專題01 集合（8大題型）高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（解析版）

專題01集合（8大題型）高頻考點(diǎn)題型歸納【題型1集合的概念】【題型3元素與集合的關(guān)系】【題型4集合的表示方法-描述法】【題型5集合的表示方法-列舉法】【題型6根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)】【題型7利用集合元素的互異求參數(shù)】【題型8兩個(gè)集合相等求參數(shù)】【題型9根據(jù)集合元素求個(gè)數(shù)】【題型1集合的概念】【知識(shí)點(diǎn)】集合：把一些元素組成的總體叫做集合(set)，(簡(jiǎn)稱為集)，常用大寫拉丁字母A，B，C…表示。【典例1】（2022秋?博羅縣校級(jí)月考）下面給出的四類對(duì)象中，能構(gòu)成集合的是（）A．東江廣雅學(xué)校2022年入學(xué)的高一年級(jí)新生中身高較高的全體學(xué)生 B．惠州市很受歡迎的主題游樂(lè)園 C．廣東省所有的5A級(jí)風(fēng)景區(qū) D．中國(guó)全域內(nèi)較大的湖泊【答案】C【解答】解：根據(jù)集合的定義，對(duì)于A，較高的概念不確定，不能構(gòu)成集合，對(duì)于B，受歡迎的概念不確定，不能構(gòu)成集合，對(duì)于C，廣東省所有的5A級(jí)風(fēng)景區(qū)，滿足集合的確定性、無(wú)序性、互異性，能構(gòu)成集合，對(duì)于D，較大的概念不確定，不能構(gòu)成集合，故選：C．【題型訓(xùn)練1】1.（2022秋?金水區(qū)校級(jí)月考）下面給出的四類對(duì)象中，能構(gòu)成集合的是（）A．鄭州回高2022年入學(xué)的高一年級(jí)新生中身高較高的全體學(xué)生 B．鄭州市很受歡迎的主題游樂(lè)園 C．河南省所有的5A級(jí)風(fēng)景區(qū) D．中國(guó)全域內(nèi)較大的湖泊【答案】C【解答】解：根據(jù)集合的定義，對(duì)于A，較高的概念不確定，不能構(gòu)成集合，對(duì)于B，受歡迎的概念不確定，不能構(gòu)成集合，對(duì)于C，河南省所有的5A級(jí)風(fēng)景區(qū)，滿足集合的確定性、無(wú)序性、互異性，能構(gòu)成集合，對(duì)于D，較大的概念不確定，不能構(gòu)成集合，故選：C．2.（2022秋?鄧州市校級(jí)月考）下列說(shuō)法正確的是（）A．由小于8的正整數(shù)組成一個(gè)集合 B．方程|x+1|+（x﹣1）2＝0的解構(gòu)成的集合不是空集 C．由﹣1，0，1組成的集合和由﹣，1，0組成的集合不相等 D．某班中上課認(rèn)真聽講的同學(xué)能夠組成一個(gè)集合【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：對(duì)于A，小于8的正整數(shù)，符合集合的定義，能構(gòu)成集合，故A正確，對(duì)于B，|x+1|+（x﹣1）2＝0，可得|x+1|＝0，（x﹣1）2＝0，由|x+1|＝0?x＝﹣1，由（x﹣1）2＝0?x＝1，故方程|x+1|+（x﹣1）2＝0的解構(gòu)成的集合是空集，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，{﹣1，0，1}＝{﹣，1，0}，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，某班中上課認(rèn)真聽講的同學(xué)沒(méi)有明確定義，不能構(gòu)成集合，故D錯(cuò)誤，故選：A．3.（2022秋?裕華區(qū)校級(jí)月考）下列對(duì)象能構(gòu)成集合的是（）①所有很高的山峰；②方程x2+3x﹣4＝0的實(shí)根；③所有小于10的自然數(shù)；④cos60°，sin45°，cos45°．A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】B【解答】解：對(duì)于①：不滿足確定性，對(duì)于④：不滿足互異性，對(duì)于②③：符合集合的三要素原則，故選：B．4.（2022?南京模擬）下列所給的對(duì)象能構(gòu)成集合的是（3）（4）（5）．（1）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)課本上所有的難題；（2）高一（3）班的高個(gè)子；（3）英文26個(gè)字母；（4）中國(guó)古代四大發(fā)明；（5）方程x2＝﹣2的實(shí)數(shù)根．