專題13 二次函數(shù)存在性問題三角形篇分類訓(xùn)練（3種類型30道）（原卷版）

專題13二次函數(shù)存在性問題三角形篇分類訓(xùn)練（3種類型30道）目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型1存在性等腰三角形類】 1【題型2存在性直角三角形類】 5【題型3存在性等腰直角三角形類】 10【題型1存在性等腰三角形類】1．如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過B-3,0,C(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)E，使得AE+CE的值最小，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，寫出所有使△BPC為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)的過程寫出來．2．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對(duì)稱軸為直線x=-1，且經(jīng)過A(1

(1)若直線y=mx+n經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸x=-1上找一點(diǎn)M使三角形ACM(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC3．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于A-1,0，B2,0(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若F為拋物線上一點(diǎn)，連接BC，是否存在以BC為底的等腰△BCF？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過B-3,0,C(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)E，使得AE+CE的值最小，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在使△BPC為等腰三角形的點(diǎn)P，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．5．如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過B(?3，0)，C(0(1)求拋物線的解析式；(2)若直線y=mx+n經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，則m=_____________(3)在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)E，使得AE+CE的值最小，直接寫出點(diǎn)(4)設(shè)點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在使△BPC為等腰三角形的點(diǎn)P，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C（0，12），斜邊AB在x軸上，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣9，0），點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線y＝ax2+bx+12過D，C，E三點(diǎn)．

（1）當(dāng)DE∥AB時(shí)，①求拋物線的解析式；②平行于對(duì)稱軸的直線x＝m與x軸，DE，BC分別交于點(diǎn)F，H，G，若以點(diǎn)D，H，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△GHE相似，求點(diǎn)m的值．（2）以E為等腰三角形頂角頂點(diǎn)，ED為腰構(gòu)造等腰△EDI，且I點(diǎn)落在x軸上．若在x軸上滿足條件的I點(diǎn)有且只有一個(gè)時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．7．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣ax2+2ax+c與x軸相交于A（﹣1，0）、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C（0，32），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．（1）如圖1，求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)F（0，b）在y軸上，連接AF，點(diǎn)Q是線段AF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)b＝﹣2時(shí)，求四邊形CQBP面積的最大值與點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)C1與點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱．將拋物線y沿直線AD平移，平移后的拋物線記為y1，y1的頂點(diǎn)為D1，將拋物線y1沿x軸翻折，翻折后的拋物線記為y2，y2的頂點(diǎn)為D2．在（2）的條件下，點(diǎn)P平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P1，在平移過程中，是否存在以P1D2為腰的等腰△C1P1D2，若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D2的橫坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C0,12，斜邊AB在x軸上，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為-9,0，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+12過D，（1）當(dāng)DE//AB時(shí)，①求拋物線的解析式；②平行于對(duì)稱軸的直線x=m與x軸，DE，BC分別交于點(diǎn)F，H，G，若以點(diǎn)D，H，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△GHE相似，求點(diǎn)m的值．（2）以E為等腰三角形頂角頂點(diǎn)，ED為腰構(gòu)造等腰△EDG，且G點(diǎn)落在x軸上.若在x軸上滿足條件的G點(diǎn)有且只有一個(gè)時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．9．如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A(1，－3)，并經(jīng)過點(diǎn)C(2，0)．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)直線y＝3x與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B(非原點(diǎn))，求點(diǎn)B的坐標(biāo)和△AOB的面積；(3)點(diǎn)Q在x軸上運(yùn)動(dòng)，求出所有使得△AOQ是等腰三角形的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．10．如圖，拋物線y=—2x2+x+1交y軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B．P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，作直線PC⊥PO，交過點(diǎn)B垂直于x軸的直線于點(diǎn)C．過P點(diǎn)作直線MN平行于x軸，交y軸于點(diǎn)M，交過點(diǎn)B垂直于x軸的直線于點(diǎn)N．（1）求線段AB長；（2）證明：OP=PC；（3）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，設(shè)AP長為m，⊿OBC的面積為S，請(qǐng)求出S與m間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；（4）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之在直線x=1上移動(dòng)，⊿PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，直接寫出所有能使⊿PBC成為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不可能，請(qǐng)說明理由．【題型2存在性直角三角形類】11．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對(duì)稱軸為直線x=-1，且經(jīng)過A(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若直線y=mx+n經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(3)在拋物線的對(duì)稱軸x=-1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C(4)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC12．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對(duì)稱軸為直線x=-1，且拋物線經(jīng)過(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸直線x=-1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC13．如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A1,0，C0,3

