《計算電磁學(xué)》第六講

《計算電磁學(xué)》第六講Dr.PingDU(杜平)E-mail:SchoolofElectronicScienceandAppliedPhysics，HefeiUniversityofTechnology(HFUT)Nov.3,2011FDTD中的假設(shè)干技術(shù)及應(yīng)用4/24/2024

OutlineI.鼓勵源的設(shè)置II.集總元件的模擬III.近場-遠場變換IV.FDTD法的一些應(yīng)用實例4/24/2024I.鼓勵源的設(shè)置為減少引入源帶來的內(nèi)存占用和計算時間，要求鼓勵源的實現(xiàn)要緊湊.1.1強迫鼓勵源在FDTD網(wǎng)格中，通過直接對特定的電場或磁場分量強行賦予所需的時間變化形式，可簡便地建立強迫鼓勵源。比方，對一維TM網(wǎng)格，波沿x軸傳播，電場只有分量，為模擬頻率為、在n=0時開始的連續(xù)正弦波源，可在源處()令為另一種常用的源是高斯脈沖(6-1)(6-2)4/24/2024假設(shè)要求高斯脈沖在t=0時刻近似為零，那么應(yīng)選取T由所需的脈沖頻譜帶寬決定高斯脈沖的頻譜也是高斯形的。超過某個頻率后，其頻譜的幅度很小了，該頻率稱為如，可選如果要使直流分量為零，有效中心頻譜中心位于,那么可采用調(diào)制高斯脈沖作為源(6-4)(6-3)(6-5)4/24/2024上述強迫鼓勵源會產(chǎn)生相應(yīng)時間變化的數(shù)值波,將從源點向兩個方向?qū)ΨQ傳播于是得到了形式緊湊的鼓勵源。抽樣函數(shù)鼓勵源其傅立葉變換為頻譜主要分布在主峰附近，遠離它的頻譜奉獻可忽略不計，可只取主峰前后2T范圍內(nèi)的波形。考慮到FDTD執(zhí)行時間從0開始，可將時域波形平移為(6-7)(6-6)4/24/2024當研究單模工作波導(dǎo)等具有一定工作頻帶電磁結(jié)構(gòu)時，該頻譜限帶信號最適宜設(shè)波導(dǎo)單模工作帶寬為，中心頻率為，那么可取(6-8)(6-9)4/24/2024表7-1穩(wěn)態(tài)源鼓勵下場到達穩(wěn)定所需的時間散射體結(jié)構(gòu)類型穩(wěn)定所需波源周期數(shù)凸型二維金屬散射體，跨度小于1λ,TM波有耗三維結(jié)構(gòu)，特別是由生物體組成的三維結(jié)構(gòu)≥5凸型二維金屬散射體，跨度為1~5λ凸型三維散射體，跨度為1~5λ5~20三維金屬線或棒，跨度為1λ，接近諧振激勵三維金屬散射體，跨度為10λ，有角反射和開放腔20~40深度重入式三維金屬散射體，跨度≥10λ>40三維任意尺寸金屬散射體，具有中等到高Q的帶孔諧振腔，接近諧振激勵>1004/24/2024為克服強迫鼓勵源引起虛假反射,在鼓勵脈沖幾乎衰減為零、來自結(jié)構(gòu)的反射波到達網(wǎng)格點之前，將鼓勵去掉。網(wǎng)格點場值的刷新?lián)Q用標準FDTD公式。如果網(wǎng)格點為邊界點，場值的刷新?lián)Q用吸收邊界條件。但這一方法，對(6-1)的正弦鼓勵源不適宜.因為鼓勵在來自結(jié)構(gòu)的反射波到達網(wǎng)格點之后仍然存在，不能被去掉.另外，對脈沖寬度較寬的高斯脈沖(包括調(diào)值和非調(diào)制)鼓勵源，為使來自結(jié)構(gòu)的反射波到達網(wǎng)格點之前鼓勵脈沖幾乎衰減為零,網(wǎng)格點到結(jié)構(gòu)的距離要充分大，這會增加內(nèi)存占用、增加計算時間。但由于形式簡單、使用方便，強迫鼓勵源還是被用來處理許多工程問題，只要其使用條件滿足.如波導(dǎo)系統(tǒng)中同軸線探針的模擬，就可將強迫鼓勵源放置于金屬探針處。4/24/2024克服強迫鼓勵源虛假反射的另一方法:將鼓勵源看成有源Maxwell方程中的電流密度J進行處理。根據(jù)Maxwell方程分量的FDTD差分格式為記等效電場鼓勵源為總場FDTD公式為這種引入鼓勵源的方式不會產(chǎn)生虛假反射(6-10)(6-11)(6-12)(6-13)4/24/2024注意：等效鼓勵源并不等于處的電場值，它僅僅是鼓勵的源.