2019年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

A.15X109B.1.5X109C.1.5X1O10D.0.15X1011

【考點(diǎn)】H：科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【專題】511：實(shí)數(shù).

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為oX10"的形式，其中n為整數(shù).確定n

的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，"的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>1時(shí)，〃是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，"是負(fù)數(shù).

【解答】解：數(shù)科學(xué)記數(shù)法表示為1.5X101°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其

中1W間<10,”為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及"的值.

3.（3分）（2019?長(zhǎng)沙）下列計(jì)算正確的是（）

A.3a+2b=5abB.（a3）2=a6

c6?3__2]-?z7\2__2172

C.ci~ci~~aD.（〃+￡?）a+。

【考點(diǎn)】35：合并同類項(xiàng)；47：幕的乘方與積的乘方；48：同底數(shù)塞的除法；4C：完全

平方公式.

【專題】11：計(jì)算題.

【分析】分別根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則、同底數(shù)累的除法法則、越的乘方法則以及完全平

方公式解答即可.

【解答】解：43a與26不是同類項(xiàng)，故不能合并，故選項(xiàng)A不合題意；

B、（J）2=J,故選項(xiàng)8符合題意；

C>a>^-a—a,故選項(xiàng)C不符合題意；

D、（q+b）2=a2+2ab+b2,故選項(xiàng)。不合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了幕的運(yùn)算性質(zhì)、合并同類項(xiàng)的法則以及完全平方公式，熟練掌

握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

4.（3分）（2019?長(zhǎng)沙）下列事件中，是必然事件的是（）

A.購(gòu)買(mǎi)一張彩票，中獎(jiǎng)

B.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心

C.經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈

D.任意畫(huà)一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是180°

【考點(diǎn)】K7：三角形內(nèi)角和定理；XI：隨機(jī)事件.

【專題】543：概率及其應(yīng)用.

【分析】先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事

件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的.

【解答】解：A.購(gòu)買(mǎi)一張彩票中獎(jiǎng)，屬于隨機(jī)事件，不合題意；

B.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心，屬于隨機(jī)事件，不合題意；

C.經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈，屬于隨機(jī)事件，不合題意；

。.任意畫(huà)一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是180。，屬于必然事件，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了必然事件，事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件.

5.（3分）（2019?長(zhǎng)沙）如圖，平行線AB,被直線AE所截，Zl=80°,則/2的度數(shù)

是（）

AEki

2

B>D>

A.80°B.90°C.100°D.110°

【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì).

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】直接利用鄰補(bǔ)角的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)得出答案.

【解答】解：???/：!=80°,

.?.Z3=1009,

'：AB//CD,

.?.Z2=Z3=100°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角的定義，正確掌握平行線的性質(zhì)是解

題關(guān)鍵.

6.（3分）（2019?長(zhǎng)沙）某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（）

A.B.

c.D.

【考點(diǎn)】U3：由三視圖判斷幾何體.

【專題】551：線段、角、相交線與平行線；63：空間觀念.

【分析】根據(jù)幾何體的三視圖判斷即可.

【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為圓錐.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】考查了由三視圖判斷幾何體的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是具有較強(qiáng)的空間想象能力，

難度不大.

7.（3分）（2019?長(zhǎng)沙）在慶祝新中國(guó)成立70周年的校園歌唱比賽中，11名參賽同學(xué)的成

績(jī)各不相同，按照成績(jī)?nèi)∏?名進(jìn)入決賽.如果小明知道了自己的比賽成績(jī)，要判斷能

否進(jìn)入決賽，小明需要知道這11名同學(xué)成績(jī)的（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

【考點(diǎn)】WA：統(tǒng)計(jì)量的選擇.

【專題】542：統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用.

【分析】由于比賽取前5名參加決賽，共有11名選手參加，根據(jù)中位數(shù)的意義分析即可.

【解答】解：11個(gè)不同的成績(jī)按從小到大排序后，中位數(shù)及中位數(shù)之后的共有5個(gè)數(shù)，

故只要知道自己的成績(jī)和中位數(shù)就可以知道是否進(jìn)入決賽了.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中位數(shù)意義.解題的關(guān)鍵是正確的求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

8.（3分）（2019?長(zhǎng)沙）一個(gè)扇形的半徑為6,圓心角為120°,則該扇形的面積是（）

A.2KB.4TtC.12nD.24Tl

【考點(diǎn)】MO：扇形面積的計(jì)算.

【專題】11：計(jì)算題.

2

【分析】根據(jù)扇形的面積公式5=虛出一計(jì)算即可.

360

【解答】解：s=12QX7lX62=12it,

360

故選：C.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，掌握扇形的面積公式S=nnR是解題的關(guān)鍵.

360

9.（3分）（2019?長(zhǎng)沙）如圖，RtAABCZC=90°,ZB=30°,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)8

為圓心，大于L1B的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN,交8C于點(diǎn)

2

D,連接AD,則NCA。的度數(shù)是（）

A.20°B.30°C.45°D.60°

【考點(diǎn)】KG：線段垂直平分線的性質(zhì)；N2：作圖一基本作圖.

【專題】13：作圖題.

【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理求得/8AC=60°,由中垂線性質(zhì)知即/

=30°,從而得出答案.

【解答】解：在△ABC中，VZJ5=3O°,ZC=90°,

AZBAC=180°-ZB-ZC=60°,

由作圖可知MN為AB的中垂線，

:.DA=DB,

：.ZDAB=ZB^30°,

：.ZCAD=ZBAC-ZDAB=30°,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖-基本作圖，熟練掌握中垂線的作圖和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（3分）（2019?長(zhǎng)沙）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔6Qnmile

的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東45°方向上的8

處，這時(shí)輪船8與小島A的距離是（）

北

A.3bJ^nrnileB.GOnmile

C.120nmileD.(30+30^3)nmile

【考點(diǎn)】TB：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題.

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用；66：運(yùn)算能力；69：應(yīng)用意識(shí).

【分析】過(guò)點(diǎn)C作dAB,則在RtAACD中易得A。的長(zhǎng)，再在直角△8。中求出

BD,相加可得A8的長(zhǎng).

【解答】解：過(guò)C作于。點(diǎn),

AZAC￡>=30°,NBCD=45°,AC^60.

在RtAACD中，cosZACD=—,

AC

CZ)=AUcosZACD=60X近=3Ch/5.

2

在RtZXOCB中，VZBCD=ZB=45°,

：.CD=BD=30\[^,

：.AB=AD+BD=30+30V3.

答：此時(shí)輪船所在的B處與燈塔P的距離是(30+3073)nmile.

故選：D.

北

I

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，求三角形的邊或高的問(wèn)題

一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線.

11.（3分）（2019?長(zhǎng)沙）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是:

“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺.木長(zhǎng)幾何？”

意思是：用一根繩子去量一根木頭的長(zhǎng)、繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量木頭，則木

頭還剩余1尺，問(wèn)木頭長(zhǎng)多少尺？可設(shè)木頭長(zhǎng)為x尺，繩子長(zhǎng)為y尺，則所列方程組正

確的是（）

fy=x+4.5fy=x+4.5

[0.5y=x-l（y=2x-l

Jy=x-4.5j產(chǎn)x-4.5

'10.5y=x+l'ly=2x-l

【考點(diǎn)】99：由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組.

【專題】521：一次方程（組）及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，本題得以解決.

【解答】解：由題意可得，

（y=x+4.5

[0.5y=x-l

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列

出相應(yīng)的方程組.

12.（3分）（2019?長(zhǎng)沙）如圖，ZVIBC中，AB=AC=10,tanA=2,BE_LAC于點(diǎn)E,D是

線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CDN』BD的最小值是（）

A.2-75B.4旄C.5MD.10

【考點(diǎn)】KH：等腰三角形的性質(zhì)；T7：解直角三角形.

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】如圖，作。于”，于由tanA=&殳=2,設(shè)BE=2a,

AE

利用勾股定理構(gòu)建方程求出a,再證明DH=^-BD,推出CD+匡BD=CD+DH,由垂

55

線段最短即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，作。于H,CMLA8于M.

ZAEB=9Q°,

VtanA=-^-=2,設(shè)AE=a,BE=2a,

AE

則有：100=/+442,

〃=20,

???4=2遙或-2灰（舍棄），

BE=2a=4A/5，

9：AB=AC,BELAC,CMLAB,

:.CM=BE=4炳（等腰三角形兩腰上的高相等））

ZDBH=/ABE,ZBHD=/BEA,

??/ngDHAEV5

BDAB5

5

CQ+立BD=CD+DH,

5

：.CD+DH^CM,

：.CD+J^-BD的最小值為4A/5.

