第04講 全等三角形的判定知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固（解析版）

第04講全等三角形的判定經(jīng)歷探索三角形全等條件的過(guò)程，掌握和會(huì)用“邊邊邊”“邊角邊”和“角邊角”“角角邊”和“斜邊、直角邊”條件判定兩個(gè)三角形全等；2.使學(xué)生經(jīng)歷探索三角形全等的過(guò)程，體驗(yàn)操作、歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論的方法.3.通過(guò)探究三角形全等的條件的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析圖形的能力及運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)于探索的良好品質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力.知識(shí)點(diǎn)1判定全等三角形（邊邊邊）1、三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）。知識(shí)點(diǎn)2判定全等三角形（邊角邊）1、用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')①以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C、D。②畫(huà)一條射線(xiàn)O'A'，以點(diǎn)O'為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O'A'于點(diǎn)C'。③以點(diǎn)C'為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與第2步中所畫(huà)的弧相交于點(diǎn)D';④過(guò)點(diǎn)D'畫(huà)射線(xiàn)O'B'，則∠A'O'B'=∠AOB。2、兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）。知識(shí)點(diǎn)3判定全等三角形（角邊角）兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）。知識(shí)點(diǎn)4判定全等三角形（角角邊）兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成"角角邊"或"AAS"）。知識(shí)點(diǎn)5判定全等三角形（直角邊、斜邊）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)寫(xiě)成"斜邊、直角邊"或"HL"）。注意：用“HL”證明兩個(gè)直角三角形全等，書(shū)寫(xiě)時(shí)兩個(gè)三角形符號(hào)前面要加上“Rt”。【題型1判定全等角形（SSS）】【典例1】（2022秋?香洲區(qū)期末）如圖，AC＝BD，CE＝DE，AD與BC相交于點(diǎn)E，∠EAB＝∠EBA．求證：△ACB≌△BDA．【解答】證明：∵∠EAB＝∠EBA，∴EA＝EB，∵DE＝CE，∴EA+DE＝EB+CE，∴AD＝BC，在△ACB和△BDA中，，∴△ACB≌△BDA（SSS）．【變式1-1】（2022秋?贛縣區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一直線(xiàn)上，AE＝BF，EC＝FD，AB＝CD．求證：△EAC≌△FBD．【解答】證明：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△EAC和△FBD中，，∴△EAC≌△FBD（SSS）．【變式1-1】（2023八上·杭州期末）已知：如圖，點(diǎn)A，D，B，E【答案】證明：∵AD=BE，∴AD+DB=BE+DB，即AB=DE，在△ABC與△EDF中，AB=EDAC=EF∴△ABC≌△EDF(∴∠EDF=∠ABC.【解析】根據(jù)已知條件可知AD=BE，結(jié)合線(xiàn)段的和差關(guān)系可得AB=DE，利用SSS證明△ABC≌△EDF，據(jù)此可得結(jié)論.【變式1-2】（2022八上·京山期中）如圖，B，E，C，F(xiàn)在一條直線(xiàn)上，AB＝DE，AC＝DF，【答案】證明：∵BE＝∴BE+EC＝∴BC＝在△ABC和△DEF中，BC=EFAB=DE∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠A＝【解析】根據(jù)BE=CF易得BC=EF，從而利用SSS判斷出△ABC≌△DEF，進(jìn)而根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可得出答案.【題型2判定全等角形（SAS）】【典例2】（2022秋?郴州期末）如圖，已知EC＝BF，AC＝DF，∠C＝∠F，求證：△CBA≌△FED．【解答】證明：∵EC＝BF，∴EC+BE＝BF+BE，即CB＝FE，在△CBA和△FED中，，∴△CBA≌△FED（SAS）．【變式2-1】（2022秋?鯉城區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一直線(xiàn)上，AF＝DE，AF∥DE，AC＝DB．求證：△ABF≌△DCE．【解答】證明：∵AF∥DE，∴∠A＝∠D，∵AC＝DB，∴AC﹣DB＝DB﹣BC即AB＝DC，在△ABF和△DCE中，∵，∴△ABF≌△DCE（SAS）．【變式2-2】（2022秋?黃埔區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線(xiàn)上，AB＝DE，BF＝CE，∠B＝∠E．求證：△ABC≌△DEF．