二〇二〇屆全國(guó)高考模擬調(diào)研考試試卷理科數(shù)學(xué)（全國(guó)卷）含解析 (江西)

二。二。屆全國(guó)高考模擬調(diào)研考試試卷

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位

置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)

號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題

時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的，共12題，滿分60分。

1.圓f+y?=4與圓了2+,2-4》+今-4瓶=0的公共弦所在的直線和兩坐標(biāo)軸

所圍成圖形的面積為2,則m的值為（）

A.-3B.-1C.3D.3或-1

2.秦九韶算法是中國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項(xiàng)式簡(jiǎn)化算法，如

圖所示的程序框圖表示用秦九韶算法求5次多項(xiàng)式

543

/（x）=a5x+o4x+a3x+a,x-+axx+a0,當(dāng)x=,（%是任意實(shí)數(shù)）時(shí)的值的過(guò)

程，右輸入/=2,q=—5,g=6,%=,%=7,6z5—2,x0—3,則輸出的\/的

值為（）

A.984B.985

C.986D.987

3.2c：+6C：+18C；+...+2X3"TO()

4.已知復(fù)數(shù)z滿足（l+，）z=|G+，|,i為虛數(shù)單位，則z等于（）

1.11.

A.1—iB.1+zC.—iD.—+—z

2222

5.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-中，點(diǎn)E、R分別是棱3C,

CG的中點(diǎn)，P是側(cè)面3CG耳內(nèi)一點(diǎn)，若AP〃平面AEF,則線段AP長(zhǎng)度的

取值范圍是（）

B

A.B.[^4]C."D.

6.已知函數(shù)/(x)滿足：tz=(x2,/(x)),&=(l,x--+^-),allb，數(shù)列｛4｝的

XX

前。項(xiàng)和為s“，滿足/(%)+/(g)+…+/(4)=。；+q...+。：一〃2,則

/(?)1an

limn10的值為()

X—>003n

79

A.一一B.-4C.—D.-5

22

7.設(shè)正數(shù)。，b滿足b-a<2,若關(guān)于％的不等式(/-4產(chǎn)+4區(qū)-/<0的解

集中的整數(shù)解恰有4個(gè)，則。的取值范圍是()

A.(2,3)B.(3,4)C.(2,4)D.(4,5)

8.數(shù)列n｝的通項(xiàng)公式a“=〃cos：,其前〃項(xiàng)和為S“，貝岫。”等于()

A.1006B.1008C.-1006D.-1008

9.設(shè)AB,。,。是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，在A6c中，

3。=6,的。=60。,則三棱錐0-筋。體積的最大值為()

A.1273B.1873C.2473D.54g

10.若對(duì)于任意x,y?0,"o),不等式4以〈產(chǎn)+廠2+爐7-2+2恒成立，則實(shí)數(shù)a

的最大值是()

1

A.B.1C.2D.-

42

11.已知AABC是邊長(zhǎng)為26的正三角形，EP為AABC的外接圓。的一條直

徑，M為AABC的邊上的動(dòng)點(diǎn)，則ME.尸Af的最大值為()

A.3B.4C.5D.6

12.有三支股票A,B,C,28位股民的持有情況如下：每位股民至少持有其中

一支股票.在不持有A股票的人中，持有B股票的人數(shù)是持有C股票的人數(shù)的

2倍.在持有A股票的人中，只持有A股票的人數(shù)比除了持有A股票外，同時(shí)

還持有其它股票的人數(shù)多L在只持有一支股票的人中，有一半持有A股

票.則只持有B股票的股民人數(shù)是()

A.7B.6C.5D.4

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若對(duì)于任意x?[l,4],不等式04ax2+bx+4a44x恒成立，|a|+|a+b+25]的范

圍為.

14.設(shè)印為不超過(guò)x的最大整數(shù)，。“為可能取到所有值的個(gè)

數(shù)，*是數(shù)列｛」^｝前〃項(xiàng)的和，則下列結(jié)論正確的是.

(1)%=4(2)190是數(shù)列｛?！埃械捻?xiàng)

(3)，。=力(4)當(dāng)〃=7時(shí)，取最小值

6n

15.鈍角AABC中，若A=q-,|BC|=1,則201ABl+3|AC|的最大值為

16.已知數(shù)列｛。"｝中，4=2,點(diǎn)列門("=1,2….)在AABC內(nèi)部，且與

A^,AC的面積比為2:1,若對(duì)“eN*都存在數(shù)列｛2｝滿足

d5A+g4+山3+(34+2)3=0,則%的值為.