【答案】（3）（4）（5）．【解答】解：對(duì)于（1），高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)課本上所有的難題，“所有的難題”不確定，不滿足集合的確定性，故（1）不能構(gòu)成集合；對(duì)于（2），高一（3）班的高個(gè)子，“高個(gè)子”不確定，不滿足集合的確定性，故（2）不能構(gòu)成集合；對(duì)于（3），英文26個(gè)字母，是確定的且滿足互異性，故（3）能構(gòu)成集合；對(duì)于（4），中國(guó)古代四大發(fā)明，是確定的且滿足互異性，故（4）能構(gòu)成集合；對(duì)于（5），方程x2＝﹣2沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故能構(gòu)成空集，故能構(gòu)成集合的是（3）（4）（5），故答案為：（3）（4）（5）．【題型2元素與集合的關(guān)系】【知識(shí)點(diǎn)】1.元素與集合的關(guān)系（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作a∈A.（2）不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作a?A.2.集合中元素的三大特征：（1）確定性：集合中的元素是確定的，即任何一個(gè)對(duì)象都說(shuō)明它是或者不是某個(gè)集合的元素，兩種情況必居其一且僅居其一，不會(huì)模棱兩可，例如“著名科學(xué)家”，“與2接近的數(shù)”等都不能組成一個(gè)集合．（2）互異性：一個(gè)給定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出現(xiàn)相同的元素．例如不能寫成{1，1，2}，應(yīng)寫成{1，2}．（3）無(wú)序性：集合中的元素，不分先后，沒(méi)有如何順序．例如{1，2，3}與{3，2，1}是相同的集合，也是相等的兩個(gè)集合．【典例2】（2021·廣東）用符號(hào)“”或“”填空：（1）設(shè)A為所有亞洲國(guó)家組成的集合，則中國(guó)______________A，美國(guó)__________A，印度____________A，英國(guó)_____________A；（2）若，則-1_____________A；（3）若，則3________________B；（4）若，則8_______________C，9.1____________C.【答案】（1）（2）（3）（4）【解答】（1）根據(jù)國(guó)家的地理位置直接得到答案：中國(guó)，美國(guó)，印度，英國(guó)；（2），故；（3），故；（4），故；故答案為：（1）；（2）；（3）；（4）【題型訓(xùn)練2】1.用符號(hào)“∈”或“?”填空：（1）若集合P由小于的所有實(shí)數(shù)構(gòu)成，則2?P；（2）若集合Q由表示為n2+1（n∈N*）的所有實(shí)數(shù)構(gòu)成，則5∈Q．【答案】?；∈．【解答】解：因?yàn)?，故；（2）當(dāng)n＝2時(shí)，22+1，故5∈Q．故答案為：?；∈．2．（2022秋?浦東新區(qū)期末）∈R．（用符號(hào)“∈”或“?”填空）．【答案】∈．【解答】解：∈R．故答案為：∈．3.（2022秋?泗洪縣期中）已知A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，則下列判斷正確的是（）A．﹣4∈A B．4?A C．﹣7∈A D．7∈A【答案】D【解答】解：對(duì)于A，令3k+1＝﹣4，解得k＝，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，令3k+1＝4，解得k＝1∈Z，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，令3k+1＝﹣7，解得k＝，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，令3k+1＝7，解得k＝2∈Z，故D正確．故選：D．【題型3集合的表示方法-描述法】【知識(shí)點(diǎn)】在大括號(hào)內(nèi)先寫出這個(gè)集合的元素的一般形式，再劃一條豎線，在豎線后面寫上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性質(zhì)，而且凡具有性質(zhì)的元素都在集合中），這種表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示為．常見集合的表示方法①方程的解集：②不等式的解集：③函數(shù)自變量構(gòu)成的集合：④函數(shù)因變量構(gòu)成的集合：⑤函數(shù)圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合：⑥方程組的解：或⑦奇數(shù)集：⑧偶數(shù)集：⑨做題時(shí)，要認(rèn)清集合中元素的屬性（點(diǎn)集、數(shù)集、自變量、因變量···），以及元素的范圍（、、、···）.【典例3】（2022秋?川匯區(qū)校級(jí)月考）用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整數(shù)組成的集合；（2）不等式2x﹣3＞5的解集；（3）方程x2+x+1＝0的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；（4）拋物線y＝﹣x2+3x﹣6上所有點(diǎn)組成的集合；（5）集合{1，3，5，7，9}．【答案】（1）{x|x＝3k，k∈Z}；（2）{x|x＞4，x∈R}；（3）{x|x2+x+1＝0，x∈R}；（4）{（x，y）|y＝﹣x2+3x﹣6}；（5）{x|x＝2n﹣1，1≤n≤5且n∈N*}．【解答】解：（1）所有被3整除的整數(shù)組成的集合為{x|x＝3k，k∈Z}；（2）不等式2x﹣3＞5的解集為{x|x＞4，x∈R}；（3）方程x2+x+1＝0的所有實(shí)數(shù)解組成的集合為{x|x2+x+1＝0，x∈R}；（4）拋物線y＝﹣x2+3x﹣6上所有點(diǎn)組成的集合為{（x，y）|y＝﹣x2+3x﹣6}；（5）集合{1，3，5，7，9}為{x|x＝2n﹣1，1≤n≤5且n∈N*}【題型訓(xùn)練3】1.（2022?南京模擬）試描述法表示下列集合：（1）方程x2﹣x﹣2＝0的解集；（2）大于﹣1且小于7的所有整數(shù)組成的集合．【答案】（1）{x∈R|x2﹣x﹣2＝0}．（2）{x∈Z|﹣1＜x＜7}．【解答】解：（1）方程x2﹣x﹣2＝0的根可以用x表示，它滿足的條件是x2﹣x﹣2＝0，因此，用描述法表示為{x∈R|x2﹣x﹣2＝0}，（2）大于﹣1且小于7的整數(shù)可以用x表示，它滿足的條件是x∈Z且﹣1＜x＜7，因此，用描述法表示為{x∈Z|﹣1＜x＜7}【題型4集合的表示方法-列舉法】【知識(shí)點(diǎn)】將集合中的元素一一列舉出來(lái)（不考慮元素的順序），并且寫在大括號(hào)內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法，例如，方程的解的集合，可表示為，也可表示為【典例4】（2022秋?雅安期末）集合{x|﹣3＜2x﹣1＜3，x∈Z}用列舉法表示為（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1} D．{1}【答案】C【解答】解：{x|﹣3＜2x﹣1＜3，x∈Z}＝{x|﹣1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}．故選：C．【題型訓(xùn)練4】1.（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）已知集合A＝{x∈N|x2+x﹣6＝0}，則集合A可化簡(jiǎn)為（）A．{2} B．{3} C．{﹣2，3} D．{﹣3，2}【答案】D【解答】解：A＝{x∈N|x2+x﹣6＝0}＝{x∈N|（x﹣2）（x+3）＝0}＝{﹣3，2}，故選：D．2．（2021秋?合肥期末）集合{x∈N+|x﹣2＜2}用列舉法表示是（）A．{1，2，3}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3}【答案】A【解答】解：集合{x∈N+|x﹣2＜2}＝{x∈正整數(shù)|x＜4}＝{1，2，3}．故選：A．3．（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）已知集合A＝{x∈N|x2+x﹣6＝0}，則集合A可化簡(jiǎn)為（）A．{2} B．{3} C．{﹣2，3} D．{﹣3，2}【答案】D【解答】解：A＝{x∈N|x2+x﹣6＝0}＝{x∈N|（x﹣2）（x+3）＝0}＝{﹣3，2}，故選：D．4．（2022秋?保定月考）方程組的解集是（）A．{（1，1）} B．{x＝1，y＝1} C．{（x，y）（1，1）} D．（1，1）【答案】A【解答】解：方程組的解集是{（1，1）}．故選：A．5．（2022秋?呼和浩特期中）集合，用列舉法可以表示為（）A．{3，6} B．{1，2，4，5，6，9} C．{﹣6，﹣3，﹣2，﹣1，3，6} D．{﹣6，﹣3，﹣2，﹣1，2，3，6}【答案】C【解答】解：由集合，可知＝3，＝6，＝﹣6，＝﹣3，＝﹣2，＝﹣1，所以x＝1，2，4，5，6，9．所以集合＝{﹣1，﹣2，﹣3，﹣6，3，6}．故選：C．6．（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）若集合A＝{x|1≤x≤10，x為偶數(shù)}，用列舉法表示集合A＝{2，4，6，8，10}．【答案】{2，4，6，8，10}．【解答】解：因?yàn)榧螦＝{x|1≤x≤10，x為偶數(shù)}，故列舉法表示集合A＝{2，4，6，8，10}，故答案為：{2，4，6，8，10}．7．（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期中）方程x2＝9的解的集合用列舉法表示為{3，﹣3}．【答案】{3，﹣3}．【解答】解：由x2＝9可得x＝±3，所以方程解集為{3，﹣3}．故答案為：{3，﹣3}【題型5根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)】【技巧】：也要考慮集合中元素的特性：元素必須是確定的、互異性、無(wú)序性【典例5】（2022秋?梧州月考）若x∈{1，2，x2}，則x的可能值為（）A．0 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2【答案】C【解答】解：①當(dāng)x＝1時(shí)，x2＝1，此時(shí)不滿足元素的互異性，舍去，②當(dāng)x＝2時(shí)，x2＝4，此時(shí)集合為{1，2，4}，符合題意，③當(dāng)x＝x2時(shí)，x＝0或1，若x＝1，x2＝1，此時(shí)不滿足元素的互異性，舍去，若x＝0，此時(shí)集合為{1，2，0}，綜上所述，x的可能值為2或0，故選：C．【題型訓(xùn)練5】1．（2022秋?紅崗區(qū)校級(jí)月考）若a∈{1，a2﹣2a+2}，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．1 B．2 C．0 D．1或2【答案】B【解答】解：a∈{1，a2﹣2a+2}，則：a＝1或a＝a2﹣2a+2，當(dāng)a＝1時(shí)：a2﹣2a+2＝1，與集合元素的互異性矛盾，舍去；當(dāng)a≠1時(shí)：a＝a2﹣2a+2，解得：a＝1（舍去）；或a＝2；故選：B．2．（2022春?南開區(qū)期末）已知x∈{1，2，x2}，則實(shí)數(shù)x＝0或2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵x∈{1，2，x2}，分情況討論可得：①x＝1此時(shí)集合為{1，2，1}不合題意②x＝2此時(shí)集合為{1，2，4}合題意③x＝x2解得x＝0或x＝1當(dāng)x＝0時(shí)集合為{1，2，0}合題意故答案為0或2．【題型6利用集合元素的互異求參數(shù)】【知識(shí)點(diǎn)】：集合中元素的特性：給定的集合，它的元素必須是確定的、互異性、無(wú)序性【典例6】（2022秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）已知集合A＝{a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，若1∈A，求實(shí)數(shù)a的取值集合．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：因?yàn)?∈A，所以①若a+2＝1，解得a＝﹣1，此時(shí)集合為{1，0，1}，元素重復(fù)，所以不成立，即a≠﹣1．②若（a+1）2＝1，解得a＝0或a＝﹣2，當(dāng)a＝0時(shí)，集合為{2，1，3}，滿足條件，即a＝0成立．當(dāng)a＝﹣2時(shí)，集合為{0，1，1}，元素重復(fù)，所以不成立，即a≠﹣2．③若a2+3a+3＝1，解得a＝﹣1或a＝﹣2，由①②知都不成立．所以滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值集合為{0}．