【解答】解：∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，即：BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【變式2-3】（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一條直線(xiàn)上，BF＝CE，∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE．求證：△ABC≌△DEF．【解答】證明：∵BF＝CE，∴BF+CF＝CE+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【題型3判定全等角形（ASA）】【典例3】（2022秋?泉州期末）如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1＝∠2．求證：△AEC≌△BED．【解答】證明：∵AE和BD相交于點(diǎn)O，∴∠AOD＝∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA）．【變式3-1】（2023八上·金東期末）已知：如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線(xiàn)上，∠B=∠EFD，∠ACB=∠DEF，且BF=EC.求證：△ABC≌△DFE.【答案】解：∵BF=EC∴BF+CF=EC+CF，∴BC=EF，在△ABC和△DFE中，∵∴△ABC?△DFE(ASA).【解析】【分析】由已知條件可知∠B=∠EFD，∠ACB=∠DEF，BF=EC，結(jié)合線(xiàn)段的和差關(guān)系可得BC=EF，然后根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行證明.【變式3-2】（2023八上·漢陰期末）如圖，在△ADC和△CEB中，點(diǎn)A、B、C在一條直線(xiàn)上，∠D=∠E，AD∥EC，AD=EC.求證：△ACD≌△CBE.【答案】證明：∵AD∥EC∴∠CAD=∠BCE在△ACD與△CBE中∠CAD=∠BCE∴△ACD≌△CBE(ASA)【解析】【分析】由二直線(xiàn)平行，同位角相等得∠CAD=∠BCE，從而用ASA判斷出△ACD≌△CBE.【變式3-3】（2022八上·甘井子期末）如圖：點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線(xiàn)上，F(xiàn)B=CE，AB//ED，AC//DF．【答案】證明：∵FB=EC，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AB∥ED∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，在△ABC與△DEF中，∵∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴AB=DE，AC=DF．【解析】【分析】先利用“ASA”證明△ABC≌△DEF，再利用全等三角形的性質(zhì)可得AB=DE，AC=DF?！绢}型4判定全等角形（AAS）】【典例4】（2022秋?新昌縣期末）已知：如圖，AC與DB相交于點(diǎn)O，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求證：△AOB≌△DOC．【解答】證明：∵∠1＝∠2，∴BO＝CO，在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS）．【變式4-1】（2023八上·寧波期末）如圖，點(diǎn)B、E、C、F是同一直線(xiàn)上順次四點(diǎn)，AB∥DE，AB=DE，∠ACB=∠F，求證：BE=CF.【答案】證明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF.在△ABC和△DCE中，∠B＝∠DEF∴△ABC≌△DCE（AAS）.∴BC=EF，∴BC-CE=EF-CE，即BE=CF.【解析】【分析】由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠B=∠DEF，根據(jù)已知條件可知∠ACB=∠F，AB=DE，利用AAS證明△ABC≌△DCE，得到BC=EF，然后根據(jù)線(xiàn)段的和差關(guān)系進(jìn)行證明.【變式4-2】（2023八上·臨湘期末）已知，如圖，AB=AE，AB∥DE，∠ACB=∠D，求證：△ABC≌△EAD.【答案】證明：∵AB∥DE，∴∠CAB=∠E，在△ABC和△EAD中，∠ACB=∠D∠CAB=∠E∴△ABC≌△EAD(AAS).【解析】【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠CAB=∠E，由已知條件可知∠ACB=∠D，AB=AE，然后根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行證明.【變式4-3】（2022八上·西城期末）如圖，A，D兩點(diǎn)在BC所在直線(xiàn)同側(cè)，AB⊥AC，BD⊥CD，垂足分別為A，D．AC，BD的交點(diǎn)為E，【答案】證明：∵AB⊥AC，BD⊥CD，垂足分別為A，∴∠A=90°，∴∠A=∠D．在△ABE和△DCE中，∠A=∠D∴△ABE≌△DCE．∴BE=CE．【解析】【分析】先利用“AAS”證明△ABE≌△DCE，再利用全等三角形的性質(zhì)可得BE=CE?！绢}型5判定全等角形（HL）】【典例5】（2022秋?宿豫區(qū)期末）如圖，ED⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，垂足分別為D、C，AC＝BD，AE＝BF．求證：△AED≌△BFC．【解答】證明：∵ED⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，∴∠ADE＝∠BCF＝90°，∵AC＝BD，∴AC+CD＝BD+CD，即AD＝BC，在Rt△ADE與Rt△BCF中，，∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）．【變式5-1】（2022八上·長(zhǎng)春期末）如圖，已知AC平分∠BAF，CE⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥AF于點(diǎn)F，且BC=DC．求證：△CFD≌△CEB．【答案】證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CE=CF，在Rt△CEB和Rt△CFD中，CE=CFCB=CD∴Rt△CFD≌Rt△CEB(HL)．【解析】【分析】先利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得CE=CF，再利用“HL”證明△CFD≌△CEB即可?！咀兪?-2】（2023八上·岳池期末）如圖，已知AD是△ABC的邊BC上的高，E為AD上一點(diǎn)，且BE=AC，DE=DC．求證：∠DBE=∠DAC．【答案】解：∵AD是△ABC的邊BC上的高，∴AD⊥BC，∴∠BDE=∠ADC=90°．在Rt△BDE和Rt△ADC中，BE=AC∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)∴∠DBE=∠DAC．【解析】【分析】根據(jù)三角形高的定義得∠BDE=∠ADC=90°，從而利用HL判斷Rt△BDE≌Rt△ADC，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得∠DBE=∠DAC．【題型6全等角形判定與性質(zhì)綜合】【典例6】（2022秋?巫溪縣期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．若∠B＝75°，∠AFB＝40°，則∠D的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】B【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，∴BF＝CE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS），∵∠B＝75°，∠AFB＝40°，∴∠A＝∠D＝180°﹣∠B﹣∠AFB＝180°﹣75°﹣40°＝65°，∴∠D的度數(shù)為65°，故選：B．【變式6-1】（2022秋?萬(wàn)全區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上的一點(diǎn)，且BE＝BC，過(guò)E作DE⊥AB交AC于D，如果AC＝5cm，則AD+DE等于（）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm【答案】B【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠C，在Rt△BED和Rt△BCD中，，∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），∴DE＝DC，∴AD+DE＝AD+CD＝AC＝5cm，故選：B．【變式6-2】（2022秋?離石區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABD＝∠EBD＝90°，∠ACB＝∠E，AB＝BD＝5，BE＝3，則CD的長(zhǎng)為（）A．1.5 B．2 C．3 D．5【答案】B【解答】解：在△ABC與△DBE中，，∴△ABC≌△DBE（AAS），∴BC＝BE＝3，∴CD＝BD﹣BC＝5﹣3＝2，故選：B．【變式6-3】（2022秋?平城區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，BC、AE是銳角△ABF的高，相交于點(diǎn)D，若AD＝BF，AF＝7，CF＝2，則BD的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：∵BC、AE是銳角△ABF的高，∴∠BCF＝∠ACD＝∠AEF＝90°，∴∠F+∠CAD＝∠F+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠CAD，在△BCF和△ACD中，，∴△BCF≌△ACD（AAS），∴CD＝CF＝2，BC＝AC＝AF﹣CF＝5，∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3．故選：B．【典例7】（2022秋?豐都縣期末）如圖，點(diǎn)E在△ABC的外部，點(diǎn)D在BC上，DE交AC于點(diǎn)F，∠2＝∠3，AE＝AC，DE＝BC．（1）求證：△ABC≌△ADE．（2）若∠2＝60°，猜想△ABD的形狀并證明．【解答】（1）證明：∵∠2+∠AFE+∠E＝180°，∴∠E＝180°﹣∠2﹣∠AFE，∵∠3+∠CFD+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠3﹣∠CFD，∵∠2＝∠3，∠AFE＝∠CFD，∴∠E＝∠C，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）解：△ABD是等邊三角形，理由如下：∵∠3＝∠2＝60°，∴∠BDE＝180°﹣∠3＝120°，∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠B＝∠ADE，∴∠B＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADE，∴∠ADB＝∠BDE＝60°，∴△ABD是等邊三角形．【變式7-1】（2023八上·金華期末）如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，CF//AB，DF交AC于點(diǎn)E，DE=EF.（1）求證：△ADE≌△CFE（2）若AB=5，CF=3，求BD的長(zhǎng).【答案】（1）證明：∵CF//AB，∴∠A=∠ECF，在ΔADE和ΔCFE中，∠A=∠ECF∠ADE=∠F∴△ADE≌△CFE（AAS）；（2）解：∵ΔADE≌ΔCFE，CF=3，∴AD=CF=3，∴BD=AB-AD=5-3=2【解析】【分析】（1）根據(jù)二直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得∠A=∠ECF，∠F=∠ADE，用AAS判斷出△ADE≌△CFE；

