2.2 等腰三角形（解析版）

2.2等腰三角形了解等腰三角形和等邊三角形的概念掌握等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)定理和判定定理掌握有一個角是30°的直角三角形的性質(zhì)知識點(diǎn)一等腰三角形概念有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形(isoscelestriangle).如圖,在△ABC中,AB=AC△ABC是等腰三角形即學(xué)即練1如圖，點(diǎn)D在AC上，AB=AC，AD=BD．你能在圖中找到幾個等腰三角形？分別說出每個等腰三角形的腰、底邊和頂角．【答案】見解析【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵AB=AC，∴△ABC為等腰三角形，△ABC中，腰：AB和AC，底邊：BC，頂角為∠A；∵AD=BD，∴△DAB為等腰三角形，△DAB中，腰：AD和BD，底邊：AB，頂角為∠ADB．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的相關(guān)定義，解題的關(guān)鍵是掌握在等腰三角形中，相等的兩條邊為腰，另外一條邊為底邊，底邊所對的角為頂角．即學(xué)即練2已知線段a，b（如圖）．用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC，使AB=AC=b，BC=a．【答案】見解析【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖方法和步驟即可進(jìn)行解答．【詳解】解：①在射線BD上，以點(diǎn)B為圓心，截取BC=a，②分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，b為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A，③連接AB,AC，△ABC即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握尺規(guī)作圖的規(guī)則．注意尺規(guī)作圖工具是沒有刻度的直尺和圓規(guī)．即學(xué)即練3求證：等腰三角形兩腰上的中線相等．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，CD，BE分別是腰AB，【答案】見解析【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AB=AC，根據(jù)中線的定義可得AD=12AB，AE=12AC，則【詳解】∵CD，BE分別是∴AD=12AB∵AB=AC（已知），∴AD=AE．在△ABE和△ACD中，AB=AC∠A=∠A∴△ABE?△ACDSAS∴BE=CD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，中線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形兩腰相等；全等三角形的判定定理有SSS,SAS,AAS,ASA,HL，全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．知識點(diǎn)二等腰三角形的對稱性當(dāng)我們沿著等腰三角形ABC的頂角平分線AD所在的直線把△ABC對折時，因?yàn)椤螧AD=∠CAD,所以射線AB與AC重合，又因?yàn)锳B=AC,所以點(diǎn)B與點(diǎn)C重合,即直線AD兩側(cè)的形能夠完全重合.因此我們有下面的結(jié)論:等腰三角形是軸對稱圖形,頂角平分線所在的直線是它的對稱軸.知識點(diǎn)三等邊三角形1.概念我們知道，三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形(equilateraltriangle).如圖,AB=BC=AC,△ABC是一個等邊三角形.2.等邊三角形于等腰三角形的關(guān)系等邊三角形是一類特殊的等腰三角形3.等邊三角形的對稱性等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸.4.常見軸對稱圖形及其對稱軸名稱圖形及其對稱軸對稱軸的條數(shù)對稱軸角1角平分線所在的直線等腰三角形1底邊上的高(頂角平分線或底邊上的中線)所在的直線等邊三角形3各邊上的高(內(nèi)角平分線或中線)所在的直線等腰梯形1上、下底的中點(diǎn)的連線所在的直線圓無數(shù)過圓心的直線正方形4①對角線所在的直線;②對邊中點(diǎn)的連線所在的直線正五邊形5頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)的連線所在的直線正六邊形6①相對的兩頂點(diǎn)的連線所在的直線;②對邊中點(diǎn)的連線所在的直線注意(1)對稱軸是一條直線,不是射線或線段.(2)一個軸對稱圖形的對稱軸可以有1條,也可以有多條,還可以有無數(shù)條(3)軸對稱圖形是對于一個圖形而言的，反映的是其自身的對稱性即學(xué)即練如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AD=AE．AP是△ABC的角平分線．點(diǎn)D，E關(guān)于AP對稱嗎？DE與【答案】點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于AP對稱，且DE∥BC．理由見解析【分析】根據(jù)AD=AE可知三角形ADE為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可進(jìn)行解答．【詳解】解：點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于AP對稱，且DE∥BC．理由如下：∵AP是∠BAC的平分線，AB=AC，AD=AE，∴等腰三角形ABC和等腰三角形ADE都是以直線AP為對稱軸的軸對稱圖形，∴點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)D和點(diǎn)E都關(guān)于AP對稱．