2022屆全國(guó)高考模擬信息卷 數(shù)學(xué)（理）試題（二）

2022年高考模擬信息卷02（理）

（本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.若復(fù)數(shù)Z=sin2e+icos0,z2=cos0+i>/3sin^（（9e/?）,=z2,則。等于（）

JT

A.左兀（左cZ）B.2匕W+—（kGZ）

k

jrjr

C.2kji土—（kcZ）D.2k7i~—（kcZ）

k6

2.已知P=｛￡|￡=（l,O）+7”（O,l）,"zeK｝,Q=｛B|B=（l,l）+w（-l,l）,weR｝是兩個(gè)向量集合，則pn?等于

（）

A.｛（4）｝B.｛（-1,1））

C.｛（l，0））D.｛（0,1））

3.設(shè)x,y^R,向量〃=（羽1）,b=（1,y）9c=（2,—4）,且bile,貝（Il〃I等于（）

A.2A/2B.MC.3D.4

4.已知函數(shù)=則（）

igx

A./（0.5）＞/（2）＞/（3.1）B./（3.1）＞/（2）＞/（0.5）

C./（2）＞/（0.5）＞/（3.1）D./（2）＞/（3.1）＞/（0.5）

x>0

x+；y-lW0,

5.若x,y滿足約束條件貝!|z=x—y+2的最小值為（）

x-^y-l<0

A.B.0C.1D.2

6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》中記載了一種名為“塹堵”的幾何體：“邪解立方得二塹堵邪解塹

堵”塞堵是一個(gè)長(zhǎng)方體沿不在同一表面上的相對(duì)兩棱斜截所得的立體圖形其正視圖和俯視圖（直角三角形）

如圖所示，則該“塹堵”的外接球的大圓面積為（）

7.在等差數(shù)列｛”“｝中，若期+研=18,a3+a5+ai3=12,則使a“>100成立的正整數(shù)〃的最小值為（）

A.24B.25C.26D.27

8.小雁塔，位于唐長(zhǎng)安城安仁坊（今陜西省西安市南郊）薦福寺內(nèi)，又稱(chēng)“薦福寺塔”，建于唐景龍年間，與

大雁塔同為唐長(zhǎng)安城保留至今的重要標(biāo)志.小雁塔是密檐式磚結(jié)構(gòu)佛塔,塔身為四方形,底邊長(zhǎng)11.38米.若

某游客在距離塔底中心11.38米的圓周上任取一點(diǎn)，從該點(diǎn)處觀察小雁塔，則他可以同時(shí)看到塔的兩個(gè)側(cè)

面（即看到圖2中的正方形的兩邊）的概率為（）

9.已知函數(shù)危）為R上的奇函數(shù)，且/'（r）=f（2+x）,當(dāng)xe［O,l］時(shí)，〃同=2工+費(fèi)，貝！J加01）4105）

的值為（）

A.3B.2C.1D.0

10.下列關(guān)于函數(shù)/（尤）=1-2sin?［尤-力的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.最小正周期為萬(wàn)B.最大值為1,最小值為-1

C.函數(shù)圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)D.函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)。］對(duì)稱(chēng)

22

11.已知雙曲線C：5等=1（“>0）>0）的右焦點(diǎn)為尸（G0）,點(diǎn)A在C的一條漸近線上，且A在第一象限,

|Q4|=c,若A/的中點(diǎn)在C上，則C的離心率為（）

A.75-1B.75+1

C.V6-1D.娓+1

12.若/+尤6<“/+捻3'對(duì)*d0,長(zhǎng)0）恒成立，貝!的取值范圍是（）

A.（0,+功B.g+8）

。D.~,+力

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

42

13.若（1-村（1-2.r）=a0+a^x+a,xHFq尤。,貝!]q+電%的值為.

14.已知數(shù)列｛%｝滿足4=1,%=5%,則數(shù)列｛4%+1｝的前"項(xiàng)和為.

