高考理數(shù)一輪夯基作業(yè)本4第四章三角函數(shù)解三角形25-第八節(jié)解三角形

第八節(jié)解三角形A組基礎(chǔ)題組1.如圖,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40°方向上,燈塔B在觀察站南偏東60°方向上,則燈塔A在燈塔B的()A.北偏東10°方向上B.北偏西10°方向上C.南偏東80°方向上D.南偏西80°方向上2.設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測(cè)量者在A的同側(cè)選定一點(diǎn)C,測(cè)出A、C的距離為50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,則可以計(jì)算出A,B兩點(diǎn)間的距離為()A.502m B.503m C.252m D.25223.如圖所示,為了測(cè)量湖泊兩側(cè)A,B間的距離,某同學(xué)首先選定了與A,B不共線的一點(diǎn)C,然后給出了四種測(cè)量方案:(△ABC的角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c)①測(cè)量A,C,b;②測(cè)量a,b,C;③測(cè)量A,B,a;④測(cè)量a,b,B.則一定能確定A,B間距離的是()A.①②③ B.②③④C.①③④ D.①②③④4.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是()A.102海里 B.103海里C.203海里 D.202海里5.如圖,在塔底D的正西方A處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°,在塔底D的南偏東60°的B處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°,A、B的距離是84m,則塔高CD為()A.24m B.125m C.127m D.36m6.已知A,B兩個(gè)小島相距10nmile,從A島望C島和B島成60°的視角,從B島望C島和A島成75°的視角,那么B島和C島間的距離是nmile.

7.如圖,在水平地面上有兩座直立的相距60m的鐵塔AA1和BB1.已知從塔AA1的底部看塔BB1頂部的仰角是從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的2倍,從兩塔底部連線中點(diǎn)C分別看兩塔頂部的仰角互為余角.則從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的正切值為;塔BB1的高為m.

8.某飛船上的返回艙順利到達(dá)地球后,為了及時(shí)將航天員救出,地面指揮中心在返回艙預(yù)計(jì)到達(dá)的區(qū)域安排了同一條直線上的三個(gè)救援中心(記為B,C,D).當(dāng)返回艙在距地面1萬米的P點(diǎn)時(shí)(假定以后垂直下落,并在A點(diǎn)著陸),C救援中心測(cè)得返回艙位于其南偏東60°方向,仰角為60°,B救援中心測(cè)得返回艙位于其南偏西30°方向,仰角為30°,D救援中心測(cè)得著陸點(diǎn)A位于其正東方向.(1)求B、C兩救援中心間的距離;(2)求D救援中心與著陸點(diǎn)A間的距離.B組提升題組9.一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱,為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°,沿點(diǎn)A向北偏東30°方向前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B,在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°,則水柱的高度是()A.50m B.100m C.120m D.150m10.地面上有兩座相距120米的塔,在矮塔塔底望高塔塔頂?shù)难鼋菫棣?在高塔塔底望矮塔塔頂?shù)难鼋菫棣?A.50米,100米 B.40米,90米C.40米,50米 D.30米,40米11.如圖,在海中一孤島D的周圍有2個(gè)觀察站A,C,已知觀察站A在島D的正北5nmile處,觀察站C在島D的正西方,現(xiàn)在海面上有一船B,在A點(diǎn)測(cè)得其在南偏西60°方向4nmile處,在C點(diǎn)測(cè)得其在北偏西30°方向上,則兩觀測(cè)點(diǎn)A與C的距離為nmile.

12.如圖所示,長(zhǎng)為3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4m的地面上,另一端B在離堤足C處2.8m的石堤上,石堤的傾斜角為α,則tanα=.

13.如圖所示,一艘海輪從A處出發(fā),測(cè)得燈塔在海輪的北偏東15°方向上,與海輪相距20海里的B處,海輪按北偏西60°的方向勻速航行了30分鐘后到達(dá)C處,又測(cè)得燈塔在海輪的北偏東75°方向上,則海輪航行的速度為海里/分鐘.

14.在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi),以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A,某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船位于點(diǎn)A的北偏東45°且與點(diǎn)A相距402海里的位置B,經(jīng)過40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東45°+θ其中θ滿足sinθ=2626,0°<θ<90°且與點(diǎn)A相距1013海里的位置C.(1)求該船的行駛速度(單位:海里/時(shí));(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛,判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域,并說明理由.答案精解精析A組基礎(chǔ)題組1.D由條件及題圖可知,∠A=∠ABC=40°,因?yàn)椤螧CD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此燈塔A在燈塔B南偏西80°方向上.2.A由題意,易得B=30°.由正弦定理,得ABsinC=∴AB=AC=50×2213.A對(duì)于①③,由正弦定理可確定A,B間的距離;對(duì)于②,由余弦定理可確定A,B間的距離;對(duì)于④,不能確定A,B間的距離,故選A.4.A如圖所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根據(jù)正弦定理得BCsin30°=∴BC=102(海里).5.C設(shè)塔高CD=xm,則AD=xm,DB=3xm.又由題意得∠ADB=90°+60°=150°,在△ABD中,利用余弦定理,得842=x2+(3x)223·x2cos150°,解得x=127(負(fù)值舍去),故塔高為127m.6.答案56解析如圖,在△ABC中,AB=10,A=60°,B=75°,C=45°,由正弦定理,得ABsinC=所以BC=AB·sinAsinC7.答案13;45解析設(shè)從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角為α,則AA1=60tanαm,BB1=60tan2αm,∵從兩塔底部連線中點(diǎn)C分別看兩塔頂部的仰角互為余角,∴△A1AC∽△CBB1,∴AA130∴AA1·BB1=900,∴3600tanαtan2α=900,∴tanα=13,∴tan2α=3∴BB1=60tan2α=45(m).8.解析(1)由題意,PA⊥AC,PA⊥AB,∠CAB=30°+60°=90°,則△PAC,△PAB,△ABC均為直角三角形,在Rt△PAC中,PA=1,∠PCA=60°,則AC=33在Rt△PAB中,PA=1,∠PBA=30°,則AB=3,又∠CAB=90°,∴BC=AC2+A答:B、C兩救援中心間的距離為303(2)易得sin∠ACD=sin∠ACB=310,cos∠ACD=1又∠CAD=30°,所以sin∠ADC=sin(30°+∠ACD)=33在△ADC中,由正弦定理得,ACsin∠ADC=AD=AC·sin∠ACD答:D救援中心與著陸點(diǎn)A間的距離為9+3B組提升題組9.A如圖,設(shè)水柱高度是hm,水柱底端為C,則在△ABC中,∠BAC=60°,AC=hm,AB=100m,BC=3hm,根據(jù)余弦定理得(3h)2=h2+10022·h·100·cos60°,即h2+50h5000=0,即(h50)(h+100)=0,解得h=50(舍負(fù)),故水柱的高度是50m.10.B設(shè)高塔高H米,矮塔高h(yuǎn)米,在O點(diǎn)望高塔塔頂?shù)难鼋菫棣?則tanα=H120,tanα2=根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式有H120=2×h因?yàn)樵趦伤走B線的中點(diǎn)O望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?所以在O點(diǎn)望矮塔塔頂?shù)难鼋菫棣?由tanβ=H60,tanπ2-得H60=60h聯(lián)立①②解得H=90,h=40.即兩座塔的高度分別為40米,90米.11.答案27解析如圖,延長(zhǎng)AB與DC,設(shè)交點(diǎn)為E,由題意可得∠E=30°,∠BCE=60°,∴∠EBC=90°,∠ABC=90°,在Rt△ADE中,AE=ADsin30所以EB=AEAB=6nmile.在Rt△EBC中,BC=BE·tan30°=23nmile,在Rt△ABC中,AC=A=27nmile.12.答案2315解析由題意可得,在△ABC中,AB=3.5,AC=1.4,BC=2.8,由余弦定理可得,AB2=AC2+BC22·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.822×1.4×2.8×cos(πα),解得cosα=516,所以sinα=23116,所以tanα=sinα13.答案63解析由已知可得∠ACB=45°,∠B=60°,由正弦定理得ACsinB=所以AC=AB·sinBsin∠ACB所以海輪航行的速度為10630=14.解析(1)如圖,AB=402海里,AC=1013海里,∠BAC=θ.由于0°<θ<90°,sinθ=2626,所以cosθ=1-26由余弦定理得BC=AB2+A所以該船的行駛速度為10523(2)該船會(huì)進(jìn)入警戒水域.理由如下:如圖所示,設(shè)直線AE與BC相交于點(diǎn)Q.在△ABC中,由余弦定理得,cos∠ABC=AB2+BC2從而sin∠ABC