高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)矩陣與變換第2課時(shí)逆變換與逆矩陣矩陣的特征值4-2

選修4－2矩陣與變換第2課時(shí)逆變換與逆矩陣、矩陣的特征值與特征向量(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(理)189～191頁(yè))考情分析考點(diǎn)新知①掌握二階矩陣存在逆矩陣的條件，并能進(jìn)行矩陣的運(yùn)算.②求二階矩陣的特征值和特征向量，利用特征值和特征向量進(jìn)行矩陣運(yùn)算．①理解逆矩陣的意義，掌握二階矩陣存在逆矩陣的條件，并能進(jìn)行矩陣的運(yùn)算.②會(huì)求二階矩陣的特征值和特征向量，會(huì)利用矩陣求解方程組．會(huì)利用特征值和特征向量進(jìn)行矩陣運(yùn)算.1.設(shè)M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,1,1,0)))，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,\f(1,2))))，求MN.解：MN＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,1,1,0)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,\f(1,2))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,\f(1,2),1,0))).2.已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,2,7,3)))，若矩陣M的逆矩陣M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(b,－2,－7,a)))，求a、b的值．解：由題意，知MM－1＝E，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,2,7,3)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(b,－2,－7,a)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,1)))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(ab－14,0,7b－21,3a－14)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,1)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab－14＝1，,7b－21＝0，,3a－14＝1，))解得a＝5，b＝3.3.求矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,2,－1,2)))的特征多項(xiàng)式．解：f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－1,－2,1,λ－2)))＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.4.(選修42P73習(xí)題第1題改編)求矩陣M＝[eq\a\vs4\ac\hs10\co2(1,6,－2,－6)]的特征值．解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－1,－6,2,λ＋6)))＝(λ＋2)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得M的特征值為λ1＝－2，λ2＝－3.5.(選修42P73習(xí)題第1題改編)求矩陣N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(3,6,5,2)))的特征值及相應(yīng)的特征向量．解：矩陣N的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－3,－6,－5,λ－2)))＝(λ－8)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得N的特征值為λ1＝－3，λ2＝8，當(dāng)λ1＝－3時(shí)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－6x－6y＝0，,－5x－5y＝0，))一個(gè)解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1，))故特征值λ1＝－3的一個(gè)特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－1,1)))；當(dāng)λ2＝8時(shí)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x－6y＝0，,－5x＋6y＝0，))一個(gè)解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝5，))故特征值λ2＝8的一個(gè)特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6,5)).1.逆變換與逆矩陣(1)對(duì)于二階矩陣A、B，若有AB＝BA＝E，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣．(2)若二階矩陣A、B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且(AB)－1＝B－1A－1(3)利用行列式解二元一次方程組．2.特征值與特征向量(1)設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，如果對(duì)于實(shí)數(shù)λ，存在一個(gè)非零向量α，使Aα＝λα，那么λ稱為A的一個(gè)特征值，而α稱為A的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量．(2)從幾何上看，特征向量的方向經(jīng)變換矩陣A的作用后，保持在同一條直線上，這時(shí)特征向量或者方向不變(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特別地，當(dāng)λ＝0時(shí)，特征向量就變換成零向量．[備課札記]題型1求逆矩陣與逆變換例1用解方程組的方法求下列矩陣M的逆矩陣．(1)M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,1,0,1)))；(2)M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,2,2,1))).解：(1)設(shè)M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))，則由定義知eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,1,0,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,1)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋c＝1，,b＋d＝0，,c＝0，,d＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,c＝0，,d＝1，))故M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,－1,0,1))).(2)設(shè)M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))，則由定義知eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,2,2,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,1)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2c＝1，,b＋2d＝0，,2a＋c＝0，,2b＋d＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,3)，,b＝\f(2,3)，,c＝\f(2,3)，,d＝－\f(1,3)，))故M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－\f(1,3),\f(2,3),\f(2,3),－\f(1,3)))).eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,－3,1,－1)))所對(duì)應(yīng)的線性變換把點(diǎn)A(x，y)變成點(diǎn)A′(13，5)，試求M的逆矩陣及點(diǎn)A的坐標(biāo)．解：依題意，由M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,－3,1,－1)))，得|M|＝1，則M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,3,－1,2))).從而由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,－3,1,－1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(13,5)))，得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,3,－1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(13,5)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1×13＋3×5,－1×13＋2×5))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2,－3)))，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－3，))∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－3)．