15.已知圓柱的高為2后，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為4的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為

16.關(guān)于圓M:（x-3k）2+（y-4左一2）2=1+公有如下四個(gè)命題：

①若圓”與y軸相切，貝！U=土孝；

②圓M的圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為，；

③若直線y=x平分圓M的周長(zhǎng)，則％=2；

④圓M與圓（x-3左>+>2=4f可能外切.

其中所有真命題的序號(hào)是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.如圖，在直三棱柱ABC-A與￡中，ABLAC,AB=AC=AAl=4,D、。分別為線段與G、AQ的

（1）證明：AD，平面耳BCC1；

（2）求OC與平面45C所成角的正弦值.

18.為了測(cè)出圖中草坪邊緣A,8兩點(diǎn)間的距離，找到草坪邊緣的另外兩個(gè)點(diǎn)C與。(A,B,C,。四

點(diǎn)共面)，測(cè)得AC=1.6m,CD=2m,3D=1.8m,已知cos/BOC=-也，tanZACZ)=377.

(1)求的面積；

(2)求A,B兩點(diǎn)間的距離.

19.2021年，“十四五”開(kāi)局全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家新征程由此開(kāi)啟，這一年，中國(guó)共產(chǎn)黨將迎來(lái)建

黨100周年.某企業(yè)開(kāi)展“學(xué)黨史，頌黨恩，跟黨走”的知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)，該企業(yè)收集了參與此次知識(shí)問(wèn)答活

動(dòng)的員工得分情況，得到如下頻率分布表：

得分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻率0.040.10ab0.200.12

其中樣本的平均數(shù)是73.6.(假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)

(1)求6的值；

(2)根據(jù)此次知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)的得分，評(píng)出四個(gè)等級(jí)，并根據(jù)等級(jí)給予如下的獎(jiǎng)勵(lì)：

得分(0,60)[60,70)[70,80)[80,100)

評(píng)定等級(jí)不合格合格良好優(yōu)秀

抽獎(jiǎng)次數(shù)0124

每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率均為每次中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金都為100元，求參與此次知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)的某員工所獲獎(jiǎng)金X的

數(shù)學(xué)期望.

20.已知函數(shù)/(1)=—

(1)求曲線y=在點(diǎn)(oj(o))處的切線方程；

(2)當(dāng)左=；,時(shí)，求證：/(力＞0；

(3)若/(力＞0對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)上的最大值.

21.已知橢圓+的離心率為g,橢圓C與拋物線y2=^x交于M,N兩點(diǎn)(“在X

軸上方)，橢圓C的右焦點(diǎn)在直線MN上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B,E分別為橢圓C的左、右.上頂點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)。為橢圓C上一點(diǎn)(異于頂點(diǎn))，直線OE與x軸交于點(diǎn)P,直線AD上有一點(diǎn)。滿足痂?詼=4,

證明：直線8E經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q.

選做

22.在直角坐標(biāo)系xOy中,(加為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸

的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為0cos]。J=應(yīng).

(1)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程;

(2)已知點(diǎn)尸(2,0),若直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求歸山-處訓(xùn)的值.

23.已知函數(shù)函x)=|x-2|-a|x+l|.

(1)當(dāng)"=1時(shí)，求不等式/(x)<x的解集；

(2)當(dāng)。=2時(shí)，若關(guān)于x的不等式/(元)〉機(jī)+1恰有2個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

2022年高考模擬信息卷02(理)

(本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.若復(fù)數(shù)Z[=sin20+icos0,z?=cos￡+igsin，(OeR),z】=z2,則。等于()

A.kn(左eZ)B.2k7r+—(左eZ)

k

7171

C.2k兀土——(kwZ)D.2kji—(kwZ)

k6

答案：D

[sin26=cos6,

【詳解】由復(fù)數(shù)相等的定義可知，c后.C

[cose=73sin/

?*-cos0=,sin9=—0=—+Ikn,%eZ故選：D.