5

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13.（3分）（2019?長(zhǎng)沙）式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)無(wú)的取值范圍是x25.

【考點(diǎn)】72：二次根式有意義的條件.

【專題】514：二次根式.

【分析】直接利用二次根式有意義的條件進(jìn)而得出答案.

【解答】解：式子J啟在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x-5'O,

故實(shí)數(shù)x的取值范圍是：x25.

故答案為：尤》5.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

14.(3分)(2019?長(zhǎng)沙)分解因式：-9a=a(v+3)(〃7-3).

【考點(diǎn)】55：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.

【專題】44：因式分解.

【分析】先提取公因式。，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解.

【解答】解：am2-9a

=a(m2-9)

=a(m+3)(m-3).

故答案為：a(m+3)(m-3).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提

取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止.

15.(3分)(2019?長(zhǎng)沙)不等式組[x+l可的解集是-iWx<2.

[3x-6<0

【考點(diǎn)】CB：解一元一次不等式組.

【專題】524：一元一次不等式(組)及應(yīng)用.

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：大小小大中間找，確定不等式組的

解集.

【解答】解：卜

[3x-6<0②

解不等式①得：》》-1，

解不等式②得：x<2,

...不等式組的解集為：-lWx<2,

故答案為：TWx<2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知

“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

16.（3分）（2019?長(zhǎng)沙）在一個(gè)不透明的袋子中有若干個(gè)小球，這些球除顏色外無(wú)其他差

另！J,從袋中隨機(jī)摸出一球，記下其顏色，這稱為一次摸球試驗(yàn)，然后把它重新放回袋中

并搖勻，不斷重復(fù)上述過(guò)程.以下是利用計(jì)算機(jī)模擬的摸球試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)表：

摸球?qū)嶒?yàn)次數(shù)100100050001000050000100000

“摸出黑球”的次數(shù)36387201940091997040008

“摸出黑球”的頻率（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位）0.3600.3870.4040.4010.3990.400

根據(jù)試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)，估計(jì)“摸出黑球”的概率是0.4.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

【考點(diǎn)】V7：頻數(shù)（率）分布表；X8：利用頻率估計(jì)概率.

【專題】542：統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用.

【分析】大量重復(fù)試驗(yàn)下摸球的頻率可以估計(jì)摸球的概率，據(jù)此求解；

【解答】觀察表格發(fā)現(xiàn)隨著摸球次數(shù)的增多頻率逐漸穩(wěn)定在0.4附近，

故摸到白球的頻率估計(jì)值為0.4；

故答案為：0.4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解大量重復(fù)試驗(yàn)中某個(gè)

事件發(fā)生的頻率能估計(jì)概率.

17.（3分）（2019?長(zhǎng)沙）如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的A,8兩點(diǎn)間的距離，可以在池塘外

選一點(diǎn)C,連接AC,BC,分別取AC,的中點(diǎn)。，E,測(cè)得?！?50機(jī)，則的長(zhǎng)是

【考點(diǎn)】KX：三角形中位線定理.

【專題】552：三角形.

【分析】先判斷出DE是AABC的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等

于第三邊的一半可得AB=2DE,問(wèn)題得解.

【解答】解：：點(diǎn)。，￡分別是AC,BC的中點(diǎn),

.,.OE是AABC的中位線,

AB=2DE=2X50=100米.

故答案為：100.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理并

準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

18.（3分）（2019?長(zhǎng)沙）如圖，函數(shù)y=K1為常數(shù)，左＞0）的圖象與過(guò)原點(diǎn)的。的直線

X

相交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是第一象限內(nèi)雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)），直線AM

分別交x軸，y軸于C,。兩點(diǎn)，連接8M分別交x軸，y軸于點(diǎn)E,F.現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)

論：

①與△OC4的面積相等；②若于點(diǎn)則/MBA=30°；③若/點(diǎn)

的橫坐標(biāo)為1,△OAM為等邊三角形，貝1」左=2+正；④若則AW=2AM.

5

其中正確的結(jié)論的序號(hào)是①⑶⑷.（只填序號(hào)）

【考點(diǎn)】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.

【專題】534：反比例函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】①設(shè)點(diǎn)A（m,四），M（M,其），構(gòu)建一次函數(shù)求出C,。坐標(biāo)，利用三角形

mn

的面積公式計(jì)算即可判斷.

②△OMA不一定是等邊三角形，故結(jié)論不一定成立.

2

③設(shè)k）,由△OAM為等邊三角形，推出OA=OM=AM,可得1+針=機(jī)2+7，

ID

推出m=k,根據(jù)OM=AM,構(gòu)建方程求出k即可判斷.

④如圖，作MK〃O。交。4于K.利用平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題即可.

【解答】解：①設(shè)點(diǎn)AGn,上），M（〃,X）,

mn

則直線AC的解析式為y=-"

mnnm

：.C(根+〃，0),D(0,(/n)k),

mn

???昆0￡)加二工x九*」'口吐門(mén)'"',=lR*IL)k_,S/^OCA=—X(加+〃)xN=」"n，k,

2inn2m2IT121rl

???△OQM與△OCA的面積相等，故①正確；

??,反比例函數(shù)與正比例函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

???。是45的中點(diǎn)，

：.OM=OA,

??k=mri,

.'.A(m,"),M(n,m),

：.AM=42"m),O^=J2+n2,

不一定等于OM,

/BAM不一定是60°,

.../MBA不一定是30°.故②錯(cuò)誤，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為b

.?.可以假設(shè)M(1,k),

?..△OAM為等邊三角形，

：.OA^OM^AM,

22k2

l+k=m+—,

2

in

Vm>0,k>0,

??iri^~kj

'/OM=AMf

：.(1-/77)2+&上產(chǎn)=1+必,

ID

.,.F-4H1=O,

:.k=2±如,

Vm>L

：.k=2-^/3,故③正確，

如圖，作MK〃。。交。4于K.

?/OF//MK,

.FM=0K=2_

??麗KBT

?.0?K_一2-,

OB3

'：OA^OB,

.OK_2

??--——9

OA3

.OK_2

??--—f

KA1

\'KM//OD,

?.D?M_OK_o乙,

AMAK

：.DM^2AM,故④正確.

故答案為①③④.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，三角形的面積，平行線分線段成

比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)造平行線，利用平行線

分線段成比例定理解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題.

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小題6分，第

23、24題每小題6分，第25、26題每小題6分，共66分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、

證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟）

19.（6分）（2019?長(zhǎng)沙）計(jì)算：|-721+（―）1-764-73-2cos60".

2

【考點(diǎn)】6F：負(fù)整數(shù)指數(shù)塞；79：二次根式的混合運(yùn)算；T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】514：二次根式.

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義、二次根式的除法法則、負(fù)整數(shù)指數(shù)哥的意義和特殊角的三

角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解：原式=血+2-46+3-2x1

2

=V2+2-V2-1

=1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行

二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈

活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

20.（6分）（2019?長(zhǎng)沙）先化簡(jiǎn)，再求值：（空之-工）+&+產(chǎn)+4,其中a=3.

2

a-1a-1a-a

【考點(diǎn)】6D：分式的化簡(jiǎn)求值.

【專題】11：計(jì)算題；513：分式.

【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將。的值代入進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：原式=空2..-1）

aT（a+2）2

__a_

a+2

當(dāng)。=3時(shí)，原式=--=二.

3+25

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵.

21.（8分）（2019?長(zhǎng)沙）某學(xué)校開(kāi)展了主題為“垃圾分類，綠色生活新時(shí)尚”的宣傳活動(dòng).為

了解學(xué)生對(duì)垃圾分類知識(shí)的掌握情況，該校環(huán)保社團(tuán)成員在校園內(nèi)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生

進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，將他們的得分按優(yōu)秀、良好、合格、待合格四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制

了如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和條形統(tǒng)計(jì)圖.

等級(jí)頻數(shù)頻率

優(yōu)秀2142%

良好m40%

合格6〃％

待合格36%

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）若全校有2000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校掌握垃圾分類知識(shí)達(dá)到“優(yōu)秀”和“良好”

等級(jí)的學(xué)生共有多少人.

【考點(diǎn)】V5：用樣本估計(jì)總體；V7：頻數(shù)（率）分布表；VC：條形統(tǒng)計(jì)圖.

【專題】542：統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用.

【分析】（1）用優(yōu)秀的人數(shù)除以優(yōu)秀的人數(shù)所占的百分比即可得到總?cè)藬?shù)；

（2）根據(jù)題意補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可得到結(jié)果；

（3）全校2000名乘以“優(yōu)秀”和“良好”等級(jí)的學(xué)生數(shù)所占的百分比即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）本次調(diào)查隨機(jī)抽取了21+42%=50名學(xué)生，加=50X40%=20,n=@

5c

X100=12,

故答案為：50,20,12；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示;

等級(jí)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)

題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù).

22.（8分）（2019?長(zhǎng)沙）如圖，正方形ABC。，點(diǎn)E,尸分別在AD,CD±.,且。E=CR

AF與BE相交于點(diǎn)G.

（1）求證：BE=AF；

（2）若48=4,DE=1,求AG的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì).

【專題】553：圖形的全等；554：等腰三角形與直角三角形；556：矩形菱形正方形.

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出尸=90°,AB=AD=CD,得出

由SAS證明△BAEgAADF,即可得出結(jié)論；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得出得出/G4E+NAEG=90°,因此NAGE

=90°,由勾股定理得出8E=JAB2+AE2=5,在RtZVIBE中，由三角形面積即可得出

結(jié)果.

【解答】（1）證明：：四邊形ABCD是正方形，

：.ZBAE=ZADF=9Q°,AB=AD=CD,

?：DE=CF,

：.AE=DF,

'AB=AD

在△BAE和△ADF中，，ZBAE=ZADF，

,AE=DF

.'.△BAE^AADF（SAS）,

：.BE=AF；

（2）解：由（1）得：ABAE0AADF,

：.ZEBA=ZFAD,

：.ZGAE+ZAEG^90°,

AZAGE=90°,

:A3=4,DE=1,

：.AE=3,

B￡=VAB2+AE2=V42+32=5'

在Rt^ABE中，^-ABXAE=^BEXAG,

22

.…4X3—12

55

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面

積公式；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

23.（9分）（2019?長(zhǎng)沙）近日，長(zhǎng)沙市教育局出臺(tái)《長(zhǎng)沙市中小學(xué)教師志愿輔導(dǎo)工作實(shí)施

意見(jiàn)》，鼓勵(lì)教師參與志愿輔導(dǎo)，某區(qū)率先示范，推出名師公益大課堂，為學(xué)生提供線上

線下免費(fèi)輔導(dǎo)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一批公益課受益學(xué)生2萬(wàn)人次，第三批公益課受益學(xué)生2.42

萬(wàn)人次.

（1）如果第二批，第三批公益課受益學(xué)生人次的增長(zhǎng)率相同，求這個(gè)增長(zhǎng)率；

（2）按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到多少萬(wàn)人次？

【考點(diǎn)】AD：一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】523：一元二次方程及應(yīng)用.

【分析】（1）設(shè)增長(zhǎng)率為無(wú)，根據(jù)“第一批公益課受益學(xué)生2萬(wàn)人次，第三批公益課受益

學(xué)生2.42萬(wàn)人次”可列方程求解；

（2）用2.42X（1+增長(zhǎng)率），計(jì)算即可求解.

【解答】解：（1）設(shè)增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意，得

2（1+x）2=2.42,

解得尤1=-2.1（舍去），尤2=01=10%.

答：增長(zhǎng)率為10%.

（2）2.42（1+0.1）=2.662（萬(wàn)人）.

答：第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到2.662萬(wàn)人次.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給

出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解.

24.（9分）（2019?長(zhǎng)沙）根據(jù)相似多邊形的定義，我們把四個(gè)角分別相等，四條邊成比例

的兩個(gè)凸四邊形叫做相似四邊形.相似四邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

（1）某同學(xué)在探究相似四邊形的判定時(shí)，得到如下三個(gè)命題，請(qǐng)判斷它們是否正確（直

接在橫線上填寫(xiě)“真”或"假").

①四條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形相似；(假命題)

②三個(gè)角分別相等的兩個(gè)凸四邊形相似；(假命題)

③兩個(gè)大小不同的正方形相似.(真命題)

(2)如圖1,在四邊形ABCD和四邊形A/iCiOi中，ZABC=ZA1B1C1，ZBCD=Z

B1C1D1，處-=B'、-=CD.求證：四邊形48。)與四邊形43相似.

A[BiB?CjC?D?