三、解答題：每小題滿分12分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

17-21題，滿分60分。22-24題，滿分10分。請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一

題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分,作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)。

22

17.已知橢圓￡:!?+3=1(。〉6〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為《、B，橢圓的離

心率為:，過(guò)橢圓G的左焦點(diǎn)6,且斜率為1的直線/,與以右焦點(diǎn)工為圓

心，半徑為0的圓。2相切.

(1)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)線段是橢圓G過(guò)右焦點(diǎn)工的弦，且叫=4gN,求的面積的

最大值以及取最大值時(shí)實(shí)數(shù)2的值.

n1

18.設(shè)S〃=Z(T嚴(yán)7c:,〃歡eN*.

Mk

(1)求S2—s-S3-S2.

〃1

(2)猜想S“-的值，并加以證明.

k=\k

19.已知函數(shù)/(x)=l-]nx+a2x2-ax(a￡R).

(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)/(1)的單調(diào)性；

2

(2)若a=0且xe(0,l),求證：/^+X--<1.

ex

20.已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,-1)和拋物線.C:j：=4x,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線I交拋物線C于M、P,直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q,如圖.

(1)證明:。MWP為定值;

(2)若APOM的面積為:，求向量如■與方的夾角;

⑶證明直線PQ恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

21.已知函數(shù)/(%)(xc。)，若同時(shí)滿足以下條件：

①Ax)在D上單調(diào)遞減或單調(diào)遞增；

②存在區(qū)間m，切使/⑴在句上的值域是［。,勿，那么稱/(x)(xeD)為

閉函數(shù).

(1)求閉函數(shù)/(x)=-/符合條件②的區(qū)間&句；

(2)判斷函數(shù)/(x)=2x+lgx是不是閉函數(shù)？若是請(qǐng)找出區(qū)間&勿；若不是請(qǐng)

說(shuō)明理由；

(3)若/(x)=k+而，是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

22.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

一7T

系，圓G的極坐標(biāo)方程為夕=4sin，，圓的極坐標(biāo)方程為夕=4cos(6+/),

已知Ci與交于A、5兩點(diǎn)，點(diǎn)3位于第一象限.

(I)求點(diǎn)A和點(diǎn)3的極坐標(biāo)；

(II)設(shè)圓G的圓心為G，點(diǎn)尸是直線上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足5。=加3。1，若

x=73--2

直線qp的參數(shù)方程為2(X為參數(shù))，則加：力的值為多少？

y=1+—A

I2

23.已知函數(shù)/(x)=%-3廣+三一］(。>0),g(x)=4-|x+l|.

(1)當(dāng)”=1時(shí)，求不等式的解集；

(2)若關(guān)于％的不等式〃x)<g(x)的解集包含［1,2］,求，的取值集合.

24.如圖，圓。的直徑.18=10,尸是.18延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BP=2,害U線尸C。

交圓。于點(diǎn)C,。，過(guò)點(diǎn)尸作a尸的垂線，交直線于點(diǎn)E,交直線一1D于點(diǎn)尸.

(1)求證：APEC=APDF;

(2)求產(chǎn)E?尸尸的值.

【參考答案】

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的，共12題，滿分60分。

1.D

解析：D

【解析】

【分析】

求出公共弦所在直線，再求與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即可得出面積表達(dá)式，根據(jù)面

積關(guān)系求解.

【詳解】

圓/-4x+4y-4-m-0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+2)2=4m+8,m>-2

兩圓相交，必有12-J47〃+81<24<2+j4m+8,且加>—2,

將兩圓方程相減可得4x-4y+4m=4,

當(dāng)x=0時(shí)，y=m-l,當(dāng)y=0時(shí)，x=l-m,所以直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為

(0,加—1)與?！?0),所圍圖形面積S=1x(m-l)2=2,解得機(jī)=3或—1,經(jīng)

檢驗(yàn)，符合條件.

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查通過(guò)兩圓的公共弦所在直線與坐標(biāo)軸圍成的面積問(wèn)題求參數(shù)的值，需

要注意考慮公共弦所在直線不是簡(jiǎn)單地將兩圓方程相減，還需考慮兩圓的位置

關(guān)系.

2.C

解析：C

【解析】

【分析】

執(zhí)行程序框圖，輸入%=2,%=—5,的=6,%=-4,%=7,%=2,超=3,直到退出

循環(huán)，得到輸出的值.

【詳解】

執(zhí)仃程序框圖，輸入/=2,q=-5,a?=6,%=-4,%=7,%=2,=3,經(jīng)過(guò)弟1

次循環(huán)得v=13,n=2；經(jīng)過(guò)第2次循環(huán)得v=35,n=3;經(jīng)過(guò)第3次循環(huán)得v

=111,n=4；經(jīng)過(guò)第4次循環(huán)得v=328,n=5；經(jīng)過(guò)第5次循環(huán)得i/=986,n

=6,退出循環(huán).故輸出的V的值為986,故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)程序框圖計(jì)算輸出的值，屬于中檔題.

3.B

解析：B

【解析】

2C>6C；+18C3++2x3""：=

22

=-(C>3+C>32+C；x3n)=-(C>3°+C>3+C>32+C；；x3--1)

22

=早(1+3)"—1]=§(4〃_1)選B.

4.A

解析：A

【解析】

因?yàn)?=吧*J??)所以應(yīng)選答案A.

1+2(1+Z)(l—2)

5.C

解析：C

【解析】

【分析】

分別取棱8用、的中點(diǎn)〃、N,連接易證平面4MN//平面AEF,

由題意知點(diǎn)P必在線段上，由此可判斷P在〃或N處時(shí)4P最長(zhǎng)，位于線

段MN中點(diǎn)處時(shí)最短，通過(guò)解直角三角形即可求得.

【詳解】

如下圖所示，分別取棱8片，Be的中點(diǎn)/、N,連MN,BG,

4B

M,N,E,P分別為所在棱的中點(diǎn)，則MN//5C，EF//BC,,

MN//EF,又肱Va平面AEF,EFu平面AEF,

〃平面AEF.

AA^Z/NE,A\=NE,

二四邊形AENA為平行四邊形，

A.NHAE,

又4N<Z平面AEF,AEu平面AEF,

AN〃平面AEF,

又ANMN=N,

???平面\MNII平面AEF.

P是側(cè)面3CC圈內(nèi)一點(diǎn)，且AP〃平面AEF,

二點(diǎn)P必在線段上.

在Rt^A^M中，=飛入8；+8M2=也+1=75.

同理，在七例與N中，可得AN=石,

為等腰三角形.

當(dāng)點(diǎn)P為腦V中點(diǎn)。時(shí)，A.PLMN,止匕時(shí)AP最短；點(diǎn)尸位于M、N處時(shí)，

4尸最長(zhǎng).

4<9==J（A/5）2--=—?AM=AN=布.

VI2J2

二線段4尸長(zhǎng)度的取值范圍是］呼，石.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查點(diǎn)、線、面間的距離問(wèn)題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力及推理轉(zhuǎn)化能力，屬

中檔題，解決本題的關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造平行平面尋找P點(diǎn)位置.

6.B

解析：B

【解析】

【分析】

由a//?？汕蟪觥Φ谋磉_(dá)式，進(jìn)一步表示出4與r的值，展開行列式，結(jié)合

數(shù)列極限即可求解

【詳解】

al1b，n"x）=x3f+l,/（4）+/（/）+…+/（/）=

X—+——

xx2

=d+起…+a：—（q+a2+4）+〃=嫁+起…+a：一"，

即=%+。2+a〃=〃之+〃①，又5,_]=%+〃2+%_]=(〃—1)+〃—1②

(n>2),

f(n)1an

1

①-②得a=2n,經(jīng)檢驗(yàn)n=1也符合，故4=2n,n0

n~sn~

1

an0

a”

/一〃+〃

2114n1141

"3一〃+°.——

732

J,￡n+n2nn+122n+2nn+12

/(〃)1an

n3—n+14〃1'_

貝I」limn——0=lim

00Vn->oo

、24+2/n+12?

an0-

an

n—>co2n3+2n2n+1222

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，數(shù)列的4,5〃的求解，三階行列式的化簡(jiǎn)，極限

思想的應(yīng)用，屬于難題

7.C

解析：C

【解析】

分析：將不等式因式分解可得［（。+2卜-刃［（。-2卜+可<。，由于解集中整數(shù)

bb

解恰有4個(gè)，則a>2,則有——?jiǎng)t四個(gè)整數(shù)解為-3,-2,-

a-2a+2

b

1,0.則有-4<——-<-3,結(jié)合條件b<2+a,可得a<4,進(jìn)而得到a的范

a—2

圍.

詳解：(?2-4)X2+4Z?X-Z72<0,gpcrx2-(4x2-4Z?x+ZJ2)<0

?2x2-(2x-Z?)2<0,(ar+2x-/?)(ar-2x+Z?)<0,

/.^(?+2)X-Z?^(?-2)X+ZJ^|<0

由于解集中整數(shù)解恰有4個(gè)，則a>2,

上…上<1

CL—2Q+2

則四個(gè)整數(shù)解為-3,-2,-1,0.

bb

???一4<--------<-3,即3<——<4

a—2a-2

即3a-6<b<4a-8,又2+〃

/.3a-6<2+(2,a<4,又a>2

的取值范圍是（2,4）

故選C

點(diǎn)睛：本題考查一元二次不等式的解法，考查不等式的整數(shù)解的求法，考查不

等式的性質(zhì)的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于易錯(cuò)題.

8.B

解析：B

【解析】

【分析】

nn=4k(keN*)

依據(jù)y=cosgx為周期函數(shù)，得到4=°九=4左+1(左eN),并項(xiàng)求和，即

2-nn=4k+2(k&N)

0〃=4左+3(攵eN)

可求出邑。17的值。

【詳解】

nn=4k(kGN*)

因?yàn)閥=cosgx為周期函數(shù)，周期為4,所以&=0n=4左+1(攵eN)

2—nn=4左+2(左eN)

0n=4左+3(左eN)

員017—(42+”4)+(“6+火)+(4。+42)++(“2014+“2016)+“2017

=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)++(-2014+2016)

=2x504=1008,故選B。

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列求和方法一一并項(xiàng)求和法的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的周期性,

分論討論思想，意在考查學(xué)生的推理論證和計(jì)算能力。

9.B

解析：B

【解析】

【分析】

利用正弦定理癮=2『得到再計(jì)算〃-E+R=6'再利用余

弦定理和均值不等式得到反■W36,代入體積公式得到答案.

【詳解】

ABC中，BC=6,ZBAC=60°,則一-—=---=4^/3=2rr—2^3

sinAsin60°

儲(chǔ)axW-/+R=6

cr-b^+c2—2bccosA=b2+c2—be>be.'.be<36,S——besinA<9^3

2

當(dāng)a=b=c=6時(shí)等號(hào)成立，止匕時(shí)V=gs〃=186

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了三棱錐的體積問(wèn)題，綜合了正弦定理，余弦定理，面積公式，綜合

性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的空間想象能力和綜合應(yīng)用能力.

10.D

解析：D

【解析】

分析：利用基本不等式和參數(shù)分離得生?在尤>0時(shí)恒成立，構(gòu)造函數(shù)

2x

g(x)=匕匕，通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得g(x)的最小值，即可求得。的

2x

最大值.

詳解：當(dāng)x=0時(shí)，不等式即為0<e>T+e-T+2,顯然成立，

當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)/(力=6?2+/7+2+2,

所以不等式4ar<e"k2+e，7+2+2恒成立，即為不等式4依W"力恒成立，

即有〃%)=廣2(/+/)+2之*2.2J/.—=2+2j2(當(dāng)y=0時(shí)等號(hào)成

立)，

1

由題意可得4℃<2+2/2,即有------在x>0時(shí)恒成立，

2x

人予物，、l+ex-2“、2xex-2-2(l+ex-2)

令函數(shù)g(x)=-----,則g(x)=--------------,

2x4x~

令/(尤)=0,即有(x-1)/。=1,

令A(yù)(x)=(x—l)ex~2n//(x)=xex~2,

當(dāng)x>0時(shí)，h'(x)>0,函數(shù)/z(x)單調(diào)遞增，由于"2)=1,即有(x-De—=1的

根為2,

當(dāng)x>2時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，0<x<2時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

即有x=2時(shí)，g(x)取得最小值，其最小值為號(hào)=；,

所以實(shí)數(shù)。的最大值為!，故選D.

點(diǎn)睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式恒成立問(wèn)題的求

解，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相

應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接

把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

11.A

解析：A

【解析】

【詳解】

Y

如圖所示，以AB邊所在直線為％軸，以其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

因?yàn)樵撜切蜛3C的邊長(zhǎng)為

2后.??川-60),可疝0),。(0,3),￡(0,-1),尸(0,3),當(dāng)點(diǎn)/在邊46上時(shí),設(shè)點(diǎn)

M(/,。)，則—石〈九04石，ME=(-x0,-l),FM=(x0-3),.-.

ME-FM=-x^+3,-QwXoWQ/.ME.EW的最大值為3;當(dāng)點(diǎn)“在邊3c上

時(shí)，因?yàn)橹本€BC的斜率為-6■，所以直線3c的方程為：5+y-3=0,設(shè)點(diǎn)

M(Xo,3—Qxo),則ovx。V透，

ME=^-x0,^3x0-4^,FM=卜°,6x°),:.ME.FM=2x；-473%0,

網(wǎng)W的最大值為0；當(dāng)點(diǎn)〃在邊AC上時(shí)，因?yàn)橹本€AC的斜

率為四，所以直線AC的方程為：島7+3=0,設(shè)點(diǎn)網(wǎng)/,3+gxj,則

-^3<x0<0,ME=(^-x0,-y/3x0-4^,FM=^x0,\/3x0^,:.

ME.FM=T*-4&Co,-石W/WO,，ME尸M的最大值為3;綜上，最大值為

3故選A.

12.A

解析：A

【解析】

設(shè)只持有A股票的人數(shù)為X（如圖所示），則持有A股票還持有其它股票的人

數(shù)為X-1（圖中d+e+/的和），因?yàn)橹怀钟幸恢Ч善钡娜酥?，有一半沒(méi)持有B

或C股票，則只持有了B和C股票的人數(shù)和為X（圖中b+c部分）.假設(shè)只同

時(shí)持有了B和C股票的人數(shù)為a（如圖所示），那么：X+X-l+X+a=28,

即：3X+a=29,則：X的取值可能是：9、8、7、6、5、4、3、2、1.與之對(duì)

應(yīng)的a值為：2、5、8、11、14、17、20、2326.

因?yàn)闆](méi)持有A股票的股民中，持有B股票的人數(shù)為持有C股票人數(shù)的2倍，得

b+a=2（c+a）,即X_a=3c,故X=8,a=5時(shí)滿足題意，故c=l,b=7,故只

持有B股票的股民人數(shù)是7,故選A.

點(diǎn)睛：本題主要考查了邏輯推理能力，韋恩圖在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，解答

此題的重點(diǎn)是求持有A股票的人數(shù).關(guān)鍵是求只參加一個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)中，持有

A股票的人數(shù)及持有A股票以外的項(xiàng)目，且即持有C股票又持有B股票（a部

分）的人數(shù).

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2557【解析】【分析】先把不等式變形為-bSa（x）*-b恒成立結(jié)合f

（x）=x最值找到的限制條件結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)可得【詳解】對(duì)于任意

xG14不等式0<ax2+bx+4a<4x恒成立可得當(dāng)x@

解析：[25,57]

【解析】

【分析】

44

先把不等式變形為-b"(x+—)“-b恒成立，結(jié)合/(x)=x+—最值，找到

XX

。的限制條件，結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)可得.

【詳解】

對(duì)于任意xG[l,4],不等式0Wax2+bx+4aW4x恒成立,

4

可得當(dāng)x￡[L4]時(shí)，不等式-b"(x+—)恒成立,

x

4

設(shè)/(x)=x+—,xF[l,4]；

x

可得xG[l,2]時(shí)/(x)遞減，xe[2,4]時(shí)/(x)遞增,

可得％=2時(shí)取得最小值4,x=1或％=4時(shí)取得最大值5,

所以/(x)的值域?yàn)閇4,5]；

-b<4a<4-b

所以原不等式恒成立，等價(jià)于

-b<5a<4-b'

0<4a+Z??4

即V,

[0<5tz+Z?<4

4a+b=xf0<x<4

設(shè)<人，則”

5a+b=y[0Vy<5

a=-x+y

所以＜

b=5x—4y'

所以目標(biāo)函數(shù)z=|a|+|a+b+25|=|y-x|+|4x+3y+25|=|y-x|+4x+3y+25,

當(dāng)代x時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=3x+4y+25,

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖,

由圖可知x=0,y=0時(shí)Zm/"=25,x=4,y=5時(shí)Zmax=57；

當(dāng)y<x時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=5x+2y+25,如圖，

由圖可知x=0,y=0時(shí)Zm,h=25,x=4,y=4時(shí)z?)ax=53；

綜上可得，|a|+|a+b+25］的范圍是［25,57］.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題及利用線性規(guī)劃知識(shí)求解范圍問(wèn)題，恒成立問(wèn)

題一般是轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，線性規(guī)劃問(wèn)題通常借助圖形求解，側(cè)重考查邏輯推

理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

14.(1)(3)(4)【解析】【分析】首先根據(jù)的定義求得以此類推求得的通項(xiàng)公式利

用裂項(xiàng)求和法求得由此對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一分析確定結(jié)論正確的選項(xiàng)【詳解】當(dāng)時(shí)

故當(dāng)時(shí)故當(dāng)時(shí)故共有4個(gè)數(shù)即故(1)結(jié)論正確以此類推當(dāng)時(shí)

解析：(1)(3)(4)

【解析】

【分析】

首先根據(jù)4的定義求得％，。2，。3，以此類推求得4的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)求和

法求得S”由此對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一分析，確定結(jié)論正確的選項(xiàng).

【詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，xe[O,l),[x]=0,[0]=0,故q=l.

當(dāng)〃=2時(shí)，xe[0,2),[%]={0,1},4.^1e[0,2),[M%]]e{0,1},故%=2.

當(dāng)〃=3時(shí)，%e[0,3),[%]e{0,1,2},x[x]e[0,1)o[1,2)o[4,6),故

[x[x]]e{0,l,4,5},共有4個(gè)數(shù)，即生=4,故(1)結(jié)論正確.

以此類推，當(dāng)〃N2,xe[0,〃)時(shí)，

[x]e{0,l,,H-1},x[x]e[0,1)o[1,2)o[4,6)oO[(H-1)*2,H(H-1)),

2.r\

故E司可以取的個(gè)數(shù)為1+1+2+3++(n-l)=n,即

[2—2n+2

a

n=-----522),

當(dāng)〃=1時(shí)上式也符合，所以4J?72

令a“=190,得“("-1)=378,沒(méi)有整數(shù)解，故(2)錯(cuò)誤.

12=*-出)，

〃〃+2幾(〃+1)(〃+2)

所以S=2(———+———+H—-------)=2(-),

"2334H+1n+22n+2

故品,=2(2-1)=，，所以⑶判斷正確.

212o

一，+必一」、"一」而一L八三i,

n2n272n222〃

當(dāng)九=6時(shí)，比且=6+!，

n6

當(dāng)”=7時(shí)，比且=6+工，故當(dāng)九=7時(shí)取得最小值，故（4）正確

n7

故答案為：⑴⑶⑷

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查新定義的理解和運(yùn)用，考查分析、歸納的能力，考查裂項(xiàng)求和

法，考查與數(shù)列最值有關(guān)問(wèn)題的求解，屬于中檔題.

15.【解析】在鈍角中若由正弦定理可得?.....其中..當(dāng)時(shí)的最大值為故答

案為點(diǎn)睛：本題求最值利用三角函數(shù)輔助角公式將函數(shù)化為的形式利用求最值

其中的取值需結(jié)合數(shù)值以及符號(hào)確定

解析：710

【解析】

在鈍角AABC中，若&=+，忸C=l,由正弦定理可得

\BC\\AB\|AC|_1_

sinAsinCsinB6?

F

：.\AB\=42sinC,|AC|=V2sinB

2夜|AB\+3|AC|=4sinC+3A/2sinB=4sinC+3^2sin(C+^-)=sinC+3cosC=V10sin(C+cp)

,其中tan0=3>tan—

71

VCe(O,-)

4

C+<^G(-,—)

312

.?.當(dāng)C+時(shí)，2陽(yáng)明+3|AC|的最大值為質(zhì)

故答案為所.

點(diǎn)睛：本題求最值利用三角函數(shù)輔助角公式

asma+bcosa=Jn?+/sin(a+e),sino=,:j,coso=j:.將函數(shù)化為

Asin(x+0)的形式，利用lasinx+bcos1WJ，+廿求最值,其中。的取值需結(jié)

合數(shù)值以及符號(hào)確定.

16.80【解析】【詳解】在上取點(diǎn)使得則在線段上三點(diǎn)共線即；故填80

解析：80

【解析】

【詳解】

在3c上取點(diǎn)D,使得皮)=28,則與在線段上.

bnP?A+^n+lPnB+(3an+2)PnC=0

網(wǎng),=bnAPn+(3??+2-)CPn=bnCBPn-BA)+(3an+2)(BP「BC)

?.(—3a〃—2卜《=——|(34+2)3D,APn,D三點(diǎn)共線，

13

_Qa“+i―2—3a,—2=—2+2),即an+l=3an+2.

/.a2=3。］+2=8,/=3az+2=26,a4=3%+2=80；故填80.

A

BDc

三、解答題：每小題滿分12分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

17-21題，滿分60分。22-24題，滿分10分。請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一

題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分,做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)。

22

17.(1)L+上=1；(2)3,1.

43

【解析】

【分析】

(1)由圓與直線相切可得圓心到直線的距離等于半徑，求出c=l,根據(jù)橢圓離

c1

心率6=￡=彳，求出a,進(jìn)而求出b,得到橢圓得方程.

a2

(2)分類討論思想，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合二次

函數(shù)得最值，確定當(dāng)直線MN與x軸垂直時(shí)AM百N的面積最大.

【詳解】

(1)設(shè)耳(―c,0),F2(c,0)(c>0),

則直線/的方程為：>=%+c,即x-y+c=0.

?.?直線/與圓C2相切，I.圓心工到直線/的距離為』=器^=0,解之得c=l.

111

???橢圓的離心率為7，即一=7,所以4=2,所以方2=/—/=4—1=3,

2a2

22

???橢圓G的方程為工+匕=「

43

(2)由(1)得耳(—1,0),工(L0),

由題意得直線的斜率不為0,故設(shè)直線的方程為：x=ty+KteR）,

22

代入橢圓方程?+g=1化簡(jiǎn)可得（4+3產(chǎn)）/+6h-9=0,

A=36r+36(4+3r)>0恒成立,

設(shè)”（%,%）,N（x2,y2）,則%,%是上述方程的兩個(gè)不等根,

-6t

3V

X+%=4+3產(chǎn)2=77^7°

???MRN的面積S^N閭4一％|=gx2x?-%|=|x一%|

12〃+i

={(%+%『-4%%=

4+3/

設(shè)J?+l=m，則根21,〃=4一1,則3r+4=3川+1,S=12x—^一-

MFN3m+1

,i_3m2

令/（m）=c7］（7〃N1），則/5）=――—TT<°恒成立，

3m+1（3"+lJ

則函數(shù)〃加）在口,內(nèi)）上為減函數(shù)，故f（臉的最大值為/（1）=4,

所以班N的面積的最大值為12x！=3,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=1,即/=0時(shí)取最大

4

值，

此時(shí)直線跖V的方程為x=L即直線MN垂直于％軸，此時(shí)上明=gN,即

A=1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的思想.圓

與直線的位置關(guān)系有三種，可用代數(shù)法和幾何法進(jìn)行判斷.

11〃]

18.(1)52-S1=-,S3-S2=-(2)猜想：S“—工7=°，證明見解析

23k=ik

【解析】

【分析】

(1)由組合數(shù)公式和求和的定義，計(jì)算可得所求值；

n1

(2)猜想X%=0,運(yùn)用求和公式的定義和組合數(shù)公式C"+c："T=c2,

k=lk

15+1)!

以及-----------=高，結(jié)合二項(xiàng)式定理，以及數(shù)列

Z+1(左+1)左！(〃一女)!(左+1)!(〃_Q!

的恒等式H+(邑—SJ+(邑一$2)+…+(S,化簡(jiǎn)計(jì)算可得證明.

【詳解】

解：(1)1=(—l)2xlxC；=l,

§2=￡(-1產(chǎn)*=(-1)2XC；+(—1)3X1XC；=2H

k=ik222

3111

S3=￡(T)&M-Cl=(-1)2xC'+(-l)3x-xC；+(-1)4x-xc^

k=ik23

313111

=3o---1—=—I—=——,

23236

所以S2-S|=；,53-S2=1

〃]111

(2)猜想：S〃—工7二。，即S〃=l+7+；++—

%=ik23〃

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

1。當(dāng)〃=1時(shí)，由(1)知，1=1,成立；

“1111

2。假設(shè)當(dāng)〃=相時(shí)，5m=^(-ir-C,：,=l+-+-++—.

k=ik23m

邛+1111

則當(dāng)i+i時(shí)，"生產(chǎn)戶?(-嚴(yán)尸"-尸^

m+2]

m+1

m1m1

=z(-Di+17C+Z(T)MV*+(-1)m+21

無(wú)=1kk=ikm+1

m11

鼠+2(一1嚴(yán)7&1+(—1)27

k=ikm+1

(m+1)!ml

又因?yàn)楸?-(m+i)c3=H—(m+1)-=o,

k\(jn+\—k)\{k——k+V)\

1

則kCL=(m+DC：；，所以:*=C,：+1,

km+1

加11

所以S-SJ*1產(chǎn)QM+(-1產(chǎn)-

i加i

黑+總1牛1產(chǎn)4+(-產(chǎn)-

m

=s,“+」一X(T嚴(yán)*+(T)M

m+1k=\

1m

=sm——-￡(-i)*c3+(-1嚴(yán)

m+1屋=1」

+1

=S?，—匕[—qL+Q+「C3++(—i)'C3++(-1)^：+1+(-1)-^]

c1.1111

=S-I-----=1-1---1---FH---1-----,

m+123mm+1

111n1

綜上1。2。，S.=l+：+；++-,故￡7=0.

23nk=ik

【點(diǎn)睛】

本題考查組合數(shù)公式的運(yùn)用，以及二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查猜想歸納思想，以

及數(shù)列的恒等式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題.

19.(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后，通過(guò)。=0和。>0兩種情況，確定/'(%)的正負(fù)，從

而得到函數(shù)的單調(diào)性;(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明：x(l-lnx)<(l+x-x3)^;設(shè)

3A

g(x)=x(l-lnx),/z(x)=(l+x-x)e,只需證g(x)1mx</?(%)1nin；通過(guò)求導(dǎo)運(yùn)

算，可知g(x)<g⑴=1,再通過(guò)零點(diǎn)存在定理，不斷確定可力的最值位置，

從而證得力(力>/1(0)=1,證得結(jié)論.