226

2.已知尸=｛￡|￡=(1,0)+加(0,1),租?氏｝,0=忸出=(1,1)+n(-l,l),ne“｝是兩個(gè)向量集合，則png等于

()

A.｛（1』）｝B.｛（-1,1））

C.｛（l，0））D.｛（0,1））

答案：A

【詳角軍】易知Q=（l,0）+M（0,1）=（1,加）,機(jī)￡凡行=。,1）+〃（一1,1）=。一〃,1+〃）,〃￡氏,

1—n=1n=0

所以由，解得

l+n=mm—\

所以PcQ=｛（l,l）｝,故選：A.

3.設(shè)x,yeR,向量￡=（x,l）,b=（l,y）,"=（2,-4）,S.a±b,bile,則工+用等于（）

A.20B.VioC.3D.4

答案：B

【詳解】?./〃），，2y=—4x1,/.y=—2,=2）,，7B=x+l?（-2）=0,「.x=2,，￡=（2,1）,

:.a+b=（3,-1）a+b\=^32+（-1）2=>/10.故選:B

4.已知函數(shù)則（）

igx

A.f（0.5）＞/（2）＞/（3.1）/（3.1）＞/（2）＞/（0.5）

C./（2）＞/（0.5）＞/（3.1）D./（2）＞/（3.1）＞/（0.5）

答案：D

【詳解】?.-lgO.5<lgl=O,Ig3.1>lg2>lgl-O,則〃0.5）<0,/（2）>0,/（3.1）>0,

由不等式的基本性質(zhì)可得專(zhuān)＞白＞。,

因此,/（2）＞/（3.1）＞/（0.5）.

故選：D.

x>0

x+^y-l<0,

5.若工,,滿足約束條件貝!|z=%_y+2的最小值為（）

x-^y-l<0

A.-1B.0C.1D.2

答案：B

【詳解】作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示:

由圖象可知z=x-y+2在點(diǎn)4(0,2)處取得最小值,

且最小值為z=0-2+2=0,故選：B

6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》中記載了一種名為“塹堵”的幾何體：“邪解立方得二塹堵邪解塹

堵”塞堵是一個(gè)長(zhǎng)方體沿不在同一表面上的相對(duì)兩棱斜截所得的立體圖形其正視圖和俯視圖(直角三角形)

如圖所示，則該“塹堵”的外接球的大圓面積為()

IHKIfi

117489519

A.27〃B.-------71C.-------71D.I-兀

41616

答案：B

【詳解】由題知：“塹堵”是半個(gè)長(zhǎng)方體的直三棱柱ABC-A瓦C|，如圖所示:

設(shè)外接球大圓的半徑為R,(27?)2=(6+3)2+62=117.

R=叵,所以外接球的大圓面積為當(dāng)乃.故選：B

24

7.在等差數(shù)列｛斯｝中，若期+研=18,a3+a5+ai3=12,則使a“>100成立的正整數(shù)〃的最小值為（）

A.24B.25C.26D.27

答案：D

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

?在等差數(shù)列｛“"｝中，。6+。10=18,的+。5+。13=12,

fCL+5d+ci,+9d=18

\o,..1O,_1O，解得ai=-26,d=5,

[q+2d+q+4d+q+12d—12

an=-26+5（〃-1）=5〃-31,

131

由5〃-31>100,得”>§,

...使斯>100成立的正整數(shù)”的最小值為27.故選：D.

8.小雁塔，位于唐長(zhǎng)安城安仁坊（今陜西省西安市南郊）薦福寺內(nèi)，又稱(chēng)“薦福寺塔”，建于唐景龍年間，與

大雁塔同為唐長(zhǎng)安城保留至今的重要標(biāo)志.小雁塔是密檐式磚結(jié)構(gòu)佛塔,塔身為四方形,底邊長(zhǎng)11.38米.若

某游客在距離塔底中心11.38米的圓周上任取一點(diǎn)，從該點(diǎn)處觀察小雁塔，則他可以同時(shí)看到塔的兩個(gè)側(cè)

面（即看到圖2中的正方形的兩邊）的概率為（）

圖1圖2

答案：B

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心為O,半徑為r,片11.38,

如圖:

只有在劣弧AB,C￡>,￡F,GH上時(shí)，可以同時(shí)看到塔的兩個(gè)側(cè)面,

BC=AH=GF=ED=r,

rrjrr

則△AOH為等邊三角形，AOH=-,AH=—,

33

71Y

同理：GF=DE=BC=——,

3

則AH+G尸+。石+3。=亍

24丫

而圓的周長(zhǎng)/=2a，貝UA5+CO+EF+GH=w，

2兀丫

所以可以同時(shí)看到塔的兩個(gè)側(cè)面的概率是nr1,故選：B.

p=---=-

2兀r3

9.已知函數(shù)_/(x)為R上的奇函數(shù)，且f(-x)=f(2+x),當(dāng)尤e［O,l］時(shí)，/(x)=2'+^,貝！J4101)伏105)

的值為()

A.3B.2C.1D.0

答案：A

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)危)為氏上的奇函數(shù)，則的)=0,

又由xd［0,1］時(shí)，〃x)=2'+盛，則有五0)=1+斫0,解可得：a=-l,則有〃x)=2*-J,

又由八-x)=/(2+x),即4x+2)=-4x),則有大x+4)=-於+2)=/㈤，即函數(shù)_Ax)是周期為4的周期函數(shù)，

1313

則/(101)=/(1)-2--=-,/(105)=/(1)=2--=-,

故有3101)h105)=3,故選：A.

10.下列關(guān)于函數(shù)〃x)=l-2sin］尤-彳］的說(shuō)法塔族的是()

A.最小正周期為萬(wàn)B.最大值為1,最小值為-1

C.函數(shù)圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)D.函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

答案：C

【詳解】函數(shù)〃x)=l-2sin2(x-￡|=cos［2x-9=sin2x,函數(shù)的最小正周期7=萬(wàn)，A正確.

最大值為1，最小值為-1,B正確.

由2x=Z^+W=x="+f#eZ,得函數(shù)圖象關(guān)于直線工=竺+￡,左?2對(duì)稱(chēng)，C不正確.

22424

由2》=左==彳=浮,左eZ,得函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)［與,o］#eZ對(duì)稱(chēng)，D正確.故選：C

11.已知雙曲線C:5-1=l(a>0,10)的右焦點(diǎn)為/(60),點(diǎn)A在C的一條漸近線上，且A在第一象限，

|Q4|=c,若A尸的中點(diǎn)在C上，則C的離心率為（）

A.\/5—1B.y/s+1

C.76-1D.瓜+1

答案：A

【詳解】由題意，設(shè)A的坐標(biāo)為（加,力），m＞0,n＞0,

由|Q4|=c,可得病+〃2=02①

b

又點(diǎn)A在C的一條漸近線上，可得〃=—加②

a

由①②可得根=〃，n=b,即有A（a,〃），

又F（c,0）,可得AF的中點(diǎn)坐標(biāo)為［專(zhuān),￡|,

由Ab的中點(diǎn)在C上，可得［亍J［2）_1，

/b2

化為仕+兒［」=1解得ef-L故選：A.