【題型訓(xùn)練6】1.（2023?海淀區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，若﹣3∈M，則實(shí)數(shù)m＝（）A．0 B．﹣1 C．0或﹣1 D．0或1【答案】C【解答】解：設(shè)集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，∵﹣3∈M，∴2m﹣1＝﹣3或m﹣3＝﹣3，當(dāng)2m﹣1＝﹣3時(shí)，m＝﹣1，此時(shí)M＝{﹣3，﹣4}；當(dāng)m﹣3＝﹣3時(shí)，m＝0，此時(shí)M＝{﹣3，﹣1}；所以m＝﹣1或0．故選：C．2.（2022秋?東川區(qū)校級(jí)期末）設(shè)集合A＝{2，a2﹣a+2，1﹣a}，若4∈A，則a的值為（）A．﹣1，2 B．﹣3 C．﹣1，﹣3，2 D．﹣3，2【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：集合A＝{2，a2﹣a+2，1﹣a}，4∈A，∴a2﹣a+2＝4或1﹣a＝4，當(dāng)a2﹣a+2＝4時(shí)，a＝﹣1或a＝2，若a＝﹣1，則1﹣a＝2不滿足集合中元素的互異性，故a≠﹣1，若a＝2，則集合A＝{2，4，﹣1}滿足題意，當(dāng)1﹣a＝4時(shí)，a＝﹣3，a2﹣a+2＝14，集合A＝{2，14，4}滿足題意，綜上所述，a＝2或﹣3．故選：D．3.（2022?杭州模擬）已知集合A＝{12，a2+4a，a﹣2}，﹣3∈A，則a＝（）A．﹣1 B．﹣3或﹣1 C．3 D．﹣3【答案】D【解答】解：∵﹣3∈A，∴﹣3＝a2+4a或﹣3＝a﹣2，若﹣3＝a2+4a，則a＝﹣1或a＝﹣3，當(dāng)a＝﹣1時(shí)，a2+4a＝a﹣2＝﹣3，不滿足集合中元素的互異性，故舍去，當(dāng)a＝﹣3時(shí)，集合A＝{12，﹣3，﹣5}，滿足題意，若﹣3＝a﹣2，解得a＝﹣1，由上述討論可知，不滿足題意，故舍去，綜上所述，a＝﹣3．故選：D．【題型7兩個(gè)集合相等求參數(shù)】【知識(shí)點(diǎn)】集合相等：指構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的．【典例7】（2022秋?香坊區(qū)校級(jí)月考）已知集合A＝{a，b，1}，B＝{﹣1，2，a2}，若A＝B，則a+b的值為（）A．3 B．2 C．1 D．1或3【答案】C【解答】解：因?yàn)锳＝{a，b，1}，B＝{﹣1，2，a2}，所以由A＝B，可得，解得a＝﹣1，b＝2，所以a+b＝1，故選：C．【題型訓(xùn)練7】1.（2023春?岳麓區(qū)校級(jí)月考）已知集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，則a2021+b2020＝﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：由元素的互異性可得a≠b≠1，當(dāng)ab＝1時(shí)，a2＝b，解得a＝1，舍去；當(dāng)a2＝1時(shí)，a＝﹣1，此時(shí)A＝{1，﹣1，b}，B＝{1，﹣1，﹣b}，此時(shí)A＝B需要滿足b＝﹣b，即b＝0，所以a2021+b2020＝﹣1．故答案為：﹣1．【題型8根據(jù)集合元素求個(gè)數(shù)】【技巧】：也要考慮集合中元素的特性：元素必須是確定的、互異性、無(wú)序性【典例8】（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）若A＝{0，1，2}，B＝{3，4}，M＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，則M中元素的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解答】解：A＝{0，1，2}，B＝{3，4}，M＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，則M＝{0，3，4，6，8}，所以M中元素的個(gè)數(shù)為5個(gè)．故選：C．【題型訓(xùn)練8】1．（2022秋?宜陽(yáng)縣校級(jí)月考）集合A＝的元素個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解答】解：由題意知，x，n都是16的正整數(shù)因數(shù)，故n的取