（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得AD=CF=3，進(jìn)而根據(jù)BD=AB-AD算出答案.【變式7-2】（2023八上·東方期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，DE⊥BC（1）求證：BA=BE；（2）若BC=12，求△DEC的周長(zhǎng).【答案】（1）證明：∵BD是∠ABC的平分線(xiàn)，∴∠ABD=∠EBD，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠A=90°，在△ABD和△EBD中，∠A=∠DEB∠ABD=∠DBE∴△ABD≌△EBD(AAS)，∴BA=BE；（2）解：∵△ABD≌△EBD，∴AD=DE，∴△DEC的周長(zhǎng)為DE+EC+CD=AD+CE+CD=AC+CE=BA+CE=BE+CE=BC=12.【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的概念可得∠ABD=∠EBD，由垂直的概念可得∠DEB=∠A=90°，利用AAS證明△ABD≌△EBD，據(jù)此可得結(jié)論；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD=DE，AB=BE，則可將△DEC的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為BC，據(jù)此解答.【變式7-3】（2023八上·南寧期末）如圖，點(diǎn)C，E，F(xiàn)，B在同一直線(xiàn)上，點(diǎn)A，D在BC異側(cè)，AB∥CD，BF=CE，∠A=∠D.（1）求證：AB=CD.（2）若AB=CF，試判斷△CDF的形狀，并說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，若∠B=30°，求∠DFB的度數(shù).【答案】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠B=∠C，∵BF=CE，∴BF+EF=CE+EF，即BE=CF，在△ABE和△DCF中，∠A=∠D∠B=∠C∴△ABE≌△DCF(AAS)，∴AB=CD；（2）解：△CDF是等腰三角形，理由如下：∵AB=CF，AB=CD，∴CD=CF，∴△CDF是等腰三角形；（3）解：∵∠B=30°，∴∠C=∠B=30°，∵CD=CF，∴∠CFD=∠D=180°-∠C∴∠DFB=180°-∠CFD=105°.【解析】【分析】（1）由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠B=∠C，估計(jì)BF=CE結(jié)合線(xiàn)段的和差關(guān)系可得BE=CF，利用AAS證明△ABE≌△DCF，據(jù)此可得結(jié)論；

（2）由已知條件可知AB=CF，結(jié)合（1）的結(jié)論可得CD=CF，據(jù)此可得△CDF的形狀；

（3）由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠B=∠C=30°，由等腰三角形的性質(zhì)以及內(nèi)角和定理可得∠CFD=∠D=75°，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.1．（2023?天府新區(qū)模擬）如圖，已知AB＝DE，AD＝CF，添加下列條件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．∠A＝∠FDE C．∠ACB＝∠DFE D．∠B＝∠E【答案】B【解答】解：∵AD＝CF，∴AD+CD＝CF+CD，即AC＝DF，又AB＝DE，添加AC＝DF，不能判定△ABC≌△DEF，故A不符合題意；添加∠A＝∠FDE，∴△ABC≌△DEF（SAS），故B符合題意；添加∠ACB＝∠DFE，不能判定△ABC≌△DEF，故C不符合題意；添加∠B＝∠E，不能判定△ABC≌△DEF，故D不符合題意；故選：B．2．（2023?雙流區(qū)模擬）如圖，在△ABC與△EBF中，若AB＝BE，BC＝BF，要使這兩個(gè)三角形全等，還需具備的條件是（）A．∠A＝∠E B．∠CBF＝∠ABF C．∠ABE＝∠CBF D．∠C＝∠F【答案】C【解答】解：添加∠A＝∠E，不能判定△ABC≌△EBF，故A不符合題意；添加∠CBF＝∠ABF，不能判定△ABC≌△EBF，故B不符合題意；添加∠ABE＝∠CBF，根據(jù)SAS可證△ABC≌△EBF，故C符合題意；添加∠C＝∠F，不能判定△ABC≌△EBF，故D不符合題意，故選：C．3．（2022?金華）如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，OA＝OD，OB＝OC，不添加輔助線(xiàn)，判定△ABO≌△DCO的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【答案】B【解答】解：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），故選：B．4．（2022?成都）如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)A，E，B，D在同一直線(xiàn)上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一個(gè)條件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D【答案】B【解答】解：∵AC∥DF，∴∠A＝∠D，∵AC＝DF，∴當(dāng)添加∠C＝∠F時(shí)，可根據(jù)“ASA”判定△ABC≌△DEF；當(dāng)添加∠ABC＝∠DEF時(shí)，可根據(jù)“AAS”判定△ABC≌△DEF；當(dāng)添加AB＝DE時(shí)，即AE＝BD，可根據(jù)“SAS”判定△ABC≌△DEF．故選：B．5．（2021?重慶）如圖，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一個(gè)條件，不能證明△ABC和△DCB全等的是（）A．∠ABC＝∠DCBB．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D【答案】B【解答】解：在△ABC和△DCB中，∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，A：當(dāng)∠ABC＝∠DCB時(shí)，△ABC≌△DCB（ASA），故A能證明；B：當(dāng)AB＝DC時(shí)，不能證明兩三角形全等，故B不能證明；C：當(dāng)AC＝DB時(shí)，△ABC≌△DCB（SAS），故C能證明；D：當(dāng)∠A＝∠D時(shí)，△ABC≌△DCB（AAS），故D能證明；故選：B．6．（2020?永州）如圖，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判斷△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【答案】A【解答】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故選：A．7．（2022?南通）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線(xiàn)上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一個(gè)條件，則這個(gè)條件可以是．【答案】AB＝DE（答案不唯一）．【解答】解：∵AB∥ED，∴∠B＝∠E，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（AAS），故答案為：AB＝DE（答案不唯一）．8．（2022?牡丹江）如圖，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使△ABC≌△DEC．【答案】CB＝CE（答案不唯一）．【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB，∵CA＝CD，CB＝CE，∴△ABC≌△DEC（SAS），故答案為：CB＝CE（答案不唯一）．9．（2022?黑龍江）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使△AOB≌△COD．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：添加的條件是OB＝OD，理由是：在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS），故答案為：OB＝OD（答案不唯一）．10．（2021?齊齊哈爾）如圖，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，應(yīng)添加的條件是．（只需寫(xiě)出一個(gè)條件即可）【答案】∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，即∠BAC＝∠EAD，∵AC＝AD，∴當(dāng)添加∠B＝∠E時(shí)，可根據(jù)“AAS”判斷△ABC≌△AED；當(dāng)添加∠C＝∠D時(shí)，可根據(jù)“ASA”判斷△ABC≌△AED；當(dāng)添加AB＝AE時(shí)，可根據(jù)“SAS”判斷△ABC≌△AED．故答案為∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．11．（2020?齊齊哈爾）如圖，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，點(diǎn)A、B、E在同一條直線(xiàn)上，若使△ABD≌△ABC，則還需添加的一個(gè)條件是．（只填一個(gè)即可）【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，∴當(dāng)添加AD＝AC時(shí)，可根據(jù)“SAS”判斷△ABD≌△ABC；當(dāng)添加∠D＝∠C時(shí)，可根據(jù)“AAS”判斷△ABD≌△ABC；當(dāng)添加∠ABD＝∠ABC時(shí)，可根據(jù)“ASA”判斷△ABD≌△ABC．故答案為AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．12．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)A、B、F在同一條直線(xiàn)上，AC與BE交于點(diǎn)D，若AB＝AC．AD＝BD，∠E＝∠F，求證：△ABE≌△CAF．【答案】證明見(jiàn)解析．【解答】解：∵AD＝BD，∴∠FAC＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS）．13．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD，連接AC，點(diǎn)M為線(xiàn)段AC上一點(diǎn)，連接BM，若AC＝BC，AB＝BM．求證：△ADC≌△CMB．【答案】見(jiàn)解答．【解答】證明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠MCB，∠D+∠BCD＝180°，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC，∵AB＝BM，∴∠BAM＝∠BMA，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝∠BCD，∴∠BMA＝∠BCD，∵∠BMA+∠BMC＝180°，∠D+∠BCD＝180°，∴∠D＝∠BMC，在△ADC和△CMB中，，∴△ADC≌△CMB（AAS）．14．（2023?增城區(qū)一模）如圖，點(diǎn)E、F在線(xiàn)段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF．求證：△ABE≌△DCF．【答案】證明見(jiàn)解析．【解答】證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS）．15．（2023?荔灣區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，連接AC．求證：△ABC≌△CDA．【答案】證明見(jiàn)解答過(guò)程．【解答】證明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（AAS）．16．（2023?碑林區(qū)校級(jí)四模）如圖，點(diǎn)E在△ABC邊AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠CED＝∠BAD．求證：△ABC≌△DEA．【答案】證明見(jiàn)解答過(guò)程．【解答】證明：∵BC∥AD，∴∠DAC＝∠C，∵∠CED＝∠BAD，∠CED＝∠D+∠DAC，∠BAD＝∠DAC+∠BAC，∴∠D＝∠BAC，在△ABC和△DEA，，∴△ABC≌△DEA（AAS）．17．（2023?化州市一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且AE＝CF．求證：△AEB≌△CFD．【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解答．【解答】證明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEA＝∠DFC＝90°，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（ASA）．18．（2023?昆明模擬）如圖，E是AB上一點(diǎn)，AC與DE相交于點(diǎn)F，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，∠A＝∠DCF．求證：△AEF≌△CDF．【答案】證明見(jiàn)解答過(guò)程．【解答】證明：∵F是AC的中點(diǎn)，∴AF＝CF，在△AEF和△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（ASA）．19．（2022秋?常州期末）已知：如圖，OA＝OB，OC＝OD，∠AOC＝∠BOD．求證：△AOD≌△BOC．【答案】見(jiàn)解析．【解答】證明：∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC+∠COD＝∠BOD+∠COD，即∠AOD＝∠BOC．在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS）．20．（2023?天河區(qū)一模）如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一直線(xiàn)上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別位于直線(xiàn)AD的兩側(cè)，且∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝DC．求證：△ABC≌△DEF．【答案】見(jiàn)解答過(guò)程．【解答】證明：∵AF＝DC，∴AF+FC＝DC+FC，即AC＝DF，在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．1．（2022秋?香洲區(qū)期末）如圖，AC＝BD，CE＝DE，AD與BC相交于點(diǎn)E，∠EAB＝∠EBA．求證：△ACB≌△BDA．【答案】證明見(jiàn)解析．【解答】證明：∵∠EAB＝∠EBA，∴EA＝EB，∵DE＝CE，∴EA+DE＝EB+CE，∴AD＝BC，在△ACB和△BDA中，，∴△ACB≌△BDA（SSS）．2．（2022秋?泉州期末）如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1＝∠2．求證：△AEC≌△BED．【答案】見(jiàn)解答．【解答】證明：∵AE和BD相交于點(diǎn)O，∴∠AOD＝∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA）．3．（2022秋?金東區(qū)期末）已知：如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線(xiàn)上，∠B＝∠EFD，∠ACB＝∠DEF，且BF＝EC．求證：△ABC≌△DFE．【答案】見(jiàn)解答．【解答】解：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（ASA）．4．（2022秋?廣饒縣校級(jí)期末）如圖，△ABC和△EFD的邊BC、DF在同一直線(xiàn)上（D點(diǎn)在C點(diǎn)的左邊），已知∠A＝∠E，AB∥EF，BD＝CF．求證：△ABC≌△EFD．【答案】見(jiàn)解析．【解答】證明：∵AB∥EF，∴∠B＝∠F，∵BD＝CF，∴BC＝DF，在△ABC與△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（AAS）．5．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)F、C在線(xiàn)段BE上，∠B＝∠E，BF＝CE，AC∥DF．求證：△ABC≌△DEF．【答案】見(jiàn)解答．【解答】證明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵BF＝CE，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．6．（2023?碑林區(qū)校級(jí)三模）如圖，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何輔助線(xiàn)的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件AB＝ED，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．