由于這種鼓勵以FDTD公式為載體，因而不能放置在仿真區(qū)的邊界。這里的附加鼓勵源是在電場FDTD中引入，相當于電壓源鼓勵；如果在磁場FDTD中引入，相當于電流環(huán)鼓勵。強迫鼓勵源常被用來模擬波導(dǎo)系統(tǒng)中的入射波。根據(jù)所需模擬的傳播模式的時空分布，取某一波導(dǎo)橫截面為鼓勵源平面，對位于該面上的電場切向分量賦予相應(yīng)的時空變化。此時，要將(1)、(2)、(5)中的替換為相應(yīng)模式的橫截面的場分布函數(shù)。如采用高斯脈沖鼓勵，波導(dǎo)系統(tǒng)的傳輸方向沿z軸，模式的橫截面場分布為,強迫鼓勵源加在處于是，強迫鼓勵源為4/24/2024這樣方式不會激起不希望存在的模式。假設(shè)模式的橫截面場分布未知，有兩個方法：(1)采用近似的模式分布；(2)通過預(yù)處理，數(shù)值仿真獲得所需模式分布。可能鼓勵不希望存在的數(shù)值模式。為此需要增加一長段輔助波導(dǎo)讓高次模充分衰落，余下較純的所需模式分布。先用FDTD仿真一個與要研究的波導(dǎo)截面相同、足夠長的均勻波導(dǎo)，使高次模充分衰落；然后在波導(dǎo)遠端記錄橫截面切向電場分量的分布。從而得到了強迫鼓勵源。需要注意：鼓勵源的頻譜盡量不包含低于截止頻率的分量。(6-14)4/24/20241.2總場/散射場體系在FDTD中，它用的最多。以電磁散射問題為例進行說明，如圖1.圖1將FDTD網(wǎng)格劃分為總場區(qū)和散射場區(qū)4/24/2024將仿真區(qū)域分為1區(qū)和2區(qū)，前者為總場區(qū)(入射場+散射場)，在該區(qū)用總場FDTD公式；后者為散射場區(qū)，用散射場FDTD公式。區(qū)域2的外邊界為截斷邊界，用吸收邊界條件吸收外向波。連接邊界上的場為總場。只要入射場的時空變化準確給出，上面的鼓勵源引入過程不含任何近似，也不引入任何虛假模式，且形式緊湊，內(nèi)存占用少。例1考慮金屬機箱，左面開孔，位于TEM平板傳輸線中，TEM平面電磁波照射到該機箱，一局部波通過孔進入機箱，其余被反射，如圖2所示。圖2機箱屏蔽問題4/24/2024設(shè)入射波只有、分量鼓勵連接面放在距離機箱含孔面為L的地方，并以此平面將場區(qū)分為散射場區(qū)(不含機箱)和總場區(qū)(含機箱)。為保證電磁場的連續(xù)性，在此平面需引用鼓勵連接條件。設(shè)鼓勵連接面位于處、和位于鼓勵連接面上且取為總場。鼓勵連接條件為：在連接平面上(6-15)4/24/2024(6-16)4/24/2024在連接面左鄰半個步長的網(wǎng)格點上，(6-17)4/24/2024其中，t、s、in分別表示總場、散射場、入射場。本例中，，(6-18)4/24/2024在總場/散射場體系中，鼓勵源的引入很緊湊，只要知道平面上的切向電場和平面的切向入射磁場。對一般的導(dǎo)波系統(tǒng)，設(shè)入射波為高斯脈沖，模式橫截面電場分布為、橫截面磁場分布為，鼓勵源可表示為(6-19)4/24/2024其中，v是波模沿z軸的傳播速度。對無色散的波模，對無色散(或弱色散)的TEM(或準TEM)傳輸線中的主模，假設(shè)其等效介電常數(shù)，那么.對一般波模，v可以事先通過一個FDTD數(shù)值模擬過程計算獲得。(6-20)4/24/2024總場/散射場體系具有如下特點：?可實現(xiàn)任意波鼓勵?可直接使用吸收邊界條件?易于計算遠場響應(yīng)?更寬的計算動態(tài)范圍?不適合于分析寬帶色散導(dǎo)波系統(tǒng)對色散嚴重的導(dǎo)波系統(tǒng)，是頻率的函數(shù)，式(6-19)中的v取值不確定.4/24/20242.集中參數(shù)電路元件的模擬在Maxwell方程中的位移電流之后再引入一項集總電流密度可以計及集總電路元件的影響。方程擴展為