根據(jù)“對稱軸垂直平分連結(jié)兩個對稱點(diǎn)的線段”，知AP⊥DE，AP⊥BC，∴DE∥BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形“三線合一”，對稱軸垂直平分兩個對稱點(diǎn)的連線．題型一等腰三角形的定義例1（2022秋·浙江金華·八年級校聯(lián)考期中）如果等腰三角形的兩條邊長分別為23cm和10cm，那么周長為cm【答案】56【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵等腰三角形的兩條邊長分別為23cm和10cm，∴可有兩種情況，分別是：23cm、23cm、10cm和23cm、10cm、10cm，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得23cm、23cm、10cm符合條件，所以周長為23+23+10=56cm故答案為：56．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的定義和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2023秋·浙江杭州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）等腰三角形的周長為21．(1)若已知腰長是底邊長的3倍，求各邊長．(2)若已知一邊長為6，求其他兩邊長．【答案】(1)等腰三角形的三邊長是3，9，9(2)等腰三角形其他兩邊的長為7.5，7.5或6，9【分析】（1）設(shè)底邊BC=a，則AC=AB=3a，代入求出即可；（2）分類討論，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理判斷求出的結(jié)果是否符合題意．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)底邊BC=a，則AC=AB=3a，

∵等腰三角形的周長是21，∴3a+3a+a=21，∴a=3，∴3a=9，∴等腰三角形的三邊長是3，9，9；（2）解：①當(dāng)?shù)妊切蔚牡走呴L為6時，腰長=(21-6)÷2=7.5；則等腰三角形的三邊長為6、7.5、7.5，能構(gòu)成三角形；②當(dāng)?shù)妊切蔚难L為6時，底邊長=21-2×6=9；則等腰三角形的三邊長為6，6、9，能構(gòu)成三角形．故等腰三角形其他兩邊的長為7.5，7.5或6、9．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．舉一反三2（2023·浙江金華·統(tǒng)考三模）等腰三角形的周長為10，腰長為x，求x的取值范圍【答案】2.5<x<5【分析】由等腰三角形的周長是10，腰長為x，可得底邊長為：10-2x，然后由三角形三邊關(guān)系可得2x>10-2x，由底邊大于0可得10-2x>0，繼而求得答案．【詳解】解：∵等腰三角形的周長是10，腰長為x，∴底邊長為：10-2x，∴2x>10-2x解得：2.5<x<5．故答案為：2.5<x<5．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，利用三角形的三邊關(guān)系得到關(guān)于x的不等式組是解題的關(guān)鍵．題型二確定第三邊的取值范圍例2（2023春·山西運(yùn)城·八年級統(tǒng)考期中）等腰三角形腰長為5，則其底邊長a的取值范圍為．【答案】0<a<10【分析】由已知條件腰長是5，底邊長為a，根據(jù)三角形三邊關(guān)系列出不等式，通過解不等式即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)三邊關(guān)系可知：5-5<a<5+5，即0<a<10．故答案為：0<a<10．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系的運(yùn)用．列出不等式，通過解不等式求解是正確解答本題的關(guān)鍵．舉一反三1（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鬭，b是△ABC(1)試求a，b的值，并求第三邊(2)若△ABC是等腰三角形，試求此三角形的周長．【答案】(1)1<c<7(2)10或11【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a、b的值，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可求得c的范圍；（2）分腰長為3或4兩種情況進(jìn)行計算.【詳解】（1）解：∵|a-3|+(b-4)∴a=3，b=4，∵b-a<c<b+a，∴1<c<7；（2）解：當(dāng)腰長為3時，此時三角形的三邊為3、3、4，滿足三角形三邊關(guān)系，周長為：3+3+4=10；當(dāng)腰長為4時，此時三角形的三邊長為4、4、3，滿足三角形三邊關(guān)系，周長為：4+4+3=11；綜上可知等腰三角形的周長為10或11；【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的定義，三角形三邊的關(guān)系，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023秋·浙江金華·八年級?？茧A段練習(xí)）已知在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=m．(1)求m的取值范圍；(2)若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周長．【答案】(1)2<m<14(2)20或22【分析】（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系“在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，列出不等式即可求解；（2）分兩種情況：AB為腰或AB為底，分別求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，AB-BC<AC<AB+BC，即8-6<m<8+6，∴m的取值范圍為2<m<14；（2）若△ABC是等腰三角形，則當(dāng)AB為腰時，AC=AB=8，此時，△ABC的周長為AB+AC+BC=8+8+6=22，當(dāng)AB為底時，AC=BC=6，此時，△ABC的周長為AB+AC+BC=8+6+6=20．