(1)若直線y=mx+n經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求拋物線和直線BC的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．14．如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A-2,0，B4,0，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且OC=2OA，拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E．直線y=mx+n

(1)求拋物線及直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)F是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)FA+FC的值最小時(shí)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及FA+FC的最小值；(3)若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，試探究是否存在以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的Rt△APC，若存在，求出點(diǎn)P15．如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6a≠0相交于A12,52和B4,c，點(diǎn)P是線段AB上異于

(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在這樣的點(diǎn)P，使線段PC的長有最大值？求這個(gè)最大值；(3)是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PAC為直角三形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．16．如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A-3,0，B2,0

(1)求拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)D-2,n在拋物線上，點(diǎn)P在線段OA上，PG⊥x軸交直線OD于G，延長PG到點(diǎn)E，使EG=PG，以PE為斜邊在PE右側(cè)作等腰直角△PEF．當(dāng)點(diǎn)F正好落在拋物線上時(shí)，求P(3)直線y=12x+m與拋物線交于點(diǎn)M，N，是否存在實(shí)數(shù)m的值，使得∠MON=90°17．如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A-2,0，B4，0，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且OC=2OA，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E

(1)求拋物線及直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)F是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F使△FBC的面積最大，若有則求出點(diǎn)F坐標(biāo)及最大面積；(3)連接AC，若點(diǎn)P是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線BC上一點(diǎn)，試探究是否存在以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的Rt△PEQ，且滿足tan∠EQP=tan18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=12x-2的圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠OEF=∠BAE時(shí)，求點(diǎn)F的橫坐標(biāo)；(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．(4)拋物線上（AB下方）是否存在點(diǎn)M，使得∠ABM=∠ABO？若存在，求出點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離，若不存在，請(qǐng)說明理由．19．如圖，一次函數(shù)y=12x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，二次函數(shù)y=12x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=12x+1的圖象交于B、C(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸上找一點(diǎn)P，使|PB-PC|最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過A(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)E是直角△ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A，B除外)，過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長度最大時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下：在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【題型3存在性等腰直角三角形類】21．如圖1，已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A-2,0,B(1)求△ABC的面積；(2)如圖2，點(diǎn)P是拋物線上第一象限的一點(diǎn)，且∠PAB=∠ACO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)N是直線y=2上一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D3中探究：拋物線在x軸上方的部分上是否存在點(diǎn)M，使得△CMN是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖像與坐標(biāo)軸相交于A、B、C三點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)，連接AC、BC．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AC上以每秒2個(gè)單位長度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BA上以每秒1(1)求二次函數(shù)的解析式．(2)在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCPQ的面積最小，最小值為多少？(3)在線段AC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△MPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M23．如圖，拋物線y=ax2+bx過點(diǎn)A4,0、B1,3兩點(diǎn)，點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，過點(diǎn)B作直線BH⊥x(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積；(3)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，當(dāng)△ABP的面積為6時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)已知點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，若△CMN是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出此時(shí)△CMN的面積．24．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)將拋物線向下平移t個(gè)單位長度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△BOC內(nèi)（不包括△BOC的邊界），求t的取值范圍；(3)如圖2，設(shè)點(diǎn)P是拋物線上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線x=-4上，△PBQ能否成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．25．如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)B1,0，與y軸交于點(diǎn)A，其對(duì)稱軸為直線l：x=2，過點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的角平分線交線段AC于點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連接PE、PO，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；(3)如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．26．如圖1，拋物線y=18x2-14x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)(1)求線段BC的長度；(2)如圖2，點(diǎn)Р是線段AE上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，求PQCD(3)如圖3，將拋物線y=18x2-14x-3向左平移4個(gè)單位長度，將△DCA沿直線BC平移，平移后的△DCA記為△D27．綜合與探究：如圖1，已知拋物線y=12x2-x-4與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，直線BD與y軸相交于點(diǎn)D，交線段AC(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線BE的函數(shù)表達(dá)式；(3)如圖2，已知點(diǎn)M在該拋物線的對(duì)稱軸l上，且縱坐標(biāo)為-1，點(diǎn)P是該拋物線上位于第四象限的動(dòng)點(diǎn)，且在直線l右側(cè)，點(diǎn)Q是直線BE上的動(dòng)點(diǎn)，試探究是否存在以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形△PMQ，若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．28．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸相交于A、B、C三點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為3,0，B點(diǎn)坐標(biāo)為-1,0，連接AC、BC．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AC上以每秒2個(gè)單位長度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BA上以每秒1個(gè)單位長度向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCPQ的