二次函數(shù)的頂點式

關(guān)于二次函數(shù)的頂點式開口對稱軸頂點坐標向下x=-1(-1,-1)向下x=0(0,-3)向上x=3(3,0)向上x=2(2,2)向下x=0(0,0)向下x=2(2，-2)向上x=-2(-2,-1)向上x=-1(-1,1)指出下列函數(shù)的開口方向、對稱軸和頂點坐標：第2頁,共39頁，2024年2月25日，星期天y=ax2y=ax2+k

y=a(x–h)2y=a(x–h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移（上加下減，左加右減）各種形式的二次函數(shù)（a≠0）的圖象（平移）關(guān)系知識回顧第3頁,共39頁，2024年2月25日，星期天討論題2:觀察所畫的函數(shù)圖像并進行比較,你認為函數(shù)的圖像有哪些特點?第4頁,共39頁，2024年2月25日，星期天一、由頂點式說性質(zhì)：說出下列拋物線的開口方向、對稱軸、增減性及最值：（1）y=2(x+3)2+5;（2）y=－3(x－1)2－2;（3）y=4(x－3)2+7;解：（1）a=2>0開口向上，對稱軸為x=－3，當x≤-3時，y隨x的增大而減?。划攛≥-3時，y隨x的增大而增大；當x=-3時，y有最小值為5;第5頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

(1)說出函數(shù)的圖象可以由y=ax2如何平移得到？－5.5－1.5－5.5－3(2)說出函數(shù)的圖象如何平移可以得到y(tǒng)=ax2的圖像？二、頂點式與平移(3)說出函數(shù)的圖象如何平移可以得到的圖像？第6頁,共39頁，2024年2月25日，星期天一般地，拋物線與形狀______，位置不同，把拋物線y=ax2向上（下）向左（右）_______，可以得到拋物線

平移的方向、距離要根據(jù)_________的值來決定．歸納拋物線有如下特點：（1）當a>0時，開口______；當a<0時，開口_______；（2）對稱軸是直線______；（3）頂點坐標是_________相同平移h，k向上向下x=h（h,k)第7頁,共39頁，2024年2月25日，星期天怎樣把函數(shù)y=3x2-6x+5的轉(zhuǎn)化成y=a(x-h）2+k的形式?函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象配方:提取二次項系數(shù)配方:加上再減去一次項系數(shù)絕對值一半的平方整理:前三項化為平方形式，后兩項合并同類項化簡:去掉中括號老師提示:配方后的表達式通常稱為頂點式探究簡單說成：一提、二配、三化簡第8頁,共39頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)y=3x2-6x+5的圖象特征2.根據(jù)配方式(頂點式)確定開口方向,對稱軸,頂點坐標.∵a=3>0,∴開口向上;

對稱軸:直線x=1;

頂點坐標:(1,2).探究第9頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例.求次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸和頂點坐標．

函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點式

配方:提取二次項系數(shù)配方:加上再減去一次項系數(shù)絕對值一半的平方整理:前三項化為平方形式，后兩項合并同類項化簡:去掉中括號探究∴第10頁,共39頁，2024年2月25日，星期天第11頁,共39頁，2024年2月25日，星期天三、把一般式化為頂點式1.x2-6x+

=(x-

)22.y2+3y+

=(y+

)23.函數(shù)y=x2+6x化為頂點式是

。4.函數(shù)y=2x2-6x+9化為頂點式是

。5.函數(shù)y=ax2+bx+c化為頂點式是

.

3第12頁,共39頁，2024年2月25日，星期天練一練根據(jù)公式確定下列二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標：

解：∵∴對稱軸頂點坐標解：∵∴對稱軸x=1頂點坐標(1,1)第13頁,共39頁，2024年2月25日，星期天四、利用頂點式求二次函數(shù)解析式1.已知拋物線y=ax2+bx+c與y=-2x2的形狀和開口方向相同，頂點為（-１，３），則它的函數(shù)解析式為

.2.已知拋物線y=ax2+bx+c與y=-2x2的形狀相同，頂點為（-１，３），則它的函數(shù)解析式為

.3.已知拋物線y=ax2+bx+c由y=-2x2向左平移1個單位，再向上平移3個單位得到，則它的函數(shù)解析式為

.4.已知拋物線y=ax2+bx+c由y=-2x2+1繞頂點旋轉(zhuǎn)1800得到，則它的函數(shù)解析式為

.5.已知拋物線y=ax2+bx+c與y=-2x2+1關(guān)于x軸對稱，則它的函數(shù)解析式為

.或第14頁,共39頁，2024年2月25日，星期天6.要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，水管應(yīng)多長？解：如圖建立直角坐標系，點（1，3）是圖中這段拋物線的頂點，因此可設(shè)這段拋物線對應(yīng)的函數(shù)是y=a(x

－1)2

＋3(0≤x≤3).由這段拋物線經(jīng)過點（3，0）可得0＝a(3－1)2＋3.解得因此當x=0時，y=2.25，也就是說，水管應(yīng)長2.25m.xyO121233第15頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

1、y=3x2的圖象向

平移

個單位，再向

平移

個單位，就得到函數(shù)y=3(x+2)2-5的圖象。

左2下52、拋物線y=-3(x+2)2-4的頂點在第

象限。二五、課內(nèi)練習3、將拋物線y=2(x-1)2+4繞著它的頂點旋轉(zhuǎn)180°，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為（）A、y=2(x+1)2+4B、y=2(x-1)2-4C、y=-2(x-1)2+4D、y=-2(x+1)2+4C第16頁,共39頁，2024年2月25日，星期天提高4.寫出一個二次函數(shù)的解析式,要求滿足下列條件:①開口向下;②頂點坐標為(-2,-3).

.5.已知一拋物線的頂點坐標為(-1,2),且過點(1,-2),求該拋物線的解析式.6.已知拋物線(1)將函數(shù)化為的形式.(2)說出該函數(shù)圖象可由拋物線如何平移得到?(3)說出該函數(shù)的對稱軸,頂點坐標,最值情況.第17頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

5、解：設(shè)拋物線的解析式為

，將（1，-2）代入中，得：

4a+2=-2

a=-1

則拋物線的解析式為

第18頁,共39頁，2024年2月25日，星期天B1.拋物線y=2x2+8x-11的頂點在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.不論k取任何實數(shù)，拋物線y=a(x+k)2+k(a≠0)的頂點都在A.直線y=x上B.直線y=-x上C.x軸上D.y軸上3.若二次函數(shù)y=ax2+4x+a-1的最小值是2,則a的值是

4B.-1C.3D.4或-14.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如下,與x軸的一個交點為(1,0),則下列各式中不成立的是()A.b2-4ac>0B.abc>0C.a+b+c=0D.a-b+c<01CAxyo-1B()（）

第19頁,共39頁，2024年2月25日，星期天5.若把拋物線y=x2+bx+c向左平移2個單位,再向上平移3個單位,得拋物線y=x2-2x+1,則A.b=2B.b=-6,c=6C.b=-8D.b=-8,c=186.若一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則二次函數(shù)y=ax2+bx-3的大致圖象是()()BxyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3C第20頁,共39頁，2024年2月25日，星期天7.在同一直角坐標系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一次函數(shù)y=ax+c的大致圖象可能是（）CxyoxyoxyoxyoABCD第21頁,共39頁，2024年2月25日，星期天拋物線位置與系數(shù)a，b，c的關(guān)系：⑴a決定拋物線的開口方向：

a＞0開口向上a＜0開口向下⑵a，b決定拋物線對稱軸的位置:

(對稱軸是直線x=－—

)

①

a，b同號對稱軸在y軸左側(cè)；②

b=0對稱軸是y軸；③a，b異號對稱軸在y軸右側(cè)

2ab【左同右異】知識點一：第22頁,共39頁，2024年2月25日，星期天⑶

c決定拋物線與y軸交點的位置：①

c＞0?圖象與y軸交點在x軸上②

c=0?圖象過原點；③

c＜0?圖象與y軸交點在x軸下方。⑷頂點坐標是（，）。

（5）二次函數(shù)有最大或最小值由a決定。

當x=－

—

時,y有最大(最小)值

y=

b2a______________________4a4ac－b2第23頁,共39頁，2024年2月25日，星期天△（b2-4ac）的符號：由拋物線與x軸的交點個數(shù)確定與x軸有兩個交點b2-4ac>0與x軸有一個交點b2-4ac=0與x軸無交點b2-4ac<0（6）第24頁,共39頁，2024年2月25日，星期天1、拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定a、b、c、△的符號：xyo

a>0,b<0,c>0,△>0.練習第25頁,共39頁，2024年2月25日，星期天2、拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定a、b、c、△的符號：xyo

a>0,b>0,c=0,△>0.練習第26頁,共39頁，2024年2月25日，星期天3、拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定a、b、c、△的符號：xyo

a<0,b<0,c>0,△>0.練習第27頁,共39頁，2024年2月25日，星期天4、拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定a、b、c、△的符號：xyo

a>0,b=0,c>0,△=0.練習第28頁,共39頁，2024年2月25日，星期天5、拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定a、b、c、△的符號：xyo

a>0,b=0,c=0,△=0.練習第29頁,共39頁，2024年2月25日，星期天6、拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定a、b、c、△的符號：xyo

a<0,b>0,c<0,△<0.練習第30頁,共39頁，2024年2月25日，星期天7、已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則點M（，a）在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限xoy

a<0,b>0,c>0,D練習第31頁,共39頁，2024年2月25日，星期天8、已知：一次函數(shù)y=ax+c與二次函數(shù)y=ax2+bx+c，它們在同一坐標系中的大致圖象是圖中的（）xyoxyoxyoxyo（A）（B）（C）（D）C練習第32頁,共39頁，2024年2月25日，星期天9、已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0;⑤a-b+c＞0正確的個數(shù)是（）A、2個B、3個C、4個D、5個xoy-11C練習第33頁,共39頁，2024年2月25日，星期天知識點二：拋物線y=ax2+bx+c的符號問題：（7）a+b+c的符號：由x=1時拋物線上的點的位置確定點在x軸上方點在x軸下方點在x軸上a+b+c>0a+b+c<0a+b+c=0（8）a-b+c的符號：由x=-1時拋物線上的點的位置確定點在x軸上方點在x軸下方點在x軸上a-b+c>0a-b+c<0a-b+c=0第34頁,共39頁，2024年2月25日，星期天11、已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論中下不正確的是（）A、abc＞0B、b2-4ac＞0C、2a+b＞0D、4a-2b+c＜0xoy-11D練習第35頁,共39頁，2024年2月25日，星期天試一試：已知;二次函數(shù)y=2x2-(m+1)x+(m-1).(1)求證:不論m為何值時,函數(shù)的圖像與x軸總有交點,并指出m為何值時,只有一個交點；(2)當m為何值時,