人教版七年級數(shù)學上冊　全冊教學講義

目錄

第一講有理數(shù)的概念和數(shù)軸..............................................................................1

第二講有理數(shù)的計算....................................................................................6

第三講數(shù)軸與絕對值...................................................................................12

第四講整式的概念及加減...............................................................................17

第五講簡單的整式化簡求值.............................................................................22

第六講整體代入與化簡求值.............................................................................25

第七講期中檢測.......................................................................................27

第八講定義新運算與找規(guī)律（二）.......................................................................27

第九講一元一次方程...................................................................................32

第十講一元一次方程...................................................................................39

第十一講一元一次方程的應(yīng)用...........................................................................45

第十二講立體圖形.....................................................................................51

第十三講線段計算.....................................................................................56

第十四講角度計算.....................................................................................66

第十五講期末檢測.....................................................................................73

1

第一講有理數(shù)的概念和數(shù)軸

【知識點一】相反意義的量，正分數(shù)，有理數(shù)概念與分類

筆記：我們將0作為正負數(shù)的分界線.

正數(shù):大于0的數(shù).

負數(shù):正數(shù)前面加上負號的數(shù).

練習：下列數(shù)哪些是正數(shù)，哪些是負數(shù)？

①140()②-12()③+36%()@0()

注意：①正數(shù)前的“+”號可省略不寫.②負數(shù)前的“一”號不可省略.③0既不是負數(shù)也不是正數(shù).

有理數(shù)的分類：(1)按符號分：(2)按定義分

■［正整數(shù)

1正有叫正整屋數(shù)

整數(shù)0

有理數(shù)0有理數(shù)負整數(shù)

々右屈就/負整數(shù)

f正分數(shù)

負有理麴々八皿分數(shù)1

負分數(shù)

11負分數(shù)

練習：以下個數(shù)是否為有理數(shù).

①罡()②0.6()③0.3()

3

注意：(1)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)均可寫成分數(shù)形式，所以它們也為有理數(shù).

(2),史是整數(shù)，不是分數(shù).

379

四非：①非負數(shù)：正數(shù)和0②非正數(shù)：分數(shù)和0

③非負整數(shù)：正整數(shù)和0④非正整數(shù)：負整數(shù)和0

35

練習：在下列數(shù)-士，+10,3,8,-11,0,—,-6,-:中’屬于非負整數(shù)的個數(shù)有個?

423

例1.請將下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi):

7355?

一一,1.01001000L0,加,—,-2626626662..(每2個2之間依次多一個6),-012

4113

正數(shù)集合：{);

負數(shù)集合：｛);

正分數(shù)集合：｛);

負分數(shù)集合：｛);

有理數(shù)集合：｛};

2

（2）下列說法正確的是（）

A.有最小的負整數(shù)，有最大的正整數(shù)B.有最小的負數(shù)，沒有最大的正數(shù)

C.有最大的負數(shù)，沒有最小的正數(shù)D.沒有最大的有理數(shù)和最小的有理數(shù)

練習1-1.（1）3.1415926是（）

A.整數(shù)B.分數(shù)

C.無限循環(huán)小數(shù)D.非正數(shù)

（2）下列說法正確的是（）

A.整數(shù)分為正整數(shù)和負整數(shù)B.分數(shù)分為正分數(shù)和負分數(shù)

C.一個有理數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)D.0是整數(shù)，但不是最小的非負數(shù)

練習1-2.下列說法正確的是（）

A.一個數(shù)前面加上”-“號，這個數(shù)就是負數(shù)B.非負數(shù)就是正數(shù)

C.正數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)D.0既不是正數(shù)也不是負數(shù)

【知識點二】數(shù)軸的概念與性質(zhì)

數(shù)軸：規(guī)定了,和的直線.

注意：①原點：用0表示②正方形：通常向右為正③單位長度：0和1之間的長度

原點、正方向、單位長度統(tǒng)稱為數(shù)軸的三要素.

III1IIIII

-4-3-2-101234

性質(zhì)：（1）所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示.

（2）原點左側(cè)是負數(shù),右側(cè)是正數(shù)，從左到右數(shù)字依次增大.

練習：（1）把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，再比較大小.

—5，2?7,—,-7C........

3IIIIIIIII

-4-3-2-101234

（2）如果數(shù)軸上的點A到原點的距離為4,點B到原點的距離為5,那么兩點的距離為.

