福建省廈門市2023-2024學年高一上學期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題

廈門市20232024學年度第一學期高一年級質(zhì)量檢測數(shù)學試題滿分：150分考試時間：120分鐘考生注意：1.答題前，考生務必將自己的準考證號、姓名填寫在答題卡上.考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集運算求解.【詳解】由題意可得：.故選：B.2.已知，則（）A.2 B. C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)運算分析求解.【詳解】因為，可得，且，解得.故選：B.3.已知，為第二象限角，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系運算求解，注意象限角的三角函數(shù)值符號.【詳解】因，為第二象限角，則，所以.故選：C.4.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因為指數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則，又因為冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則，故.故選：D.5.若命題：，是假命題，則（）A. B.C.或 D.【答案】A【解析】【分析】對于含量詞的命題為假命題，一般是通過該命題的否定為真命題求出參數(shù)范圍.【詳解】由命題：，是假命題，可知命題的否定：“，”是真命題，即，解得：.故選：A.6.已知定義在上的奇函數(shù)滿足①；②，，且，，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題目條件得到在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，，其中，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性得到不等式，求出解集.【詳解】不妨設，，故在上單調(diào)遞增，因為為定義在上的奇函數(shù)，所以，故定義域為，且，故為偶函數(shù)，因為，所以，，所以，解得或.故選：A7.已知函數(shù)，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合二次函數(shù)圖象分析判斷.【詳解】由題意可知：函數(shù)的對稱軸為，且，如圖所示，若，結(jié)合對稱性可知，且，對于選項A：例如，則符合題意，但，故A錯誤；對于選項BC：若，顯然滿足題意，但，，故BC錯誤；對于選項D：因為，則，所以，故D正確；故選：D.8.已知函數(shù)恰有三個零點,則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】因為,對進行分類討論,利用數(shù)形結(jié)合的方法即可得到結(jié)果.【詳解】因,①當時,做出兩段拋物線的圖像如圖:此時函數(shù)只有兩個零點,不滿足題意;②當時,,做出兩段拋物線的圖像如圖:此時函數(shù)恰有三個零點,滿足題意;③當時,因為在有兩個零點,且當時兩段拋物線的函數(shù)值相等,若要滿足題意,則兩段拋物線的圖像應該如圖:此時,滿足題意;綜上實數(shù)的取值范圍為.故選:B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一個函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)相等的定義逐項分析判斷.【詳解】顯然函數(shù)的定義域為，對于選項A：因為，即對應關(guān)系不一致，故A錯誤；對于選項B：因為，且定義域為，所以兩個函數(shù)相同，故B正確；對于選項C：因為的定義域為，即定義域不同，故C錯誤；對于選項D：因為恒成立，即的定義域為，且，所以兩個函數(shù)相同，故D正確；故選：BD.10.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點的充分條件可以是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】先判斷函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)零點存在性定理列出不等式求解，結(jié)合充分條件定義即可判斷各選項.【詳解】因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點，則，即，解得，故AB符合題意，CD不符合題意.故選：AB.11.已知實數(shù)，，滿足且，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】AC選項，作差法比較大小；B選項，舉出反例；D選項，變形后，作差法比較大小.【詳解】因為且，所以，A選項，，故，A正確；B選項，不妨設，此時滿足且，但，B錯誤；C選項，因為且，所以，，所以，C正確；D選項，，因為，所以，故，D正確.故選：ACD12.已知表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則（）A.B.當時，C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有23個實根【答案】ACD【解析】【分析】對于A：直接代入運算即可；對于B：根據(jù)題意結(jié)合即可求解析式；對于C：先求的單調(diào)區(qū)間，進而可得結(jié)果；對于D：分和兩種情況，結(jié)合圖象分析方程的根的個數(shù).【詳解】對于選項A：，故A正確；對于選項B：因為，則，可得，故B錯誤；對于選項C：因為當時，，可知當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，結(jié)合，可知的單調(diào)遞增區(qū)間為，當時，，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對于選項D：當，，且，則，且等號不同時成立，原方程無實根；當時，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，因為，要證，只需證，令，則，只需證，如圖所示，可知，成立，所以方程在區(qū)間上恰有2個實根，所以方程在區(qū)間上恰有個實根，故D正確.故選：ACD.【點睛】易錯點睛：利用數(shù)形結(jié)合求方程解應注意兩點1.討論方程的解(或函數(shù)的零點)可構(gòu)造兩個函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準確性、全面性、否則會得到錯解．2.正確作出兩個函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應以快和準為原則而采用，不要刻意去數(shù)形結(jié)合．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知某扇形的半徑為2，弧長為，則該扇形的圓心角為______.【答案】##【解析】【分析】設出圓心角，利用弧長公式得到方程，求出答案.【詳解】設圓心角為，則，解得.故答案為：14.已知函數(shù)的定義域為，，，，，，…，.寫出滿足上述條件的一個函數(shù)：______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)運算分析求解即可.【詳解】例如，則，且，所以符合題意.故答案為：.15.已知函數(shù)，若，則的最小值為______.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖象可得，且，結(jié)合基本不等式運算求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因為，且，則，可得，即，且，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為4.故答案為：4.16.