綜上所述，△ABC的周長為20或22．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．題型三等腰三角形的對稱性例3如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC．(1)作出△ABC的對稱軸AD．(2)分別作出點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于AD的對稱點(diǎn)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，畫出△ABC底邊上的高即可；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)呼出圖形即可．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）如圖所示：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形頂角的角平分線，底邊上的高，底邊上的中線重合；等腰三角形是軸對稱圖形對稱軸是底邊上的高．對稱軸垂直平分對稱點(diǎn)的連線．舉一反三1（2021春·廣東佛山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC，利用尺規(guī)作圖，作出△ABC的對稱軸（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】作∠BAC的角平分線即可（解法不唯一，作底邊中線或高也可以）．【詳解】解：以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長度為半徑，畫弧，交AB，AC各一點(diǎn)，以這兩點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，交于∠BAC內(nèi)一點(diǎn)，過這點(diǎn)作射線AE交BC于E，如圖，直線AE即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-軸對稱變換，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解等腰三角形是軸對稱圖形．舉一反三2等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是（

）A．腰上的中線 B．腰上的高所在的直線C．頂角的平分線所在的直線 D．過頂點(diǎn)的直線【答案】C【分析】軸對稱圖形的定義和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解；等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是底邊上的中線所在的直線或頂角的角平分線所在的直線或底邊上的高所在的直線，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和軸對稱圖形的定義，熟知三線合一定理是解題的關(guān)鍵．單選題1．（2022秋·廣東廣州·八年級廣州市番禺區(qū)市橋星海中學(xué)?？计谀┤鐖D，把一張長方形的紙，按圖中虛線對折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的△ABC是（）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】依據(jù)折疊即可得到AB＝AC，進(jìn)而得出△ABC的形狀．【詳解】解：由題可得，AB與AC可重合，即AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了剪紙問題，解決這類問題要熟知軸對稱圖形的特點(diǎn)，關(guān)鍵是準(zhǔn)確的找到對稱軸．一般方法是動手操作，拿張紙按照題目的要求剪出圖案，展開即可得到正確的圖案．2．（2022春·陜西西安·八年級?？计谀┮阎鰽BC的三邊a、b、c滿足aa+c-bc-ab=0，則△ABC的形狀為（A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】先提取公因式，得到a-ba+c=0，進(jìn)而得出a-b=0，a+c≠0，即可判斷【詳解】解：∵aa+c∴aa+c∵a、b、c是△ABC的三邊，∴a-b=0，a+c≠0，∴a=b，∴△ABC的形狀為等腰三角形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)︻}目提供的式子進(jìn)行因式分解．3．（2021秋·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A2,0，B0,2，若點(diǎn)C在x軸上，且△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)為（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】分為AB=AC、BC=BA，CB=CA三種情況畫圖判斷即可．【詳解】解：如圖所示：當(dāng)AB=AC時，符合條件的點(diǎn)有2個；當(dāng)BC=BA時，符合條件的點(diǎn)有1個；當(dāng)CB=CA，即當(dāng)點(diǎn)C在AB的垂直平分線上時，符合條件的點(diǎn)有一個．故符合條件的點(diǎn)C共有4個．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋·江西宜春·八年級?？茧A段練習(xí)）已知等腰三角形一邊長為4，一邊的長為2，則等腰三角形的周長為（

）A．6 B．8 C．10 D．8或10【答案】C【分析】由于等腰三角形的底邊和腰不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：當(dāng)4為底時，其它兩邊都為2，2、2+2=4，不可以構(gòu)成三角形，舍去；當(dāng)4為腰時，其它兩邊為4和2，因?yàn)?+4>4，所以能構(gòu)成三角形，周長為4+4+2=10．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，解答此題時要注意分類討論，舍去不符合條件的情況．5．（2022秋·湖北省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期中）已知等腰三角形兩邊長為3cm和7cm，則周長為（）A．13cm B．17cm C．13cm或17cm D【答案】B【分析】分當(dāng)腰長為3cm時，當(dāng)?shù)走呴L為3cm時，根據(jù)等腰三角形的定義求出等腰三角形的三邊長，再根據(jù)構(gòu)成三角形的條件結(jié)合三角形周長公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：當(dāng)腰長為3cm時，則等腰三角形三邊長分別為3cm，3cm，7cm，∵3+3<7，∴此時不能構(gòu)成三角形；當(dāng)?shù)走呴L為3cm時，則等腰三角形三邊長分別為3cm，7cm，7cm，∵7-3<7<7+3，∴此時能構(gòu)成三角形，∴該等腰三角形的周長為7+7+3=17cm，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的定義，構(gòu)成三角形的條件，熟知三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．二、填空題1．（2022春·陜西西安·八年級?？计谥校┑妊切蝺蛇呴L分別為4和8，則該三角形第三邊長為．【答案】8【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為4和8，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【詳解】解：當(dāng)4是腰時，因4+4=8，不能組成三角形，應(yīng)舍去；當(dāng)8是腰時，4、8、8能夠組成三角形．則第三邊應(yīng)是8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江西撫州·七年級江西省臨川第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）一個等腰三角形相鄰兩個內(nèi)角的度數(shù)比是2∶5，這個等腰三角形的頂角是度．【答案】30或100【分析】本題應(yīng)分為當(dāng)頂角較小時和當(dāng)頂角較大時兩種情況，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)兩底角相等求解．【詳解】解：（1）當(dāng)頂角較小時，頂角度數(shù)是：180°×2（2）當(dāng)頂角較大時，頂角度數(shù)為：180°×5故答案為：30或100．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理．注意：在沒有說明誰大誰小的情況下應(yīng)分為兩種情況．3．（2023秋·海南?？凇て吣昙壓Ｄ先A僑中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知一個等腰三角形一條邊長4厘米，另一條邊長9厘米，那么這個等腰三角形的周長是厘米．【答案】22【分析】根據(jù)構(gòu)成三角形的條件和等腰三角形的性質(zhì)得這個等腰三角形的底邊長4厘米，腰長9厘米，即可得．【詳解】解：∵4+4<9，∴這個等腰三角形的底邊長4厘米，腰長9厘米，∴這個等腰三角形的周長是：4+9+9=22(cm)，故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)成三角形的條件，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)．4．（2023春·江西鷹潭·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B的坐標(biāo)分別為4,0，0,2，在x軸上找一點(diǎn)P，使△PAB是以線段AB為腰的等腰三角形，那么P點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】(4-5,0)或(4+【分析】由等腰三角形定義得等量關(guān)系：PA=AB,或PB=AB，設(shè)P(m,0)，得PA2=(m-4)【詳解】解：由題意，PA=AB,或PB=AB，設(shè)P(m,0)，則PA2=∴(m-4)2=20，解得，m=4+25或m=4-25或m=4故答案為：(4-5,0)或(4+【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形定義，兩點(diǎn)間距離公式，利用平方根解方程；由幾何圖形的性質(zhì)得到相等關(guān)系進(jìn)而建立方程求解是解題的關(guān)鍵．三、解答題1．（2022秋·天津·八年級?？计谥校┰陂L度為1個單位長度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上．(1)在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的△A(2)在正方形網(wǎng)格中存在個格點(diǎn)，使得該格點(diǎn)與B、C兩點(diǎn)構(gòu)成以BC為底邊的等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）分別作出△ABC關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，順次連接可得；（2）作線段BC的垂直平分線，從而得出符合條件的格點(diǎn)．【詳解】（1）如圖所示，△A（2）如圖，在正方形網(wǎng)格中存在4個格點(diǎn)，使得該格點(diǎn)與B，C點(diǎn)構(gòu)成以BC為底邊的等腰三角形．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-軸對稱變換，熟知關(guān)于直線l對稱的點(diǎn)的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2019秋·河南濮陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AB⊥