U2J4

12.若》2+苫6＜四'+九3，對(duì)》目0,e）恒成立，貝!的取值范圍是（）

答案：C

【詳解】將原不等式變形可得，華工+（4/丫＞尤2+（爐）3（*）對(duì)任意的彳目0,內(nèi)）恒成立,

其中VNO./WI,由此可得上式只有在。＞0時(shí)成立，

此時(shí)，設(shè)廠（無(wú)）=X+%3,則（*）式即可表示為網(wǎng)融2）＞網(wǎng)尤），

???\@）=1+3/＞0恒成立彳即尸（X）為單調(diào)遞增函數(shù);

一X2

故有ae*＞f恒成立o。＞二恒成立，

e

令〃X）=:，則有〃》）=丫=亭?，

令/(x)=°nx=2或x=0；

則有/'(x)>0=>0<x<2；/'(x)<0=>%>2或1<0,

根據(jù)題意可得，函數(shù)/（X）在（0,2）上單調(diào)遞增，在（2,y）上單調(diào)遞減；

故有了（尤）…=〃2）=金，即0＞之恒成立.故選：C.

ee

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若（1-彳）5（1-2了）4=%+01彳+%_￥2_|--卜火工9,貝！2T----卜1的值為,___________.

答案：-1

【詳解】由條件得：在等式左右兩邊取x=o,計(jì)算得%=1,令尤=1,計(jì)算得

旬+q+…+%=°,于;q+/+…+%=-1?

故答案為：-1

14.已知數(shù)列｛4｝滿足4=1,a?+i=5a?,則數(shù)列｛4%+1｝的前w項(xiàng)和為.

答案：5n-l+n

【詳解】數(shù)列｛4｝滿足4=1,a?+l=5a?,故｝=5,所以數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，

Un

所以%=q-5力=5力，所以4an+l=4x5"-'+1,

（5〃—1）

所以｛4。“+1｝的前〃項(xiàng)和1=4*0+5+…+5"T）+〃=4X^_^+W=5"-1+".

故答案為：5"—1+n-

15.已知圓柱的高為20,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為4的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為

答案：4拒兀.

解：如圖所示，

圓柱的高為20,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為4的同一個(gè)球的球面上,

...該圓柱底面圓周半徑為『’22-（及『=五,

???該圓柱的體積為：V=Sh=7i?（0）?2&=40兀.

故答案為：4夜兀.

16.關(guān)于圓M:(x—3k)2+(y—4k—2)2=1+k2有如下四個(gè)命題:

①若圓M與y軸相切，則k=±孝；

②圓M的圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為，；

③若直線y=x平分圓M的周長(zhǎng)，則％=2；

④圓拉與圓（x-3k）2+y2=4k2可能外切.

其中所有真命題的序號(hào)是.

答案：①②④

【詳解】圓AZ：（%-3左）2+（y—4左—2）2=1+左2的圓心坐標(biāo)為：（3左,4左+2）,半徑為r=Jl+左2.

①若圓M與y軸相切，則|3人|=再至，解得/=±￥，所以①為真命題.

②因?yàn)椋?幻2+（4左+2）2=25k2+16^+4=（5A:+|）2+||>||,

所以所以②為真命題.

③若直線y=x平分圓”的周長(zhǎng)，則圓心在直線上，即弘=4左+2,解得左=-2,所以③為假命題.

④若圓M與圓（x-3%）2+V=4/外切，貝I]14左+21=JTTP'+，

設(shè)函數(shù)/（左）=14左+21-VT7后■-，顯然/■（幻=i4k+21-STF-為連線函數(shù),又因?yàn)?（o）=i>o，

/（_I）=<o,所以于也）在（T0）內(nèi)必有零點(diǎn)，則方程14左+21=ViTF+廊有解，所以④為真命題.故

答案為：①②④.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.如圖，在直三棱柱ABC-A⑸C中，ABLAC,AB=AC=AAl=4,。、0分別為線段與G、AQ的

中點(diǎn).

B

（1）證明：4。，平面3出。￡；

（2）求0C與平面ABC所成角的正弦值.

