河南省鄭州市桐柏一中2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

河南省鄭州市桐柏一中2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.在下列四組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的是（）A.0.3，0.4，0.5 B.9，40，41 C.6，7，8 D.1，，【答案】B【解析】【分析】利用勾股數(shù)的定義進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、0.3，0.4，0.5不是整數(shù)，不是勾股數(shù)；B、∵，∴9、40、41是勾股數(shù)；C、，∴6，7，8不是勾股數(shù)；D、，均不是整數(shù)，∴1，，不是勾股數(shù)；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)．2.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）①實(shí)數(shù)包括有理數(shù)、無(wú)理數(shù)和零；②平方根和立方根都等于它本身的數(shù)為0和1；③不帶根號(hào)的數(shù)一定是有理數(shù)；④兩個(gè)無(wú)理數(shù)和是無(wú)理數(shù)．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】①根據(jù)實(shí)數(shù)的分類(lèi)，可得答案；②根據(jù)平方根、立方根，可得答案；③根據(jù)有理數(shù)的定義，可得答案；④根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算，可得答案．【詳解】解：①實(shí)數(shù)包括有理數(shù)、無(wú)理數(shù)，故①錯(cuò)誤；②平方根和立方根都等于它本身的數(shù)為0，故②錯(cuò)誤；③有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故③錯(cuò)誤；④兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和是可能是無(wú)理數(shù)、可能是有理數(shù)，故④錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)的分類(lèi)不能重復(fù)、不能遺漏，無(wú)理數(shù)的運(yùn)算可能是無(wú)理數(shù)、可能是有理數(shù)．3.在下列各式中，計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用合并同類(lèi)項(xiàng)，開(kāi)平方和開(kāi)立方逐一判斷即可解題.【詳解】解：A.不能合并，計(jì)算不正確；B.，計(jì)算不正確；C.，計(jì)算不正確；D.，計(jì)算正確；故選D.【點(diǎn)睛】本題考查合并同類(lèi)項(xiàng)，算術(shù)平方根，立方根，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.4.若直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為和，則斜邊上的高是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可知，再根據(jù)直角三角形面積公式即可解答．【詳解】解：∵直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為和，即，，∴，∴，∴，∴，即斜邊上的高是，故選．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，直角三角形面積的兩種計(jì)算分式，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．5.的算術(shù)平方根是（）A.2 B.±2 C.4 D.±4【答案】A【解析】【分析】由，再求出算術(shù)平方根即可．【詳解】因?yàn)?，可?的算術(shù)平方根是2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，理解算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．6.如圖，五個(gè)正方形放在直線MN上，正方形A、C、E的面積依次為3、5、4，則正方形B、D的面積之和為（）A.11 B.14 C.17 D.20【答案】C【解析】【分析】如圖：由題意可得,,，再根據(jù)全等三角形和勾股定理可得，同理可得，最后求正方形B、D的面積之和即可．【詳解】解：如圖：由題意可得：,,∴∴，∴,∴,∵，∴，∴,即,同理：;∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)各正方形之間的面積關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．7.計(jì)算的結(jié)果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式乘除混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．8.如圖，甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡(jiǎn)稱(chēng)～7）的會(huì)徽，會(huì)徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的其中，如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去，那么，，…，這些線段中有多少條線段的長(zhǎng)度為正整數(shù)（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】本題考查了勾股定理的靈活運(yùn)用，找到的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可求得到的值分別為，，，…，，從而可計(jì)算到中長(zhǎng)度為正整數(shù)的個(gè)數(shù)．【詳解】∵，，，，……，∴，，∴到的值分別為，，，…，，其中正整數(shù)為，，，，，∴，，…，這些線段中有5條線段的長(zhǎng)度為正整數(shù)．故選：C9.我國(guó)明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家提出一道“蕩秋千”的數(shù)學(xué)問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉，良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”其意思為：如圖所示，當(dāng)秋千靜止在地面上時(shí)，秋千的踏板離地的距離為一尺（尺），將秋千的踏板往前推兩步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板與人一樣高，這個(gè)人的身高為五尺（尺），求這個(gè)秋千的繩索有多長(zhǎng)？（）A.12尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】C【解析】【分析】設(shè)繩索有x尺長(zhǎng)，此時(shí)繩索長(zhǎng)，向前推出的10尺和秋千的上端的端點(diǎn)，垂直地面的線可構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理可求解．【詳解】解：設(shè)繩索有x尺長(zhǎng)，則，解得：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．10.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，，，若，則的值是（）A B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】設(shè)其中一個(gè)直角三角形的面積為x，則，再根據(jù)，可得答案．【詳解】解：設(shè)其中一個(gè)直角三角形的面積為，則，，，，，的值是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，圖形面積的關(guān)系，表示出和是解題的關(guān)鍵．二、填空題11.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)比大且比小的無(wú)理數(shù)：_________________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義即可寫(xiě)出答案．【詳解】，且為無(wú)理數(shù)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的比較，牢記無(wú)理數(shù)的定義（無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)）是解題的關(guān)鍵．12.如圖，，，，一個(gè)小球從點(diǎn)A處出發(fā)，沿著方向勻速滾向點(diǎn)O，機(jī)器人同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，沿直線勻速去攔截小球，恰好在C處截住了小球，如果小球與機(jī)器人的速度相同，那么機(jī)器人行走的路程的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等得出．設(shè)為x，則，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，∴．設(shè)為x，則，由勾股定理得：，又∵，，∴，解方程得出．∴機(jī)器人行走的路程是5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查是勾股定理的應(yīng)用，熟知勾股定理，并根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵．13.實(shí)數(shù)m，n在數(shù)軸上的位置如圖，化簡(jiǎn)：________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置可得，則，據(jù)此化簡(jiǎn)二次根式和絕對(duì)值即可得到答案．【詳解】解：由題意得，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，化簡(jiǎn)二次根式，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，正確判斷出是解題的關(guān)鍵．14.比較大小______．（填“>”或“<”）【答案】>【解析】【分析】先用減去，再進(jìn)行整理，然后兩邊平方得出與0的大小關(guān)系，最后進(jìn)行移項(xiàng)，即可得出答案．【詳解】解：∵，又∵，∴，∴，故答案為：>．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較，解題的關(guān)鍵是通過(guò)移項(xiàng)、平方比較出與0的關(guān)系，再根據(jù)兩個(gè)正數(shù)中絕對(duì)值大的數(shù)大，兩個(gè)負(fù)數(shù)中絕對(duì)值大的反而小進(jìn)行解答．15.如圖，在中，，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接交于，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)是______．【答案】5或2【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用及等腰直角三角形的性質(zhì)．當(dāng)時(shí)，先求出及的長(zhǎng)，再在中利用勾股定理求出；當(dāng)時(shí)，作，證明出為等腰直角三角形即可求出即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖，，，，，，由折疊得，，，設(shè)，，在中，，，即；當(dāng)時(shí)，如圖，作，，，，，，．故答案為：5或2．三、解答題16.計(jì)算：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再合并，即可；（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪化簡(jiǎn)，再計(jì)算，即可．【小問(wèn)1詳解】解：【小問(wèn)2詳解】解：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．17.已知一個(gè)正數(shù)的平方根是和．（1）求出的值；（2）求這個(gè)正數(shù)；（3）求的平方根．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)平方根的特征得出，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（2）先求出的值，再平方即可得到答案；（3）先計(jì)算出的值，再求出的平方根即可．【小問(wèn)1詳解】解：∵一個(gè)正數(shù)的平方根是和，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】解：，這個(gè)正數(shù)為；【小問(wèn)3詳解】解：，，∴的平方根是．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、平方根、算術(shù)平方根，注意：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)．18.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．（1）四邊形的周長(zhǎng)=________；（2）四邊形的面積=________；（3）是直角嗎？判斷并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）13（3）是，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出、、的長(zhǎng)，再求出周長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)圖形得知的面積等于矩形的面積減去3個(gè)直角三角形的面積，根據(jù)面積公式求出即可；（3）根據(jù)勾股定理逆定理可判斷的形狀．【小問(wèn)1詳解】由勾股定理得：，，，∵，∴四邊形的周長(zhǎng)，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】四邊形的面積，故答案為：9；【小問(wèn)3詳解】是直角，理由是：連接，由勾股定理得：，∵，∴，∴，即是直角．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及其逆定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是善于把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．