,假設(shè)元件位于自由空間，沿z軸放置，與電場元件的截面積按一個網(wǎng)格計，那么元件的局部電流密度和元件總電流滿足

處于同一位置。2.1擴展FDTD方程其中分別為x、y方向的步長，是元件兩端電位差的函數(shù)規(guī)定的正向為+z方向。(6-21)(6-22)4/24/2024于是得到擴展FDTD方程對于沿x軸和y軸取向的集總參數(shù)元件可類似處理。2.2幾種集總參數(shù)電路元件(1)電阻用FDTD分析電路時，可能會遇到含電阻的情況?？梢圆捎脤嶓w電阻；也可以采用前述的集總參數(shù)元件模型。對于電阻，其電流-電壓特性為(6-23)(6-24)4/24/2024將其代入式(6-23)，整理得的時間步進關(guān)系為驗證該集總參數(shù)電阻在FDTD計算中的性能，有人曾模擬了50Ω微帶線端接匹配電阻的例子，鼓勵源是一有效帶寬為20GHz的高斯脈沖。數(shù)值實驗說明，直到1GHz范圍內(nèi)，這兩種電阻模型產(chǎn)生的反射系數(shù)均小于1%.(6-25)(6-26)4/24/2024(2)阻性電壓源利用擴展FDTD方程模擬集總參數(shù)元件的能力，可以很方便地模擬一個無反射的阻性電壓源。阻性電壓源的電流-電壓特性為其中，是電壓源，是源內(nèi)阻。將其代入式(6-23)，整理得的時間步進關(guān)系(6-27)(6-28)4/24/2024其中，，(3)電容電容的電流-電壓特性為其中，C是電容值。(6-29)(6-30)(6-31)4/24/2024將其代入式(6-23)，整理得的時間步進關(guān)系(4)電感電感的電流公式為其中，L為電感值。電感的電流-電壓特性為(6-32)(6-33)4/24/2024將其代入式(6-23)，整理得的時間步進關(guān)系(5)二極管集總參數(shù)二極管的電流-電壓特性為(6-34)(6-35)(6-36)(6-37)4/24/2024其中，q是電子所帶的電量，Vd是二極管兩端電壓，k是玻爾茲曼常數(shù)，T是絕對溫度。將其代入式(6-23)，整理得的時間步進關(guān)系利用牛頓法求解〔6-38〕可得電場刷新值。數(shù)值實驗說明，該模型在直到15V的二極管電壓范圍內(nèi)都是數(shù)值穩(wěn)定的。(6-38)4/24/2024(6)雙極型晶體管對NPN雙極型晶體管，也能用FDTD算法實現(xiàn)大信號分析，包括對數(shù)字開關(guān)過程的分析。圖3所示為一接在微帶線上的雙極型晶體管，發(fā)射極接地，基極接在微帶線上.

圖3端接在微帶線上的共發(fā)NPN雙極型晶體管的三維FDTD模型4/24/2024根據(jù)Ebers-Moll晶體管模型，其電流-電壓滿足如圖3所示，假設(shè)晶體管位于自由空間，沿z軸取向，微帶與接地板的間距是一個空間步長?；鶚O-發(fā)射極電壓可用FDTD法算得的電場來表示

(6-39)(6-40)(6-41)(6-42)4/24/2024相似地，基極-集電極電壓可用FDTD法算得的電場來表示

將式(6-43)、(6-44)代入到式(6-39)-(6-42)，可得(6-43)(6-44)(6-45)4/24/2024將這兩式代入式〔6-23〕，可得晶體管處電場分量的FDTD刷新公式用牛頓-拉夫森法可求得上述耦合超越方程組。數(shù)值實驗說明，用上述方法算得的與用SPICE模型求得的解吻合很好。牛頓-拉夫森方法(Newton-Raphsonmethod)：用牛頓-拉夫森方法求解的根。迭代公式為(6-46)(6-47)(6-48)4/24/2024使用時，要先設(shè)定一初值