【詳解】（1）證明：在直三棱柱ABC-4瓦￡中，B瓦，平面A與G，

因?yàn)锳Du平面4月￡,所以用，

?.?明〃54且44,=8與，所以，四邊形44出避為平行四邊形，可得A3=A四,

同理可得AC=AG，

■■AB=AC,.-.AB^AG，因?yàn)?。為用G的中點(diǎn)，所以，AO1B.G，

V班|nB1G=片，..4。，平面B,BCQ■

（2）?.?的，平面ABC,ABLAC,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC、所在直線分別為x、y、z軸建

立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則4（0,0,4）、8（4,0,0）、C（0,4,0）、。（2,2,4）、0（1,1,4）,

f=(O,4,T),^(4,0,-4)，反=(T,3,T),

n-A^C=04y—4z=0

設(shè)平面45c的法向量為〃=（尤,y,z）,則有

n-AjB=04x-4z=0

令z=l,可得〃=(1,1,1),

℃-2

cos<n,OC>=--

回國(guó)73x72639，

因此，OC與平面ABC所成角的正弦值為叵.

39

18.為了測(cè)出圖中草坪邊緣A,3兩點(diǎn)間的距離，找到草坪邊緣的另外兩個(gè)點(diǎn)。與。（A,B,C,。四

點(diǎn)共面），測(cè)得AC=1.6m,CD=2m,BD=1.8m,已知cos/BOC=—以，tanZACD=3A/7.

4

(1)求△AC。的面積；

(2)求A,3兩點(diǎn)間的距離.

【詳解】(1)因?yàn)閠anNACD=3\/7,可得sinNAC￡)=各自,

8

992

所以SAACD=77ACCDsinZACD—m.

25

(2)因?yàn)閠anNAC￡)=3/7,所以cosNAC￡)=L

8

所以AD2=1.62+22-2xl.6x2x-=5.76,則AD=2A,

8

rpst/人n廠AD2+CZ)2—AC23；匚八[./4n廠

因?yàn)閏osZADC=---------------=—,所以sinZA￡)C=——，

2ADCD44

又cos/BDC=-,所以NA￡)B=工，

42

所以AB=VAD2+BD2=,2.42+1.8?=3m.

19.2021年，“十四五”開(kāi)局全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家新征程由此開(kāi)啟，這一年，中國(guó)共產(chǎn)黨將迎來(lái)建

黨100周年.某企業(yè)開(kāi)展“學(xué)黨史，頌黨恩，跟黨走”的知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)，該企業(yè)收集了參與此次知識(shí)問(wèn)答活

動(dòng)的員工得分情況，得到如下頻率分布表：

得分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻率0.040.10ab0.200.12

其中樣本的平均數(shù)是73.6.（假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）

（1）求“，6的值；

（2）根據(jù)此次知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)的得分，評(píng)出四個(gè)等級(jí)，并根據(jù)等級(jí)給予如下的獎(jiǎng)勵(lì):

得分(0,60)[60,70)[70,80)[80,100)

評(píng)定等級(jí)不合格合格良好優(yōu)秀

抽獎(jiǎng)次數(shù)0124

每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率均為每次中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金都為100元，求參與此次知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)的某員工所獲獎(jiǎng)金X的

數(shù)學(xué)期望.

【詳解】(1)因?yàn)闃颖镜钠骄鶖?shù)是73.6,

所以45xO.O4+55xO.lO+65a+75b+85xO.2O+95xO.12=73.6

即65。+75匕=37.9,①

又〃+8=0.54,②

由①②解得Q=0.26,b=0.28.

(2)當(dāng)該員工的評(píng)定等級(jí)為優(yōu)秀時(shí)，獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為gx4xl00=200,

當(dāng)該員工的評(píng)定等級(jí)為良好時(shí)，獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為］x2xl00=100

當(dāng)該員工的評(píng)定等級(jí)為合格時(shí)，獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為］xlxl00=50,

當(dāng)該員工的評(píng)定等級(jí)為不合格時(shí)，獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為［x0xl00=0,

2

E(X)=0x0.14+50x0.26+100x0.28+200x0.32=105

故參與此次知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)的某員工所獲獎(jiǎng)金X的數(shù)學(xué)期望為105元.