（3）小明寫作業(yè)時不慎將墨水滴在數(shù)軸上，根據(jù)圖中的數(shù)值，判定墨跡蓋住部分的整數(shù)共

例2.有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則。+匕的值（）

-1—?----A

a01h

A.大于0B.小于0C.小于“D.大于b

3

(2)有理數(shù)小〃在數(shù)軸上的位置如圖，則下面的關(guān)系式中正確的個數(shù)為()

@a-b>0；②Q+5>0；③他>0；④同一網(wǎng)>0；(§)—>—；⑥一@>0；

abh

______I??_____

b_0___a

A.2個B.3個C.4個D.5個

練習2-1.在數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)分別為mb,且點A在點B的左邊，下列結(jié)論一定正確的是()

A.a+h<0B.a+Z?>0C.a—b<0D.a-b>0

練習2-2.數(shù)a、b在數(shù)軸上位置如圖，下列結(jié)論正確的有(填序號).

①。+/?>0；②a<-Z?；@a2b>0；④----/<。；⑤一<:；

a-bab

______ii[

-h0a-

例3.(1)數(shù)軸上一對應(yīng)的數(shù)是3的點A,沿著數(shù)軸某一方向移動了5個單位，則此時點A所對應(yīng)的

數(shù)為.

(2)一個小蟲在數(shù)軸上先向右爬2個單位，再向左爬6個單位，所在位置正好距離數(shù)軸原點2個單

位，則小蟲的起始位置所表示的數(shù)是()

A.6B.-2C.2或6D.-2或4

(3)一個跳蚤在一條直線上，從0點開始，第1次向右跳1個單位，緊接著第2次向左跳2個單位,

第3次向右跳3個單位，第4次向左跳4個單位，依此規(guī)律跳下去，當它跳第2015次落下時，則落

點處離0點的距離為.(用單位表示).

練習3-1.(1)數(shù)軸上點A表示的數(shù)是T,點B到點A的距離為2個單位，則B點表示的數(shù)是.

(2)點A1,A2，A3，...,A“(〃為正整數(shù))都在數(shù)軸上，點A在原點0的左邊且AQ=1；點A?在點4的

右邊且A2Al=2；點A3在點A2的左邊且AC?=3；點A4在點A3的右邊且A4A$=4,…，依照上述

規(guī)律，點所表示的數(shù)為.

練3-2.(1)如圖，數(shù)軸上一動點A向左移動2個單位長度到達點B,再向右移動5個單位長度到達

點C.若點C表示的數(shù)為1,則點A表示的數(shù)為()

_______5：

_____?I。r

B.4。

A.7B.3C.-3D.-2

(2)在數(shù)軸上點A表示1,現(xiàn)將點A沿數(shù)軸做如下移動：第一次點A向左移動3個單位長度到達點A,,

第二次將點A向右移動6個單位長度到達點第三次將點為向左移動9個單位長度到達點按

照這種移動規(guī)律移動下去，則線段3A的長度是.

4

【知識點三】相反數(shù)的概念與性質(zhì)

相反數(shù)代數(shù)定義：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù).特別的，0的相反數(shù)是0.

相反數(shù)幾何定義:分布在原點兩側(cè),且到原點距離相等.

常見考點：

(1)a的相反數(shù)為-a.

(2)若a,b互為相反數(shù).則a+b=0

(3)多重符號化簡：奇負偶正

練習：①正數(shù)和負數(shù)互為相反數(shù)()②相反數(shù)等于其本身的只有0()

③a的相反數(shù)是負數(shù)()④若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則他們異號()

練習：若3x+l是8的相反數(shù)，則犬=—分析：3x+l是8的相反數(shù)一3x+l=-8-x=-3

練習:b在數(shù)軸上的位置如圖，請比較a,b,~a,的大小關(guān)系.

例4.(1)小明竟然不知道(|-1|-1)的相反數(shù)是什么，他在學校一定沒有好好學習.你認為(|-2017|

-2017)的相反數(shù)是()

A.4030B.-4030C.0D.2015

(2)若a+Z?=O,b—c=O,c+d=0,d+e=O,e+/=O,則a,〃這六個字母中，與。為相反數(shù)的一

定有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

練習4-1.(1)下面說法正確的是()

A.正數(shù)和負數(shù)互為相反數(shù)B.相反數(shù)等于它本身的數(shù)只有0

C.。的相反數(shù)是負數(shù)D.若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則它們異號

(2)若2x+l是-9的相反數(shù)，則無=.

練習4-2.(1)如果?；橄喾磾?shù)，且bWO,則式子。+人在，時一忖的值分別為()

A.0,1,2B.1,0,1C.1,-1,0D.0,-1,0

(2)已知，與g互為相反數(shù)，且P#0,那么下列關(guān)系式正確的是()

A.p-q=lB.—=-1C.p+q=lD.p-q=Q

P

5

【知識點四】絕對值的概念及性質(zhì)

絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)。的點與度點的距離叫做a的絕對值，記作

a,a>0

絕對值的性質(zhì)：記a,b為有理數(shù)則有：①非負性：|?|>0②時=<0,a=0

-a,a<0

③若a,b互為相反數(shù)，|4=用注意：若時=網(wǎng)，則a=b或a=-b

練習：(1)絕對值越大、這個數(shù)就越大(x)

(2)-同一定是負數(shù)(x)

(3)若|a|+a=0,則?<0(7)

(4)若一個數(shù)小于它的絕對值，則這個數(shù)為負數(shù)(4)

練習：若卜一:+>+；=0，則k+y卜.

練習：已知有理數(shù)a,0,c滿足回+超+0=-1,求四的值.

abcabc

分析：只有當a,"c滿足兩負一正時，才能使@+@+艮=-1成立，故。兒>0,畋1=-1.

abcabc

注意：多個絕對值相加，可以按正數(shù)個數(shù)分類討論.

例5.(1)1不是T的()

A.絕對值B.相反數(shù)C.倒數(shù)D.平方數(shù)

(2)一個數(shù)的相反數(shù)和它的絕對值相等，那么這個數(shù)是()

A.正數(shù)B.負數(shù)C.非正數(shù)D.非負數(shù)

(3)已知a、b,都是有理數(shù)，且同=。加"則"=()

A.負數(shù)B.正數(shù)C.負數(shù)或零D.非負數(shù)

練習5T.(1)若|。+2|與|"5|互為相反數(shù)，求a,力各是多少.

6

（2）@+@+畫的所有可能取值有哪些？

abab

練5-2.若a,人都是不為零的有理數(shù)，那么?—%的值為_________.

ab

附加題：

1.（1）a是最小的正整數(shù)，b是最大的負整數(shù)，c是絕對值最小的有理數(shù)，d是絕對值等于2的數(shù),

貝lja+（—〃）+c+d=.

m

（2）已知a與b互為倒數(shù)，且必+—=0,貝1」加+〃二.

n

2?已知百+4+滬，求圖）［嬴+而+制的值?

課堂練習

7

1.-2.5,+—,-3,2,0,4,5,T在中，負分數(shù)有（）

10

A:1個B:2個C:3個D:0個

2.下列說法：（1）有理數(shù)可分為分數(shù)和整數(shù)兩大類；（2）有理數(shù)除了正數(shù)就是負數(shù)；（3）既不存在最小的

負整數(shù),也不存在最大的正整數(shù)；（4）所有的整數(shù)除了正數(shù)就是0;（5）正整數(shù)的集合、負整數(shù)的集合、

正分數(shù)的集合、負分數(shù)的集合合并在一起就是有理數(shù)集合；（6）幾個有理數(shù)相乘,當負因數(shù)有奇數(shù)個時,

積為負；（7）幾個有理數(shù)相乘，當積為負數(shù)時,則負因數(shù)有奇數(shù)個;其中正確的個數(shù)有（）

A：3個B：4個C：5個D：6個

7

3.有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示,則下列各式正確的是（）

___________I?1______________1.r

-1a01b

A:a+h<0B:a—b<0C:ah>0D:-->0

b

4.如圖，數(shù)軸上A、B兩點分別對應(yīng)有理數(shù)小乩則下列結(jié)論:①必>0;②0>0;③〃+0>0;④

同—網(wǎng)>0中正確的有（）

AB

a-10b1

A:1個B:2個C:3個D:4個

5.一個點從數(shù)軸上的原點開始,先向右移動2個單位長度,再向左移動3個單位長度,經(jīng)過兩次移動后

到達的終點表示的是什么數(shù)？（）

A:+5B：+1C：-1D：-5

6.下列說法中正確的是（）

A：正數(shù)和負數(shù)互為相反數(shù)B：數(shù)軸上,原點兩旁的兩個點所表示的數(shù)互為相反數(shù)

C：除0以外的數(shù)都有相反數(shù)D：任何一個數(shù)都有相反數(shù)

7.下列說法錯誤的是（）

A:一個正數(shù)的絕對值一定是正數(shù)B：一個負數(shù)的絕對值一定是正數(shù)

C：任何數(shù)的絕對值都不是負數(shù)D：任何數(shù)的絕對值一定是正數(shù)

8.已知時>a,網(wǎng)>〃，且向，則（）

a>bB:a<bC:a=bD:不能確定

9.已知卜一2|+歸一3|+k一4|=0,則〃+2。+34的值為（）

A：12B：16C：18D：20

10.下列說法中，正確的是（）

A：有理數(shù)就是正數(shù)和負數(shù)的統(tǒng)稱B：零不是自然數(shù)，但是正數(shù)

C：一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù)D:正分數(shù)、零、負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)

11.有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，則下面式子中正確的是（）

________?II,

b0a

①Z?<a<0;②網(wǎng)<同,?ab>0,?a-h>ar\-h.

A:①②B:①④

C:②③D:④

8

12.一只螞蟻從數(shù)軸上A點出發(fā)爬了4個單位長度到了表示T的點B,則點A所表示的數(shù)是（）

A：-3或5B：-5或3C:-5D:3

13.下列說法中正確的是（）

A:兩個有理數(shù)不相等,那么這兩個數(shù)的絕對值也一定不相等

B:任何一個數(shù)的相反數(shù)與這個數(shù)一定不相等

C：兩個有理數(shù)的絕對值相等,那么這兩個有理數(shù)不相等

D：兩個數(shù)的絕對值相等,且符號相反,那么這兩個數(shù)互為相反數(shù)

14.若|x-3|與|y+7|互為相反數(shù)，求3x+y的值.

15.已知a,b,c都是有理數(shù)，且a<Z?<O<c,求的值.

--a-----1----b----1-------

\a\\b\|4|

9

第二講有理數(shù)的計算

【知識點一】有理數(shù)的加法

加法法則：

①同號兩個數(shù)相加，取相同符號，并把絕對值相加.

②異號兩個數(shù)相加，取絕對值較大加數(shù)符號，并用較大絕對值減較小絕對值.

③一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù).

④互為相反的兩個數(shù)相加和為0.

練習：計算

①(-6)+(-9)=.②18+0=.

③13+(-17)=.④4+(-4)=.

有理數(shù)的加法運算律：①互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得0(先算)②符號相同的數(shù)先加

③分母相同的數(shù)先加④相加得整數(shù)的數(shù)先加

練習：0.5-2+5.7+!-5+2.3=.分析：

2

原式=(0.5+-)+(5.7+2.3)-(2+5)=1+8-7=2

2

有理數(shù)減法：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).

練習：①14-(-16)=14+()=.②-8-3=-8+()=.

③(-2)-(-4)=(-2)+(+4)=.

注意：①減號一加號②減數(shù)-它的相反數(shù)

例1.計算：

①7+(-13)十2|(2)(-0.6)+1.7+(+0.6)+(-1.7)+(-9)(3)[1.4-(-3.6+5.2)-4.3]-(-1.5)

練習1-1.0-32-(-17)-|-2^+(-15)(2)0.35+(-0.6)+0.25-(-5.4)

練12計算：①(一1.8)—[(+0.7)+(—0.9)+1.3+(—0.2)]

10

【知識點二】有理數(shù)乘法：(1)兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負.

(2)多個非零有理數(shù)相乘，“奇負偶正”

(3)QXO=O

練習：①—4x(—5)x(—2)=.

③-3x(-4)x(-1)x(-5)=.

有理數(shù)除法：除以一個不為0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù).

練習：①0.5的倒數(shù)為=.②-0.6的倒數(shù)為=.

③-士的倒數(shù)為=.④的倒數(shù)為=

3-------7-------

有理數(shù)的混合運算：①先乘除后加減②同級運算，從左到右

③先確定符號，再計算絕對值.有括號的先算括號里的數(shù).

注意：①有理數(shù)加減法中：減去一個數(shù).等于加上這個數(shù)的相反數(shù).

②除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù).

練習：①[-]+(-：卜(-24)

ooJ

7|

解：原式=1-3x(-24)+-x(-24)-x(-24)

=32-21+4=15

例2.計算:

3

①xl3xl-x

3

352|28《0.25”：

練習2-1.計算:①0.6xxX②

11

練習2-2.①

【知識點三】有理數(shù)的乘方

。心…身

形式：如圖，相讀作。的〃次暴(。的〃次方)M

n個a嬲希

練習：化成指數(shù)形式

性質(zhì)：(1)正數(shù)的任意次幕均為正(2)0的任意正整數(shù)次基均為0

(3)負數(shù)的指數(shù)幕“奇負偶正”

練習：計算?23=.(-2)3=.(-3)-=.

②-32=.(-1)20,8=.-120,8=.

思考：(-J"與_產(chǎn)18分別表示什么意義？

①(-1)20'8表示.②-I20,8表示.

(答案：①2018個T相乘；②2018個1相乘的相反數(shù))

例3.(1)下列各組中的兩個數(shù)，運算后結(jié)果相等的是()

及《與情

A.—S,00與(―3，°°B.59與爐C.—7265與(一7片5

(2)對于任意有理數(shù)。，下列各式一定成立的是()

A.a1—(―a)?B.a，=(―a)3C.—a1D./

練習3-1.下列各對數(shù)中，數(shù)值相等的是()

A.—42與—33B.-3,與(―3)3c-42與(―4)2D(—4x3)2與—4x3?

練3-2.已知有理數(shù)mb,若/=〃，則一定有()

A.a=bB.a——bC.a=±bD.以上都不對

12

【知識點四】有理數(shù)五則混合運算

五則混合運算:

①先乘方，再乘除，最后加減②同級運算，從左到右，依次進行③括號：小f中f大

練習：(D(-2)5-2X(-5)+|4-5|-(-1)100②一[—5+(1—0.5X4)X2]

解：原式=(-32)+10+1-1=_32解：原式=T-[-5+(1-2)x2]=1-[-5+(1)x2]=6

例4.計算：①(-2)5+1-16xg)一(一;x(-34)②產(chǎn)一X2'3

練習4-1.計算:

練4-2.計算:①0.25x(-2)2-②㈠產(chǎn)+24』(—2)1—33

【知識點五】有理數(shù)的巧算-湊整法

湊整：①構(gòu)造整式②把好算的數(shù)放一起先算

練習：33.6+22-82+66.44解：原式=(33.66+66.44)+(-82+22)=100+(-60)=40

練習：(1)1+92+993+9994+99995

解：原式=(10-9)+(100-8)+(1000-7)+(10000-6)+(100000-5)

=(10+100+1000+10000+100000)-O+8+7+6+5)=111110-35=111075

135

(2)1.73+(--)+(+-)+(-0.23)+(--)

656

153311

解：原式二(1.73-0.23)++-=1.5+(-1)+-=—

665510

13

例5.計算:

①[+131H+55撲（+7|卜卜4汨一叫C1

②力-日《一2—F

4

練5-1.①9+91+195+1996+19997+199998+1999993

+(+1.05)

練習5-2.計算：

①n+192+1993+19994+199995

②—2.39+(―1.57)+(+3彳)+(—5—+(―2%)+(—7.61)+(—32—+(+1.57)

【知識點六】有理數(shù)的巧算-裂項

一些特殊構(gòu)造的數(shù)能夠拆成幾項，進而互相抵消，使運算簡化.

常用拆頃公式：

小11141rli11e11C11111nl

n(n+l)nn+11x212n[n+k)kn+k)1x32113

…?5791113151719

例6.1——+---------+----------+----------+—

612203042567290

14

任」…1111

練習6-1.-----+------+------++

1x22x33x42014x2015

練6-2?3211

H----------1-…H----------------

5x799x101

附加題:

1.為了求1+2+22+23+...+22°08的值，可令5=1+2+22+23+...+22°08,

則2s=2+2?+23+24+…+22009,0^25-5=22009-1.則1+2+22+2、…+？?*??00—.仿照以上

推理計算.7+7+72+73+...+7236+22°"的值.

2.計算：:+(?+*?+...

課堂練習

1.計算：(+6.2)+(V.6)—(―3.6)—(―2.8)=()

A:5B:6C:8D：-8

i43

2.i+W：3.8+4--(+6-)-(-8-)=()

454

A:7B:10C:20D:22

15

3.下列說法正確的是（）

A：兩個有理數(shù)相加,和一定大于每一個加數(shù)

B：異號兩數(shù)相加,取較大數(shù)的符號

C:同號兩數(shù)相加,取相同的符號,并把絕對值相加

D:異號兩數(shù)相加,用絕對值較大的數(shù)減去絕對值較小的數(shù)

]4

4.計算：-45x——45x—+45x0.4=（）

93

A:47B:83C：-42D：-47

7377

5.計算：（--）^（1-----）=（）

o4o12

A:1B:2C:-1D:-3

6.如果而=0,那么a,。的值為（）

A：都為0B：不都為0C：至少有一個為0D：都不為0

7.下列說法中錯誤的是（）

A:一個數(shù)同0相乘，仍得0B:一個數(shù)同1相乘,仍得原數(shù)

C:一個數(shù)同T相乘得原數(shù)的相反數(shù)D:互為相反數(shù)的兩數(shù)之積是1

8.下列各組數(shù)中，相等的是（）

5115

A:（-2）2與-2zB：-399與（_3產(chǎn)c：43與3，D:——與-（芋

77

9.對于任意有理數(shù)a,下列各式一定成立的是（）

A：a2=-a2B：（-a）3=-a3C:-a4=\a^D:-|a3|=-a3

10.計算25.7+（—7.3）+（-13.7）-（一5.3）的結(jié)果為（）

A:8B:10C:12D:-0.6

11.已知a>b且a+》=0,則（）

A：a<0B：a>0C：b<0D：b>0

12.若a+h<0,而<0,則（）

A:a>0,b>0

B:a<0,b<0

C:a,。兩數(shù)一正一負,且正數(shù)的絕對值大于負數(shù)的絕對值

D：a,。兩數(shù)一正一負,且負數(shù)的絕對值大于正數(shù)的絕對值

13.下列各組數(shù)中，數(shù)值相等的是（）

23

A:—『與(一I)?B：—C：-(-2)9與—2—9D：(—3)5與—3$

3

16

.1421

14.計算：(l)72x(l--+l--)(2)-1一(一55)乂仃+(-2),+|-3一+1|

23412

15.計算:

(1)(-1嚴7-(-3岡；-g|十；Q77

(2)(-3)2-(-)2X-+6^|--|3

17

第三講數(shù)軸與絕對值

【知識點一】數(shù)軸距離公式

-2-10123

DF=思考2與3,1的關(guān)系2=.

BF=思考4與3,T的關(guān)系4=.

AC=思考2與0,-2的關(guān)系2=.

距離公式：在數(shù)軸上，點A點B所對應(yīng)的數(shù)分別a,"且。＞力，則A,B兩點的距離為.（大減?。?/p>

注意：若不知道。、〃的大小，則。、〃兩點之間的距離可表示為.（作差取絕對值！）

練習：①數(shù)軸上表示-2和5的兩點之間距離為.

②數(shù)軸上有A,B兩點，點A表示1,點A與B的距離為5,則B表示.

③數(shù)軸上表示x和-2的兩點之間距離為.

④數(shù)軸上表示加與n兩點之間的距離為.

答案：①7②-4或6③|x+2|@|m-n|

例1.（1）數(shù)軸上表示2和4兩點之間的距離是；表示-3和1兩點之間的距離是；

（2）數(shù)軸上與原點的距離為5的數(shù)是；如果表示數(shù)。和-1的兩點之間的距離是3,那么〃=

練習1-1.（1）如果數(shù)軸上表示2和-4的兩點分別是點A和點B,那么點A和點B之間的距離是（）

A.-2B.2C.-6D.6

（2）數(shù)軸上點A、B表示的數(shù)分別是a,b,則點A,B之間的距離為（）

A.a+bB.a-hC.4D.\a-t\

練1-2.（1）在數(shù)軸上，與表示數(shù)-2的點的距離是5的點表示的數(shù)是（）

A.3B.-7C.±7D.3或者-7

（2）在數(shù)軸上把數(shù)2對應(yīng)的點移動3個單位后所得的對應(yīng)點表示的數(shù)是（）

A.5B.-1C.5或TD.不確定

18

【知識點二】數(shù)軸中點公式

ABCDEF

111111-

-2-10123

CE的中點：思考0與T,1的關(guān)系0=.

DF的中點：思考1與0,2的關(guān)系1=.

AE的中點：思考T與-3,1的關(guān)系-1=.

中點公式：數(shù)軸上，點A,B,C所對應(yīng)的數(shù)分別為a,b,c且點C為AB的中點，則C=*.