19.如圖，一輛小汽車(chē)在一條限速的公路上沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路面車(chē)速檢測(cè)儀的正前方處的點(diǎn)，過(guò)了后，測(cè)得小汽車(chē)所在的點(diǎn)與車(chē)速檢測(cè)儀之間的距離為．（1）求，間的距離；（2）這輛小汽車(chē)超速了嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）沒(méi)有超速，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用勾股定理代入數(shù)據(jù)即可求得答案．（2）先根據(jù)，間的距離求得小汽車(chē)在內(nèi)行駛的速度，再和限速比較大小即可．【小問(wèn)1詳解】解：在中，由，，且為斜邊，根據(jù)勾股定理可得．答：，間的距離為．【小問(wèn)2詳解】解：這輛小汽車(chē)沒(méi)有超速，理由如下：，而，，所以這輛小汽車(chē)沒(méi)有超速．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．20.我們知道．是一個(gè)無(wú)理數(shù)，將這個(gè)數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．即的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是，請(qǐng)回答以下問(wèn)題：（1）的整數(shù)部分是_________，的小數(shù)部分是_________；（2）若是的整數(shù)部分，是的小數(shù)部分，求的平方根；（3）若，其中是整數(shù)，且，求的值．【答案】（1）3，（2）（3）11【解析】【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算、求平方根以及求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是掌握無(wú)理數(shù)的大小估算方法．（1）確定的整數(shù)部分，即可確定它的小數(shù)部分；確定的整數(shù)部分，即可確定的整數(shù)部分，從而確定的小數(shù)部分；（2）確定的整數(shù)部分，即知a的值，同理可確定的整數(shù)部分，從而求得它的小數(shù)部分，即b的值，則可以求得代數(shù)式+1的值，從而求得其平方根；（3）由得即，從而得，y=，將x、y的值代入原式即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：∵，∴的整數(shù)部分為3，∴的小數(shù)部分為，∵，∴，∴即，∴的整數(shù)部分為1，∴的小數(shù)部分為，【小問(wèn)2詳解】∵，a是的整數(shù)部分，∴，∵，∴的整數(shù)部分為1，∵b是的小數(shù)部分，∴，∴∵9的平方根等于，∴的平方根等于；【小問(wèn)3詳解】∵，∴即，∵，其中x是整數(shù)，且，∴，y=，∴．21.如圖，于點(diǎn)B，于點(diǎn)A，點(diǎn)E是中點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．【答案】的長(zhǎng)為12．【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，根據(jù)垂直定義可得，從而可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，從而根據(jù)證明，再利用全等三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，最后在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，如圖：∵，∴，∴，∴，∵點(diǎn)E是中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，在中，，∴，∴的長(zhǎng)為．22.閱讀材料：把根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，若能找到兩個(gè)數(shù)m、n，是且，則把變成開(kāi)方，從而使得化簡(jiǎn)．如：解答問(wèn)題：（1）填空：______．（2）化簡(jiǎn)：（請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)材料提供計(jì)算步驟，把化為，根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)材料提供計(jì)算步驟，把化為，根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)材料提供計(jì)算步驟，對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)行計(jì)算即可．【小問(wèn)1詳解】解：；故答案為：；【小問(wèn)2詳解】；故答案為：；【小問(wèn)3詳解】故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)，解題關(guān)鍵是根據(jù)材料提供計(jì)算步驟，分析其是利用完全平方公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，同時(shí)運(yùn)用分母有理化進(jìn)行裂項(xiàng)相消．23.已知△ABC是等腰直角三角形，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰Rt△PCQ，∠PCQ＝90°．探究并解決下列問(wèn)題：（1）如圖1，若點(diǎn)P在線段AB上，且AC＝1+，PA＝，求線段PC的長(zhǎng)．（2）如圖2，若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，猜想PA2、PB2、PC2之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）若動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的值為．【答案】（1）2；（2）AP2+BP2＝PQ2．理由見(jiàn)解析；（3）或．【解析】【分析】（1）在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)PA的長(zhǎng)，可求得PB的長(zhǎng)；過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，從而可求得CD、PD的長(zhǎng)，然后在Rt三角形CDP中依據(jù)勾股定理可求得PC的長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，則AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DP-BD）=（PD-DC），可證明AP2+BP2=2PC2，因?yàn)樵赗t△PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的結(jié)論；（3）根據(jù)點(diǎn)P所在的位置畫(huà)出圖形，然后依據(jù)題目中的比值關(guān)系求得PD的長(zhǎng)（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：（1）如圖①所示：∵