20.已知函數(shù)/(x)=tanx-Ax3—九,k^R.

(1)求曲線y=在點(diǎn)(o,〃o))處的切線方程；

(2)當(dāng)左=；，時(shí)，求證：/(x)>0；

(3)若〃尤)>0對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)左的最大值.

【詳解】⑴函數(shù)的定義域?yàn)椴凡?+

J(x)=--3心-1J一3履2cos：x-cos?x,

cosXcosX

所以尸(0)=0,

又〃0)=0,切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),

所以曲線y=〃x）在點(diǎn)（OJ（O））處的切線方程為y-O=O（x-O）,即y=0；

(2)

當(dāng)上=：時(shí),1-cos2x-x2cos2Xsi?n2x-x2cos2x

cos2Xcos2x

(sin%+xcosx)(sinx—xcosx)

cos2x

因?yàn)閤w所以sinx+xcosx>0,

設(shè)"(x)=sin尤一％cosx,

則當(dāng)呵0弓時(shí),*(x)=cosx-cosx+xsin%=xsinx>0,

所以〃（x）在區(qū)間（0母上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)xe0費(fèi)時(shí)，/i（x）＞/i（O）=O,

即sinx-xcosX＞0得證，

所以當(dāng)x[o,￡|時(shí)，r（x）＞o,

所以在區(qū)間[空上單調(diào)遞增,

又〃0)=0

所以苫［04］時(shí)，f(x)>f(o)=o；

(3)

由(2)可知，當(dāng)左V：時(shí)，/(x)=tanx—辰3一彳>0對(duì)恒成立,

“,1?,Isinx-v3^xcosx)Isinx+v3^xcosx)

當(dāng)人時(shí)，f(x\=\--------------4——-------L,

3cos2x

設(shè)g(x)=sinx-y/ikxcosx,

則g<尤)=cosx-yfikcosx+y/3kxsinx

甘缶「八吟口2（病

其中°￡|^0,-J且tan0=-、叵~~』＞0

取飛="，當(dāng)夕￡（0,九（））時(shí),g'（x）v0,則g（x）在區(qū)間（0,九0）上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)無(wú)6(0,不)時(shí)，g(x)<g(O)=O,

由于當(dāng)xe(O,Xo)時(shí)，sinx+A^■尤cosx>0,

所以當(dāng)x?0,%)時(shí),f，(x)<0,

所以〃x)在區(qū)間(0,x0)上單調(diào)遞減,

所以xe(O,x°)時(shí)，/(x)</(0)=0,

所以當(dāng)人>；時(shí)，/(x)>0并非對(duì)xe[o,?恒成立，

綜上可知，%的最大值為:

21.已知橢圓C:「+J=l(a>6>0)的離心率為半，橢圓C與拋物線丫2=*X交于N兩點(diǎn)(M在工

軸上方)，橢圓C的右焦點(diǎn)在直線上，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B,E分別為橢圓C的左、右、上頂點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)D為橢圓C上一點(diǎn)(異于頂點(diǎn))，直線OE與x軸交于點(diǎn)P,直線AD上有一點(diǎn)。滿足痂?詼=4,

證明：直線8E經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q.

【詳解】(1)由題意，設(shè)M(c,機(jī))，

百

m2——C

12

c2m2]

+

由條件可知，<~a2b1，解得〃=2,b=\,c=5/3,

a2=/72+C2

2

橢圓C的方程為1+丁=1.

(2)設(shè)直線DE的直線>=履+1,則尸(-，0；

y=kx+1

由,=x22消去丁，整理得(4左2+1*+8丘=(),

——+y=1

14

8k

所以玉=0,%2=

4F+1

即。-③1-4左2

4/+1

1-422

所以直線AD的斜率為餐12左+1

因?yàn)锳(-2,0),