn

?312nL312

..CE-——=——,DF=----------------，

mmmm+\/n4-1/n+l

:?CE*DF,

丁CE//DF,

二四邊形CD尸E不是平行四邊形；

⑶

解：設直線8G的解析式為：y=kx+6,

將8("7+1,0)代入產(chǎn)kt+6得：k(/n+1)+6=0,

：.k-J

/w+1

二直線BG的解析式為：產(chǎn)--x+6,

+1

當x=nr時,y=—?/%+6=—―,

機+1"7+1

:,點、H(w,$),

m+l

V/??>0,

Aw+l>l,

,??點”的縱坐標為正整數(shù)，

：.m+l=2或3或6,

或2或5.

【點睛】

本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的判定，用含參數(shù)表示線段和坐標是解題

的關(guān)鍵.

練習題

1.(2021,河北?高陽縣教育局教研室模擬預測)如圖是反比例函數(shù)》=士3和丁=-7」在x軸上方的圖象，力軸的

xx

平行線AB分別與這兩個函數(shù)圖象相交于點A,B,點P在x軸上.則點P從左到右的運動過程中，&APB

的面積是()

c.5D.從小變大再變小

【答案】C

【解析】

【分析】

設AB與J軸父于點C,連接OA>。艮根據(jù)題意可知SAAPB=SAAOB,再根據(jù)SAOB-SBOC+S入〃結(jié)合反比

例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，即得出答案.

【詳解】

如圖，設4B與），軸交于點C,連接OA、OB.

由題意可知△4/>5和_4?8同底，等高，

??^^APB~八AOB?

*/S=SR+S=-x|-7|+—x3=5,

ACzoAnRIfUv.0c.AUCAOCII2

?q-5

??0APB—?

故選c.

【點睛】

本題考查反比例函數(shù)比例系數(shù)%的幾何意義.掌握在反比例函數(shù)y=&/R0）的圖象上任意一點向坐標軸作

X

垂線，這點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是gkl,且保持不變是解題關(guān)鍵.

2.（2021?山東濱州?一模）如圖，O為坐標原點，四邊形04cB是菱形，08在x軸的正半軸上，sinZAOB

C,（而+5,應-20）D.（加-9,4府-2。）

32

【答案】C

【解析】

【分析】

4

先作軸，F(xiàn)ELx軸，再設點4的坐標，可表示。。，AD,然后根據(jù)sinNA08=不，求出tanZAQB,

4

進而求出團的值，即可求A/）,04,再根據(jù)菱形的性質(zhì)得NC8E=N408,可知tanZ.CBE=—,設尸E=〃，

3

可表示BE,0E,可表示點F,再將點尸的坐標代入反比例函數(shù)關(guān)系式求出〃，可得答案.

【詳解】

mm

4

VsinZAOB=-,

令AD=4xfAO=5xf

根據(jù)勾股定理，得勿_4〃2=3X，

???tanZ.AOB=—=

DO3

48

m3

Vm>0,

J.m=6.

二皿=至=8.

m

OA=yJOD2+AD2=10.

?.?四邊形OAC8是菱形，

：.OB=OA=W,BC//OA.

：.NCBE=ZAOB.

4

tan/.CBE=tanZ.AOB--.

3

33

設則5￡>=二。，龍=10+—a,

44

3

???A10+一&a）,

4

3

???Mio+—a）=48,

4

解得：a=-20+4相（負數(shù)不合題意，舍去）.

3

/.OE二屈+5，

二廠（如+5,-20+4相）.

3

故選：C.

【點睛】

這是一道關(guān)于反比例函數(shù)和菱形的綜合問題，考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，反比例函數(shù)

圖象上的點等.

3.（2021?山東濟南?二模）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的對稱中心恰好是原點O,已知點8坐

標是卜2?）,雙曲線產(chǎn)g經(jīng)過點A,則菱形ABCQ的面積是（）

25&

rD.25

2

【答案】C

【解析】

【分析】

過點A作軸于點E,過點8作8G_L4E于G,交y軸于點尸，設A(〃?,9](機＞0),可得AG=9—

Vm)m2

BG=m+2；再根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理可得方程，解方程即可求得m的值，可求得。4AE,進而求得

04,AC；OB,BD；最后利用菱形的面積公式即可求得.

【詳解】

解：過點4作AELx軸于點E,過點8作8GLAE于G,交y軸于點尸，如圖,

二?雙曲線y=9經(jīng)過點A,

■X

...設則OE=,”，AE=-.

km)m

???點8坐標是［2，|),

3

:.BF=2,0F=-.

2

aAa

:,GE=0F=—,AG=-----,BG=m+2.

2m2

???菱形ABCD的對稱中心恰好是原點0,

：.AO=COtBO=DO,AOLBO,

由勾股定理可得：OB2^OA2=AB2.

：.BF2^OF2^AEhOE2=AG2^BG2.

2

即:22+I+(["+2)2,

得4m2—18=0,

解得：m=^^或"2=^^(舍去).

22

???。公還，心急=2&

2F

二OA=>!AE2+OE-=

：.AC=2OA=5y/2.

3丫5

,/OB=yjBF2+OF2=.22+2J一5

：.BD=2OB=5.

,,,S箋杉ABCD=gAC,BD=；X56X5=25”.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，勾股定理，利用點的坐標表示出相應線段的

長度是解題的關(guān)鍵.

4k

4.（2021?廣東深圳?三模）如圖，在反比例函數(shù)y=—（x>0）的圖象上有動點4連接。4y=-（x>0）