。3.近場-遠場變換(Near-FieldtoFar-FieldTransformation)采用總場/散射長體系，散射場區(qū)的外邊界可以不隨散射或輻射體而變化，因而可以用統(tǒng)一不變的計算過程由外邊界上的近區(qū)場計算出遠區(qū)散射或輻射場。先考慮時諧場(timeharmonicfield)情形。3.1二維TM波場分量有3個：設(shè)FDTD仿真區(qū)域(散射場區(qū))的外邊界為C，nc為C的單位外法向矢量，C上的切向電場和切向磁場分別為，“~”表示頻域量。4/24/2024根據(jù)等效原理，C上的切向等效電流和等效磁流分別為頻域遠區(qū)場為其中，分別為沿z軸和徑向的單位矢量。如果定義復(fù)數(shù)方向圖函數(shù)為(6-49)(6-50)(6-51)(6-52)4/24/2024那么雙站雷達散射截面(RCS)為為計算遠場，需先知道C上的。假設(shè)切向電場位于網(wǎng)格外邊界C上，等效磁流可由C上的算出；等效電流需要，其可以從C后退半個步長的網(wǎng)格點上取值。為獲取頻域數(shù)據(jù)，可以利用離散傅立葉變換。設(shè)表示網(wǎng)格點上切向場的時域采樣。其頻域值為其中N為總的步進數(shù)，Δf=1/(NΔt)。(6-53)(6-54)4/24/20243.3三維情形設(shè)FDTD仿真域的外邊界是S，其單位外法向矢量為ns，S上的切向電場和切向磁場分別為由等效原理，S上的切向等效電流和等效磁流分別為頻域遠區(qū)場可由下式計算(6-55)(6-56)(6-57)(6-58)(6-59)4/24/2024其中，為自由空間波阻抗，按以下式子計算(6-60)(6-61)(6-62)(6-63)(6-64)4/24/2024其中，是遠區(qū)場點位置矢量r和等效面元S上源點位置矢量之間的夾角.假設(shè)S是一個邊長為的矩形盒子，中心在原點。那么上述閉合面上的積分可氣氛3組面積分：(1)位于的兩個外表和的非零分量：指數(shù)相位項：。(6-65)(6-66)4/24/2024積分區(qū)間:。(2)位于的兩個外表和的非零分量：指數(shù)相位項：積分區(qū)間:。(6-67)(6-68)4/24/2024位于的兩個外表和的非零分量：(3).指數(shù)相位項：積分區(qū)間:.散射場的時間平均Poynting矢量為(6-69)(6-70)4/24/2024那么雙站RCS為其中，為入射波功率密度。對于輻射問題(如天線/天線陣)，式(6-71)仍然可以用來計算遠區(qū)場方向圖。因為此時沒有入射波，可以取天線的總?cè)肷涔β省?6-71)4/24/20243.FDTD法應(yīng)用例子

3.1均勻三線互連系統(tǒng)3.2波導(dǎo)元件的高效分析3.3傳輸線問題的降維處理3.4周期性結(jié)構(gòu)分析4/24/20243.1均勻三線互連系統(tǒng)互連系統(tǒng)設(shè)計是目前超高速集成電路研制中的一項關(guān)鍵技術(shù)。圖4所示為一均勻三線互連系統(tǒng)。當超寬頻使用的時候，信號的有效頻譜從DC一直到微波段。加上超微細結(jié)構(gòu)，他的特性與低頻電力傳輸線、高頻微波傳輸線有同有異。圖4均勻三導(dǎo)體互連系統(tǒng)4/24/2024采用FDTD法分析多導(dǎo)體互連線的傳輸特性，將導(dǎo)體條帶及接地板作為導(dǎo)電率為的媒質(zhì)處理，能計及趨膚效應(yīng)、鄰近效應(yīng)以及色散等因素的綜合作用。本問題的FDTD求解過程為：1)在初始(t=0)時令所有的場量都為零.2)將一高斯脈沖鼓勵加在端口1。①先從FDTD方程算出時刻的磁場強度②再從FDTD方程算出時刻的磁場強度③令接地板下外表切向電場為零，并在截斷邊界上用吸收邊界條件；4/24/2024④記錄端口i(i=1,2,3,4,5,6)參考面處的電壓值