水星是離太陽最近的行星，在地球上較難觀測到.當?shù)厍蚝退沁B線與地球和太陽連線的夾角達到最大時，稱水星東（西）大距，這是觀測水星的最佳時機（如圖1）.將行星的公轉(zhuǎn)視為勻速圓周運動，則研究水星大距類似如下問題：在平面直角坐標系中，點A，分別在以坐標原點為圓心，半徑分別為1，3的圓上沿逆時針方向做勻速圓周運動，角速度分別為，.當達到最大時，稱A位于的“大距點”.如圖2，初始時刻A位于，位于以為始邊的角的終邊上.（1）若，當A第一次位于的“大距點”時，A的坐標為______；（2）在內(nèi)，A位于的“大距點”的次數(shù)最多有______次【答案】①.②.6【解析】【分析】根據(jù)題意可得，，可得，結(jié)合倍角公式運算求解；根據(jù)題意分析可知求“大距點”個數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為直線與在的交點個數(shù)問題，結(jié)合圖象分析求解.【詳解】（1）當時，經(jīng)過時間，，，當A位于的“大距點”時，與小圓相切，此時為直角三角形，所以，因為，所以，因為A是第一次位于的“大距點”，可知，則，所以，，即A的坐標為；（2）經(jīng)過時間，，，對于任意，當A位于的“大距點”時，A，兩點坐標滿足，即，當時，求“大距點”個數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為直線與在的交點個數(shù)問題.若與有7個交點，則第1個交點到第7個交點間隔恰好3個周期，共長度等于36，因為，所以內(nèi)不可能有7個交點.又當時，如圖所示，與有6個交點，故A最多有6次位于的“大距點”.故答案為：；6.【點睛】方法點睛：數(shù)形結(jié)合求交點個數(shù)：對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形，常會通過分解轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合，看其交點的個數(shù)有幾個．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）若的解集為，求，；（2）若，，，求的最小值.【答案】（1），（2）9【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知，是方程的兩根，利用韋達定理運算求解；（2）由題意可得，根據(jù)“1”的靈活應用結(jié)合基本不等式運算求解.【小問1詳解】因為的解集為，可知，是方程的兩根，則，解得，.【小問2詳解】因為，即，且，，則，當且僅當，即時，等號成立，所以當，時，的最小值為9.18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）將的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）（2）最小值；最大值1【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合五點法求函數(shù)解析式；（2）根據(jù)圖象變換可得，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析求解.小問1詳解】由圖可知：，且，因為，所以.又因為，即，則，即且，可知，所以.【小問2詳解】由的圖象向右平移個單位長度后得，因為，令，當，即時，取最小值；當，即時，取最大值1.19.已知函數(shù).（1）判斷在區(qū)間上單調(diào)性，并用定義證明；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的最大值.【答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性的定義分析證明；（2）解法一：分析可知為偶函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性可得在區(qū)間上的最小值為，且可得恒成立，根據(jù)恒成立問題分析求解；解法二：根據(jù)不等式性質(zhì)結(jié)合對數(shù)函數(shù)分析可知在區(qū)間上的最小值為，結(jié)合恒成立問題分析求解.【小問1詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞減.證明：，，且，則，因為，則，，，，可得，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.【小問2詳解】解法一：因為的定義域為，且，所以為偶函數(shù).由（1）可知在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值為.因為恒成立，等價于恒成立，則，解得，所以的最大值為；解法二：因為，則，可得，所以，即當時，的最小值為.因為恒成立，可得，所以的最大值為.20.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若方程在區(qū)間上有三個實根，，，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，整體代入法求單調(diào)遞增區(qū)間；（2）結(jié)合正弦函數(shù)的圖像，利用對稱性求的值.【小問1詳解】，由，，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.【小問2詳解】解法一：令，由得，所以在區(qū)間上有三個實根，，，等價于在區(qū)間上有三個實根，，，由對稱性得，，所以，因為，，所以，所以.解法二：令，由，得，所以在區(qū)間上有三個實根，，，等價于在區(qū)間上有三個實根，，，由周期性，有，因為，，所以，.21.在常溫下，物體冷卻的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述：如果物體原來的溫度為，空氣的溫度為，那么分鐘后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).知空氣的溫度為，現(xiàn)用某品牌電熱水壺燒600毫升水，2分鐘后水燒開（溫度為），再過30分鐘，壺中開水自然冷卻到.假設燒水時水的溫度是關(guān)于時間的一次函數(shù)，水的初始溫度與空氣的溫度一致.（1）從開始燒水算起，求壺中水的溫度（單位：）關(guān)于時間（單位：分鐘）的函數(shù)解析式；（2）電熱水壺在保溫模式下會自動檢測壺中水溫，若水溫高于，保溫管不加熱；若水溫不高于，保溫管開始加熱，直至水溫達到才停止加熱，保溫管加熱時水溫的上升速度是正常燒水時的.水燒開后，立即將電熱水壺設定為保溫模式.從開始燒水算起，求96分鐘后壺中水的溫度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意待定系數(shù)運算求解即可；（2）根據(jù)題意分從降溫至，從加熱至，從降溫至，三步求時間即可.【小問1詳解】由題意知，空氣的溫度為，水溫從自然冷卻到用時30分鐘，則，即，所以，當時，依題意設，則，解得，所以；當時，依題意得，，即；綜上所述：.【小問2詳解】由，解得，即從開始燒水算起，水溫從升到，再冷卻到，用了62分鐘，因為，所以保溫管加熱過，因為保溫管加熱時水溫上升速度是正常燒水時的，所以保溫管加熱時，水溫每分鐘升高，所以水溫從升至，所用時間為分鐘，假設水溫從降至需要分鐘，則，即，因為，所以，即水溫從冷卻至所用時間超過30分鐘，因為，所以從開始燒水算起，96分鐘內(nèi)保溫管只加熱過1次，所以當時，，所以當時，，所以從開始燒水算起，96分鐘后壺中水的溫度為.22.已知函數(shù).（1）解不等式；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性計算即可得；（2）當時，等式恒成立，故為的一個零點，當時，表示出，可借助換元法，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合零點與方程的關(guān)系計算即可得.【小問1詳解】的定義域為，因為，所以是奇函數(shù).因為是增函數(shù)，所以是增函數(shù)，由得，即，所以，解得，即原不等式的解集為；【小問