2

注意：求中點取平均

練習：

①若數(shù)軸上點A表示-5,點B表示10,則AB中點表示的數(shù)為.

②數(shù)軸上點A,B分別表示2,5,已知點B是A,C的中點，則點C表示的數(shù)為.

③在紙上畫一個數(shù)軸，將紙對折后，若表示5的點與表示T的點怡好重合，則此時數(shù)軸上折痕經(jīng)過

的點表示的點是.

例2.(1)已知數(shù)軸上點A對應(yīng)的數(shù)為-3,點B對應(yīng)的數(shù)為5,則A、B兩點的中點對應(yīng)的數(shù)為；

(2)已知數(shù)軸上點A對應(yīng)的數(shù)為-4,點B對應(yīng)的數(shù)為b,線段AB的中點對應(yīng)的數(shù)為2.5,則b=.

(3)如圖，數(shù)軸的單位長度為1,點A、B、C、D對應(yīng)整數(shù)a、b、c、d,且b-2a=9,那么數(shù)軸

的原點對應(yīng)點是A、B、C、D中的點,線段AC的中點對應(yīng)的數(shù)為.

_______IIIII1IIII______?

ARCD

練習2-1.(1)若數(shù)軸上點A表示5,點B表示-7,則AB中點表示的數(shù)是.

(2)數(shù)軸上，表示數(shù)2、1的點分別為B,A,已知點B是A、C的中點，則點C對應(yīng)的數(shù)是.

練2-2.已知在紙面上有一數(shù)軸，折疊紙面：

(1)若3表示的點與-3表示的點重合，則-4表示的點與數(shù)表示的點重合；

(2)若T表示的點與5表示的點重合，則6表示的點與數(shù)表示的點重合.

(3)在(1)的條件下，重合的兩點之間的距離為2016,則這兩點表示的數(shù)分別為.

【知識點三】數(shù)軸動點問題

①點A對應(yīng)的數(shù)為2.向右運動5個單位對應(yīng)的數(shù)為.

②點A對應(yīng)的數(shù)為-2.以1個單位每秒向右運動t秒后對應(yīng)的數(shù)為.

③點A對應(yīng)的數(shù)為a,以2個單位每秒的速度向左運動t秒后對應(yīng)的數(shù)為.

總結(jié)：數(shù)軸上動點對應(yīng)的數(shù)可以用起始點加減距離表示：向右加，向左減.

練習：如圖，已知A,B兩點在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)為-10,[[][[][[]][[

19|-4-3-2-101234s6

0B=30A,點M以每秒3個單位長度的速度從點A向右運動.

點N以每秒2個單位長度的速度從點0向右運動(點M、點N同時出發(fā)).A0

11

---------------

經(jīng)過幾秒，點M,點N分別到原點0的距離相等？-100

解：設(shè)經(jīng)過X秒，點M、點N分別到原點0的距離相等，此時點M對應(yīng)的數(shù)為3x-10,點N對應(yīng)的數(shù)

為2x.

①點M、點N在點0兩側(cè)，則10-3x=2x,x=2.②點M、點N重合，則3x-10=2x,x=10.

例3.如圖，已知A、B分別為數(shù)軸上兩點，A點對應(yīng)的數(shù)為-20,B點對應(yīng)的數(shù)為100.

AB

~=20rfe*

(1)求AB中點M對應(yīng)的數(shù)；

(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻P從B點出發(fā)，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好

從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度向右運動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點相遇，求C點對應(yīng)的

數(shù)；

(3)若當電子螞蟻P從B點出發(fā)時，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從

A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的D點相遇，求D點對應(yīng)的

數(shù).

練習3-1.已知在數(shù)軸上有A,B兩點，點A表示的數(shù)為8,點B在A點的左邊，且AB=12.若有一

動點P從數(shù)軸上點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，動點Q從點B出發(fā)，以

每秒2個單位長度的速度沿著數(shù)軸向右勻速運動，設(shè)運動時間為t秒.解決問題：

BA

|Ir

(1)當1=1秒時，寫出數(shù)軸上點B,P所表示的數(shù)；

(2)若點P,Q分別從A,B兩點同時出發(fā)，問點P運動多少秒與Q相距3個單位長度？

練3-2.動點A從原點出發(fā)向數(shù)軸負方向運動，同時，動點B也從原點出發(fā)向數(shù)軸正方向運動，3秒后,

20

兩點相距15個單位長度.已知動點A,B的速度比是1：4.(速度單位：單位長度/秒)

1IIIIIII1II.

-8-6-4-2024681012

(1)求出兩個動點運動的速度，并在數(shù)軸上標出A,B兩點從原點出發(fā)運動3秒時的位置；

(2)若A,B兩點從(1)中的位置同時向數(shù)軸負方向運動，幾秒后原點恰好處在兩個動點正中間；

(3)在(2)中A,B兩點繼續(xù)同時向數(shù)軸負方向運動時，另一動點C同時從B點位置出發(fā)向A運動，

當遇到A后，立即返回向B點運動，遇到B點后立即返回向A點運動，如此往返，知道B追上A時，

C立即停止運動.若點C一直以20單位長度/秒的速度勻速運動，那么點C從開始到停止運動，運動

的路程是多少單位長度.

【知識點四】限定條件的絕對值化簡

絕對值化簡步驟：

①判斷絕對值符號或式子的正負②去掉絕對值符號并注意是否需添符號

③合并同類項，化簡求值

練習：化簡5](x<0)易知X—5<0=>|x—5|=—(X—5)=5—x

注意：①去絕對值符號時，將絕對值符號內(nèi)的數(shù)(或式子)看作一個整體并注意去括號時符號的變化.

②間接給出范圍時，條件一字母范圍n絕對值內(nèi)符號

例4.(1)化簡下列各式：

①|(zhì)2元+5|②(?+/?<5)

(2)已知有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|=|b|.化簡

M一|c_4+-1-2Z?|,

Ct6a*

練習4-1.化簡下列各式：

21

①卜2x+8|(x>4)②|2a-3)-8|(2?-3/?<9)

練4-2.已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示.化簡：HTa+.Tc—d+Za—q

IIIIJ

c0Clh

【知識點五】絕對值幾何意義求最值

卜-4的幾何意義：數(shù)軸上x與。之間的距離.

思考：如何利用絕對值的幾何意義？

例：卜―1|+k+2的最小值為.

分析：卜-1|表示x到1的距離；|x+2|表示x到-2的距離

筆記：求上一⑷+上一局+上一局+…+卜一?！眧(414生號…最小值.

①若”為奇數(shù),當尤="“+］取中心點處，值最小.

②若〃為偶數(shù)，當明4x4。四取中心區(qū)域處，代數(shù)式取最小值.

2~1~

練習：求k+3|+,一1|+k一2|最小值為.

分析：〃為奇數(shù)，當x取第2項即x=l時取最小值為5.

例5.求|x-2|+|x-7|的最小值.

練習5-1.求代數(shù)式3+卜-6|的最小值是.

練5-2.若代數(shù)式卜-3|+卜-6|取最小值，則x的取值范圍是.

附加題：

1.滿足卜+5|+卜_2|的x的整數(shù)值有.2.卜+2|+,_2|+卜_1|的最小值是

課堂練習

22

1.在數(shù)軸上,表示-7與表示數(shù)2的點的距離是（）

A:5B：-5C:9D:-9

2.數(shù)軸上一點A,一只螞蟻從A出發(fā)爬了4個單位長度到了原點,則點A所表示的數(shù)是（）

A:4B：-4C:±8D：±4

3.數(shù)軸上點A、B表示的數(shù)分別是5、-3,則A的中點對應(yīng)的數(shù)為（）

A：-lB:0C:1D:4

4.如圖,數(shù)軸上有A、B$B.c,D0$整數(shù)點（即各點均表示整數(shù)），且3AB=BC=2CD.若A、D兩點所表示的數(shù)

分別是-6和5,則線段AC的中點所表示的數(shù)是（）

ABCD

____I______|_________?_____?______L.

-6___________0____________3

A：-3B:-2C：-lD：1

5.一只蝸牛從數(shù)軸上表示T2的點出發(fā)，以個3單位分鐘的速度向右爬,則出發(fā)（）分鐘后才能到達

數(shù)軸上表示6的點.

A:2B:3C:4D:6

6.點A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為T2和8,兩只螞蟻M、N分別從A、B兩點同時出發(fā)，相向而行.M

的速度為2個單位長度/秒,N的速度為3個單位長度/秒.則當兩只螞蟻相遇時所用的時間和相遇點在

數(shù)軸上表示的數(shù)分別是（）