【詳解】

(1)函數(shù)“X)的定義域?yàn)?0,+")

」+2八_°==(2以+1)3-1)

XXX

①若1=0時(shí)，則r(x)<0,/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

②若a>0時(shí)，當(dāng)％=,時(shí)，/'(%)=0

a

當(dāng)0<%<4時(shí)，r(x)<o;當(dāng)%>工時(shí)，r(x)>o

aa

故在1o,￡|上，/(X)單調(diào)遞減；在上，“X)單調(diào)遞增

(2)若a=0且尤e(O,l),欲證ZH+X2_J.<I

exx

只需證二竺+/—!<1

ex

即證x(l-lnx)<+

設(shè)函數(shù)g(x)=x(l一1m0，(無(wú)<0,1)),則g'(x)=Tnx

當(dāng)xe(O,l)時(shí),g〈x)>0；故函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增

所以g(x)<g(l)=l

設(shè)函數(shù)〃(九)=(1+x—彳。優(yōu)，則/(%)=(2+尤_3/-x3ex

設(shè)函數(shù)p(x)=2+x-3x2-x3,則=1-6%-3^

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，y(o)-y(l)=-8<o

故存在天€(。,1)，使得p'(%)=。

從而函數(shù))(力在(0,%)上單調(diào)遞增；在(%,1)上單調(diào)遞減

當(dāng)龍40,%)時(shí)，p(Xo)>P(O)=2

.?.當(dāng)x?Xo，l)時(shí)，M$,0(1)<O

故存在使得〃(%)=。

即當(dāng)xe(0,%)時(shí)，p(x)>0,當(dāng)龍?看,1)時(shí)，夕(無(wú))<0

從而函數(shù)h(x)在(0,%)上單調(diào)遞增；在(3)上單調(diào)遞減

因?yàn)?(O)=l，Ml)=e

故當(dāng)xw(0,1)時(shí)，/z(x)>/z(O)=l

所以x(l-lnx)<(1+x-尤3)",xe(0,1)

即"：)+x2--<l,xe(04)

ex

【點(diǎn)睛】

本題考查討論含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性、恒成立問(wèn)題的證明.關(guān)鍵在于能夠?qū)⒑愠闪⒌?/p>

不等式變成兩個(gè)函數(shù)之間的比較；對(duì)于兩個(gè)函數(shù)之間大小關(guān)系的比較，通常采

用最值間的比較，通過(guò)證明1ax＜刈力3,得到g（x）＜MH的結(jié)論.

20.（1）見解析；（2）45°；⑶直線PQ過(guò)定點(diǎn)E（1,-4）.

【解析】

y\yl

試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)“了根據(jù)P、M、A三點(diǎn)共線，

yi-yz

ylyz

得心M=ADM，T~4~T計(jì)算得到而-OP=s.

（2）設(shè)NPOM=a,可得|市-OP-cosa=5.結(jié)合三角形面積公式可得tana="l."

根據(jù)角的范圍，即得所求.

⑶設(shè)點(diǎn)。（亍、B、Q三點(diǎn)共線，二5°=%"

72-734

崛yzyi+y-3

據(jù)此確定蘇一療進(jìn)一步確定PQ的方程，化簡(jiǎn)為

G+4Xv:+y3）=4（x-l）.

得出結(jié)論.

試題解析:（1）設(shè)點(diǎn)川（斗］，）尸苧”）二尸、M、A三點(diǎn)共線,

k心-左DM=即一"-=―：

＞'i口yiy2

yi1

艮卜，—二-~-，???yiy2=4

,+4yi+yi2分

二萌.麗=21.21+1I',=5.5分

44，

(2)設(shè)NPOM=a,貝山麗卜|而|<osa=5.

S^0M=—s.'.|OM\-\0P|-sina=5,由此可得tana=l.8分

又aw(Q初二a=45。,故向量厲7與函夾角為45。1。分

⑶設(shè)點(diǎn)M、B、Q二點(diǎn)共線，，左=左

即T-二J廠與,即冬1=，

21+1X_21巧-4Vj+V'3

444

(V3+ix>1+y3)=y3-4:^Pijv3+Vj+y3+4=0...11分

■:Vin=4.艮「I、=—一二--1、+—++4=0.

“Av4?**A*“N“N?

Vn%VS

即4(+y3)+y;i3+4=0.(*)12分

yi-y-34

kpQylyl+y-i

T-T

4yl

??直線PQ的方程是y-y2=——(%-)

y2+73T4

即Cy-xXj：+J3)=4x-y：jPy(v,+y3)-y;y；=4x13分

由(*)式，-y2y3=4Cy2+力)+4代入上式，得(v+4?2+y3)=4(x-l).

由此可知直線PQ過(guò)定點(diǎn)E(1,-4).14分

考點(diǎn)：拋物線及其幾何性質(zhì)，直線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化與化

歸思想.

21.（1）a——l,b=1；（2）見解析；（3）［—7—2

【解析】

【分析】

（1）由>=