(3)如圖2,四邊形A3。中，AB//CD,AC與8。相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)O作環(huán)〃A8分

別交4。，BC于點(diǎn)、E,F.記四邊形ABFE的面積為Si，四邊形EEC。的面積為必，若

So

四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，求—的值.

S1

【考點(diǎn)】SO：相似形綜合題.

【專題】152：幾何綜合題.

【分析】(1)根據(jù)相似多邊形的定義即可判斷.

(2)根據(jù)相似多邊形的定義證明四邊成比例，四個(gè)角相等即可.

(3)四邊形與四邊形￡P(guān)C￡＞相似，證明相似比是1即可解決問(wèn)題，即證明。月

AE即可.

【解答】(1)解：①四條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形相似，是假命題，角不一定相等.

②三個(gè)角分別相等的兩個(gè)凸四邊形相似，是假命題，邊不一定成比例.

③兩個(gè)大小不同的正方形相似.是真命題.

故答案為假，假，真.

(2)證明：如圖1中，連接8。，BiDi.

CD

NBCD=/B<iDi，且

B[Ci

△BCDS^BICIDI，

NCDB="DiBi，/CiBR=/CBD,

AB_BC_CD

A[B]B?C?C?Dj

BD_AB,

B[D[A]Bi

ZABC=ZAiBiCv

ZABD=ZArBiDi，

△ABD^AAiBiDp

城'.二萩，ZA=ZAi，ZADB^ZAiDiBt，

A1D1A1B1

AB_BCCDAD

,ZADC^ZAiD^Ci，ZA=ZAi，NABC=/

A1B1B1C1CpD7M；

A\B\C\,^BCD=^B\C\D\,

四邊形ABC。與四邊形AJBICIDI相似.

(3)如圖2中,

,/四邊形ABCD與四邊形EFCD相似.

.DE=EF

"AEAB，

'：EF=OE+OF,

.DE_QE+OF

?,蕊AB

'：EF//AB//CD,

.DE=OEDE=OC=OF

"ADAB(ADABAB

.DE+DE=OE+OF

"ADADABAB)

?2DE=DE

""AD"前，

\'AD=DE+AE,

.2_1

"DE+AEAE)

：.2AE=DE+AE,

C.AE^DE,

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，相似多邊形的判定

和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

25.（10分）（2019?長(zhǎng)沙）已知拋物線y=-2/+（6-2）x+（c-2020）（b,c為常數(shù)）.

（1）若拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,求b,c的值；

（2）若拋物線上始終存在不重合的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求c的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，存在正實(shí)數(shù)叩n當(dāng)mWxW”時(shí)，恰好

2nri-ly+2

【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】151：代數(shù)綜合題.

【分析】（1）利用拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和二次函數(shù)解析式y(tǒng)=-2?+（&-2）x+（c-2020）

可知，y--2（x-1）~+1,易得b、c的值；

（2）設(shè)拋物線線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且不重合的兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是（孫，比），（-沖，-為），

代入函數(shù)解析式，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到c=2無(wú)（）2+2020,易得c22020；

（3）由題意知，拋物線為＞=-2X2+4X-1=-2（x-1）2+1,貝!JyWl.利用不等式的性

質(zhì)推知：易得1W相＜九由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)得到：當(dāng)％=初時(shí)，y最大值

nm

nn1917

=-2m+4m-1.當(dāng)x—n時(shí)，y最小值=-In+4〃-1.所以士=-2m+4m-1,—=-2n+4〃

inn

-1通過(guò)解方程求得相、〃的值.

【解答】解：(1)由題可知，拋物線解析式是：尸-2(x-1)2+1=-2，+4x-1.

,fb-2=4

'lc-2020=-l'

：.b=6,c=2019.

(2)設(shè)拋物線線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且不重合的兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是(項(xiàng)，死)，(-尤o，-V0))

---

yn=2xn^+(b2)Xn+(c2020)

代入解析式可得：<2

=---

-yp2xQ(b2)XQ+(C-2020)

2

.?.兩式相加可得:-4X0+2(C-2020)=0.

2

.?.C=2XO+2O2O,

.,.c>2020；

(3)由(1)可知拋物線為y=-2f+4x-1=-2(尤-1)2+l.

?'.yWl.

,：0<m<n,當(dāng)加WxW”時(shí)，恰好_^W」一W」一，

2irri-ly4-22n+l

^1,即機(jī)21.

ID

「?1Wm<〃.

??,拋物線的對(duì)稱軸是％=1,且開(kāi)口向下,

，當(dāng)mWxW〃時(shí)，y隨x的增大而減小.

**.當(dāng)x—m時(shí)，y最大值=-2m+4m-1.

=

當(dāng)xn時(shí)，y最小值=-2/+4〃-1.

又工

nin

一二-2n+4nT①

n

.,.s.

1n

一二-21n+4mT②

m

將①整理，得2二-4^2+n+l=0,

變形，得2/(〃-1)-(2〃+1)(〃-1)=0.

(n-1)(2?2-In-1)=0.

?">1,

：.2n-2n-1=0.

解得町=上逅(舍去)，改=上正.

22

同理，由②得到：(根-1)(2m-2m-1)=0.

V

2m2-2m-1=0.

解得〃“=1,加2=上巨(舍去)，加3=上正(舍去)?

22

綜上所述，m—1,“=1+F.

2

【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次函數(shù)綜合題，解答該題時(shí)，需要熟悉二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)

特征，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，二次函數(shù)圖象的增減性，二次函數(shù)最值的意義以及一元

二次方程的解法.該題計(jì)算量比較大，需要細(xì)心解答.難度較大.

26.(10分)(2019?長(zhǎng)沙)如圖，拋物線>=依2+6取(。為常數(shù)，a>0)與無(wú)軸交于。，A

兩點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為0)(-3<?<0),連接8。并延長(zhǎng)與過(guò)

O,A,8三點(diǎn)的。尸相交于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)過(guò)點(diǎn)C作。尸的切線CE交x軸于點(diǎn)E.

①如圖1,求證：CE=DE；

②如圖2,連接AC,BE,BO,當(dāng)時(shí)，求的值.

30D0E

【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】15：綜合題；535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系.

【分析】（1）令y=0,可得ov（x+6）=0,則A點(diǎn)坐標(biāo)可求出;

（2）①連接PC,連接延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)由切線的性質(zhì)可證得

貝UCE=DE；

2

②設(shè)OE=m,由C^=OE-AE,可得—,由/CAE=/OBE可得里則

6+2tBE0E

1rp綜合整理代入」-L可求出」--L的值.

-t-6tin0D0E

【解答】解：（1）令"2+6辦=0,

ax(x+6)=0,

AA(-6,0)；

（2）①證明：如圖，連接PC,連接尸8,延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)

：OP過(guò)。、A、B三點(diǎn),B為頂點(diǎn),

：.PM±OA,ZPBC+ZBOM=90a,

又,：PC=PB,

：.ZPCB=ZPBC,

為切線，

：.ZPCB+ZECD=90°,

又,：NBDP=NCDE,

：.ZECD=ZCOEf

：.CE=DE.

②解：設(shè)0￡=機(jī)，即E(M,0),

由切割線定理得：CW=OE?AE,

2

(m-t)

+2_

nF_;----①，

6+2t

?：NCAE=NCBD,

/CAE=/OBE,NCBO=/EBO,

由角平分線定理:BD_QD

Bf=OE

即:J(3+t)2+27_H

H3+m)2+2710

ITF6[②,

-t-b

由①②得t?=6t

6+2t-t-6

整理得：r+18f+36=0,

7

.\t=-18z-36,

.11_11_3t+61

??麗而—丁一”專

【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)與圓的綜合問(wèn)題，涉及二次函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、切線

的性質(zhì)、等腰三角形的判定、切割線定理等知識(shí).把圓的知識(shí)鑲嵌其中，會(huì)靈活運(yùn)用圓

的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.有理數(shù)大小比較

(1)有理數(shù)的大小比較

比較有理數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，他們從右到左的順序，即從大到小的順序(在數(shù)軸上表示

的兩個(gè)有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大)；也可以利用數(shù)的性質(zhì)比較異號(hào)兩數(shù)及。的大小,

利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小.

(2)有理數(shù)大小比較的法則：

①正數(shù)都大于0；

②負(fù)數(shù)都小于0；

③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；

④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小.

【規(guī)律方法】有理數(shù)大小比較的三種方法

1.法則比較：正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)

值大的反而小.

2.數(shù)軸比較：在數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù).

3.作差比較：

若a-b>0,則a>b；

若a-b<0,則a<b；

若a-b=0,貝！Ia=b.

2.科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù)

(1)科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成aX10"的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的

數(shù)，〃是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.【科學(xué)記數(shù)法形式：aX10n,其中l(wèi)Wa<10,

w為正整數(shù).】

(2)規(guī)律方法總結(jié)：

①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來(lái)的整數(shù)

位數(shù)少1;按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用

此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號(hào).

3.合并同類項(xiàng)

（1）定義：把多項(xiàng)式中同類項(xiàng)合成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng).

（2）合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不

變.

（3）合并同類項(xiàng)時(shí)要注意以下三點(diǎn)：

①要掌握同類項(xiàng)的概念，會(huì)辨別同類項(xiàng)，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類項(xiàng)的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同

系數(shù)的代數(shù)項(xiàng)；字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類項(xiàng)的含義是把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)，式的項(xiàng)數(shù)

會(huì)減少，達(dá)到化簡(jiǎn)多項(xiàng)式的目的；

③“合并”是指同類項(xiàng)的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項(xiàng)的字

母和字母的指數(shù)不變.

4.塞的乘方與積的乘方

（1）幕的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（很，〃是正整數(shù)）

注意：①哥的乘方的底數(shù)指的是嘉的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是塞的指數(shù)與乘方

的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)幕的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

（2）積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的事相乘.

Cab）n=anbn（〃是正整數(shù)）

注意：①因式是三個(gè)或三個(gè)以上積的乘方，法則仍適用；②運(yùn)用時(shí)數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)

乘方的意義，計(jì)算出最后的結(jié)果.

5.同底數(shù)塞的除法

同底數(shù)塞的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減.

（aWO,〃是正整數(shù)，相＞〃）

①底數(shù)。W0,因?yàn)?不能做除數(shù)；

②單獨(dú)的一個(gè)字母，其指數(shù)是1,而不是0；

③應(yīng)用同底數(shù)幕除法的法則時(shí)，底數(shù)?？墒菃雾?xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但必須明確底數(shù)是

什么，指數(shù)是什么.

6.完全平方公式

（1）完全平方公式：（a±b）2—a2±2ab+bi.

可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.

（2）完全平方公式有以下幾個(gè)特征：①左邊是兩個(gè)數(shù)的和的平方；②右邊是一個(gè)三項(xiàng)式，

其中首末兩項(xiàng)分別是兩項(xiàng)的平方，都為正，中間一項(xiàng)是兩項(xiàng)積的2倍；其符號(hào)與左邊的運(yùn)算

符號(hào)相同.

（3）應(yīng)用完全平方公式時(shí)，要注意：①公式中的0,6可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；（2）

對(duì)形如兩數(shù)和（或差）的平方的計(jì)算，都可以用這個(gè)公式；③對(duì)于三項(xiàng)的可以把其中的兩

項(xiàng)看做一項(xiàng)后，也可以用完全平方公式.

7.提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用

提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.

8.分式的化簡(jiǎn)求值

先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值.

在化簡(jiǎn)的過(guò)程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn).化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注

意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡(jiǎn)求值時(shí)需注意的問(wèn)題

1.化簡(jiǎn)求值，一般是先化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式或整式，再代入求值.化簡(jiǎn)時(shí)不能跨度太大，而缺

少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時(shí)，原式=

2.代入求值時(shí)，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選

擇合適的方法.當(dāng)未知數(shù)的值沒(méi)有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式

都有意義，且除數(shù)不能為0.

9.負(fù)整數(shù)指數(shù)第

負(fù)整數(shù)指數(shù)幕：ap=iap（?#0,0為正整數(shù)）

注意：①aWO；

②計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)幕時(shí)，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)基的意義計(jì)算，避免出現(xiàn)（-3）"=（-

3）X（-2）的錯(cuò)誤.

③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).

④在混合運(yùn)算中，始終要注意運(yùn)算的順序.

10.二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

（1）二次根式的概念.形如?。?。20）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被開(kāi)方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).

（3）二次根式具有非負(fù)性.?Q20）是一個(gè)非負(fù)數(shù).

學(xué)習(xí)要求：

能根據(jù)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)來(lái)確定二次根式被開(kāi)方數(shù)中字母的取值范圍，并能利

用二次根式的非負(fù)性解決相關(guān)問(wèn)題.

【規(guī)律方法】二次根式有無(wú)意義的條件

1.如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二