并寫(xiě)出證明過(guò)程．【答案】AB＝ED．【解答】解：添加條件AB＝ED，證明如下：在Rt△ABC和Rt△EDF中，，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（ASA）．7．（2022秋?鄰水縣期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作l的垂線(xiàn)AE，BF，E，F(xiàn)為垂足，AE＝CF．求證：∠ACB＝90°．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】證明：如圖，在Rt△ACE和Rt△CBF中，，∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC＝∠BCF，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．8．（2022春?涇陽(yáng)縣期中）已知：如圖，點(diǎn)E、F在線(xiàn)段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求證：AF＝CE．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】證明：∵DE＝BF，∴DE+EF＝BF+EF；∴DF＝BE；在Rt△ADF和Rt△BCE中，∴Rt△ADF≌Rt△BCE，∴AF＝CE．9．（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在線(xiàn)段BC上，DE與AF交于點(diǎn)O，且AB＝CD，BE＝CF．求證：Rt△ABF≌Rt△DCE．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】證明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF與△DCE都為直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．10．（2022春?景泰縣校級(jí)期中）已知：如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求證：OB＝OC．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】證明：∵∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝BC，∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL）∴∠ACB＝∠DBC．∴∠OCB＝∠OBC．∴OB＝OC（等角對(duì)等邊）．11．（2021秋?鎮(zhèn)平縣期中）如圖，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．求證：BD＝EC+ED．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】證明：∵∠BAC＝90°，CE⊥AE，BD⊥AE，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°．∴∠ABD＝∠DAC．∵在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS）．∴BD＝AE，EC＝AD．∵AE＝AD+DE，∴BD＝EC+ED．12．（2022?益陽(yáng)）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于點(diǎn)E，且CE＝AB．求證：△CED≌△ABC．【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解答部分．【解答】證明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠DEC＝∠B＝90°，∵CD∥AB，∴∠A＝∠DCE，在△CED和△ABC中，，∴△CED≌△ABC（ASA）．13．（2022?樂(lè)山）如圖，B是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，AD∥BE，BD∥CE．求證：△ABD≌△BCE．【答案】見(jiàn)解答過(guò)程．【解答】證明：∵點(diǎn)B為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，∴AB＝BC，∵AD∥BE，∴∠A＝∠EBC，∵BD∥CE，∴∠C＝∠DBA，在△ABD與△BCE中，，∴△ABD≌△BCE．（ASA）．14．（2021?宜賓）如圖，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求證：△AOB≌△COD．【答案】見(jiàn)解答．【解答】證明：∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC﹣∠AOD＝∠BOD﹣∠AOD，即∠COD＝∠AOB，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS）．15．（2022秋?雄縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)，BD⊥DE于D，CE⊥DE于點(diǎn)E；（1）若B、C在DE的同側(cè)（如圖所示）且AD＝CE．求證：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的兩側(cè)（如圖所示），且AD＝CE，其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎？若是請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，∵，∴Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°．∠BAC＝180