題型2求特征值與特征向量例2已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,a,2,1)))，其中a∈R，若點(diǎn)P(1，－2)在矩陣M的變換下得到點(diǎn)P′(－4，0)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求矩陣M的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量．解：(1)由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,a,2,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1,－2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－4,0)))，得2－2a＝－4a＝3.(2)由(1)知M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,3,2,1)))，則矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－2,－3,－2,λ－1)))＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩陣M的特征值為－1與4.當(dāng)λ＝－1時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（λ－2）x－3y＝0，,－2x＋（λ－1）y＝0))x＋y＝0，∴矩陣M的屬于特征值－1的一個(gè)特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1,－1)))；當(dāng)λ＝4時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（λ－2）x－3y＝0，,－2x＋（λ－1）y＝0))2x－3y＝0.∴矩陣M的屬于特征值4的一個(gè)特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3,2))).eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)已知M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,2,2,1)))，β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1,7)))，計(jì)算M5β.解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－1,－2,－2,λ－1)))＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，從而求得對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量分別為α1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))，α2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1)).令β＝mα1＋nα2，則m＝4，n＝－3.M5β＝M5(4α1－3α2)＝4(M5α1)－3(M5α2)＝4(λeq\o\al(5,1)α1)－3(λeq\o\al(5,2)α2)＝4×35eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))－3×(－1)5eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(975,969)).題型3根據(jù)特征值或特征向量求矩陣?yán)?矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,1,0,2)))有特征向量為e1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))，e2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))，(1)求e1和e2對(duì)應(yīng)的特征值；(2)對(duì)向量α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4,1))，記作α＝e1＋3e2，利用這一表達(dá)式間接計(jì)算M4α，M10α.解：(1)設(shè)向量e1、e2對(duì)應(yīng)的特征值分別為λ1、λ2，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,1,0,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝λ1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,1,0,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))＝λ2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))，故λ1＝2，λ2＝1，即向量e1，e2對(duì)應(yīng)的特征值分別是2，1.(2)因?yàn)棣粒絜1＋3e2，所以M4α＝M4(e1＋3e2)＝M4e1＋3M4e2＝λeq\o\al(4,1)e1＋3λeq\o\al(4,2)e2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(19,16))，M10α＝M10(e1＋3e2)＝M10e1＋3M10e2＝λeq\o\al(10,1)e1＋3λeq\o\al(10,2)e2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(210＋3,210))).eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,0,0,－1)))有特征向量eq\o(e1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1,0)))，eq\o(e2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,1))，相應(yīng)的特征值為λ1，λ2.(1)求矩陣M的逆矩陣M－1及λ1，λ2；(2)對(duì)任意向量eq\o(α,\s\up6(→))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，求M100eq\o(α,\s\up6(→)).解：(1)由矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,0,0,－1)))變換的意義知M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(\f(1,2),0,0,－1)))，又Meq\o(e1,\s\up6(→))＝λ1eq\o(e1,\s\up6(→))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,0,0,－1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))＝λ1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))，故λ1＝2，同理Meq\o(e2,\s\up6(→))＝λ2eq\o(e2,\s\up6(→))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,0,0,－1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0,1)))＝λ2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0,1)))，故λ2＝－1.(2)因?yàn)閑q\o(α,\s\up6(→))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝xeq\o(e1,\s\up6(→))＋yeq\o(e2,\s\up6(→))，所以M100eq\o(α,\s\up6(→))＝M100(xeq\o(e1,\s\up6(→))＋y·eq\o(e2,\s\up6(→)))＝xM100eq\o(e1,\s\up6(→))＋yM100eq\o(e2,\s\up6(→))＝xλeq\o\al(100,1)eq\o(e1,\s\up6(→))＋yλ2100eq\o(e2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2100x,y))).1.求函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,cosx,sinx,－1)))的值域．解：f(x)＝－2－sinxcosx＝－2－eq\f(1,2)sin2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(3,2))).2.已知矩陣A的逆矩陣A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－\f(1,4),\f(3,4),\f(1,2),－\f(1,2))))，求矩陣A的特征值．解：∵A－1A＝E，∴A＝(A－1)－1.∵A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－\f(1,4),\f(3,4),\f(1,2),－\f(1,2))))，∴A＝(A－1)－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,3,2,1))).∴矩陣A的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－2,－3,－2,λ－1)))＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得矩陣A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3.(2013·江蘇)已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,0,0,2)))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,2,0,6)))，求矩陣A－1B.解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,0,0,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,1)))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－a,－b,2c,2d)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,1)))，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝eq\f(1,2).∴矩陣A的逆矩陣為A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,0,0,\f(1,2))))，∴A－1B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,0,0,\f(1,2))))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,2,0,6)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,－2,0,3))).4.設(shè)曲線2x2＋2xy＋y2＝1在矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,0,b,1)))(a>0)對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x2＋y2＝1.(1)求實(shí)數(shù)a、b的值；(2)求A2的逆矩陣．解：(1)設(shè)曲線2x2＋2xy＋y2＝1上任一點(diǎn)P(x，y)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下的象是P′(x′，y′)，由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,0,b,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(ax,bx＋y)))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝ax，,y′＝bx＋y.))因?yàn)镻′(x′，y′)在圓x2＋y2＝1上，所以(ax)2＋(bx＋y)2＝1，化簡(jiǎn)可得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1，依題意可得a2＋b2＝2，2b＝2a＝1，b＝1或a＝－1，b＝1，而由a>0可得a＝b＝1.(2)由(1)A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,1,1)))，A2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,1,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,1,1)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,2,1)))|A2|＝1，(A2)－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,－2,1))).1.已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,a1))，若點(diǎn)P(1，1)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)P′(0，－8)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求矩陣A的特征值．解：(1)由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,a1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－8))，得a＋1＝－8，所以a＝－9.(2)由(1)知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,－91))，則矩陣A的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－11,9λ－1))＝(λ－1)2－9＝λ2－2λ－8，令f(λ)＝0，所以矩陣A的特征值為－2或4.2.已知M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,－1,－4,3)))，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(4,－1,－3,1)))，求二階方陣X，使MX＝N.解：(解法1)設(shè)X＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(x,y,z,w)))，據(jù)題意有eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,－1,－4,3)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(x,y,z,w)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(4,－1,－3,1)))，根據(jù)矩陣乘法法則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－z＝4，,2y－w＝－1，,－4x＋3z＝－3，,－4y＋3w＝1.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,2)，,y＝－1，,z＝5，,w＝－1，))所以X＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(\f(9,2),－1,5,－1))).(解法2)因?yàn)镸X＝N，所以X＝M－1N，M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(\f(3,2),\f(1,2),2,1))).所以X＝M－1N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(\f(3,2),\f(1,2),2,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(4,－1,－3,1)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(\f(9,2),－1,5,－1))).3.已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,a,2,1)))，其中a∈R，若點(diǎn)P(1，－2)在矩陣M的變換下得到點(diǎn)P′(－4，0)，求實(shí)數(shù)a的值；并求矩陣M的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量．解：由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,a,2,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1,－2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－4,0)))，∴2－2a＝－4a＝3.∴M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,3,2,1)))，則矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－2,－3,－2,λ－1)))＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4令f(λ)＝0，得矩陣M的特征值為－1與4.當(dāng)λ＝－1時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（λ－2）x－3y＝0,－2x＋（λ－1）y＝0))x＋y＝0，∴矩陣M的屬于特征值－1的一個(gè)特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1,－1)))；當(dāng)λ＝4時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（λ－2）x－3y＝0,－2x＋（λ－1）y＝0))2x－3y＝0，∴矩陣M的屬于特征值4的一個(gè)特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3,2))).4.設(shè)矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,0,0,b)))(其中a>0，b>0)．(1)若a＝2，b＝3，求矩陣M的逆矩陣M－1；(2)若曲線C：x2＋y2＝1在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′：eq\f(x2,4)＋y2＝1，求a、b的值．解：(1)設(shè)矩陣M的逆矩陣M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(x1,y1,x2,y2)))，則MN－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,1))).又M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,0,0,3)))，所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,0,0,3)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(x1,y1,x2,y2)))＝eq\b\lc\[